上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 含答案
上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末考试
数学试卷
2020.07
一. 填空题
1. 若一个实系数一元二次方程的一个根是112i z =+，则此方程的两根之积为
2. 1−的平方根为
3. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，3AB =，
14AA =，则11A C 与1B C 所成角的余弦值为
4. 262()x x
−的二项展开式中3x 项的系数为
5. 设A 、B 是半径为1的球面上一个大圆上的两点，且 ||1AB =，则A 、B 两点的球面距离为
6. 在3名男生和4名女生中选出3人，男女生都有的选法有 种
7. 由一条直线和直线外的5个点可确定平面的个数最多为
8. 请列举出用0、1、2、3、4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的， 且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是
二. 选择题
9. 复数i a b +（,a b ∈R ）和i c d +（,c d ∈R ）的积是实数的充要条件是（ ）
A. 0ad bc +=
B. 0ac bd +=
C. ac bd =
D. ad bc =
10. ①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行； ③平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行； 以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
三. 解答题
11.（1）设*,m n ∈N ，m n ≤，求证：1111
m m n n n C C m +++=+； （2）请利用二项式定理证明：2321n n >+（3n ≥，*n ∈N ）.
12. 如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=，将△ABD 沿BD 翻折，使点A 移至点P .
（1）求证：BD PC ⊥；
（2）若二面角P BD C −−的平面角为60°，求PC 与平面BCD 所成角的大小.
13. 如图，我们知道，圆锥是Rt △AOP （及其内部）绕OP 所在的直线旋转一周形成的几 何体，我们现将直角梯形11AOO A （及其内部）绕1OO 所在的直线旋转一周形成的几何体称 为圆台，设1O 的半径为r ，O 的半径为R ，1OO h =.
（1）求证：圆台的体积331
3R r V h R r
π−=⋅−； （2）若2R =，1r =，3h =，求圆台的表面积S .
14. 现新定义两个复数111i z a b =+（11,a b ∈R ）和222i z a b =+（22,a b ∈R ）之间的一个新运算⊗，其运算法则为：121212i z z a a b b ⊗=+.
（1）请证明新运算⊗对于复数的加法满足分配律，即求证： 1231213()z z z z z z z ⊗+=⊗+⊗；
（2）设运算÷为运算⊗的逆运算，请推导运算÷的运算法则.。
上海市2019-2020学年高二第二学期期末数学检测试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x=的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 2．在复平面内，复数221z i i=+-+所对应的点在第几象限（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若不等式2xln x≥－x 2＋ax －3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)4．已知()23()f x x x R =+∈，若|()1|f x a -<的必要条件是|1|(,0)x b a b +<>，则a ，b 之间的关系是（ ） A ．2a bB ．2a b <C ．2b aD ．2b a >5．设函数()x f x xe =，则（ ） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点 C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点6．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（ ）A ．1BC ．2D ．37．已知函数22()1x f x e ax bx =-+-，其中,a b ∈R ，e 为自然对数的底数，若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．22(3,1)e e -+B ．2(3,)e -+∞C ．2(,22)e -∞+D ．22(26,22)e e -+8．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,59．已知二项式2(*)nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-10．复数22cos sin 33z i ππ=+在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（ ） A ．空间中平行于同一直线的两直线平行 B ．空间中平行于同一平面的两直线平行 C ．空间中平行于同一直线的两平面平行 D ．空间中平行于同一平面的两平面平行 12．若()()()()9290129111x a a a x a x a x +=+++++++，若684a =，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3-二、填空题：本题共4小题 13．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'()ln f x xf e x =+，则()f e =__________．14．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件15．已知33210n n A A =，那么n =__________．16．已知函数1y x =的图象的对称中心为()0,0，函数111y x x =++的图象的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数11112y x x x =++++的图象的对称中心为()1,0-.由此推测，函数12202012019x x x y x x x +++=+++++的图象的对称中心为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年下海市静安区数学高二第二学期期末考试试题含解析
2019-2020学年下海市静安区数学高二第二学期期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为（ ）A ．90B ．60C ．45D ．30【答案】C【解析】试题分析：连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，.因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成的角．因为四棱锥CD P -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE ===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45故选C ．考点：直线与平面所成的角，异面直线所成的角【名师点睛】本题考查异面直线所成角，直线与平面所成的角，考查线面垂直，比较基础连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OP ，先证明∠PAO 即为PA 与面ABCD 所成的角，即可得出结论．2．若实数x y ，满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点B 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由203x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)B ， 代入目标函数2z x y =+得2124z =⨯+=．即目标函数2z x y =+的最大值为1．故选B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．已知集合{}(){}22,0,|lg 2x M y y x N x y x x ====-，则()R M C N ⋂为（ ） A ．(]1,2B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】【分析】分别求出集合M ，N ，和R C N ，然后计算()R M C N ⋂.【详解】解：由0x >，得21x y =>，故集合()1M =+∞， 由220x x ->，得02x <<，故集合()02N ，=，][(),02,R C N =-∞⋃+∞所以()[)2,R M C N ⋂=+∞故选：C.【点睛】本题考查了指数函数的值域，对数函数的定义域，集合的交集和补集运算，属于基础题.4．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，则此数列前135项的和为( )A ．18253-B ．18252-C ．17253-D ．17252-【答案】A【解析】【分析】 利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x 2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x ＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则杨辉三角形的前n 项和为S n n1212-==-2n ﹣1， 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n ()n n 12+=，可得当n ＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列，则第16行的第16项为17，则杨辉三角形的前18项的和为S 18＝218﹣1，则此数列前135项的和为S 18﹣35﹣17＝218﹣53，故选：A ．