4.3 积分的计算(3)
4.3分部积分法-习题
第 4 章 不定积分分部积分法 习题解1．求以下不定积分： ⑴xsin xdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 sin x 作为先积分部份，得x sin xdxxd( cosx) ---- sin xdx cos x cxcosxcos xdx---- udv uvvduxcosx sin x c ----cosxdx sin x c⑵ arcsin xdx ； 【解】被积函数已经拥有udv 的构造，能够考虑直接套用分部积分公式，得arcsinxdx xarcsin xxd arcsin x----udv uvvdux arcsin x 1 dx---- 整理x1 x 2x arcsin x 11 d (1 x2 ) ---- d (1 x 2) 2xdx21 x 2x arcsin x 1 x 2 c⑶xln( x 1)dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的ln( x 1) ，则应将另一部份 x 作为先积分部份，得x ln( x 1)dxln( x 1)d 1 x 2----xdx 1 x 2 c221 x 2ln( x 1)1x 2d ln( x 1) ----udv uvvdu221 x2 ln( x 1) 1 x 2 1 dx---- 整理22 x 11 x2 ln( x 1) 1 ( x 1 1 )dx ---- 化假分式为多项式 +真分式 2 2 x 1 1x 2 ln( x 1) 1 ( 1 x 2 x ln x 1) c2 2 21 (x2 1)ln( x 1) 1x 2 1 x c 2 4 2⑷xe x dx；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 e x作为先积分部份，得xe x dx xd ( e x ) ---- e x dx e x cxe x e x dx ---- udv uv vduxe x e x c ---- e x dx e x c( x 1)e x c⑸ e x cosxdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的 e x作为先积分部份，得e x cosxdx cosxd( e x ) ---- e x dx e x ce x cosx e x d cosx ---- udv uv vdue x cosx e x sin xdx ---- d cos x sin xdxe x cosx sin xd( e x ) ---- e x dx e x ce x cosx [ e x sin x e x d sin x] ---- udv uv vdue x (sin x cos x) e x cosxdx ---- d sin x cosxdx即有e x cosex(sin x cos x) excosxdx xdx移项、整理得 2 e x cosxdx e x (sin x cosx) C1整理得积分结果 e x cosxdx 1 e x (sin x cosx) c2【解法二】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得e x cosxdx e x d sin x ---- cosxdx sin x ce x sin x sin xde x ---- udv uv vdue x sin x ( e x )sin xdx ---- de x e x dxe x sin x e x d ( cosx)----sin xdxcosx c e x sin x e x ( cosx) ( cosx)de x ----udv uv vdue x (sin x cos x) (cosx)( e x )dx---- dexe x dxe x (sin x cos x)e x cosxdx----整理xcos xx即有exdx e (sin x cos x)ecosxdx将右侧的积分项移到左侧，整理得2 e x cos xdx e x (sin x cos x) 最后得积分结果e x cosxdx1 e x (sin x cosx) c2⑹x 2arctanxdx；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的arctanx ，则应将另一部份 x 2 作为先积分部份，得x 2arctan xdx arctan xd 1x 3----x 2 dx 1 x 3 c33 1x 3arctanx 1x 3 d arctanx----udv uvvdu3 31 x 3 arctanx 1 x 3 1 12 dx---- d arctan x1 12 dx33 xx1x 3 arctanx 1 ( x1 x2 ) dx ---- 化假分式为多项式 +真分式3 3 x1x 3 arctanx 1 ( 1 x 21 x dx)----分别积分3 3 2x 21x 3 arctanx 1 [ 1 x 2 1 1 2 d (1 x 2 )]---- d (1 x 2) 2 xdx3 3 2 2 1 x1x 3arctanx 1 [ 1 x 2 1ln(1 x 2)] c ---- 1du ln uc 3 3 2 2u1x 3arctanx 1 x 2 1ln(1 x 2 ) c----整理3 6 6⑺ x cos xdx ；2【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，将乘积中的 cos x作为先积分部份，得2cos x dx 2 cos x dx2sinxx