奇妙的巴斯卡三角形之延伸
算法：杨辉三角（PascalsTriangle）
算法：杨辉三⾓（PascalsTriangle）⼀、杨辉三⾓介绍 杨辉三⾓形，⼜称帕斯卡三⾓形、贾宪三⾓形、海亚姆三⾓形、巴斯卡三⾓形，是⼆项式系数的⼀种写法，形似三⾓形，在中国⾸现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，书中杨辉说明是引⾃贾宪的《释锁算书》，故⼜名贾宪三⾓形。
在那之前，还有更早发现这个三⾓的波斯数学家和天⽂学家，但相关的内容没有以图⽂保存下来，所以中国的数学家对此研究有很⼤贡献。
１ １ １ １ ２ １ １ ３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ １ ６ 15 20 15 ６ １ １ ７ 21 35 35 21 ７ １１ ８ 28 56 70 56 28 ８ １ 以上是杨辉三⾓的前 9 ⾏，可以看出来每⼀⾏的所有数字对应着⼆项式 (A+B)n 的展开式系数，这⾥ n 从第 0 ⾏开始。
⼆、杨辉三⾓的⼀些性质与实现此三⾓形的性质有（注：最顶的 1 处于第 0 ⾏）：由正整数构成，每⼀⾏的数字左右对称；第（2的幂）⾏都是奇数；每⼀⾏数字之和都是2的幂；第N⾏数字个数都是N；第N⾏的第K个数字为组合数；除每⾏最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上⽅与右上⽅两个数字之和（也就是说，第 N⾏第 K 个数字等于第 N-1 ⾏的第 K-1 个数字与第K 个数字的和）。
因⽽固有恒等式： 可⽤此性质写出整个杨辉三⾓形。
1/**2 * 杨辉三⾓与 (a+b)^n ⼆项式系数的展开3 *4 * @param n5 * @param k6 * @return7*/8private static int binomialCoefficient(int n, int k) {9int res = 1;10if (k > n - k) {11 k = n - k;12 }13for (int i = 0; i < k; i++) {14 res *= (n - i);15 res /= (i + 1);16 }17return res;18 } 打印杨辉三⾓的函数：1/**2 * 打印杨辉三⾓3 *4 * @param n5*/6private static void printPascal(int n) {7for (int line = 0; line < n; line++) {8for (int i = 0; i <= line; i++) {9 System.out.print(binomialCoefficient(line, i) + " ");10 }11 System.out.println();12 }13 } 算法的时间复杂度⼤致为 O(N3)，这⾥ N 为所打印杨辉三⾓的⾏数。
奇妙的三角形作文
奇妙的三角形作文《奇妙的三角形》“哇，你看那个三角形的积木好有意思呀！”我兴奋地对小伙伴们喊道。
那是一个阳光明媚的午后，我和小伙伴们在小区的广场上玩耍。
广场上有很多小朋友，大家都在尽情地嬉戏着。
我和小伙伴们正在一起搭积木，各种形状的积木在我们手中变换着模样。
“嘿，我们来搭一个超级大的三角形吧！”我提议道。
“好呀好呀！”小伙伴们纷纷响应。
于是，我们开始动手搭建起来。
我拿起一块三角形的积木，仔细地看着它，心里想着：这个三角形可真奇妙呀，它有三条边，三个角，看起来好稳定呢。
“哎呀，这块放这儿好像不太对。
”小明挠挠头说。
“让我看看，我觉得应该这样放。
”我一边说一边调整着积木的位置。
在我们的努力下，一个大大的三角形逐渐成型了。
“哇，我们成功啦！”我高兴地跳了起来。
“哈哈，这个三角形真好看。
”小红笑着说。
我看着这个三角形，突然想到：三角形在我们的生活中可真是无处不在呀！像那些屋顶不就是三角形的吗，还有那些金字塔也是三角形的呢。
三角形可真厉害，它那么稳定，能支撑起那么多东西。
我不禁问小伙伴们：“你们说三角形是不是很神奇呀？”“当然啦！”小伙伴们齐声回答。
“那你们还能想到哪些三角形的东西呢？”我好奇地问。
“我想到了！三角尺！”小刚喊道。
“还有交通标志里也有三角形的呢！”小丽说。
我们你一言我一语地讨论着，越说越觉得三角形真是太奇妙了。
这个小小的三角形积木，让我们度过了一个愉快的下午，也让我对三角形有了更深的认识和思考。
我明白了，生活中处处都有数学的影子，哪怕是一个小小的三角形，都蕴含着无尽的奥秘等待我们去探索。
