空间直角坐标系的几种方法

空间直角坐标系的几种方法一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系

例1已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD

是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，

求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．

二、利用线面垂直关系构建直角坐标系

例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为 棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2， BC ＝1，∠BCC 1＝3

π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．

三、利用面面垂直关系构建直角坐标系

例3如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．

（1）证明AB⊥平面VAD；

（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．

四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系

例4已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．

（1）求∠DEB的余弦值；

（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．

五、利用图形中的对称关系建立坐标系

图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系

（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例5已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的

高都为2，AB＝4．

（1）证明：PQ⊥平面ABCD；

（2）求异面直线AQ与PB所成的角；

（3）求点P到平面QAD的距离．

当堂练习：

1．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则A 1B 与AC 1所成的角为（ ） A ．450 B ．600 C ．900 D ．1200

2..如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠= E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ， 求二面角M -AB -D 的余弦值

P

A

O

C

B

M

3.2018年高考.如图，在三棱锥P ABC -中，2

2AB BC ==，4PA PB PC AC ====，

O 为AC 的中点．

（1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒， 求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．

4.2017年1卷：如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90

∠=∠=.

BAP CDP （1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，90

∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.

APD

5.如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形．

(1)求证：AD⊥BC；

(2)求二面角B－AC－D的余弦值；

(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由．

6.如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为

等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．

(1)证明：SO⊥平面ABC；

(2)求二面角A—SC—B的余弦值．

7.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.

(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；

(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．