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．5．若数列{}n a 是等比数列，则“首项10a >，且公比1q >”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】【分析】证明由10a >，1q >可以得到数列{}n a 单调递增，而由数列{}n a 单调递增，不一定得到10a >，1q >，从而做出判断，得到答案.【详解】数列{}n a 是等比数列，首项10a >，且公比1q >，所以数列110n n a a q -=>，且1n n n a a q a +=>， 所以得到数列{}n a 单调递增；因为数列{}n a 单调递增，可以得到首项10a >，且公比1q >，也可以得到10a <，且公比01q <<.所以“首项10a >，且公比1q >”是“数列{}n a 单调递增”的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查等比数列为递增数列的判定和性质，考查充分不不必要条件，属于简单题.6．已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=A ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4【答案】D【解析】【分析】设AD 是等腰三角形的高.将AP 转化为AD DP +，将AB AC +转化为2AD ，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项.【详解】设AD 是等腰三角形的高，长度为312-=.故()AP AB AC ⋅+=()()2222222224AD DP AD AD DP AD AD +⋅=+⋅==⨯=.所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.7．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ）A ．2B ．－1C ．1D ．－2【答案】A【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)， 则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+， 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．A 、B 两支篮球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局A 队获胜的概率是12外，其余每局比赛B 队获胜的概率都是13.假设各局比赛结果相互独立.则A 队以3:2获得比赛胜利的概率为（ ）A ．427B ．281C ．1681D ．827【答案】A【解析】分析：若“A 队以3:2胜利”，则前四局A 、B 各胜两局，第五局A 胜利，利用独立事件同时发生的概率公式可得结果.详解：若“A 队以3:2胜利”，则前四局A 、B 各胜两局，第五局A 胜利，因为各局比赛结果相互独立，所以队以3:2获得比赛胜利的概率为2224211433227P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 点睛：本题主要考查阅读能力，独立事件同时发生的概率公式，意在考查利用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.9．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.292【答案】C【解析】【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率.【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6，所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选C.【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.10．在等差数列{}n a 中，34567450a a a a a ++++=，则28a a +=（ ）A ．45B ．75C ．180D ．360【答案】C【解析】【分析】由34567450a a a a a ++++=，利用等差数列的性质求出5a ，再利用等差数列的性质可得结果.【详解】 由345673746555450a a a a a a a a a a a ++++=++++==（）（）， 得到590a =，则2852180a a a +==．故选C.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题. 解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若2p q m n r +=+=，则2p q m n r a a a a a +=+=.11．如果21()2n x x -的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( ) A ．0B ．256C ．64D ．164【答案】D【解析】分析：先确定n 值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是611(1)264-=, 选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法①如果n 是偶数，则中间一项(第12n + 项)的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第12n +项与第1(1)2n ++项的二项式系数相等并最大.12．椭圆221mx ny +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点连线斜率为2，则m n=（ ）A．2 B．3 C ．1 D ．2【答案】A【解析】试题分析：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y，可得00OM y k x ==，21211AB y y k x x -==--，由AB 的中点为M ，可得1201202,2x x x y y y +=+=，由,A B 在椭圆上，可得2211222211mx ny mx ny ⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得()()120120220m x x x n y y y -⋅+-⋅=，整理得2m n =，故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，当与弦的斜率及中点有关时，可以利用“点差法”，同时此类问题注意直线方程与圆锥曲线方程联立，运用判别式与韦达定理解决是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题：本题共4小题13．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为_________________.【答案】32π【解析】【分析】先求出截面圆的半径，再算截面面积。
上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末2份数学考试试题
同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为（ ）A ．316B ．34C ．1316D ．142．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%3．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎛⎫=+>∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图像如图所示，其||213AB =，把函数()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则()y g x =的解析式为( )A ．()2sin12g x x π=-B ．2()2sin 123g x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C ．()2sin 123g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2cos3g x x π=4．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) AB ．22CD ．45．在复平面上，复数2ii+对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．过点(,)e e -作曲线x y e x =-的切线，则切线方程为（ ） A ．2(1)y e x e =--+ B ．2(1)y e x e =-- C ．12(1)e e y e x e ++=--D ．1(1)e e y e x e +=--7．定义在{|,1}x x R x ∈≠上的函数()()11f x f x -=-+，当1x >时， ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()()11cos 22g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（35x -≤≤）的所有零点之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．在某项测量中测量结果()2~3,(0)X N σσ>，若X 在(3,6)内取值的概率为0.3，则X 在(0,)+∞内取值的概率为（ ） A ．0.2B ．0.4C ．0.8D ．0.99．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为1102264264230C C C C C +的事件是( ). A ．没有白球 B ．至少有一个白球 C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球10．已知数列{}a n 的前n 项和为n S ，且()*2120n n n a a a n N +++-=∈，若16182024aa a ++=，则35S =（ ） A ．140B ．280C ．70D ．42011．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1 6.5PF =，则2PF 等于（ ）． A ．0.5B ．12.5C ．4或10D ．0.5或12.512．已知i 为虚数单位，则复数21ii-+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四二、填空题：本题共4小题13．求经过点()43-，，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距2倍的直线方程为________. 14．若函数1()sin 22asin 3f x x x x =--在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是_______. 15．过点()3,1P 的直线l 与圆()()22:224C x y -+-=相交于,A B 两点，当弦AB 的长取最小值 时，直线l 的倾倒角等于___________．16．样本中共有5个个体，其值分别为1-，0，1，2，1．则样本方差为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年下海市静安区数学高二下期末联考试题含解析
