第7讲 三元一次方程组和一元一次不等式组

方法⑵ ②×2 得 ④＋③得 解方程组 10x＋6y＋4z＝4 13x＋2y＝20 ④ ⑤
2 x y 7 x 2 得 13x 2 y 20 y 3
【变式题组】 1．解下列议程组：
x y 1 ⑴ x y z 26 2 x z y 18
7 ,则关于 x 的不等式 2ax≥3b 的解 3
15 9 x 10 4 x① 【例 4】解不等式组 1 并把解集在数轴上表示出来． 3 x 1≤7 x② 2 2
【解法指导】 不等式的解集就是不等式组中每个不等式的公共解集． 这就要求首先会解 每个不等式然后会综合不等式组的解集．一般地，对于 a＜b，有下列四种情形． ⑴
x 3( x 2) 4 无解，则 a 的取值范围是（ 3x a 2 x
C．a＝1 D．a≥1 ）
）
B．a≤1
x a≥0 有解，则 a 的取值范围是（ 1 2 x＞x 2
D．a＜1
A．a＞－1 B．a≥－1 C．a≤1 2．试确定 a 的取值范围，使不等式组：
输入正整数 x 【例 6】如图所示，要使输出值 y 大于 100,则输入的最小正 整数 x 是______________. 【解法指导】由计算机编入程序的问题，主要是由题目中设 奇数 偶数 置的不同程序，对输入的不同数值上，其计算路径也不同． ，此 类题的关键，是读懂题目所给的程序（框图） ．本题中，对于输 ×4 入的正整数 x，分奇数和偶数分别进行计算．若 x 为奇数，则乘 ×5 ？ 以 5，得出输出值 y 为 5x，即 y＝5x．若输入的 x 为偶数，则 y ＝4x＋13． ＋13 解：当 x 是奇数时，由程序运算得 5x＞100,解得 x＞20，所 输出 y 以输入的最小正整数 x 是 21；当 x 是偶数时，由程序运算得 4x ＋13＞100，解得 x＞21.75，所以输入的是最小正整数 x 是 22. 综上可知，输入的最小正整数 x 是 21． 【变式题组】 1．如下图，当输入 x＝2 时，输出的 y＝_________________ 2．根据如图所示的程序计算，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值为______________
1 1 1 ,从而分 x＜－3，－3≤x≤ ，x＞ 这三个范围分别脱 2 2 2
去绝对值符号而求解．此法可以简单地说成“找零点、两边分” ．二是根据绝对值定义可得：
x a a x a ， x ≥a x≥a或x≤ a 这样，可以快速脱去绝对值符号，避免复
杂的讨论， 如解不等式|3x＋1|＜2， 可快速得－x＜3x＋1＜2 即－3＜3x＜1， 所以－1＜x＜ 避免了讨论．
2．2003 年全国足球甲 A 联赛的前 12 轮（场）比赛后，前三各比赛成绩如下表． 胜 （场） 大连实 德队 上海申 花队 北京现 代队 8 6 5 平 （场） 2 5 7 负 （场） 2 6 1 3 0 2 2 2 积 分 2
问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分？ 【例 3】下列各命题，是真命题的有（ ） 2 2 ①若 a＞b,则 a－b＞0 ②若 a＞b，则 ac ＞bc 2 2 ④若 ac ＞bc ，则 a＞b ⑤若 a＞b，则 3a＞3b 1 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解法指导】不等式的三条性质，是解决有关不等式的命题的重要依据，深入透彻理解 不等式的三条性质的真实内涵， 是判断上述各命题的关键． 第①题是直接运用不等式的性质 2 2 2 2 2 1，完全正确．第②题是将不等式 a＞b 的两边同乘以 c ，但 c ≥0，当 c ＝0 时，ac ＝bc ， 故本题不对． 第③题是将 ac＞bc 的两边同除 c 得到 a＞b， 虽然条件知 c≠0， 但 c 可正可负， 2 2 2 当 c＜0 时，a＞b 就不成立，故本题不对．第④题由条件 ac ＞bc 知 c ≠0，因而 c2＞0,故 本题正确．第⑤题中，设 a＞b 两边同乘以 3，满足性质 2，故正确．第⑥题中由 a＞b 得－ 3a＜－3b．因而－3a＋1＜－3b＋1，因此不对，本小题运用了性质 3 和性质 1． 解：C 【变式题组】 1．下列各命题，正确的有（ ） ①若 a－b＞0,则 a＞b ②若 a＜b,则 ac＜bc ③若 ＞ ,则 a＞b ⑤若 a＞b，则
y 3
2
x 2 11x 3z 23 解二元一次 得 1 z 5 x 4 z 12 2
将 x＝2 代入①得 y＝－3
x 2 ∴原方程组的解为 y 3 1 z 2
x 2 ∴原方程组的解为 y 3 1 z 2
x a x b 即同大取大 x b x a x a 即同小取小 x b
⑵
⑶
x a a x b 即大小小大中间找 x b
⑷
x a 无解 即大大小小无法找 x b
