高中数学 第二章2.3.3-4直线、平面垂直的性质课件 新人教A版必修2
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人教A版高中数学必修二2.3.3 直线与平面垂直的性质课件
符号表示：
a ,b a // b
a
b
线面垂直性质定理的应用
１、判断下列命题的正误。
√ （1）平行于同一直线的两条直线互相平行（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（×） （3）平行于同一平面的两条直线互相平行（×）
√ （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（ ）
2.如果直线l 平面， (1)若直线m ,则m / /l. (2)若直线m ,则l m. (3)若直线m / /,则m l. (4)若直线m l,则m / /.
因为a ,b ,所以a c,b c,
a
b b'
又因为b' // a,所以b' c.
这样在平面 内，经过 c上同一
c o.
点O就有两条直线 b，b'与c垂直，
显然不可能，因此假设不成立，
β
所以a // b.
思考：通过上题的证明你能得出什么结论？
4、归纳： 直线与平面垂直的性质定理 :
垂直于同一个平面的两条直线平行.
证明：m n o
直线m、n确定一个平面
又l1 m,l1 n, m , n l1 l２ m,l２ n, m , n l２
故 l1 // l2 (线面垂直性质定理)
l1、l2都与l相交
1 2
l1 1
o
l 2 2 l
m n
2.如图，已知平面，，且 =l,CA ,
CB ，A，B是垂足，a , a AB C
⑦ 点O c.
⑧ 这样在平面 内，经过 c上同一
b'
a
b
o·c
β
点O就有两条直线 b，b'与c垂直， ⑨ 与定理矛盾，及假设不成立.
高中数学人教A版必修第二册《空间直线、平面的垂直---直线与平面、平面与平面垂直的性质》名师课件
掌握平面与平面垂直的性质定理.
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.
人教高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定与性质 -三垂线定理 课件
结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
D1
C1
D1O在平面ABCD内的射影是DO
AC与BD垂直
A1
B1
D1O与AC垂直（三垂线定理 ）
你知道吗？ D1B⊥AC
D
C
线射垂直
线斜垂直 A
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
怎样的结果？命题一定成立吗?
P
定理
即:线射垂直
线斜垂直
O α
a
A
定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P PO
P
a OA
P
a PA
O Aa
O Aa
O Aa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
对定理的几点说明
P
1、三垂线定理描述的是斜线PA、
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
2020-2021学年数学人教A版必修2课件：2-3-3、4 直线与平面垂直的性质
3．设 α-l-β 是直二面角，直线 a⊂α，直线 b⊂β，a，b 与 l 都不垂直，那么( C )
A．a 与 b 可能垂直，但不可能平行 B．a 与 b 可能垂直，也可能平行 C．a 与 b 不可能垂直，但可能平行 D．a 与 b 不可能垂直，也不可能平行
解析：当 a，b 都与 l 平行时，则 a∥b，所以 A、D 错，如图， 若 a⊥b，过 a 上一点 P 在 α 内作 a′⊥l，因为 α⊥β，所以 a′⊥β， 又 b⊂β，∴a′⊥b，∴b⊥α，而 l⊂α，∴b⊥l，与 b 和 l 不垂直矛 盾，所以 B 错．
掌握线线、线面、面面垂直的性质和判定是三种垂直相互转 化的关键.由线面垂直可知线与面内任何一条直线都垂直；由线 面垂直亦可得到面面垂直面面垂直的判定.因此说线面垂直是 线线垂直和面面垂直的枢纽.
[变式训练 3] 如图所示，A，B，C，D 为空间四点，在△ ABC 中，AB＝2，AC＝BC＝ 2，等边三角形 ADB 以 AB 为轴转 动．
[重点] 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质及应用． [难点] 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理的理 解，直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质的综合应用．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 直线与平面垂直的性质 [填一填]
1．文字语言：垂直于同一个平面的两条直线 平行． 简记 为：若线面垂直则线线平行．
(3)因为 AB⊥AD，而且四边形 ABED 为平行四边形．所以 BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知 PA⊥底面 ABCD. 所以 PA⊥CD.又 AD∩PA＝A， 所以 CD⊥平面 PAD. 所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， 所以 PD∥EF. 所以 CD⊥EF.又 EF∩BE＝E， 所以 CD⊥平面 BEF.又 CD⊂平面 PCD， 所以平面 BEF⊥平面 PCD.
2021版高中数学人教A版必修2课件：2.3.3 直线与平面垂直的性质
求证:MN∥AD1. 证明:因为ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D. 因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC. 因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
-10-
-8-
2.3.3 直线与平面垂直的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
反思当题中垂直条件很多,但又需证明两条直线的平行关系时,就 要考虑直线与平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.
-9-
2.3.3 直线与平面垂直的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【变式训练】
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点 ,MN⊥平面A1DC.