2020年下海市静安区数学高二下期末联考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =RA ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B 【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知8a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是4与10的等差中项，则a 的值为（ ） A ．12B ．2C ．12±D ．2±【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出8a x ⎫+⎪⎭展开式中的常数项的值，由常数项是4与10的等差中项，求得a 的值 【详解】由题意得88433188rr r rr rr a T C xC a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令8403r-=，解得2r ．又因为4与10的等差中项为7，所以2287C a =，即12a =±，故选C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．3．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ）A ．B ．C ．4D ．5【答案】D根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长． 【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ； ∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +，即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩，解得a ＝3，b ＝4， ∴z ＝3+4i ，∴|z|22345=+=． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 4．已知双曲线，则的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，即可求出。
上海市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷D卷
上海市 2019-2020 学年数学高二下学期理数期末考试试卷 D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018·杭州模拟) 已知 -1随机变量 的分布列如下:01当 增大时（ ）A.增大，增大B.减小，增大C.增大，减小D.减小，减小2. （2 分） 已知，且， i 为虚数单位，则复数A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限在复平面内所对应的点位于（ ）3. （2 分） 已知双曲线 ﹣ =1（b＞0）的离心率等于 b，则该双曲线的焦距为（ ） A.2B.2 C.6 D.8第 1 页 共 13 页4. （ 2 分 ） 设 数 列 （）满足 ,满足，若,且对任意,函数， 则数列 的前 项和 为A.B.C.D. 5. （2 分） (2018·朝阳模拟) 某单位安排甲、乙、丙、丁 名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有 人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为（ ） A. B. C. D.6. （2 分） 设函数 （）在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能为A.第 2 页 共 13 页B.C.D. 7. （2 分） 已知随机变量 的概率分布列如下表所示：56780.40.1且 的数学期望，则（ ）A.B.C.D.8. （2 分） (2018 高二上·沈阳期末) A . 92 B . 576 C . 192 D . 384展开式中 的系数为（ ）第 3 页 共 13 页9. （2 分） (2020 高三上·泸县期末) 已知定义在是偶函数，，则不等式上的可导函数的导函数为的解集为（ ）.，满足A.B.C.D.10. （2 分） (2018 高二上·淮北月考) 抛物线的焦点为 ，准线为 ，是抛物线上的两个动点，且满足 A.2，设线段 的中点 在 上的投影为 ，则的最大值是（ ）B.C. D.111. （2 分） 定义在（0， ）上的函数,是它的导函数，且恒有成立，则（ ）A. B.C.D. 12. （2 分） 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设 aij(i,j )是位于这个三角形数表 中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数，如 a42=8,a54=15,若 aij=2011，则 i 与 j 的和为第 4 页 共 13 页A . 106 B . 107 C . 108 D . 109二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高二下·四川期中) 函数在处的切线方程为________.14. （1 分） (2017·济南模拟) 若（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5 ， 则 a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=________．15. （1 分） (2018 高二下·泰州月考) 气象台统计, 6 月 1 日泰州市下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ,设 为下雨, 为刮风,则________．16. （1 分） (2018·衡阳模拟) 函数 则实数 的值是________．的图象与二次函数的图象恰有两个不同的交点，三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （15 分） 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 ，且过点，点在双曲线上．（1） 求双曲线方程；（2） 求证：；（3） 求△的面积．18. （10 分） (2017 高二下·洛阳期末) 第 35 届牡丹花会期间，我班有 5 名学生参加志愿者服务，服务场所 是王城公园和牡丹公园．第 5 页 共 13 页（1） 若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？（2） 每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设 X，Y 分别表示 5 名学生分配到王城公园和牡丹公园的人 数，记 ξ=|X﹣Y|，求随机变量 ξ 的分布列和数学期望 E（ξ）19. （5 分） (2018·宁德模拟) 已知函数且是的导数．（Ⅰ）求 的值；有最大值，，（Ⅱ）证明：当，时，．20. （10 分） (2020·内江模拟) 某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运 用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高 效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学 生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于 70 分为“成绩优良”.附：（其中）（1） 由以上统计数据填写下面 优良与教学方式有关”？成绩优良列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过甲班乙班第 6 页 共 13 页的前提下认为“成绩 总计成绩不优良 总计 （2） 从甲、乙两班 40 个样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的学生中任意选取 2 人，记来自甲班的人 数为 ，求 的分布列与数学期望.21. （10 分） (2015 高二上·和平期末) 已知抛物线 y2=ax 上一点 M（4，b）到焦点的距离为 6．（1） 求抛物线的方程；（2） 若此抛物线与直线 y=kx﹣2 交于不同的两点 A、B，且 AB 中点的横坐标为 2，求 k 的值．22. （5 分） (2019 高三上·和平月考) 已知函数，为的导数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；（Ⅲ）设 的取值范围.，若对任意，均存在，使得，求实数第 7 页 共 13 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、17-2、17-3、18-1、第 9 页 共 13 页18-2、第 10 页 共 13 页19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)