我想，以后我一定要更加认真地学习数学，去发现更多奇妙的东西！。
直角三角形定理的演变与推导
直角三角形定理的演变与推导直角三角形定理是数学中最为基础和重要的定理之一，它对解决诸多几何问题起到了至关重要的作用。
本文将从其演变的历程和推导的过程来探讨直角三角形定理的形成与发展。
1. 古希腊时期的勾股定理古希腊的毕达哥拉斯学派在数学上做出了重要贡献，其中最为著名的成果之一就是勾股定理。
据传，公元前6世纪时代的希腊数学家毕达哥拉斯及其学派首次提出了勾股定理，它指出：在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边分别平方的和。
2. 魏元素的勾股定理证明随着数学的发展，中国古代的数学家魏元素在《海峡算经》中给出了一种证明勾股定理的方法。
他运用了与平行四边形的性质相联系的方法，通过推导证明了勾股定理的正确性。
3. 欧几里得几何体系中的直角三角形定理到了古希腊的欧几里得时期，直角三角形定理也得以进一步完善和系统化。
欧几里得在其著作《几何原本》中系统阐述了直角三角形定理，将其作为三角学中的重要理论之一。
并在此基础上提出了一系列相关的命题，进一步发展了直角三角形的理论体系。
4. 巴斯卡的定理与直角三角形17世纪法国数学家巴斯卡在研究组合学问题时，意外地发现了一种直角三角形的性质，即某特定直角三角形中的两个斜边上的线段乘积等于另一个斜边上线段的平方。
这一性质被称为巴斯卡的定理，与直角三角形定理密切相关。
5. 解析几何与直角三角形的应用随着解析几何的发展，直角三角形的理论也逐渐得到了与代数方法相结合的应用。
直角三角形定理被用于解决各种几何问题，如计算线段的长度、确定角度的大小等。
通过代数符号和方程的运用，直角三角形定理在解析几何中发挥了重要的作用。
综上所述，直角三角形定理的演变与推导经历了毕达哥拉斯学派、魏元素、欧几里得、巴斯卡以及解析几何等不同时期和不同数学思想的贡献。
直角三角形定理的发展对于数学学科的进步和应用领域的拓展起到了重要的推动作用，为我们理解和应用直角三角形提供了坚实的理论基础。
“奇妙的三角形”演示文稿
你的介绍包括：
• 解释你的方案，包括各 个环节和最后的成果
• 学生利用放假时间搜集结三角形具有稳定性
整理和汇总
• 利用三角形的稳定性进行实
• 试图总结三角形的定义、 践
各部分的概念和特性
开始行动吧！我们还有更多的问题！
? 三角形的定义是什么？? ?
?
?
? ?
? 三角?三形角的?形特各性部是分什?的么名？称?叫什么？
?
?
面对的挑战
利用三角形具有稳定性的进行实践！
•研究三角形开的始特吧性： •选择并确定一种利用三角形具有稳定性 的方案 •通过小组合作修理班里坏了的桌椅 •深入思考，体会三角形特性的应用
你的问题
这是研究几 何图形以来 研究的问题
几何图形在 生活中发挥 着什么样的 作用？
1、我们的生活如果没有三角形的存在， 会发生哪些变化？
2、你能运用所学知识解决生活中的实际 问题吗？
你是一名小摄影师、小画家或观察者。 你的任务是带着你的工具去寻找生活 中的三角形。之后你和你的小组将搜 集到的图片进行汇总，然后进行讨论 交流，最后总结三角形的定义和特性。
数学奇思妙想
数学奇思妙想数学是一门精密而又深奥的学科，它不仅涉及到抽象的理论推理，还能用于解决现实生活中的问题。
数学家们在探索和研究数学的过程中，不断提出新的理论和方法，给我们带来了许多奇思妙想。
本文将介绍一些数学领域中的奇思妙想，展示数学之美。
1. 黄金分割黄金分割是一个数学上的概念，它源于古希腊文化中对美的追求。
黄金分割比例约为1.618，常用希腊字母φ（phi）表示。
在艺术、建筑和设计中，黄金分割常被用作一种美学原则，被认为是一种能够给人以愉悦感觉和和谐感的比例。
黄金分割还与斐波那契数列有关，斐波那契数列是由0和1开始，之后的每个数都是前两个数的和。
这个数列在生物学、艺术和自然界中都有出现。
2. 帕斯卡三角形帕斯卡三角形是由法国数学家布莱兹·帕斯卡在17世纪提出的一种数学图形。
它的每一行都是从第一行开始，每一个数字都是上面两个数字之和。
帕斯卡三角形不仅有着美丽的几何形态，而且它的数字还有许多有趣的特性。
帕斯卡三角形中的数字可以用来解决排列组合问题，计算二项式系数和多项式展开等等。
此外，帕斯卡三角形还与概率、数论和代数有关，被广泛运用在各个数学领域。
3. 弧长与扇形面积在几何学中，弧长与扇形面积是研究圆的重要概念。
通过数学运算，我们可以精确计算出一个圆的周长和面积。
圆的周长公式为C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个无理数，约等于3.14159。