答案:B
-4-
2.3.3 直线与平面垂直的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
12
1.理解直线与平面垂直的性质定理 剖析:(1)直线与平面垂直的性质定理考查的是在直线与平面垂直 的条件下,可得出什么结论. (2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两 条直线都与同一个平面垂直). (3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“ 垂直”与“平行”关系相互转化的依据. (4)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
-5-
2.3.3 直线与平面垂直的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
12
-6-
2.3.3 直线与平面垂直的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【例题】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D 都垂直相交.求证:EF∥BD1.
-10-
-8-
2.3.3 直线与平面垂直的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
反思当题中垂直条件很多,但又需证明两条直线的平行关系时,就 要考虑直线与平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.
-9-
2.3.3 直线与平面垂直的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【变式训练】
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点 ,MN⊥平面A1DC.
答案:B
-4-
2.3.3 直线与平面垂直的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
12
1.理解直线与平面垂直的性质定理 剖析:(1)直线与平面垂直的性质定理考查的是在直线与平面垂直 的条件下,可得出什么结论. (2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两 条直线都与同一个平面垂直). (3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“ 垂直”与“平行”关系相互转化的依据. (4)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
-5-
2.3.3 直线与平面垂直的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
12
-6-
2.3.3 直线与平面垂直的性质 目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【例题】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D 都垂直相交.求证:EF∥BD1.
人教版高中数学必修二.线面垂直、面面垂直的性质定理教学课件 共18张PP
1、线面垂直的性质：面面垂直的性质：
2、会利用“转化思想”解决垂直问题
β A
B
线面垂直 α a
面面垂直
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
线线平行 3、用条件想性质： 证结果想判定：
4、如何举反例？满足条件的线、面 转动
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
四.知识应用
1、判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
2、a,b表示线, 表示面，正确的是 (3)(4)
(1)a ,ab,则 b/ / (2)a/ /,a b,则 b
证明：假设 a与b不平行.记直线b
和α的交点为o,则可过o作 b’∥a
a
b b’ ∵a⊥α,
α
o
∴b’⊥α.
反证法
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的，
∴a∥b.
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言? a ,b a//bBiblioteka 简述： 线面垂直 如何证明？
线线平行
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
•
1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
人A版数学必修2课件： 第2章 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
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[小组合作型] 线面垂直性质定理的应用
如图 2-3-31 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
M 是 AB 上一点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M 是 AB 的中点．
图 2-3-31
【精彩点拨】 (1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证 AD1⊥平面 A1DC.
(2)求证：AD⊥PB. 【精彩点拨】 (1) 菱形ABCD， ∠DAB＝60°―→ △ABD为
图 2-3-33 正三角形
―→ BG⊥AD 面―PA―D―⊥―底―面―A―B→CD BG⊥平面PAD
(2)要证 AD⊥PB，只需证 AD⊥平面 PBG 即可．
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【自主解答】 (1)如图，在菱形 ABCD 中，连接 BD， 由已知∠DAB＝60°，
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图 2-3-32
面面垂直性质定理的应用
如图 2-3-33 所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的
一点，四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形且∠DAB＝60°，侧面 PAD
为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.
(1)若 G 为 AD 的中点，求证：BG⊥平面 PAD；
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1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、 面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能 灵活地运用它们．
2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑 垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．
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[再练一题] 1．如图 2-3-32，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足为 B，直线 a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 【证明】 因为 EA⊥α，α∩β＝l，即 l⊂α，所以 l⊥EA. 同理 l⊥EB.又 EA∩EB＝E，所以 l⊥平面 EAB. 因为 EB⊥β，a⊂β，所以 EB⊥a， 又 a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以 a⊥平面 EAB. 由线面垂直的性质定理，得 a∥l.
高中数学 2.3.3直线与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2
3. 如 图 所 示 ， 在 长 方 体 ABCD －
A1B1C1D1 中 ， E∈ 平 面 ABCD ， F∈ 平 面
A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD．
求证：EF∥AA1. [分析] 只需证明AA1⊥平面ABCD即可．
[证明] ∵AA1⊥AB，AA1⊥AD，且AB∩AD＝A，AB⊂平面 ABCD，AD⊂平面ABCD，
(2)若SD交平面AEF于G，求证：AG⊥SD．
[分析] (1)要证明AF⊥SC，转化成证明SC⊥平面AEF，充 分利用其中的垂直关系．
(2)要证AG⊥SD，转化成AG⊥平面SDC．
[知识拓展] 直线与平面垂直的性质 (1) bl⊥⊂αα⇒l⊥b； (2) ab⊥ ⊥αα⇒a∥b；
(3) aa∥⊥bα⇒b⊥α； (4) aα⊥∥αβ⇒a⊥β； (5) aa⊥⊥αβ⇒α∥β.