2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、填空题1. 已知，则________________________ ．2. 若正方体的体对角线长是4，则正方体的体积是______________________________ ．3. 经过抛物线的焦点，且以为方向向量的直线的方程是____________________________ ．4. 在二项式的展开式中，含的项的系数是______________________________ ．（用数字作答）5. 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为．6. 设<a href=""> 分别是双曲线<ahref=""> 的左、右焦点，若点<ahref=""> 在双曲线上，且，则_________________________________ ．7. 若五个人排成一排，则甲乙两人之间仅有一人的概率是____________________________ ．（结果用数值表示）8. 已知，，若直线与射线（为端点）有交点，则实数的取值范围是______________________________________ ．9. 圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为 cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为 ________ ．10. 在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是______________________________ ．11. 在一个水平放置的底面半径为<a href="/"> cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为<a href="/"> cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升<ahref="/"> cm，则<a href="/">___ ____cm ．12. 如图，中，，在三角形内挖去半圆，圆心在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M ，与AC交于点N，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为____________________ ．13. 已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为．若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为_________________________________ ．14. 半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是_________________________________ ．二、选择题15. 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（）A ．_________B ．_________C ．D ．16. 已知直线平面，直线在平面内，给出下列四个命题：① ；② ；③ ；④ ，其中真命题的个数是（）A ．①②____________________________B ．①④____________________________C ．②③______________________________D ．②④17. 方程的图象表示曲线C，则以下命题中甲：曲线C为椭圆 , 则1< t<4 ；乙：若曲线C为双曲线 , 则 t > 4 或 t<1 ；丙：曲线C不可能是圆； ________________________丁：曲线C表示椭圆,且长轴在 x 轴上 , 则．正确的有（）A ． 1个____________________________B ． 2个____________________________C ． 3个____________________________D ． 4个18. 将正整数n表示成k个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n分成k个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为P （ n,k ），则P（ 10,3 ）的值为（）A ． 12______________________________B ． 10_________________________________C ． 8______________________________D ． 6三、解答题19. （本题满分 1 2分）如图，直线平面，为正方形，，求直线与所成角的大小．20. （本题满分 1 4分）本题共有2个小题，第 1 小题满分6分，第 2 小题满分8分．在二项式的展开式中：（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项．21. （本题满分 1 4分）本题共有2个小题，第 1 小题满分6分，第2小题满分8分．已知圆．（1）求过点的圆C的切线的方程；（2）如图，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足求的轨迹．22. （本题满分 1 6分）本题共有3个小题，第 1 小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点．（1）如果的中点为，，求证：平面；（2）如果 , ，求此圆锥的体积；（ 3 ）如果二面角大小为，求的大小．23. （本题满分 1 8分）本题共有3个小题，第 1 小题满分5分，第 2 小题满分8分，第3小题满分5分．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（3）如图：直线与两个“相似椭圆” 和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
上海市2019-2020年度数学高二下学期文数期末考试试卷C卷
17. （1分） (2015高三上·盐城期中) 若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在 处取得极大值，则正数a的取值范围是________
18. （1分） (2018高二上·西城期末) 在 中， ， ， . 以 所在的直线为轴将 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为________.
上海市2019-2020年度数学高二下学期文数期末考试试卷C卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共14题；共28分)
1. （2分） 复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
2. （2分） 将椭圆 按 变换后得到圆 ，则（ ）
日期
月 日
月 日
月 日
月 日
月 日
温差
发芽数(颗)
由表中根据 月 日至 月 的数据，求的线性回归方程 中的 ，则 为________，若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程________.(填“可靠”或“不可幕”)
A . 1
B .
C .
D . 2
14. （2分） (2020高二上·兰州期末) 已知f(x)＝sin x＋cos x＋ ，则 等于（ ）
A . －1＋
B . ＋1
C . 1
D . －1
二、 填空题 (共4题；共5分)
2019—2020学年度高二数学下学期期末考试测试卷(含答案解析)
所以抛物线为
。
设点
，因为
，
所以过点 P 的切线 EF 的方程为
，
。设边缘线 所在的抛
令 ，得
；令 得
所以
的面积为
，
即
，
而
=
由
得，
，
； [来源:学,科,网 Z,X,X,K]
所以 在
上是增函数，在
上是减函数，
所以 S 在
上有最大值
。
三、解答题
17．（1）
（2）1
18．（1）a＝﹣3，b＝﹣9，c＝2；（2）f（x）最小值＝﹣25，f（x）最大值＝2.
恒成立，求实数 a 的取值范围．
21．已知函数
（a＞0）．
（1）讨论函数 f（x）的单调性；
（2）证明：对任意 x∈[1，＋∞），有 f (x) 2x a2 ．
22．已知函数
.
（1）若函数 在
上是增函数，求正数 的取值范围；
（2）当 时，设函数 的图象与 x 轴的交点为 ， ，曲线
分别为 ， ，求证： + <0
16．国务院批准从 2009 年起，将每年 8 月 8 日设置为“全民健身日”，为
响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所．如图，有一个长
方形地块
，边 为 ， 为 ．地块的一角是草坪（图中阴
影部分），其边缘 线 是以直线 为对称轴，以 为顶点的抛物线的一部
分．现要铺设一条过边缘线 上一点 的直线型隔离带 ， ， 分别在
在 ， 两点处的切线斜率
[来源
参考答案
一、选择题 1．C 2．C 3．D 6．B 7．D 8．D 9．D 11. 【详解】
4． C 10．A
上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题
力．
13. 如图，我们知道，圆锥是 Rt△AOP （及其内部）绕 OP 所在的直线旋转一周形成的几何
体.我们现将直角梯形 AOO1A1（及其内部）绕 OO1所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆
台.设 O1的半径为 r ， O 的半径为 R ，
.
OO h
1
Earlybird
晨鸟教育
1 Rr
V
（1）求证：圆台的体积
（1）求证： BD PC ； （2）若二面角 P BD C 的平面角为 60 ，求 PC 与平面 BCD 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） 60 ．
【解析】
Earlybird
晨鸟教育
【分析】
（1）结合菱形的性质和线面垂直的判定定理可证得 BD 面 PEC ，再由线面垂直的性质定
理即可得证；
ABCD 为菱形，
BD PE BD CE
，
，
CE
PEC PE CE
PE 、
面
，且
又 PC 面 PEC ， BD PC ．
E BD
，
PEC
面
，
（2）过点 P 作 PO EC 于 O ，
由（1）可知， PO BD ， PO 面 BCD，即点 P 在面 BCD 上的投影为点 O ，
PC BCD
PCE
为直线 与面
AOB 所
以
，
3
1=
所以 A 、 B 两点的球面距离为
，
33
故答案为： 3
【点睛】此题考查球的有关知识，考查弧长公式，属于基础题.
