服从Г-分布的随机变量函数的分布
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概率论-随机变量的分布函数
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机 变量X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(４)是鉴别 一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要 条件.
连续型随机变量及其概率密度函数
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续 型
不 能 确 定 { X a } 是 不 可 能 事 件
连续型随机变量及其概率密度函数
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续 型
不 能 确 定 { X a } 是 不 可 能 事 件
§3.5 随机变量函数的分布
( ii ) 若Y = X 2 , 则有 1 fY ( y ) = [ f X ( y ) + f X ( − y )], y ∈ R(Y ). 2 y 这里a , b为常数 且a ≠ 0, R(Y )为Y的值域 .
证明 由于 R(Y ) = [0,+∞ ), 取 y ≥ 0, 有
FY ( y ) = P ( X ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤
2 2 ∑ ci X i ~ N ( ∑ ci µi , ∑ ci σ i ). n i =1 n i =1 n i =1
其中, 为常数. 其中 c1 , c2 ,⋯, cn为常数
3.5.2 二维随机变量函数的分布 一、一般方法 是二维连续型随机变量,其联合密 设 ( X ,Y )是二维连续型随机变量 其联合密 的函数, 度为 f ( x , y ).又设Z = g( X ,Y ) 是 ( X ,Y ) 的函数 又设 类似于一维,求 的密度的一般方法为 的密度的一般方法为: 类似于一维 求Z的密度的一般方法为 (i)确定 的值域 R(Z )； 确定Z的值域 确定 (ii)对任意 z ∈ R(Z )， 对任意 求出Z的分布函数 的分布函数； 求出 的分布函数；
f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( x , z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( z − y , y )dy .
+∞ +∞
当 X与Y 独立时 则 与 独立时,则
f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( x ) fY ( z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( z − y ) fY ( y )dy .
−1 −1
用上述定理求例3.5.1中Y的密度函数 例3.5.3 用上述定理求例 中 的密度函数
2.随机变量的分布函数、连续型
4 2 4 0, x 0,
故X的分布函数为
1 , 0 x 1,
F(x)
4 3 ,
1 x 2,
4
F(x)
1, 2 x.
1
O
0O
1
O
它是一条阶梯形曲线，
2
x
设离散型随机变量X 的分布律为
P( X xi ) pi , i 1,2, ,
则离散型随机变量X的分布函数
F( x) P( X x) P( X xi )
a, 2
得a 2
于是X的密度函数为 2e2 x ,
f (x) 0,
x0 x0
P( X 1) 2e2xdx e2 . 1
3、正态分布 如果连续型随机变量X的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e
2 2
,xR
2
那么称随机变量X服从参数为， 2的正态分布，
～ 记为X N（， 2）, R, 0.
本节我们来研究一维随机变量取值的统计规律性。 为此先考虑下面的例子。
例1 设随机变量X在区间[0，1]上取值，当0 a 1
时，概率P（0 X a）与a2成正比例。
试求X的分布函数F（x）
解：X的分布函数为：
y
0
F
(
x)
x2
1
x0 0 x1
1 x
1 o1x
由此例我们看到，F ( x)处处连续，并且其
2
2
x, (3)
x 1 1 x F (xx).1
1
（3） 当x 1时, F( x)
x
f (t)dt
x
0dt 0
当 1 x 1时, F( x)
x f (t )dt
随机变量函数的分布
G
4 若f (x，y)在点(x，y)处连续，则
医药数理统计方法
5 F ( x , y ) P{ X x , Y y }
F ( x, y) f ( x , y ). xy x y
2
f ( x, y )dxdy,
二维连续型随机向量的联合分布函数
FX ( x ) F ( x, ) P{ X x, Y } [
X
1 9 2 9 1 9
4 9
2 9 2 9
0
4 9
1 9
0 0
1 9
4 9 4 9 1 9