而圆的面积公式为A=πr²，其中A表示圆的面积。
这些公式的推导和证明依赖于微积分和极限的概念。
通过对弧长和扇形面积的研究，我们可以更深入地理解圆的特性，并应用于实际问题的求解。
4. 质数的奇妙世界质数是只能被1和自身整除的正整数。
质数的世界充满了奇妙和谜团，在数学研究中一直备受关注。
质数有许多有趣的性质，比如质数分布的规律性、质数与数论中的重要问题的关系等等。
在计算机科学中，质数也被广泛应用于密码学和随机数生成。
素数定理是质数研究的一个重要结果，它表示质数在一定范围内的分布趋势。
奇妙的三角形FantasticTriangle-Intel
获、体会等。出示 博客日志评价量规 (DOC 48KB)，为学生提供“我的日志 (DOC 39KB)”表。
课堂学习 创设情境，激趣导入
• 提问：在数学上我们认识一些图形，你能迅速举例说说你知道的图形名称吗？学生举例，出示图形。 • 在生活中有很多三角形，你能说说生活中那些物体的外形是三角形的吗？
什么样的图形叫三角形？ 三角形有哪些特性？ 三角形三边有什么关系？ 三角形的角有什么特点，你会根据角的特点分类吗？ 你能用所学知识解决生活中的现象吗？
所需材料 (Things You Need) 评价 标准 资源 打印单元内容
评价过程 / Assessment Processes
单元开始时，教师先借助学生需求演示文稿来了解学生已掌握的知识及学生的学习需求。通过 已知-想知-学知（K-W-L）图表 (DOC 36KB)，让学生利用这些问题回想先前的理解，头脑风暴各种想法，考虑要研究的问题，并反思学习；同时，学生作品评价量规 (DOC 189KB) 和其它量规，使学生对自己的学习要求有清晰的了解。教师通过单元检测来了解学生数学基本知识掌握程度，以学生作品评价量规和其它 量规对学生进行过程评价和终结性评价，了解学生对单元理解的深度。
• 利用 《奇妙的三角形》海报 (DOC 169KB)简单向学生介绍项目的背景与要求，告诉学生这次学习是一次奇妙的创新之旅，出示
项目 小组学习评价量规 (DOC 53KB)，明确任务要求；同时介绍给家长，使项目期望被家长所接受。将 我与家长的活动进程记 录 (DOC 29KB)单发到家长手中，与家长共享单元学习计划的想法及教学安排，争取获得家长的支持与协助，引导家长成为孩 子自主学习的支持者，并为孩子在家中学习提供必要的帮助与监控。
巴斯卡定理
发现定理1651~1654年，帕斯卡研究了液体静力学和空气的重力的各种效应。
经过数年的观察、实验和思考，综合成《论液体的平衡和空气的重力》一书。
提出了着名的帕斯卡定律（或称帕斯卡原理），即；加在密闭液体任何一部分上的压强，必然按照其原来的大小由液体向各个方向传递。
着名科学史家沃尔夫称，帕斯卡的这一发现是17世纪力学发展的一个重要里程碑。
帕斯卡在此书中详细讨论了液体压强问题。
在第一章中，帕斯卡叙述了几种实验，它们的结果表明，任何水柱，不论直立或倾斜，也不论其截面积的大小，只要竖直高度相同，则施加于水柱底部的某一已知面积的活塞上的力也相同。
这一个力实际上是液体所受的重力。
书中详细叙述了密封容器中的流体能传递压强，讨论了连通器的原理。
帕斯卡利用一个充水的容器，它有两个圆筒形的出口，除此之外，其他部分都封闭。
两个出口的截面积相差100倍，在每一个出口的圆筒中放入一个大小刚好适合的活塞，则小活塞上一个人施加的推力等于大活塞上100人所施加的推力，因而可以胜过大活塞上99个人施加的推力，不管这两个出口大小的比例如何，只要施加于两个活塞上的力和两个出口的大小成比例，则水的平衡就可以实现。
帕斯卡在书中一一叙述了密闭液体、压强不变、向各方传递等帕斯卡定律的基本点。
此书是帕斯卡于1653年写成的，但直到他逝世后的第二年----1663年才首次面世。
帕斯卡是在大量观察、实验的基础上，又用虚功原理加以；证明才发现了帕斯卡定律的。
在帕斯卡做过的大量实验中，最着名的一个是这样的：他用一个木酒桶，顶端开一个孔，孔中插接一根很长的铁管子，将接插口密封好。
实验的时候，酒桶中先权满水，然后慢慢地往铁管子里注几杯水，当管子中的水柱高达几米的时候，就见木桶突然破裂，水从裂缝中向四面八方喷出。
帕斯卡定律的发现，为流体静力学的建立奠定了基础。
帕斯卡还在这一定律的基础上提出了连通器的原理和后来得到广泛应用的水压机的最初设想。
他又指出器壁上所受的、由于液体重力而产生的压强，仅仅与深度有关；他用实验，并从理论上解释了与此有关的液体静力学佯谬现象。
巴斯卡三角形专题研究