●预习自测
1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，
过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直
∴AA1⊥平面ABCD．
又∵EF⊥平面ABCD， ∴EF∥AA1.
规律总结：证明线线平行可转化为线面垂直，即转 化为证明这两条直线同时垂直于一个平面．
高效课堂
●互动探究
利用线面垂直的性质证明平行问题
如 图 ， 正 方 体 A1B1C1D1 － ABCD 中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于一ห้องสมุดไป่ตู้个平面内的两条____相__交__直线，则这条直线垂直于这个平面．
3．如图，长方体AC1中，二面角D1－AB－D的平面角是 ()
A．∠D1AB B．∠D1BA C．∠D1AD D．∠D1DA [答案] C
学练考高中数学2.3.3、2.3.4直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2
解： (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA. ∵△PCD为正三角形， ∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝ 3. ∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD. 又AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM. ∵四边形ABCD是矩形， ∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形． 由勾股定理可求得EM＝ 3，AM＝ 6，AE＝3， ∴EM2＋AM2＝AE2，∴AM⊥EM. ∵PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.
图 2-3-55 证明：过点 A 作 AE⊥PB，垂足为 E， ∵平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB∩平面 PBC＝PB，∴AE⊥平面 PBC. ∵BC⊂平面 PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC. ∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面 PAB.
第二十四页，共28页。
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 D -ABC 的体积．
图 2-3-18
第十五页，共28页。
2.3.4 │ 考点(kǎo diǎn)类析
解：(1)证明：在图(a)中，可得 AC＝BC＝2 2，从而 AC 2 ＋BC 2＝AB 2，故 AC⊥BC.因为平面 ADC⊥平面 ABC，平面
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
当堂自测
1．已知直线 b⊥平面 α，直线 a⊂α，则 a 与 b 的位置关系 是( )
A．a∥b B．a⊥b C．a 与 b 垂直相交 D．a 与 b 垂直且异面 [答案]B
第二十五页，共28页。
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
2．已知平面 α，β，直线 l，若 α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B．垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C．垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D．垂直于直线 l 的平面一定与平面 α、β 都垂直
图 2-3-55 证明：过点 A 作 AE⊥PB，垂足为 E， ∵平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB∩平面 PBC＝PB，∴AE⊥平面 PBC. ∵BC⊂平面 PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC. ∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面 PAB.
第二十四页，共28页。
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 D -ABC 的体积．
图 2-3-18
第十五页，共28页。
2.3.4 │ 考点(kǎo diǎn)类析
解：(1)证明：在图(a)中，可得 AC＝BC＝2 2，从而 AC 2 ＋BC 2＝AB 2，故 AC⊥BC.因为平面 ADC⊥平面 ABC，平面
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
当堂自测
1．已知直线 b⊥平面 α，直线 a⊂α，则 a 与 b 的位置关系 是( )
A．a∥b B．a⊥b C．a 与 b 垂直相交 D．a 与 b 垂直且异面 [答案]B
第二十五页，共28页。
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
2．已知平面 α，β，直线 l，若 α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B．垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C．垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D．垂直于直线 l 的平面一定与平面 α、β 都垂直
人教A版高中数学必修2第二章2.3.3直线与平面垂直的性质课件(共19张PPT)
（2）若AD＝1，AB＝ 2 ，求EC与平面ABCD
所成的角。 E
Page 17
D
M A
C B
思考:对于三个平面α、β、γ，如果α⊥γ， β⊥γ那么直线l与平面γ的位置关系如何？ 为什么？
β l
α
l2
n
m
γ
l1
Page 18
如果两个相交平面都垂直于另一个平面， 那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
（ ×） (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
√ 垂线必垂直于平面β（ ）
Page 14
例5. , a , a ,判断a与位置关系
解：设 l
在α内作直线b ⊥l
α
β
b l
A
a
b
bl
l
b 又a
a // b
b
LOGO
直线与平面垂直的性质
由NordriDesign™提供
温故知新
1.直线与平面垂直的定义
如果直线 l与平面 内的任意一条直线都垂直 ，我们说直线 l与平面 互相垂直，记作 l ．
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直．
3、两个平行平面中的一个垂直于一条直线， 则另一个平面也垂直于这条直线。
Page 9
Page 10
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，直线l在平 面α内，那么直线l与平面β的位置关系有哪几种 可能？
αl β
αl β
α
l β
Page 11
思考:一般地， , CD
AB , AB CD ,垂足为B，那么直
a //
所成的角。 E
Page 17
D
M A
C B
思考:对于三个平面α、β、γ，如果α⊥γ， β⊥γ那么直线l与平面γ的位置关系如何？ 为什么？
β l
α
l2
n
m
γ
l1
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如果两个相交平面都垂直于另一个平面， 那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
（ ×） (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
√ 垂线必垂直于平面β（ ）
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例5. , a , a ,判断a与位置关系
解：设 l
在α内作直线b ⊥l
α
β
b l
A
a
b
bl
l
b 又a
a // b
b
LOGO
直线与平面垂直的性质
由NordriDesign™提供
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1.直线与平面垂直的定义
如果直线 l与平面 内的任意一条直线都垂直 ，我们说直线 l与平面 互相垂直，记作 l ．
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直．
3、两个平行平面中的一个垂直于一条直线， 则另一个平面也垂直于这条直线。
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Page 10
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，直线l在平 面α内，那么直线l与平面β的位置关系有哪几种 可能？
αl β
αl β
α
l β
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思考:一般地， , CD
AB , AB CD ,垂足为B，那么直
a //
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∩
B
∩
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解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
1、直线和平面垂直的性质定理； 2、平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直。 3、空间垂直关系有那些？ 如何实现空间垂直关系的相互转化？ 请指出下图中空间垂直关系转化的定理依据？
§2.３.３直线与平 面垂直的性质
1、线面垂直的概念
1、定义 2、判定定理
2、如何判定线面垂直？
3、在空间，过一点，有几条直线与已知 平面垂直？过一点，有几个平面与已知直 线垂直？
4、我们已经知道：
如果两条平行线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于这个平面.
