上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高三数学月考一试卷 2019.3一、填空题（第1题至第6题，每题4分；第7题至第12题，每题5分，共54分）只要求直接填写结果，否则一律得零分．1、二项式()52x -的展开式中，3x 项的系数为 ．2、若{}1,2,3A =，{}3,5B =，用列举法表示{}2,A B a b a A b B *=-∈∈= ．3、已知b i +、()2,ai a b -∈R 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，则q = ．4、某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有 篇．5、设0,1a a >≠，行列式log 11201223a xD -=-中第3行第2列的元素的代数余子式记作y ，函数()y f x =的反函数经过点()1,2，则a = ．6、国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如右图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“ ”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744， 也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，则n= （其中i 为虚数单位）． 7、在三棱锥D A BC -中，2A C BC =3CDCD ⊥平面A BC ，90A CB ∠=︒．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为 ．8、某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共 10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3） 各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为 ．9、已知()y f x =是周期为π的函数，且()sin ,0,2,,02x x f x x x ππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎤⎪-∈- ⎥⎪⎝⎦⎩，则方程()14f x =的解集为 ．10、若函数()()arcsin 1f x x =-的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函教的图像交于另外两点P 、Q ，O 是坐标原点，则()OP OQ OA +⋅= ．11、已知集合(){}22,1M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(),x y M ∈，均有(),x y M λμ∈，则称(),λμ是集合M 的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是 ．①(){},1λμλμ+=； ②()22,143λμλμ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；③(){}22,2λμλμ-=； ④(){}2,4λμλμ=． 12、对任意x ∈R ，函数()f x 满足：()()()2112f x f x f x +-，()()2n a f n f n =-，数列{}n a 的前15项和3116-，数列{}n c 满足()12019n n n c c f ++=⎡⎤⎣⎦，若数列{}n c 的前n 项和的极限存在，则1c = ． 二、选择题（每题5分，共20分） 13、cos cot 0θθ>，则角所在的象限是：（ ）A ．第二或第三象限B ．第一或第四象限C ．第三或第四象限D ．第一或第二象限14、如图，已知三棱锥P A BC -，PA ⊥平面A BC ，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面A BC 所成的角为α，与直线BC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ>B ．αβ=C ．αβ<D ．不能确定15、已知n ∈N ，x ∈R ，则函数()22lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图像是（ ）16、已知点P 为椭圆221916x y +=上的任意一点，点12,F F 分别为该椭圆的上下焦点，设1221,PF F PF F αβ=∠=∠，则sin sin αβ+的最大值为（ ）A 47 C ．98 D ．32三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．函数()()cos f x A x ωφ=+（0A >，0ω>，2πφ<）部分图像如图所示．（1）求()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()sin 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，A B 为圆O 的直径．（1）若圆柱1OO 的体积V 为12π，2OA =，120A OP ∠=︒， 求异面直线1A B 与AP 所成的角（用反三角函数值表示结果）； （2）若圆柱1OO 的轴截面是边长为2的正方形，四面体1A A BP 的外接球为球G ，求,A B 两点在球G 上的球面距离．19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形 足球运动场地，如图所示，其中CD 是足球场地边线所在的 直线，球门A B 处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点P ）在运动场上观察球门的角A P B ∠称为视角． （1）当运动员带球沿着边线1DD 奔跑时，设P 到底线的距离 为PD x =码，试求当x 为何值时A P B ∠最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角A P B ∠越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线 的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门 点，以A B 的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求 在球场区域11A DD A 内射门到球门A B 的最佳射门点的轨迹．20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．已知曲线C ()()2210x a y ax a -+=->．（1）当12a =时，试确定曲线C 的形状及其焦点坐标； （2）若直线2:l y a =-交曲线C 于点M 、N ，线段M N 中点的横坐标为2-，试问此时曲线C 上是否存在不同的两点A 、B 关于直线l 对称？（3）当a 为大于1的常数时，设()11,P x y 是曲线C 上的一点，过点P 作一条斜率为()2111a x y -的直线l ，又设d 为原点到直线l 的距离，12,r r 分别为点P 与曲线C 两焦点的距离，12r r d ⋅是一个定值，并求出该定值．