解：由不等式①可得 x＞1， 由不等式②得 x≤4 综合可得此不等式组的解集是 1＜x≤4 － － 0 2 1】 【变式题组 1 2 3 4 5 6 7
【例 2】北京时间 2006 年 1 月 23 日，科比率领湖人队在洛杉矶迎接多伦多猛龙队的挑 战．在比赛中，科比全场 46 投 28 中，罚篮命中率高达 90%，疯狂砍下职业生涯最高分 81 分， 其中依靠罚球和三分球所得分数比其他投篮得分仅仅少了 3 分， 最终湖人队以 122︰104 获胜．科比的 81 分超越了近 20 年来乔丹 69 分的得分记录，也成为继张伯伦 1962 年 3 月 2 日对阵纽约尼克斯砍下的 NBA 单场最高得分记录 100 分之后，联盟历史上排名第二的单场 个人最高分．在篮球比赛中，三分球每投中一个加 3 分，除此之外其他的投篮每投中一个加 2 分．若是对方犯规，罚球每中一个，加 1 分，且在计算命中率时，罚球是单独计算的，不 计入总的出手次数，那么通过上面的这则新闻，你能算出科比投中的三分球、二分球和罚球 分别是多少个吗？ 【解法指导】列方程组解决实际问题时，关键是找出题中的等量关系（注意找全所有的 等量关系） ，然后适当设出未知数，列出各个方程组成方程组． 本题中，等量关系有 3 个： ⑴科比全场共得 81 分；⑵科比 46 投 28 中，即他的三分球和二分球总共中了 28 次；⑶ 罚球和三分球所得的分数比其他投篮得分仅仅少了 3 分， 即三分球和罚球的分数之和比二分 球得分少 3 分． 利用这三点就很容易建立方程组求解． 解：设科比投中 x 个二分球，y 个三分球，z 个罚球． 依题意得：
【例 7】解不等式：|x＋3|－|2x－1|＜2 【解法指导】解含有绝对值的不等式，就是要设法脱去绝对值符号，主要有两种方法： 一是采用较为常用的“零点分段法”分类去掉绝对值符号． （所谓“零点” ，就是指使得每个 绝对值符号内的代数式的值为 0 的未知数的值） ，再在相应的范围内解一元一次不等式，本 题中“零点”即是 x＝－3 和 x＝
1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
3x 1 4 ⑴ 2 x≤x 2
5 x 12≤2(4 x 3) ⑵ 3x 1 1 2
2x 1 x-1 1＜ ,并且满足 3(x＋a)－5a 3 2
2．已知整数 x 满足不等式 3x－4≤6x－2 和不等式 ＋2＝0，试求 5a
第讲
三元一次方程组和一元一次不等式组
考点·方法·破译
1．了解三元一次方程组和它的解的概念； 2．会解三元一次方程组并会用它解决较简单的应用题； 3．了解一元一次不等式和一元一次不等式组的解集； 4．会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会进行一些简单的应用．
经典·考题·赏析
2 x y 7① 【例１】解方程组 5 x 3 y 2 z 2② 3 x 4 y 4 z 16③
a ,即 a＜4． 2
a 2
∵原不等式有解 ∴2＜
a 2
即 a＞4 故 a 的取值范围是 a＞4 【变式题组】 1．选择题： ⑴若关于 x 的不等式组 A．a＜3
x 2a 1≤0 有解，则 a 的取值范围是( x 3a 4≥0
C．a＞3 D．a≥3
)
B．a≤3
⑵若关于 x 的不等式组 A．a＜1 ⑶若不等式组
2 x 3 y z 81 x 21 解得 L y 7 x y 28 3 y z 2 x 3 z 18
【变式题组】 1．某车间每天可以生产甲种零件 600 个或乙种零件 300 个或丙种零件 500 个，这三种零件 各一个可以配成一套，现要在 63 天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间 应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套？
③若 ac＞bc，则 a＞b ⑥若 a＞b，则－3a＋1＞－3b＋
a c
b c
④若 a＜b，则
a b ＜ 2 2 c c
2
a b ＞ 2 m 1 m 1
2
⑥若 a＞b，则 a ＞ab
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2 2 2． ⑴关于 x 的不等式（m ＋1）x＞m ＋1 解集是________________； ⑵若关于 x 的不等式（m＋1）x＜m＋1 的解集是 x＜1，则 m 满足的条件是_________ 3．若关于 x 的不等式（2a－b）x＞3a＋b 的解集是 x＜ 集是多少？
x 2 【解法指导】分别解每个不等式，可得 a ，若原不等式组有解，由“大小小大中 x 2
间找”的法则，可知︰在数轴上看，2 与 示在数轴上如下图：
a a 之间必有“空隙” ，且 2 在 的左边，将它们表 2 2
a 2
⑴
2
2 a
2 ⑶
2
⑵
a 2
显然只有图⑶才符合要求，所以 2＜ 解：由⑴可知：x＞2 由⑵可知：x＜
2 x y 7 ⑵ 3 y 2 z 8 3 x 4 z 4