cos xdxxd 2sinx----c2222 22x 2 x----udv uvvdu2x sin sin dx2 2x 2( 2cos xc ----xdxx x2cosx 2x sin) sin 2 sin dc2 222 222x sinx4cosxc---- 整理22⑻ln xdx ；【解】积分式已经拥有udv 的形式，能够直接套用分部积分公式，得ln xdxx ln xxd ln x---- udv uvvdux ln xx 1----d ln x1dxdxxxx ln x dx---- 整理xln x x c----dx x cx(ln x 1) c⑼ xsin x cosxdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得x sin x cosxdxx sin xd sin x----cos xdx sin x cxd 1 sin 2 x---- 仍为两不一样种类函数的乘积-- xuduxd 1 u 2221xsin 2x 1sin 2 xdx----udv uvvdu221xsin 2 x1 1 cos2x dx---- sin 2x1 cos2x2 2 22 1xsin 2x 1( x cos2xdx)---- 分别积分241 xsin2 x 1 ( x 1 cos2xd2x)----d 2x 2dx2 4 21 xsin2 x 1 ( x 1 sin2 x) c ----cosudu sin u c2 4 21xsin 2x 1 x 1sin 2x c ----整理2 4 8【此题解答案与课本后答案能够互化：1x sin 2x 1 x1sin2x c 1 x 1 cos2x 1 x 1sin 2x c1 1 x cos2x 1 1 c11xx sin 2xx cos2xsin 2 x c 】444 848【解法二】为利于积分的进行，先将乘积中的sin x cos x 化简为1sin 2x ，并将其作为先积2分部份，得x sin x cosxdx1 x sin 2xdx---- sin x cos x1sin 2x221 xd ( 1cos2x)----sin 2xdx1cos2 x c2 221 [ 1xcos2x ( 1cos2 x) dx]----udv uvvdu2 221x cos2x 1 cos2xdx ---- 整理4 41x cos2x 1cos2 xd2x ----d2x 2dx4 81x cos2x 1sin 2x c----cosudu sin uc4 8⑽x tan 2xdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，为便于积分，先将乘积中的tan 2 x 化为易于积分的 sec 2 x 1 ，得x tan 2 xdx x(sec 2 x 1)dx---- tan 2 x sec 2x 1( xsec 2 x x)dx---- 整理1 x2 xsec 2 xdx----分别积分21 x2 xd tan x----sec 2 xdx tan x c21 x2 x tan xtan xdx----udv uvvdu21 x2 x tan x sin x dx ---- tan xsin x 2cosxcos x1 x2 x tan x 1 d cos x ---- d cos xsin xdx2cosx1 x2 x tan x ln cosx c----1 du ln u c2uln 3 x ⑾ x 2 dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的ln 3 x ，则应将另一部份1作为先积分部份，得x23 xdxln 3 xd 1 12 dxln 2 ---- 1 c x x x xln 3 x 1d ln 3 x ---- udv uv vdux xln 3 x 1 3ln 2 x dx ---- d ln 3 x 3ln 2 x 1dxx x x xln 3 x 3 ln 2 x dx ---- 整理，并再次应用上边的方法x x2ln 3 x3ln 2 1----1 1cx xdx2 dxx xln 3 x 3ln 2 x 1 d3ln 2 x ---- udv uv vdu x x xln 3 x 3ln 2 x 1 6ln x 1dx ---- d 3ln 2 x 3 2ln x1dxx x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x---- 整理，并再次应用上边的方法x x x 2 dxln 3 x 3ln 2 x 6ln xd 1 ---- 12 dx 1 cx x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x 1d 6ln x ---- udv uv vdu x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x6 1---- d 6ln x6x x x2 dx dx x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6 c ---- 12 dx 1 cx x x x x x1(ln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6) c ---- 整理x⑿(arcsin x)2 dx ；【解】积分式已经拥有udv 的形式，能够直接套用分部积分公式，得(arcsin x) 2 dx x(arcsin x)2 xd(arcsin x)2 ---- udv uv vdu x(arcsin x)2 x 2arcsin x dx---- d (arcsin