6. 在 3 名男生和 4 名女生中选出 3 人，男女生都有的选法有______种.
Earlybird
下海市静安区2020年高二(下)数学期末调研试题含解析
下海市静安区2020年高二(下)数学期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．下面命题正确的有（ ）①a ，b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个复数不能比较大小；③若12,z z ∈C ，且22120z z +=，则120z z ==. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】【分析】 对于①③找出反例即可判断，根据复数的性质可判断②．【详解】①若0a b ==，则()()a b a b i -++是0，为实数，即①错误；②复数分为实数和虚数，而任意实数都可以比较大小，虚数是不可以比较大小的，即②错误；③若11z i =-，21z i =+，则2212220z z i i +=-+=，但12z z ≠，即③错误； 故选：A【点睛】本题主要考查了复数的概念与性质，属于基础题．2．复数7413i z i=+－在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的运算法则化简，再利用复数的几何意义即可求出．【详解】74(74)(13)5251513(13)(13)1022i i i i z i i i i ---====--++-－－，所以在复平面内，复数7413i z i=+－对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限，故选C ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的几何意义．3．复数2(1)1i z i+=-的共轭复数所对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】 通过化简2(1)1i z i+=-，于是可得共轭复数，判断在第几象限即得答案. 【详解】 根据题意得2(1)2111i i z i i i+===-+--，所以共轭复数为1i --，对应的点为 ()1,1--，故在第三象限，答案为C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度不大.4．已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极值10，则(2)f 等于( )A ．1B ．2C ．—2D ．—1【答案】B【解析】 ()32f x x ax bx Q =++，()2'32f x x ax b ∴=++，Q 函数()32f x x ax bx =++ 在1x =处有极值为10，320110a b a b ++=⎧∴⎨++=⎩，解得1221a b =-⎧⎨=⎩． 经检验知，12,?21a b =-=符合题意． ()321221f x x x x ∴=-+，()32221222122f ∴=-⨯+⨯=．选B ．点睛：由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，故在求出导函数的零点后还要判断在该零点两侧导函数的值的符号是否发生变化，然后才能作出判断．同样在已知函数的极值点0x 求参数的值时，根据0()0f x '=求得参数的值后应要进行检验，判断所求参数是否符合题意，最终作出取舍．5．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m nB ．若,m αβα⊥⊥，则//m βC ．若,m n αβ⊥⊥，αβ⊥，则m n ⊥D ．若//,m n αβ⊥，且αβ⊥，则//m n【答案】C【解析】分析：对选项逐一分析即可.详解：对于A ，//,//m n αβ，且//αβ，则m 与n 位置关系不确定，可能相交、平行或者异面，故A 错误；对于B ，,m αβα⊥⊥，则有可能//m β，有可能m α⊂，故B 错误；对于C ，,m n αβ⊥⊥，αβ⊥，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线'n 与β垂直，又n β⊥，得到//n n '，又m α⊥，得到m n ⊥'，m n ∴⊥，故C 正确；对于D ，//,m n αβ⊥，且αβ⊥，则m 与n 位置关系不确定，可能相交、平行或者异面，故D 错误. 故选C.点睛：本题考查线线平行、线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力，要求熟练相应的判定定理和性质定理.6．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为63，98，则输出的a =（ ）A ．9B ．3C ．7D ．14【答案】C【解析】由63,98a b ==，不满足a b >，则b 变为986335-=，由b a <，则a 变为633528-=，由a b <，则35287b =-=，由b a <，则28721b =-=，由b a <，则21714b =-=，由b a <，则1477b =-=，由7a b ==，退出循环，则输出a 的值为7，故选C.7．某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（ ）A ．35B ．310C ．12D ．25【答案】C【解析】【分析】设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =，()3235410P AB =⨯=，由此利用条件概率计算公式能求出在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率.【详解】设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =，()3235410P AB =⨯=， 则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率()()()3110325P AB P B A P A ===. 故选：C【点睛】本题考查了条件概率的求法、解题的关键是理解题干，并能分析出问题，属于基础题.8．已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0,OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v 则正三棱锥的体积为() A．4 B ．34 C．2 D．4【答案】A【解析】【分析】根据0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v判断出O 为等边三角形ABC 的中心，由此求得正三棱锥的底面积和高，进而求得正三棱锥的体积.【详解】由于三棱锥是正三棱锥，顶点P 在底面的射影是底面中心.由0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v可知，O 为等边三角形ABC 的中心，由于正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，故由正弦定理得π2sin3AB BC AC ===⨯=2113⨯=.所以本小题选A. 【点睛】本小题主要考查正三棱锥的几何性质，考查向量加法运算，考查几何体外接球有关问题的求解，属于中档题.9．在Rt△ABC 中，AC=1，BC=x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．2]C ．D ．（2，4] 【答案】A【解析】【分析】由AD CD BD BC x ====，取BC 的中点E ，翻折前，连接,DE CD ，则12DE =，12AC =，翻折后，在图2中，此时,,CB AD BC AE DE BC ⊥⊥⊥，及1AB AC ==，进而得到2AE AD ==，由此可求解x 得取值范围，得到答案. 