那么：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么 这两条直线是否平行？
O
B
★平面与平面垂直的性质定理的应用★
如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一 点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC. 证明: ∵AB是⊙O的直径
∴AC⊥BC P
∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC F .O ∴PA⊥BC ∵PA∩AC=A A ∴BC⊥平面PAC C ∵BC 平面PBC ∴平面PBC⊥平面PAC 又∵AF⊥PC,AF 面PAC ,面PBC∩面PAC=PC ∴AF⊥平面PBC
C B
两个平面垂直，其中 一个平面内垂直于交 线的直线垂直于另一 个平面。
概括结论
b l bl
b
A
b
l
O
严格证明
已知 , CD, AB , AB CD于B.
求证 : AB .
证明:在平面 内作BE⊥CD,
b
l
b l b l 简述为：
b
面面垂直
线面垂直
知识应用举例
（1）若b ,则b 。 × （2）若 =l,b l则b 。 ×
例 1、已知：两个平面与 互相垂直，判断下列命题是否正确：
（3）若b ,则b垂直于平面内的无数条直线。
该命题正确吗？
b
Ⅰ. 观察实验
（1）观察黑板所在的平面 和地面，它们是互相垂直的 ，那么黑板所在的平面里的 任意一条直线是否就一定和 地面垂直？
两个平面垂直，其 中一个平面的直线 不一定垂直于另一 个平面。
D’ A’ B’
C’
D
（2）观察长方体ABCDA`B`C`D`中，平面AA`D`D与 A 平面ABCD垂直，你能否在 平面AA`D`D中找一条直线垂 直于平面ABCD？
① ③
线线垂直
②
线面垂直
④
面面垂直
①线面垂直的判定定理
②线面垂直的定义
③面面垂直的判定定理 ④面面垂直的性质定理
作业: P73练习：1，2.（做书上） P73习题2.3A组：2. P74习题2.3B组：3.
P
Q
α
2)互相平行的直线和平面的距离：
一条直线和一个平面平行时，这条 直线上任意一点到这个平面的距离，叫 做这条直线和这个平面的距离.
P P`
Q
Q`
α
练习1:
P71练习：1，2.（做书上）
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理
二、新课讲授：
1、问题：
a ，b a // b 是否成立？
β
a b
b’
α
O
2、直线和平面垂直的性质定理： 如果两条直线同垂直于一个平面，那么 这两条直线平行.
β
图形语言：
a
b
α 符号语言： a ，b a // b
3、直线到平面垂直的距离：
1）点到平面的距离： 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和 垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
（1）过点P且垂直于的直线a是否一定在内？
（2）过点P且垂直于的直线l与 是什么位置关系？并证明
n l
P
m
例3、如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， (1)求证：BC⊥平面PAC。 (2)判断平面PBC与平面PAC是否垂直，并证明。
P
C
A
(4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线 必垂直于另一个平面。
√
√
l
例2、平面与平面互相垂直， m, P , P m, 判断：
（1）过点P且垂直于的直线a是否一定在内？
（2）过点P且垂直于的直线l与 是什么位置关系？并证明
a
P
m
b
例2、平面与平面互相垂直， m, P , P m, 判断：
一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直。
符号表示：
b
b b 线面垂直
面面垂直
b 中的条件 b 与 如果将 b 结论 的位置调换一下，构造这样的 一个命题： b b
A D
垂足为B.
则∠ABE就是二面角 -CD- 的平面角 ∵
B C
E
, ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)
又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B
∴AB⊥ (直线与平面垂直的判定定理)
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平 面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直.
符号表示：