x) 2 2arcsin x 1 dx1 x2 1 x2x(arcsin x)2 arcsin x 2x dx ---- 整理1 x2x(arcsin x)2 arcsin xd( 2 1 x2 )---- 2x dx 1x2 d (1 x2 ) 2 1 x2 c1 x2 1x(arcsin x)2 [ 2 1 x2 arcsin x ( 2 1 x2 )d arcsin x] ---- udv uv vdux(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 1 x2 1 dx1 x2---- d arcsin x1dx 1 x2x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 dx ---- 整理x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 x c⒀x2 e x dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，将乘积中的 e x作为先积分部份，得x2 e x dx x2d ( e x ) ---- e x dx e x cx2e x ( e x )dx2 ---- udv uv vdux2e x e x 2xdx ---- 整理x2e x 2xd( e x ) ---- e x dx e x cx2e x 2xe x ( e x )d 2x ---- udv uv vdux2e x 2xe x 2 e x dx ---- 整理x 2e x 2xe x 2e x c ----e x dx e x ce x ( x 2 2x 2) c----整理3⒁ e x dx ；【解】 被积函数中含根式， 且根指数与根号内多项式的次数不等，可应用第二换元积分法中的直接变换法，去掉根号后，再用分部积分法求解。
高二数学必修一知识点总结
高二数学必修一知识点总结一、函数的概念与性质1.1 函数的概念函数是一种特殊的关系，它表示自变量和因变量之间的对应关系，通常用f(x) 表示。
其中，x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是因变量可能取值的集合。
1.2 函数的性质1）奇偶性：当 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；当 f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
2）周期性：对任意 x，若 f(x+T) = f(x)，则称函数 f(x) 有周期 T。
3）单调性：当 x1<x2 时，若 f(x1)<f(x2)，则函数 f(x) 在区间 (x1，x2) 上单调递增；若f(x1)>f(x2)，则函数 f(x) 在区间 (x1，x2) 上单调递减。
4）有界性：若在定义域内存在实数 M，使得|f(x)|≤M，则称函数 f(x) 有界。
5）最值：若在定义域内 f(x) 的值不小于（或不大于）其他任何值，称 f(x) 在定义域内有最小（或最大）值。
1.3 常见函数1）一次函数：f(x) = ax+b，a≠0。
它的图象是一条直线，斜率 a 表示直线的斜角，b 表示直线与 y 轴的交点。
2）二次函数：f(x) = ax^2+bx+c，a≠0。
它的图象是一条开口向上或向下的抛物线，顶点坐标为 (-b/2a, c-b^2/4a)。
3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0，且a≠1。
它的图象是右上方延伸的曲线，当a>1 时，图象在 x 轴的右侧逐渐上升；当 0<a<1 时，图象在 x 轴的右侧逐渐下降。
4）对数函数：f(x) = loga(x)，其中 a>0，且a≠1。
它的图象是关于直线 y=x 对称的曲线，与 x 轴有交点 (1,0)。
5）三角函数：包括正弦函数 y = sinx、余弦函数 y = cosx、正切函数 y = tanx、余切函数 y = cotx、正割函数 y = secx 和余割函数 y = cscx。
§4-3__分部积分法
x
e sinx ( e cos x e d cos x )
x x
u dv
e x (sin x cos x ) e x sin xdx 注意循环形式
ex e x sin xdx (sin x cos x ) C 2
12
分部积分法
e kx sin(ax b)dx ,
例
arctan e x e x dx
令 u ex
解一:先换元再分部
arctan u 1 arctan e x du dx x e u u 1 arctan ud ( ) u 1 1 1 arctan u 2 du u u 1 u
23
1 1 u arctan u [ 2 ]du u u 1 u 1 1 arctan u ln u ln(1 u2 ) C u 2 1 x x e arctan e x ln(1 e 2 x ) C 2
11
x sin xdx . 例 求 e 应用分部积分法时,可不明显地写出如何选 取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况) e x sin xdx sin xde x 解 u u dv e x sinx e x d(sin x )
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
4
分部积分法
udv uv vdu
分部积分公式
恰当选取u和dv是一个关键, 选取u和dv的一般原则是: (1) v要易求;
(2)
vdu 比 udv 易求.
5
二、例 题
例 求 x cos xdx .