1
的 边 缘 概 率 分 布 率
医药数理统计方法
（三）二维连续型随机变量 对于二维随机变量 ( X，Y ) 分布函数 F (x , y )，如
果存在非负函数 f (x , y )，使得对于二维矩形：
D {( x, y ) : a x b, c y d }有
• 二项分布
定义3-12 若随机变量 X 的分布率为
k P{ X k} Cn p k q n k ,
医药数理统计方法
k 0,1,2,..., n
则称 X 服从二项分布,记为 X ~ B(n, p) 。
两点分布的分布列
X P
0
qn
1
1 Cn pqn 1
… …
k
k Cn p k q n k
x
Y的边缘分布函数
医药数理统计方法
（二） 二维离散型随机变量
若二维随机变量 X， Y 的取值是有限个或可列 无穷
个，则称 X， Y 为二维离散型随机变量 ．
X 设 X， Y 二维离散型随机变量， 的取值为
4 若f (x，y)在点(x，y)处连续，则
医药数理统计方法
5 F ( x , y ) P{ X x , Y y }
F ( x, y) f ( x , y ). xy x y
2
f ( x, y )dxdy,
二维连续型随机向量的联合分布函数
FX ( x ) F ( x, ) P{ X x, Y } [
X
1 9 2 9 1 9
4 9
2 9 2 9
0
4 9
1 9
0 0
1 9
4 9 4 9 1 9
1
的 边 缘 概 率 分 布 率
医药数理统计方法
（三）二维连续型随机变量 对于二维随机变量 ( X，Y ) 分布函数 F (x , y )，如
果存在非负函数 f (x , y )，使得对于二维矩形：
D {( x, y ) : a x b, c y d }有
• 二项分布
定义3-12 若随机变量 X 的分布率为
k P{ X k} Cn p k q n k ,
医药数理统计方法
k 0,1,2,..., n
则称 X 服从二项分布,记为 X ~ B(n, p) 。
两点分布的分布列
X P
0
qn
1
1 Cn pqn 1
… …
k
k Cn p k q n k
x
Y的边缘分布函数
医药数理统计方法
（二） 二维离散型随机变量
若二维随机变量 X， Y 的取值是有限个或可列 无穷
个，则称 X， Y 为二维离散型随机变量 ．
X 设 X， Y 二维离散型随机变量， 的取值为
gamma分布性质
gamma分布性质
gamma分布如下：
所谓的伽玛分布是统计学的一种连续概率函数（具体形状可参考图）。
Gamma分布中的参数α称为形状参数，β称为尺度参数。
当两随机变量服从Gamma分布，且单位时间内频率相同时，其中α>0,β>0,则称随机变量X服从参数α，β的伽马分布，记作G(α,β)。
gamma分布的性质：
α=n，Γ(n,β)就是Erlang分布。
Erlang分布常用于可靠性理论和排队论中 ,如一个复杂系统中从第 1 次故障到恰好再出现 n 次故障所需的时间;从某一艘船到达港口直到恰好有n 只船到达所需的时间都服从 Erlang分布。
当α= 1 , β = 1/λ时，Γ(1,λ) 就是参数为λ的指数分布,记为exp (λ)。
随机变量函数的分布
则 Y = g (X) 的概率分布为
P Y yk
g ( xi ) y
pi ,(k
1, 2,)
k
5
*例2.25 假设未来一段时间内来到某大型超 市的顾客数Ｘ服从泊松分布 P ，而每位顾客 购买某种商品的概率为 p ，求购买该种商品的 顾客数Ｙ的分布列． 解 Y的所有可能取值为0，1，2，…．对于 固定的 k 0,1, 2, , 事件 X k , X k 1 , , 是事件 Y k 发生的全部的不同“原 因”， 因此由全概率公式，
y2 P X 3
y2 3
f X x dx ,
y 2 y 2 1 y 2 fY y FY y f X 3 3 f X 3 3
10
1 , 1 x 1, 注意到 f X x 2 0, 其它
yb a 2 2
2
1 2 a
e
y a b 2 a 2 2
2
, y R.
类似地可得，当a<0时，上述结论仍然成立．
X ~ N , 2 , a , b R , 且a 0, 性质2.6 若 则aX b ~ N a b, a 2 2 .
6
P Y k P X i P Y k X i
ik
ik
i
i!
e
C p 1 p
k i k
ik
ik
i
i!
e
k
i! ik k p 1 p k ! i k !
P Y yk
g ( xi ) y
pi ,(k
1, 2,)
k
5
*例2.25 假设未来一段时间内来到某大型超 市的顾客数Ｘ服从泊松分布 P ，而每位顾客 购买某种商品的概率为 p ，求购买该种商品的 顾客数Ｙ的分布列． 解 Y的所有可能取值为0，1，2，…．对于 固定的 k 0,1, 2, , 事件 X k , X k 1 , , 是事件 Y k 发生的全部的不同“原 因”， 因此由全概率公式，
y2 P X 3
y2 3
f X x dx ,
y 2 y 2 1 y 2 fY y FY y f X 3 3 f X 3 3
10
1 , 1 x 1, 注意到 f X x 2 0, 其它
yb a 2 2
2
1 2 a
e
y a b 2 a 2 2
2
, y R.