巴斯卡三角形
中國的賈憲三角形
「算術三角形」最先出 現在《永樂大典》卷一 六三四四中的楊輝《詳 解九章算法》，所以， 容易讓人誤以為是「楊 輝三角」，在楊輝的 《詳解九章算法》中， 而楊輝是利用賈憲的 「立成釋鎖平方法」來 解釋開方問題，因此， 稱為「賈憲三角」是比 較正確的說法。
中國的賈憲三角形
巴斯卡三角形 vs. Sierpinski’s Triangle
巴斯卡三角形 vs. Sierpinski’s Triangle
Leibniz harmonic triangle
Every entry is the sum of the two numbers just below it.
立體的巴斯卡三角形
日本的巴斯卡三角形
到了十八世紀，和算 家村井中漸（17081797)在所著的《算法 童子問》（1781年） 也出現「賈憲三角」， 細看其文本發現其數 碼表示法是以籌算形 式表達的。
二項式定理的應用
(a+b)0 = 1 (a+b)1 = a+b (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
1331
1331
=
14641
14641
=பைடு நூலகம்
161051
1 5 10 10 5 1
=
1771561
1 6 15 20 15 6 1
奇妙的三角形读后感300字作文
奇妙的三角形读后感300字作文（中英文实用版）After immersing myself in the fascinating novel "The Mysterious Triangle," I was deeply impressed by its intricate plot and thought-provoking themes.It"s a story that delves into the complexities of human relationships and the triangular dynamics that often shape our lives.阅读《奇妙的三角形》这部小说，我对其错综复杂的情节和引人深思的主题印象深刻。
这个故事深入探讨了人际关系中的复杂性和常常影响我们生活的三角动态。
The narrative unfolds with a series of unexpected twists and turns, leaving the reader on the edge of their seat.It explores the emotional entanglements between three main characters, each fighting their inner battles and seeking redemption.故事以一系列出人意料的转折展开，让读者紧张刺激。
它探讨了三个主要角色之间的情感纠葛，每个人都在进行内心的斗争，寻求救赎。
The triangle in the story is not just a geometric shape; it symbolizes the delicate balance and imbalance in our lives.It made me reflect on the importance of communication, trust, and understanding in any relationship.故事中的三角形不仅仅是一个几何形状，它象征着生活中微妙的平衡与失衡。
《神奇的三角形》PPT课件小班数学
04
三角形周长与边长关系探讨
Chapter
周长定义及计算方法
周长定义
三角形三条边的长度之和。
计算方法
将三角形三条边的长度相加即可得到周长。
公式表示
若三角形三边分别为a、b、c，则周长C=a+b+c 。
等腰、等边三角形周长特点
1 2
等腰三角形
有两条边长度相等，因此周长计算中只需知道其 中两条边长度即可推算出第三条边。
直角三角形角度关系
sinθ=对边/斜边，cosθ=邻边/斜边，tanθ=对边/邻边。
角度变化对三角形形状影响
角度变化与三角形形状关系
三角形内角和为180°，当其中一个角发生变化时， 其他两个角也会相应变化，从而影响三角形的形状 。
不同类型三角形的角度特点
锐角三角形三个角都小于90°，直角三角形有一个 90°角和两个锐角，钝角三角形有一个钝角和两个 锐角。
关键知识点总结回顾
01
三角形的定义和基本特征
回顾三角形的概念，强调三角形由三条边和三个角组成，是平面图形中