【详解】由题意得AD CD BD BC x ====， 取BC 的中点E ，翻折前，在图1中，连接,DE CD ，则11,22DE AC ==， 翻折后，在图2中，此时CB AD ⊥，因为,BC DE BC AD ⊥⊥，所以BC ⊥平面ADE ，所以,BC AE DE BC ⊥⊥，又,BC AE E ⊥为BC 的中点，所以1AB AC ==，所以2AE AD ==，在ADE ∆12+>12>0x >，由①②③，可得0x <<如图3，翻折后，当1B CD ∆与ACD ∆在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且111,,AD B C AD B D CD BD CBD BCD B CD ⊥===∠=∠=∠，又190CBD BCD B CD ∠+∠+∠=o，所以130CBD BCD B CD ∠=∠=∠=o ，所以60,tan 60A BC AC ∠==o o ，此时133x =⨯=，综上可得x 的取值范围是(0,3]，故选A.【点睛】本题主要考查了平面图形的翻折问题，以及空间几何体的结构特征的应用，其中解答中认真审题，合理利用折叠前后图形的线面位置关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 10．设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则（ ）A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<【答案】A【解析】【分析】 根据条件01a b <<<，令11,32a b ==，代入,x y 中并取相同的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小. 【详解】因为01a b <<<令11,32a b == 则1213b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1312a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭=12log log 13b a z ==将式子变形可得6132111 3327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<<所以x y<由对数函数的图像与性质可知112211log log132>=综上可得x y z<<故选：A.【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 11．读下面的程序：上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为()A．6 B．720 C．120 D．5040【答案】B【解析】【分析】执行程序，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解输出的结果，得到答案.【详解】由题意，执行程序，可得：第1次循环：满足判断条件，1,2S i==；第2次循环：满足判断条件，2,3S i==；第3次循环：满足判断条件，6,4S i==；第4次循环：满足判断条件，24,5S i==；第5次循环：满足判断条件，120,6S i==；第6次循环：满足判断条件，720,7S i ==；不满足判断条件，终止循环，输出720S =，故选B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．已知5x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ） A ．3B ．1C ．6-D ．6【答案】D【解析】【分析】 根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第1r +项，整理成最简形式，令x 的指数为32，求得r ，再代入系数求出结果．【详解】二项展开式通项为()5252155rr r r r r r T C x C a x x --+=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令52322r -=，得1r =， 由题意得15530C a a ⋅==，解得6a =.故选：D.【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．【答案】乙【解析】【分析】先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的然后再逐个去判断其他三个人的说法最后看是否满足题意，不满足排除．【详解】解：先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的，丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意．故答案为：乙．【点睛】本题考查了合情推理的应用，属于中档题．14．将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录()k k n ≤个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个“k 阶色序”对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的“k 阶色序”.若某圆的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”.“4阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为__________．【答案】1【解析】分析：由题意可得，“4阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“4阶色序”共有2×2 ×2×2=1种，从两个方面进行了论证，即可得到答案．详解：“4阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“4阶色序”共有2×2×2×2=1种， 一方面，n 个点可以构成n 个“4阶色序”，故“4阶魅力圆”中的等分点的个数不多于1个； 另一方面，若n=1，则必需包含全部共1个“4阶色序”，不妨从（红，红，红，红）开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，红，蓝，蓝，蓝，蓝，红，蓝，蓝，红，红，蓝，红，蓝”符合条件．故“4阶魅力圆”中最多可有1个等分点．故答案为：1．点睛：本题主要考查合情推理的问题，解题的关键分清题目所包含的条件，读懂已知条件.15．正方体1111ABCD A B C D －中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则直线1CD 与平面11AC FE 所成角的正弦值为______. 【答案】26. 【解析】【分析】设正方体1111ABCD A B C D 的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，计算出平面11AC FE 的一个法向量n r，利用空间向量法计算出直线1CD 与平面11AC FE 所成角的正弦值.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如下图所示空间直角坐标系.则点()1,0,0E 、()2,1,0F 、()2,2,0C 、()10,0,2A 、()12,2,2C 、()10,2,2D ，设平面11AC FE 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则()112,2,0AC =uuu u r ，()11,0,2A E =-uuu r . 由11100n A C n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u v v ，即22020x y x z +=⎧⎨-=⎩，得2y x x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令2x =，则2y =-，1z =. 可知平面11AC FE 的一个法向量为()2,2,1n =-r ，又()12,0,2CD =-uuu r .1112cos ,6322n CD n CD n CD ⋅===-⨯⋅r uuu r r uuu r r uuu r ， 因此，直线1CD 与平面11AC FE 所成角的正弦值为26，故答案为26. 【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题利用空间向量法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.16．已知，将按从小到大的顺序用不等号“”连接为__________． 【答案】【解析】【分析】将分别判断与0,1的大小关系得到答案.【详解】故答案为【点睛】本题考查了数值的大小比较，0，1分界是一个常用的方法. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．在ABC △中，己知123tan ,cos(),55C A B A B =-=> （1）求sin()A B +的值； （2）求cos2A 的值. 【答案】 (1) 1213;(2) 6365- 【解析】 【分析】（1）通过12tan 5C =，可计算出C 角正弦及余弦值，于是通过诱导公式可得答案； （2）通过3cos()5A B -=，可得4sin()5A B -=，再利用()()cos 2cos A A B A B ⎡⎤=++-⎣⎦可得答案.【详解】(1) 在ABC △中, 由于12tan 5C =，故22sin 12cos 5sin cos 1C C C C ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ，解得12sin 135cos 13C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()12sin()sin sin 13A B C C π+=-==； （2）由（1）可知()5cos()cos cos 13A B C C π+=-=-=-，而3cos(),5A B A B -=>，所以4sin()5A B -=，所以 ()()()()()()63cos 2cos cos cos sin sin 65A AB A B A B A B A B A B ⎡⎤=++-=+⋅--+⋅-=-⎣⎦. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，诱导公式的运用，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力，难度不大.18．已知PA ⊥菱形ABCD 所在平面，2PA AB =，G 为线段PC 的中点, E 为线段PD 上一点，且2PEED=．（1）求证： //BG 平面AEC ；（2）若2,60AB ADC =∠=o ，求二面角G AE C --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）5． 【解析】分析：（1）取PE 的中点F ，连接,GF BF ，得//GF CE ，由线面平行的判定定理得//GF 平面AEC ，连接BD 交AC 与点O ,连接OE ，得//BF OE ，进而得//BF 平面AEC ，再由面面平行的判定，得平面//BGF 平面AEC ，进而得到//BG 平面AEC ．（2）建立空间直角坐标系O xyz -，求解平面AEC 和平面AEG 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．详解：（1）证明：取PE 的中点F ，连接,GF BF∵G 为PC 的中点，∴//GF CE∴//GF 平面AEC ．……………………2分 连接BD 交AC 与点O ,连接OE ∵E 为DF 的中点， ∴//BF OE∴//BF 平面AEC ……………………4分 ∵BF GF F ⋂=∴平面//BGF 平面AEC 又BG平面BGF∴//BG 平面AEC ．…………6分 （2）如图，建立空间直角坐标系O xyz - 则()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0,O A C -(()123221,0,22,3,0,,,333P D E ⎛-- ⎝⎭()0,0,2G∴()(22322,,2,0,0,2333AE AC AG ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v………7分 设平面AEC 的法向量为()1111,,n x y z =r则11n AE n AC u u u v r u u u v r ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，111122322033320x y z x ⎧++=⎪∴⎨⎪=⎩即111032x z y =⎧⎪⎨=⎪⎩不放设12y =得(12,3n =-r……………………8分 设平面AEG 的法向量为()2222,,n x y z r=则22n AE n AG ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u v r u u u v r ，2222222322033320x y z x z ⎧++=⎪∴⎨⎪+=⎩即22220x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 不放设21z =得()12,0,1n =-r……………………10分12121235cos ,2321n n n n n n r r r rr r ⋅-∴===++则二面角G AE C --的余弦值为5分 点睛：本题考查了立体几何中的直线与平面，平面与平面平行的判定及应用，以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 19．在复平面内，复数222(34)z a a a a i =--+-- （其中a R ∈）. （1）若复数z 为实数，求a 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求a 的值；（3）对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1a =-或4；（2）2a =；（3）()2,4 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果 【详解】（1）因为复数z 为实数，所以2340a a --=， 所以1a =-或4；（2）因为复数z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，所以2a =（3）因为z 对应的点在第四象限，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--<⎩解不等式组得，24a <<， 即a 的取值范围是()2,4. 【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 20．某校20位同学的数学与英语成绩如下表所示：英语成绩78849792939792957487将这20位同学的两科成绩绘制成散点图如下：（1）根据该校以往的经验，数学成绩x与英语成绩y线性相关.已知这20名学生的数学平均成绩为88.65，英语平均成绩为91.考试结束后学校经过调查发现学号为7的A同学与学号为8的B同学（分别对应散点图中的A、B）在英语考试中作弊，故将两位同学的两科成绩取消，取消两位作弊同学的两科成绩后，求其余同学的数学成绩与英语成绩的平均数；（2）取消两位作弊同学的两科成绩后，求数学成绩x与英语成绩y的线性回归方程y bx a=+$$$，并据此估计本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊的英语成绩（结果保留整数）.附：20位同学的两科成绩的参考数据：201161850i iix y==∑，2021158545iix==∑.参考公式：20120221i iiiix y nx ybx nx==-⋅=-∑∑$，$$a y bx=-$.【答案】（1）其余学生的数学平均分、英语平均分都为90分；（2）数学成绩x与英语成绩y的线性回归方程$0.7522.5y x=+，本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊，他的英语成绩估计为77分.【解析】【分析】（1）利用平均数的公式求出这20名学生的数学成绩之和以及英语成绩之和，再减去7、8号学生的数学成绩和英语成绩，计算其余18名学生的数学成绩平均分和英语成绩的平均分；（2）设取消的两位同学的两科成绩分别为()1919,x y、()2020,x y，根据题中数据计算出181i iix y=∑和1821iix=∑，并代入最小二乘法公共计算出回归系数b$和$a，可得出回归方程，再将8号学生的数学成绩72x=代入回归直线方程可得出其英语成绩.【详解】（1）由题20名学生的数学成绩之和为88.65201773⨯=，英语成绩之和为91201820⨯=， 取消两位作弊同学的两科成绩后，其余18名学生的数学成绩之和177381721620--=， 其余18名学生的英语成绩之和为18201001001620--=.