21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的2,n n *∈N ≥恒成立，n S 为其前n 项的和，且484,36a S ==． （1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）数列{}n b 满足()12122321213212n n n k n k n n b a b a b a b a a --+-+++++=--，其中1,2,,,k n n *=∈N ．①证明：数列{}n b 为等比数列；②求集合()3,,,p m m p a a m p m p b b *⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ．参考答案一、填空题1、40-2、{}1,3±±3、54、185、26、1- 738、19339、()11arcsin 44x x k x k k ππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭Z 或 10、2 11、②③ 12、37二、选择题13、D 14、C 15、B 16、D 三、解答题17、（1）()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()g x 在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3318、（1）异面直线1A B 与AP 所成的角为arc（2）,A B 两点在球G上的球面距离为R A GB ⋅∠=．19、（1）()tan tan 3644tan tan 1tan tan 13644x x DPB DPAA PB DPB DPA x xDPB DPA -∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+⋅2883111584158424112x x x x x x==++⋅当且仅当1584x x=，即1211x =时，tan A PB ∠311，又tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，∴当tan A PB ∠取得最大值时，A P B ∠最大，∴x =，A P B ∠取得最大值311（2）过点P 作PE CD ⊥于E ，设点(),P x y ，其中0x >，440y <≤， ()tan tan 44tan tan 1tan tan 144x xEPB EPA y y A PB EPB EPA x xEPB EPA y y -∠-∠-+∠=∠-∠==+∠⋅∠+⋅-+()22222416881616162y xy x y y x x x x-===-+--+⋅当且仅当216y x x-=，即216x y -tan A PB ∠2416y -，此时轨迹方程为()2210,4401616y x x y -=><≤，其表示焦点为(0,42±，实轴长为8的等轴双曲线在0,440x y ><≤的一部分．20、（1）当12a =2211122x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，两边平方并化简得22134y x +=， ∴曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，其长半轴长为13，焦点坐标为1,02⎛⎫± ⎪⎝⎭； （2）将:l y a =-代入()2222:110C a x y a -++-=，消去y ， 得()22232420a x a --+-=4=-，即2460a --=，解得a =a =（舍），此时，:l y =，22:1C x y -=，设:A B l y m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将A B l 代入22:1C x y -=，得2210x m -++=，则21244022m x x m⎧∆=->⎪⎨+=⎪⎩，,A B 的中点坐标为)2,m m -在对称轴l 上，∴222m m -=-2m = 不满足0∆>，∴曲线C 上不存在不同的两点A 、B 关于直线l 对称；（3）222:11y C x a -=-，两焦点坐标为()1,0F a -、()2,0F a ，2211211y x a -=-， ()()211111:a x l y y x x y --=-，即11211y yx x a -=-， ∴2222211121111a d x a x x a -===--+-，用(),x y --替换()()2210C x a y ax a -+->中的(),x y ，可得()10C ax a +>，∴2212111111r r ax ax a x ⋅=+⋅-=-，222212211111a d a x a a x -=-=--21、（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为等差数列满足44=a ，前8项和836=S1134878362+=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩a d a d ，解得111=⎧∴⎨=⎩a d 所以数列{}n a 的通项公式为=n a n（2）①设数列{}n b 的前项和为n B ，由（1）及()()()*21212321nn k n k n k b a a n +-=+=-∈∑N 得()()()()212111212132123212(1)(2)nnk n k k n n k n k k b a n b a n n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩∑∑… 上两式相减，得到()()()11212231313213212-------=+++++n n n n n n b a b a b a b a n()1232251122----++++-n n n b a b a b a n ()()()1232251112222---⎡⎤=++++++++⎣⎦n n n n b a b a b a b a n()1232251122----++++-n n n b a b a b a n()()1212222-=+++++=-++n n n n n b b b b B b b所以()1*32222,-⋅=-+∈N …n n n B b n n 又()1113212-=+b a ，所以11=b ，满足上式 所以()1*2232--+=⋅∈N n n n B b n 当2≥n 时，2112232n n n B b ----+=⋅两式相减，得2132--+=⋅n n n b b ，()()12101122(1)20-----=--==--=n n n n n b b b所以112,2-+==n n n nb b b 所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列． ②由3=p m m p a a b b ，得11322--=m p m p，即320p m p m-=>，∴p m >．令p m n -=，显然*n ∈N ，此时320p m pm -=>变为332n m n m+=，即323n n m =-， 当1n =时，3m =-，不符题意；当2n =时，6m =，符合题意，此时8p =；当3n =时，95m =，不符题意； 当4n =时，1213m =，不符题意；当5n =时，1529m =，不符题意；下证当6n ≥，*n ∈N 时，方程3123nn<-： ∵()()012221122nn nn n C C C n n =+≥++=++ ∴()()223321216410n n n n n n -+≥--=--≥⨯-> ∴233n n ->，显然230n ->，从而3123n n<- 当6n ≥，*n ∈N 时，方程323nnm =-没有正整数解． 综上所述：()(){}*3,|,,6,8p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ．。