最基本的图形之一。
02
三角形的分类
根据三角形的边长和角度特征，对三角形进行分类，如等边三角形、等
腰三角形、直角三角形等，并举例说明。
03
三角形的应用
介绍三角形在日常生活中的应用，如路标、建筑结构等，让学生感受数
明确下一步的学习目标，如掌握更多三角形的性质和定理、提高解决三角形相关问 题的能力等。
鼓励学生继续保持对数学学习的兴趣和热情，培养自主学习和探究学习的能力。
THANKS
感谢观看
家长参与课堂，了解孩子在本 节课中的学习情况和表现。
家长与孩子一起完成三角形相 关的亲子活动，如制作三角形 模型、寻找生活中的三角形等 ，增进亲子关系。
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n=3
１ ３ ３ 1
但我們也可以利用下面的方法來理解這個三角形產生的過程
(a
+ b
)2 =
1
+ + +
1 1 1
×
1 1
1 1
+ +
2
1 2 +
2
1
(a
+ b
)3 = (a
1
+ 2 ab + b
)× (a
1 1 1
+ b
)
+
2 1
+ + +
×
1 1 1 + + 2 3 + + +
2 1 3
+
138
把相同的放在一起我們可以輕易的發現依然可以將五個邊長為一的正五邊形排成一個邊 長為二的正五邊形。但是我們又發覺到他中間的星星會形成一圈一圈的情形，且大星星內還 有小星星。 四、接下來我們依然想像一下 (a + b + c + d + e + f ) 的圖形可以用正六邊形來表示，如同 上面，我們還是寫出其通式
參、研究設備器材：筆、紙、電腦 肆、研究過程或方式：
一、首先將 (a + b )n 的通式寫出
(a
+ b
n n n )n = a n b 0 + a n − 1 b 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 0 b n 0 1 n
n=0
１
n=1
１ １
n=2
１ ２ 1
n
(a+b+c+d +e)n=
n n n n 0 0 0 0 n−1 1 0 0 0 0 0 0 0 n a b c d e + a b c d e + ⋅ ⋅ ⋅ + 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 n a b c d e
候是否也可以用同樣的方式去處理呢?這個問題讓我們感到非常的有趣，因為在過去的教科書 裏面從來沒有遇過類似這樣的方法或技巧，所以，如果我們可以找到這樣的方法那麼無論是 (a + b + c )n 或 (a + b + c + d )n 甚至 (a1 + a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n )n 的情況我們也都可以迎刃而解。
140
所以我們用較猜測性的推測判斷之後，可以用正 n 邊形來描述其係數間的關係，對於這
m 樣的結論我們下的很自大，因為我們最多只做到六邊形的部份也就是說對於 ∑ a k k =1
的情形我們沒有再去做探討。
n
m＞6
伍、研究結果：
一、(a+b+c)n n=0 n=1 1 n=2 2 1 2 1 2 1
n=2
n=3
142
四、(a+b+c+d+e+f)n n=0 n=1 1 1 n=2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
1 1 1 1 2 2 6 2 2 1 2 2 1 2 1
n=3 3 3
1 6 6
3 6
3 6
1 3
15 15 6 3 1 6 15 12 6 15 1 3 3 6 15 15 6 3 6 6 6 3 1 3 3 1
1 1 1 2 4（ 2+2） 4 （2+2 ） 2 1 2 1 3 9（ 3+6） 9（3+6 ） 9（ 9（6+3） 6+3） 3 1 3 3 1
a 0b 0c 0 d 0
a c
b d a2 b2 bd d2 ab 2 b3
n=2
ab ad + bc cd a 2b
ac
c2 a3
3 9（ 6+3） 9 （6+3 ） 9（ 9（3+6） 3+6） 3
n
(a + b + c + d + e + f )n =
n 0 0 0 0
n n00 00 0 a b c d e f + 0 1 0 0 0
n n−1 1 0 0 0 0 a b c d e f +⋅⋅⋅+ 0 0 0 0 0
000 00 n a b c d e f n
n −1 0 1 a b c + ⋅ ⋅ ⋅ + 1
n 0 n 0 0 n a b c
1 1 1 1
133