类似地可得，当a<0时，上述结论仍然成立．
X ~ N , 2 , a , b R , 且a 0, 性质2.6 若 则aX b ~ N a b, a 2 2 .
6
P Y k P X i P Y k X i
ik
ik
i
i!
e
C p 1 p
k i k
ik
ik
i
i!
e
k
i! ik k p 1 p k ! i k !
随机变量函数的分布
,
0,
0 ey/2 1 其它
得
fY
(
y)
1 2
e
y
/
2
,
y0
0,
其它
即Y服从参数为1/2的指数分布.
例9
设随机变量 X ~ N ， 2 ，Y eX，试求随机变量
Y 的密度函数 fY y．
解: 由题设，知 X 的密度函数为
f x
1
x2
e 2 2
x
2
因为函数 y ex 是严格增加的，它的反函数为
0,
其它.
整理得 Y =2X +8 的概率密度为：
fY
(
y
)
y8 32
,
8 y 16,
0,
其它.
解题思路总结
核心思想：{Y y}等价于{X ?}
解题过程：
⑴．先求Y g X 的分布函数
FY y PY y P g X y fX ( x)dx g( x) y
⑵．利用Y g X 的分布函数与密度函数之间的关系 求Y g X 的密度函数 fY y FY y
一、 离散型随机变量函数的概率分布
当X为离散型随机变量时， Y g X 也是离散型
随机变量。并且在 X 的分布列已知的情况下，求Y的
分布列是容易的。
X 1 0 1 2 3
例1 已知X的分布列为
Pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
求 Y X 1 Y X2
的分布列。
解 由Y 的分布列可列出
面积Y小于 等价于半径X<1/2
0
1
即事件｛面积Y 1 ｝等价于事件｛半径X 1｝
4
2
所以 P{Y } P{ X 1} 1
正态分布及随机变量函数的分布
概率预测
在概率论中，大数定律可以帮助我们预测某一事件发生的概率，例如在赌博游戏中，大数定律可以帮助我们预测 长期赌博的胜率。
THANKS
感谢您的观看
证明过程
需要用到概率论和数理统计中的一些高级概念，如大数定律 、特征函数等。
中心极限定理的应用
01
在统计学中，中心极限定理是 用来推导各种统计量的分布的 重要依据，如样本均值、样本 中位数、样本方差等。
02
在金融领域，中心极限定理用 于分析股票价格波动、收益率 分布等问题。
03
在生物学和医学研究中，中心 极限定理用于研究遗传学、流 行病学等领域的数据分析。
在科学研究领域，实验数 据的统计分析也常常用到 正态分布。
Part
02
随机变量
随机变量的定义
STEP 01
随机变量
STEP 02
离散随机变量
在随机试验中，每一个样 本点用一个实数来表示， 这个实数称为随机变量。
STEP 03
连续随机变量
如果随机试验的结果不能 一一列出，则称这种随机 变量为连续随机变量。
数学表述
设随机变量 X1,X2,...,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，当 n 充分大时，样本均值 X_bar 的分布近似服 从均值为 μX ，标准差为 σX / sqrt(n) 的正态分布。
中心极限定理的证明
证明方法
数学证明通常采用级数收敛的方法，通过将样本均值表示为 无穷级数，并证明这个级数在概率上收敛于正态分布。
正态分布的性质
集中性
正态分布曲线是关于均值 μ对称的，大多数数据值 集中在均值μ附近。
均匀性
随着数据值远离均值μ， 数据值出现的概率逐渐减 小，且速度逐渐减慢。
在概率论中，大数定律可以帮助我们预测某一事件发生的概率，例如在赌博游戏中，大数定律可以帮助我们预测 长期赌博的胜率。
THANKS
感谢您的观看
证明过程
需要用到概率论和数理统计中的一些高级概念，如大数定律 、特征函数等。
中心极限定理的应用
01
在统计学中，中心极限定理是 用来推导各种统计量的分布的 重要依据，如样本均值、样本 中位数、样本方差等。
02
在金融领域，中心极限定理用 于分析股票价格波动、收益率 分布等问题。
03
在生物学和医学研究中，中心 极限定理用于研究遗传学、流 行病学等领域的数据分析。
在科学研究领域，实验数 据的统计分析也常常用到 正态分布。
Part
02
随机变量
随机变量的定义
STEP 01
随机变量
STEP 02
离散随机变量
在随机试验中，每一个样 本点用一个实数来表示， 这个实数称为随机变量。
STEP 03
连续随机变量
如果随机试验的结果不能 一一列出，则称这种随机 变量为连续随机变量。
数学表述
设随机变量 X1,X2,...,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，当 n 充分大时，样本均值 X_bar 的分布近似服 从均值为 μX ，标准差为 σX / sqrt(n) 的正态分布。
中心极限定理的证明
证明方法
数学证明通常采用级数收敛的方法，通过将样本均值表示为 无穷级数，并证明这个级数在概率上收敛于正态分布。
正态分布的性质
集中性
正态分布曲线是关于均值 μ对称的，大多数数据值 集中在均值μ附近。
均匀性
随着数据值远离均值μ， 数据值出现的概率逐渐减 小，且速度逐渐减慢。
《概率论与数理统计》第四节随机变量函数的分布
y，
(ln
y)
1， y
故Y的概率密度为：
fY
(
y)
1 2y
,
1
y e2,
0, 其它.
