高中数学 必修一 第三章 函数的应用 整章 讲义

3．1.1 方程的根与函数的零点[提出问题]如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由题图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．[导入新知]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[化解疑难]函数零点的本质(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．[提出问题]函数f(x)＝x2－4x＋3的图象如图．问题1：函数的零点是什么？ 提示：1,3.问题2：判断f (0)·f (2)与f (2)·f (4)的符号． 提示：∵f (0)＝3，f (2)＝－1，f (4)＝3， ∴f (0)·f (2)<0，f (2)·f (4)<0. [导入新知]函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[化解疑难]对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y ＝1x.(2)当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )<0.则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(3)当函数y ＝f (x )的图象在[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )<0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．[例1] (1)(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； (3)f (x )＝2x－3；(4)f (x )＝1－log 3x .[解] (1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3， 所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是x ＝－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.[类题通法]函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0.若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．[活学活用]判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2－4x－4；(2)f(x)＝x－x2－4x＋x－3；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2.(2)令x－x2－4x＋x－3＝0，解得x＝1，所以函数的零点为x＝1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，无解，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.[例2] (1)不求a ，A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内[解析] (1)利用f (a )f (b )<0，则f (x )＝0在(a ，b )内有根来判定．∵f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根．又∵f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，∴在(2,4)内必有根．(2)∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0，∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内． [答案] (1)A (2)A [类题通法]确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．[活学活用]在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析：选C 显然f (x )为定义域R 上的连续函数．如图，作出y ＝e x与y ＝3－4x 的图象，由图象知函数f (x )＝e x＋4x －3的零点一定落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34内，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1＞0，故选C.[例3] (1)函数f(x)＝ln x－x－1的零点的个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．[解] (1)选C 在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝1x－1的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝1x－1的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－1x－1的零点个数为2.(2)法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg 3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，又∵f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．法二：在同一坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．[类题通法]判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法：方法一：直接求出函数的零点进行判断；方法二：结合函数图象进行判断；方法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b )上单调，满足f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在区间(a ，b )上有且仅有一个零点，如图所示．[活学活用]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|， x ＜2，3x －1， x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)解析：选D 在同一直角坐标系中分别画出函数y ＝f (x )和y ＝a 的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1.10.因函数图象不连续造成判断失误[典例] 函数f (x )＝x ＋1x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )<0.所以函数没有零点，故选A.[答案] A[易错防范]1．函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域，通过作图，可知函数f (x )＝x ＋1x的图象不是连续的．若忽视该特征，易由f (－1)<0，f (1)>0，得出错误的答案B.2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；二是f (a )·f (b )<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．[活学活用]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0， 解得x ＝－3；当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0有2个零点．[随堂即时演练]1．函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间( ) A ．(5,6) B ．(3,4) C ．(2,3)D ．(1,2)解析：选B f (3)＝log 33－8＋2×3＝－1＜0，f (4)＝log 34－8＋2×4＝log 34＞0.又因为f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)．2．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＞0，f (2)＜0，则f (x )在(1,2)上的零点( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个D ．一个也没有解析：选C 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)＜0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，如有两个零点，则必有f (1)·f (2)＞0，与已知矛盾．3．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由题意知，方程x 2－ax －b ＝0的两根为2,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝－b ，即a ＝5，b ＝－6，∴方程bx 2－ax －1＝－6x 2－5x －1＝0的根为－12，－13，即为函数g (x )的零点．答案：－12，－134．函数f (x )＝3x ＋x －5的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________. 解析：∵b －a ＝1，a ，b ∈N *，f (1)＝3＋1－5＝－1＜0，f (2)＝9＋2－5＝6＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∴a ＋b ＝3.答案：35．求函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解：令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点．[课时达标检测]一、选择题1．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表由表可知函数f (x )存在零点的区间有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D ∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴共有4个零点．2．方程0.9x－221x＝0的实数解的个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 设f(x)＝0.9x－221x，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个．3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A．