第28课时 锐角三角函数(1)

第28课时 直角三角形【基础知识梳理】1、直角三角形的性质①角的关系：直角三角形，两锐角_____________。

②边的关系(勾股定理)：直角三角形中两直角边的______等于_________。

③直角三角形中30°所对的直角边等于________。

④直角三角形中，斜边的中线等于_____________。

⑤直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于________。

⑥面积 2ch ab s ==； 2、直角三角形的判别① 有一个角是_______的三角形是直角三角形。

②有两角___________的三角形是__________________。

③勾股定理的逆定理：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的_______，那么这个三角形是直角三角形。

④如果三角形一边上的________等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、锐角三角函数：在Rt △ABC 中，∠C=90°，①∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边 ,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边(注：三角函数值是一个比值．)②三角函数的关系a 、互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A b 、 同角的三角函数关系．平方关系：sin 2 A+cos 2A=l 倒数关系：tanA •tanB=1 ③特殊角锐角的三角函数值．【基础诊断】 1、（2012广州市，7题3分）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（ ） A.365 B. 1225 C. 94 D. 42、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ).A. 7,24,25B. 321,421,521 C. 3,4,5 D. 4,721,8213、把Rt △ABC 的三边都扩大十倍，关于锐角A 的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不变；丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 都不正确 4、（2012·哈尔滨，5题3分）在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB 的值是( )．(A)23 (B)35 (C)34 (D)455、在△ABC 中,若21sin tan 02A B ⎫-+=⎪⎪⎝⎭,则∠C 的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°【精典例题】 例1、（2012山东省荷泽市，16(2),6）(2)如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC 边上取一点D,将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标.【点拨】在平面直角坐标系中，求点的坐标实质就是求这个点到两轴的距离，也就是求线段的长，求线段的就是利用勾股定理、三角函数或相似三角形的对应边成比例. 例2、（2012山东省青岛市，14，3）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.【点拨】本题考查圆柱的侧面展开图为矩形，关键是在矩形上找出A 和B 两点的位置，据“两点之间线段最短”得出结果．“化曲面为平面”，利用勾股定理解决．要注意展开后有一直角边长是9cm 而不是18 cm.例3、（2012四川内江，11，3题）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）A ．12 BCD【点拨】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义． 【自测训练】 A — 基础训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图8所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。

已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ C ） A 、a 450元 B 、a 225元 C 、a 150元 D 、a 300元2、下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A ．1,2,3B ．2,3,4C ．3,4,5D ．4,5,63、（2012，黔东南州，6题，3分）如图1，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的坐标为（ ）例3A 、（2，0）B 、1,0） C 、） D 、）4、( 2012年浙江省宁波市,8,3)R t △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23,则BC 的长为（ ）（A ）4 (B)2 5 (C) 18 1313 (D) 1213135、（2009年浙江省湖州市）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=90°，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）A．sin A =B ．1tan 2A =C ．cos B =D ．tan B =二、填空题 6、（2012浙江省湖州市，5题3分）在Rt △ABC 中，∠ACB=900，AB=10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是_________________7、(2009·贵阳中考）已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为______. 8、 2sin60°－cos30°·tan45°的结果为_________________ 20113015(1)()(cos 68)338sin 602π---+++-=_________________ 9、点M(tan60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M′的坐标是________ 10、在△ABC 中，∠A为锐角，已知 cos(90°－A ）=2sin(90°－B ）2，则△ABC 一定是________三角形。

三、解答题11、如图所示，一根长2a 的木棍(AB )，斜靠在与地面(OM )垂直的墙(ON )上，设木棍的中点为P ，若木棍A端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．(1)请判断木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离是否变化，并简述理由；(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．．12、如图所示，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于 E 点，EC=1，∠B=30°，求菱形ABCD 的周长．B CAC A FD E 8 题13、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝5。

（1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。

B —提升训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）． 1、（2012贵州贵阳，8，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于F ，若∠F=30°，DE=1,则EF 的长（ ）A.3B.2C.3D.12、一架长25 dm 的梯子，斜立在竖直角墙上，这时梯足距墙底端7 dm ，如果梯子的顶端沿墙下滑4 dm ，那么梯足将滑出( )A ．9 dmB ．15 dmC ．5 dmD ．8 dm3、在 △ABC 中，已知∠C ＝90°，sinB=0.6，则cosA 的值是（ ）3443.. . .4355A B C D4、(2011·荆州)如图所示1，长方体的底面边长分别为2 cm 和4 cm ， 高为5 cm ，若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.5、 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图2那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）A ．247BC ．724 D ．13图1二、填空题6．(2011·新疆)如图3所示，△ABC 是等边三角形，AB ＝4 cm ，则BC 边上的高AD 等于________ cm.图3 图4 图5 图668CE A BD图27.如图4，在平面直角坐标系中，已知A(3，0)点B(0，－4),则cos ∠OAB 等于__________。

8．( 2012年四川省巴中市,15,3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长,且满足关系c 2-a 2-b 2 +|a-b|=0,则△ABC 的形状为______。

9、(2012四川省南充市，14，4分) 如图5，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若四边形ABCD的面积是24cm 2，则AC 长是_____________cm.10、(2012贵州黔西南州，18，3分)如图6，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ， CE ∥AD ，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB 的周长为______________。

三、解答题11．（2012安徽，10，4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）12．(2012贵州六盘水，23，12分)，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A ，在点A 的对岸选取一个参照点C,测得∠CAD=30°；小丽沿河岸向前走30m 选取点B ，并测得∠CBD=60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度.13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，点D 在AC 上，∠BDC=60°， AD=l ，求BD 、DC 的长．【08—12济南】1、（2012济南市，14题3分）计算：02sin30= .2、（2012济南市，9题3分）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值（ ）A 、13 B 、12C 、3ABCN O 第9题图MD 3、（2009济南市，15题3分）如图∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB 的值是 ．CBA第9题图4、（2008济南市，16题3分）如图：矩形纸片ABCD ，AB =2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 ．5、（2012，13题3分）如图，∠MON=900，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1。