n=2 2 1 n=3 3 3 1 3
1 2 2 1 3 6 3 3 1 1
依此類推我們可以從通式中一一得到上述的結果，所以每一項前面的係數是可以輕易被 算出的，但現在我們想討論是到底這些係數會不會有之前巴斯卡三角形的特殊性質，可以推 出二項式定理嗎？我們看以下這種情況推出的二項式定理，應該說三項式定理較恰當。
陸、結論：
我們利用正 n 邊形可以描述其係數間的關係，並串聯起代數與幾何間的橋樑。我們觀察 其圖形發現了當 n=3、4、6 的時候，圖形一直不斷的重覆，當次方數不斷的增加也不會改變 圖形的結構性，在此我們先定義結構性，在單位面積裡線段的個數，相當於是密度的感覺， 可是在 n=5 的時候，其結構性便會有所改變，裡面的密度會愈來愈大，可是外圍的密度卻是 不變的，這樣的現象讓我們有些訝異，卻無法去解釋，除此之外，我們在 n=4 時，中間會有 幾個變數無法將他分離，這個地方也是我們想要進一步做討論的，但卻依然沒有發現真正的 解釋方法，我們有個猜想是否是空間的維度不足以去完整的解釋，這也為我們這個題目留下 了一些伏筆或是可以討論的空間。
n=0 n=1 1 1 n=2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
1 1 1 1 2 2 6 2 2 1
139
1 2 2 2 1
n=3 3 3
1 6 6
3 6
3 6
1 3
15 15 6 3 6 15 6 1 12 15 1 3 6 15 15 6 3 3 6 6 6 3 1 1 3 3
這整個圖形若用線連結起來，它的線是均勻的被分佈，還有它的係數也有一圈一圈的樣 子。 我們再依照上面的方式畫出其圖形
n n −1 n −1 n −1 = + r k r − 1 k r k − 1 + r k
這樣說可能不夠直觀且麻煩，如果用這個圖來表示便可看出其中的端倪
1 1+1 1+1
1
1+1
1
用這樣的方式我們可以得到下一個三角形
(a + b + c + d )n =
n n 0 0 0 n n−1 1 0 0 n 0 0 0 n a b c d + a b c d + ⋅ ⋅ ⋅ + 0 0 0 1 0 0 0 0 n a b c d
n=0 n=1 1 1 1 2 1 n=3 1 3 3 1
a 2 c a 2 d + abc abd + b 2 c b 2 d ac 2 acd + b 2 c ad 2 + bcd bd 2 c3 c2d cd 2 d 3
在此只我們展現出 n=1 到 n=2 之過程
136
a
b d
×a c
a 2 ab ac ad
×d
ad bd cd d2
×b
141
1 1 1
n=3 3 3 1 二、(a+b+c+d)n n=0 n=1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 三、(a+b+c+d+e)n n=0 n=1 1 1 n=2 2 1 2 1 2 3 9 9 3 3
1 3 6 3 1 1 1 2 4 2 3 9 9 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 3 3 1 3 1
ab b 2 bc bd
×c
ac bc c 2 cd
如把同位項放再一起便可得到 n=2 的正方形，但不幸的是，正中央的數是兩個不同項所 相加總的數，我們依然無法看出個別是多少，除非我們知道那兩項的比例關係。依此類推都 ad a2d 會有這樣的關係，若 n=2 時， = 1 ；若 n=3 時， = 2 ，因此我們做了一個粗略推論： bc abc 比例關係等於 n-1。 四、接下來我們來想像一下 (a + b + c + d + e ) 的圖形應該可以用正五邊形來表示，用這樣 的想法來試試看，依然先寫出其通式
柒、參考資料及其他：網路
143
n=1 b
a c
×a
n=2
ab
×c
ac
×b
ab c2 b2 bc
a2
ac bc
134
我們將他們相同的放在一起
a2 ab b2 bc
1
ac
c2
2 1 2
2 1
我們可以看到奇妙的事情，那就是他又再度形成一個正三角形，但這次他是成為一個立 體圖形，我們畫出的只是畫出他一層一層的圖形。
135
三、再來我們來看到 (a + b + c + d )n 的通式以及他的幾何圖形
n=0 n=1 1 1 1 1 1 1
n=2 2 1 2 1 2
1 2 2 2 2 2
2 1 2 1
137
我們一樣來分析其同位項
a b e c d
×a
a2 ab
×e
ae be ce de de e2
×b
ae