若f(a)·f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0解析：选C 根据函数零点存在性定理可判断，若f(a)·f(b)＜0，则一定存在实数c ∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B、D错．若f(a)·f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)＞0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)内有两个零点，故A错，C正确．4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )A．a<α<b<βB．a<α<β<bC．α<a<b<βD．α<a<β<b解析：选C∵α，β是函数f(x)的两个零点，∴f(α)＝f(β)＝0.又∵f(x)＝(x－a)(x－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－2<0.结合二次函数f(x)的图象，如图所示，可知，a，b必在α，β之间，只有C满足．5．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B 在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象，如图所示，由图可知函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，所以由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0. 二、填空题6．函数f (x )＝ln x －x 2＋2x ＋5的零点个数为________．解析：令ln x －x 2＋2x ＋5＝0得ln x ＝x 2－2x －5，画图(图略)可得函数y ＝ln x 与函数y ＝x 2－2x －5的图象有2个交点，即函数f (x )的零点个数为2.答案：27．已知方程mx 2－x －1＝0在(0,1)上恰有一解，则实数m 的取值范围是________． 解析：设f (x )＝mx 2－x －1，∵方程mx 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，且当m ＝0时，方程－x －1＝0在(0,1)内无解，∴m ≠0，由f (0)f (1)＜0，即－1(m －1－1)＜0，解得m ＞2.答案：(2，＋∞)8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，由图象可知当0<a <1时两函数的图象只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x(a >1)的图象过点(0,1)，当直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a >1.答案：(1，＋∞) 三、解答题9．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．解：令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，f ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，f ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，26m ＋38＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，26m ＋38＞0，解得－1913＜m ＜0.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0. 10．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解：由题意知方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0，即m 2－4＝0时，m ＝±2； 当m ＝－2时，t ＝1；当m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去， ∴2x＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0，即m >2或m <－2时，设t 2＋mt ＋1＝0有两个根t 1，t 2且t 1t 2＝1. 又∵t >0，∴t 1>0，t 2>0，则原方程有两个根． ∴这种情况不可能．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为 x ＝0.11．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)试确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解：(1)作出g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)的图象如图所示：可知若使g (x )＝m 有零点， 则只需m ≥2e，故m 的取值范围为[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点．作出g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)和f (x )的图象如图所示．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1 ＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，其对称轴为直线x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2， ∴当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点， 即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根， ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)． 12．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．解：(1)由条件知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2m ＋1<0，f －＝2>0，f ＝4m ＋2<0，f＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.(2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，Δ≥0，0<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2.3.1.2用二分法求方程的近似解学习目标：1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)[自主预习·探新知]1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？[提示]二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．2．二分法求函数零点近似值的步骤[基础自测]1．思考辨析(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．()[答案](1)×(2)×(3)×2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001B[据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．] 3．已知函数y＝f(x)的图象如图3-1-1所示，则不能利用二分法求解的零点是________．图3-1-1x3[∵x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.【导学号：37102358】(0,0.5)f(0.25)[∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．][合作探究·攻重难]二分法的概念已知函数f(x)的图象如图3-1-2所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()图3-1-2A．4,4B．3,4C．5,4 D．4,3D[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.][跟踪训练]1．下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【导学号：37102359】A B C DB [二分法的理论依据是零点存在性定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B 图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A ，C ，D 零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．]用二分法求函数零点的近似值 [探究问题]1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？ 提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1的一个负零点(精确度0.01).【导学号：37102360】思路探究：确定初始区间――→二分法定新的有解区间――→检验精确度ε得零点近似值 [解] 确定一个包含负数零点的区间(m ，n )，且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：可取为－1.929 687 5.母题探究：1.(变条件)求本例函数f(x)在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值．[解]因为f(－1)>0，f(－2)<0，且函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：由于|－1.875＋1.937 5|＝0.062 5<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.937 5.2．若将典例2函数改为“f(x)＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？(精确度0.1)[解]确定一个包含正数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因为f(0)＝－6<0，f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：[当堂达标·固双基]1．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是()A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解D[二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.]2．