∴其余18名学生的数学平均分x ，英语平均分y 都为16209018=； （2）不妨设取消的两位同学的两科成绩分别为()1919,x y 、()2020,x y ， 由题182011811007210016185081007200146550i ii ii i x y x y ===-⨯-⨯=--=∑∑，1820222211817215854565615184146800ii i i xx ===---=-=∑∑，18118221181465501890907500.75146800189090100018i ii i t x y x yb x x==-⋅-⨯⨯====-⨯⨯-∑∑$，$$900.759022.5a y bx=-=-⨯=$， ∴数学成绩x 与英语成绩y 的线性回归方程$0.7522.5y x =+.代入学号为8的同学数学成绩72x = 得$0.757222.576.577y =⨯+=≈，∴本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊，他的英语成绩估计为77分.【点睛】本题考查平均数的计算，同时也考查了回归直线方程的求解，解题的关键就是理解最小二乘法公式，考查计算能力，属于中等题.21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，,AD BC >090BAD ∠=，PA ⊥底面,,ABCD PA AB =点E 是PB 的中点．(Ⅰ)证明：PC AE ⊥；(Ⅱ)若1,3,AB AD ==且PA 与平面PCD 所成角的大小为045，求二面角A PD C --的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【解析】 【分析】（I ）根据已知条件得到BC PA ⊥，BC AB ⊥，由此证得BC ⊥平面PAB .从而证得AE BC ⊥,结合AE PB ⊥，证得AE ⊥平面PBC ，进而证得AE PC ⊥.（II ）作出PA 与平面PCD 所成的角，通过线面角的大小计算出有关的边长，作出二面角A PD C --的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥． 又由ABCD 是梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，知BC AB ⊥，而AB AP A =I ，AB Ì平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ． 因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．又PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．因为PB BC B ⋂=，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ． 因为PC ⊂平面PBC ，所以AE PC ⊥．（Ⅱ）解：如图所示，过A 作AF CD ⊥于F ，连接PF ， 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥， 则CD ⊥平面PAF ，于是平面PAF ⊥平面PCD ，它们的交线是PF ． 过A 作AG PF ⊥于G ，则AG ⊥平面PCD ， 即PA 在平面PCD 上的射影是PG ，所以PA 与平面PCD 所成的角是APF ∠．由题意，45APF ∠=︒． 在直角三角形APF 中，1PA AF ==，于是AG PG FG ===． 在直角三角形ADF中，AD =，所以DF ．过G 作GH PD ⊥于H ，连接AH ，由三垂线定理，得AH PD ⊥，所以AHG ∠为二面角A PD C --的平面角， 在直角三角形APD中，2PD =，PA AD AH PD ⋅===． 在直角三角形AGH中，sin AG AHG AH ∠===， 所以二面角A PD C --【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查线面角的应用，考查面面角的求法，属于中档题.22． [选修4-5：不等式选讲] 已知函数()13f x x x =-++． (1)解不等式：()8f x ≤；(2)对任意x ∈R ，2()3f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】 (1){}|53x x -≤≤;(2)[1,4]-. 【解析】分析：（1）解法一：写出分段函数()f x 的解析式，讨论x 的范围，求出分段函数不同自变量范围的不等式的解，再求这些解的并集即可.解法二：写出分段函数()f x 的解析式，绘制函数图象,计算函数()y f x =与8y =的交点坐标，根据函数图象确定不等式的解.解法三：根据绝对值在数轴上的几何意义，确定不等式的解.（2）将()23f x a a ≥-恒成立问题转化成2min 3()a a f x -≤问题，确定min ()f x 后，解关于a 的一元二次不等式，即可求出实数a 的取值范围． 解法一：根据三角不等式，确定函数最小值 解法二：根据函数图象，确定函数最小值.详解：（1）解法一：()22,34,3122,1x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩当3x <-时，228x --≤，解得：53x -≤<-； 当31x -≤≤时，48≤，解得：31x -≤≤； 当1x >时，228x +≤，解得：13x <≤，所以不等式()8f x <的解集为{}|53x x -≤≤； （1）解法二：()22,34,3122,1x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩令()8g x =，两个函数的图象如图所示：由图像可知，两函数图象的交点为()5,8-和()3,8，所以不等式()()f x g x ≤即()8f x ≤的解集为{}|53x x -≤≤（注：如果作出函数()8y f x =-的图象，写出0y ≤的解集，可参照解法2的标准给分）解法三：如图，设数轴上与3,1-对应的点分别是,A B ，那么,A B 两点的距离是4，因此区间[]3,1-上的数都是原不等式的解．先在数轴上找出与点,A B 的距离之和为8的点，将点A 向左移动2个单位到点1A ，这时有118A A A B +=, 同理，将点B 向右移动2个单位到点1B ，这时也有118B A B B +=,从数轴上可以看到，点1A 与1B 之间的任何点到点,A B 的距离之和都小于8, 点1A 的左边或点1B 的右边的任何点到点,A B 的距离之和都大于8， 所以，原不等式的解集是{}|53x x -≤≤（2）解法一：()13134f x x x x x =-++≥---=Q ， 当31x -≤≤时“=”成立，又Q 任意x R ∈，()23f x a a ≥-恒成立，∴234a a -≤，即2340a a --≤， 解得：14a -≤≤， ∴a 的取值范围为[]1,4-.解法二：()22,34,3122,1x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩作函数()f x 的图象如图：由图象可知，函数()f x 的最小值为4，（注：如果第（1）问用解法2，可直接由（1）得最小值为4，不必重复说明） 又Q 任意x R ∈，()23f x a a ≥-恒成立，∴234a a -≤， 即2340a a --≤， 解得：14a -≤≤， ∴a 的取值范围为[]1,4-.点睛：本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法. 函绝对值的不等式的解法：（1）定义法；即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()f x g x <）； （4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理．()0x a a a x a <>⇔-<< ()0x a a x a x a >>⇔><-或 ()0ax b c c c ax b c +<>⇔-<+< ()0ax b c c ax b c ax b c +>>⇔+>+<-或 ()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<< ()()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><或 ()()()()0a f x b b a a f x b b f x a <<>>⇔<<-<<-或。