求连续型随机变量函数分布律的方法：
(2) 设y g( x)在区间I（k k 1,2,, s)上严格单调，且反函数分别
为x
hk (
y)，则Y
g( X )的概率密度为： s
fY ( y) f X [hk ( y)] h'k ( y) .
P(Z 1) P( X 1) P( X 1) 0.2 0.1 0.3，
P(Z 4) P( X 2) 0.3，P(Z 9) P( X 3) 0.3，
因此Z的分布律为：
Z P
0 0.1
1 0.3
4 0.3
9 0.3
.
从例1看到，根据X的分布确定Y g( X )分布，只需用“事件相 同，概率相等”的思想处理. 一般地有，
h'(
y)
,
y ，
其它.
其中 min{ g(), g()}， max{g(), g()}.
一、分布函数
1. 分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数 x，事件{X x}的
概率P( X x)称为随机变量X的分布函数，记作F( x)，即
F( x) P( X x).
2. 分布函数的性质：
P( X k) k e，k 0，1，2,， 0， 则称X服从泊松分布，记k为! ：X～ ( ).
4. 几何分布: 若随机变量X所有可能取值为1, 2, , 且分布律为:
P( X k) pqk1, k 1, 2,, 0 p 1, q 1 p,
则称X服从几何分布，记为：X～G( p).
随机变量的函数分布例题和知识点总结
随机变量的函数分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的函数分布是一个重要的概念。
理解和掌握这一概念对于解决许多实际问题以及深入研究概率理论都具有关键意义。
接下来，我们将通过一些具体的例题来加深对随机变量函数分布的理解，并对相关知识点进行总结。
首先，让我们来明确一下什么是随机变量的函数分布。
给定一个随机变量 X，若通过某种函数关系 Y ＝ g(X) 定义了另一个随机变量 Y，那么我们关心的就是 Y 的概率分布，这就是随机变量的函数分布。
一、例题分析例 1：设随机变量 X 服从区间0, 1上的均匀分布，求 Y ＝ 2X ＋ 1 的概率分布。
由于 X 服从区间0, 1上的均匀分布，其概率密度函数为：＼f_X(x) ＝＼begin{cases}1, ＆ 0 ＼leq x ＼leq 1 ＼＼0, ＆＼text{其他}＼end{cases}＼对于 Y ＝ 2X ＋ 1，我们可以通过反解 X 得到：＼（X ＝＼frac{Y 1}｛2}＼）然后计算 Y 的分布函数＼（F_Y(y)＼）：＼＼begin{align}F_Y(y)＆＝P(Y\leq y)＼＼＆＝P(2X ＋ 1\leq y)＼＼＆＝P(X\leq ＼frac{y 1}｛2}）＼＼＼end{align}＼当＼（y ＜ 1\）时，＼（F_Y(y) ＝ 0\）当＼（1\leq y\leq 3\）时，＼＼begin{align}F_Y(y)＆＝＼int_{0}＾｛＼frac{y 1}｛2}｝1dx\＼＆＝＼frac{y 1}｛2}＼end{align}＼当＼（y ＞ 3\）时，＼（F_Y(y) ＝ 1\）对＼（F_Y(y)＼）求导，可得 Y 的概率密度函数＼（f_Y(y)＼）为：＼f_Y(y) ＝＼begin{cases}＼frac{1}｛2}，＆ 1 ＼leq y ＼leq 3 ＼＼0, ＆＼text{其他}＼end{cases}＼例 2：设随机变量＼（X\）服从标准正态分布＼（N(0, 1)＼），求＼（Y ＝ X^2\）的概率分布。