通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是()【导学号：37102361】A B C DC[在A中，函数无零点．在B和D中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符号相同，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C 中的函数能用二分法求其零点．]3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]A[∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间).【导学号：37102362】(2,3)[因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．]5．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：[解]因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．3．2.1 几类不同增长的函数模型[提出问题]观察如表给出的函数值：问题1：函数f (x )，g (x )，h (x )随着x 的增大，函数值有什么共同的变化趋势？ 提示：函数f (x )，g (x )，h (x )随着x 的增大，函数值增大． 问题2：函数f (x )，g (x )，h (x )增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中f (x )＝2x增长得最快，其次是g (x )＝x 2，最慢的是h (x )＝log 2x .[导入新知]指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x(a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n(n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝a x(a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，使得当x >x 0时，就有log a x <x n<a x(a >1，n >0)． [化解疑难]对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势[例1] 1234关于x呈指数函数变化的变量是________．[解析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2 变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案] y2[类题通法]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝x n(n >0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [活学活用]今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f (6)，g (6)，f (2 017)，g (2 017)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x. (2)∵f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)，∴1<x 1<2,9<x 2<10， ∴x 1<6<x 2,2 014>x 2.从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )， ∴f (2 014)>g (2 014)． 又∵g (2 014)>g (6)，∴f (2 014)>g (2 014)>g (6)>f (6)． [类题通法]由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[活学活用]函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异[以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较]．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x . (2)当x <x 1时，g (x )>f (x )； 当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )； 当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x ).[例3] 43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年生产量y 与年份x 的关系？[解] 建立年生产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． ①构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0， 则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.②构造指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由①②可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年生产量y 与年份x 的关系． [类题通法]不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学活用]某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y 随生源利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求．12.搞错函数的变化规律而致误[典例] 下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( )A ．y ＝1100e xB ．y ＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x[解析] 指数爆炸式形容指数函数． 又∵e>2， ∴1100e x 比100·2x增大速度快． [答案] A [易错防范]1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>1100，所以100·2x比1100e x 增大速度快的错误结论．2．函数y ＝a ·b x＋c (b >0，且b ≠1，a ≠0)图象的增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b >1，a >0)，常形象地称为指数爆炸．[活学活用]四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D.[随堂即时演练]1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50 B ．y ＝1 000x C ．y ＝2x －1D ．y ＝11 000ln x解析：选C 指数函数模型增长速度最快，故选C.2．三个变量y 1，y 2，y 3，随着自变量x 的变化情况如下表：则关于xA．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2解析：选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x 的变化符合此规律，故选C.3．若a>1，n>0，那么当x足够大时，a x，x n，log a x的大小关系是________．解析：∵a>1，n>0，∴函数y1＝a x，y2＝x n，y3＝log a x都是增函数．由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x足够大时，a x>x n>log a x.答案：a x>x n>log a x4．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2比x ln x增长要快．答案：y＝x25．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．”你觉得哪个公司在10天内捐款最多？解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示：[课时达标检测]一、选择题1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如下图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点解析：选D 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.2．已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有( )A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1解析：选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.3．有一组实验数据如下表所示：A．y＝log a x(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝log a x＋b(a>1)解析：选C 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )A．2x>x 12>lg x B．2x>lg x>x12C．x 12>2x>lg x D．lg x>x12>2x解析：选A 结合y＝2x，y＝x 12及y＝lg x的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x12>lg x.5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y 年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.二、填空题6．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案：y17．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________．解析：由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③8．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样． 其中，正确信息的序号是________．解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．答案：①②③三、解答题9．函数f (x )＝1.1x，g (x )＝ln x ＋1，h (x )＝x 12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．。