矩阵的微分与积分
4. 应用
x1 '( t ) a11 x1 ( t ) a12 x2 ( t ) a1n xn ( t ) b1 ( t ) x2 '( t ) a21 x1 ( t ) a22 x2 ( t ) a2 n xn ( t ) b2 ( t ) x '( t ) a x ( t ) a x ( t ) a x ( t ) b ( t ) n1 1 n2 2 nn n n n
4.3 矩阵的微分与积分
1. 矩阵的微分
2. 矩阵的积分
3. 其他微分概念
4. 应用
1. 矩阵的微分
如果矩阵A(t)=(aij(t))∈Cm×n的每个元素aij(t)都是t 的可微函数，则A(t)关于t的导数(微商)定义为： dA t t A t aij . mn dt
定理2：设A是n阶常数矩阵，则
d tA (1) e Ae tA e tA A; dt d (2) cos( tA) A sin( tA) sin( tA) A; dt d (3) sin( tA) A cos( tA) cos( tA) A. dt
2. 矩阵的积分
x1 df df , T. 例1 设 x , 求 dx dx x n
例2 设b是n维列向量，x=[x1,…,xn]T，f(x)=xTb， 求df/dx。 例3 设A是n阶矩阵，x=[x1,…,xn]T，f(x)=xTAx， 求df/dx。 例4 设A∈Rm×n，b∈Rm，若x∈Rn使得||Ax-b||2 =min，则ATAx=ATb。 例5 设X=(xij)∈Rn×n，f(X)=[tr(X)]2，求
定理3：齐次微分方程 x( t ) A x( t ) 的通解为： x(t ) e tAc, 其中c是任意常向量。若再加上初始条件x(t0)=x0， 则其解为 x ( t ) e ( t t 0 ) A x0 . 例8 设矩阵
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
积分的计算
积分的计算：解决三个问题，1）被积函数；2）积分变元；3）积分区域。
（三）二重积分的计算 (,)Df x y d σ⎰⎰（1）直角坐标系1)被积函数不变(,)f x y ；2）积分变元d dxdy σ=；3）积分区域如下 1°先y 后x 积分法（x 型区域）若D : ⎩⎨⎧<<<<)()(21x y x b x a ϕϕ,则21()()(,)(,)bx ax Df x y dx f x y dy ϕϕ=⎰⎰⎰⎰.2°先x 后y 积分法（y 型区域）若D :12()()c y dy x y ϕϕ<<⎧⎨<<⎩, 则 21()()(,)(,)d y c y Df x y d dy f x y dx ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰. （2）极坐标系 ()r r θ= （与直角坐标的关系cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩）1)被积函数不变(cos ,sin )f r r θθ；2）积分变元d rdrd σθ=；3）积分区域如下 1°当极点位于区域D 的边界曲线外时D :12()()r r r αθβθθ≤≤⎧⎨≤≤⎩,则(,)Df x y d σ⎰⎰21()()(cos ,sin )r r d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰.2°当极点位于区域D 的边界时D ：⎩⎨⎧≤≤<<)(0θϕβθαr ，则(,)Df x y d σ⎰⎰=rdr r r f d ⎰⎰βαθϕθθθ)(0)sin ,cos (.3°当极点位于区域D 的边界内部时D ：⎩⎨⎧≤≤<<)(020θϕπθr ，则(,)Df x y d σ⎰⎰=rdr r r f d ⎰⎰πθϕθθθ20)(0)sin ,cos (.通常在积分区域是园、环、扇形及被积函数为两变量平方和时使用x（三）三重积分的计算 (1)直角坐标系1)被积函数不变(,,)f x y z ；2）积分变元d dxdydz σ=；3）积分区域如下 1°投影法：121212:()(): :(,)(,)(,)(,)xy xy x a x bD D y x y y x z x y z z x y z x y z z x y -⎧<<⎧⎧⎨⎪<<ΩΩ⎨⎨⎩<<⎩⎪<<⎩()()()()()()2211,,,,,,by x z x y ay x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz Ω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰注意积分顺序 2°截面法： : zc z dD <<⎧Ω⎨⎩21(,,)(,,)zc c D f x y z dv dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(z D 为平行于xoy 面的平面是z 的函数，通常在可将(,,)f x y z 化为与x.y 无关时使用)（2）柱面坐标系（与直角坐标的关系cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩）1)被积函数不变(cos ,sin ,)f r r z θθ；2）积分变元d rdrd dz σθ=；3）积分区域如下1212:()()(,)(,)xy D r r r z r z z r αθβθθθθ⎧≤≤⎧⎨⎪≤≤⎨⎩⎪≤≤⎩2211()(,)()(,)(,,)(cos ,sin ,)r z r r z r f x y z dv d rdr f r r z dz βθθαθθθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.*（3）球面坐标系 （与直角坐标的关系sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩）1)被积函数不变(cos sin ,sin sin ,cos )f r r r θϕϕθϕ；2）积分变元2sin d r drd d σϕϕθ=；3）积分区域如下0200r R θπϕπ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩ 0200(,)r r θπϕαθϕ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩2(,,)(cos sin ,sin sin ,cos )sin f x y z dv f r r r r drd d θϕϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22sin (cos sin ,sin sin ,cos )Rd d f r r r r dr ππθϕϕθϕϕθϕ=⎰⎰⎰ 积分区域为球，半球，被积函数为三变量的平方和时使用(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算 I:(,)Lf x y ds ⎰II ：(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰⑴ 基本方法：曲线积分−−−→转化定积分; 曲面积分−−−→转化二重积分 第一类线积分：L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，()t αβ≤≤,或 ,(),x x y f x =⎧⎨=⎩()a x b ≤≤ 此例自己思考1)被积函数不变()()(,)f t t ϕψ；2）积分变元ds ==；3）积分区域 t αβ≤≤其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，则(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰第二类线积分：L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，:t αβ→,或 ,(),x x y f x =⎧⎨=⎩:x a b → 此例自己思考1)被积函数不变()()()()(,);(,)P t t Q t t ϕψϕψ；2）积分变元(),(),dx t dt dy t dt ϕψ'=⎧⎨'=⎩；3）积分区域 :t αβ→''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰【定理10.1】 格林（Green ）公式 设函数(,)P x y 和(,)Q x y 在分段光滑的闭曲线L 所围成的闭区域D 上具有一阶连续偏导数，则有()L DQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ 其中L 是D 的正向边界.基本使用原理： 1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y ∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰ 2)11LL L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy +-+=+++⎰⎰⎰1()L DQ Pdxdy Pdx Qdy x y-∂∂=-++∂∂⎰⎰⎰注意闭合曲线与其所围成区域的方向，辅助曲线与闭合曲线的方向利用两类曲线积分的联系公式 【定理10.2】（两类曲线积分之间的关系） (cos cos )LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰其中cos ,cos dx dyds dsαβ==，α和β表示曲线的切向量的方向角.（切向量如何求）第一类面积分：当曲面∑由方程(,)z z x y =给出， 要解决 1、被积函数[,,(,)]f x y z x y ，，23、）积分区域为曲面(,)z z x y =的投影区域xy D(,,)[,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰(xy D 为∑在xoy 面上的投影区域)注：如果积分曲面∑由方程(,)x x y z =或(,)y y z x =给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分.第二类面积分：(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰，(其中∑由方程(,)x x y z =给出前侧取正，后侧取负)(,,)[,(,),]yzD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰,(其中∑由方程(,)y y x z =给出右侧取正，左侧取负)(,,)[,,(,)]yzD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰，(其中∑由方程(,)z z x y =给出上侧取正，下侧取负)利用高斯公式(注意公式使用条件，添加辅助面的技巧)； 【定理10．5】高斯(Gauss)公式设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有(),P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰或()(cos cos cos ),P Q R dxdydz P Q R dS x y z αβγΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，cos ,cos ,cos αβγ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦应用： 1）(),P Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y zΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 2）11Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑∑ ∑∑+-++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1()P Q Rdxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑-∂∂∂=+++++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰两类曲面积分的转化.【定理10．4】两类曲面积分之间的联系(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰，即cos ;cos ;cos dydz dS dzdx dS dxdy dS αβγ===其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.（法向量如何求）。
§4.3 不定积分的分部积分法
不能这样选择
u
和
dv .
微积分 第4章 不定积分
4.3 不定积分的分部积分法
由此可见, 运用分部积分法的关键在于恰当地选择 u 和 dv 一般选择 u 和 (1)
.
dv
的原则是:
v
要容易求得;
(2) 积分 vdu 要容易计算. 按“反函数，对数函数，幂函数， 通常根据被积函数的表达式，
指数函数，三角函数”的顺序， 排前者取为 u
（4.3.1）
udv uv vdu
udv
或
uvdx uv vudx
公式(4.3.1)称为不定积分的分部积分公式.
当求 有困难, 而求
vdu
比较容易时, 分部积分法就
可以发挥作用了.
微积分 第4章 不定积分
4.3 不定积分的分部积分法
例1
解
x xe dx 求
e x cos x e x sin x e x sin xdx
移项有
2 e x sin xdx e x cos x e x sin x C1
1 x e sin xdx 2 e (sinx cos x ) C
x
从而
有些不定积分需要综合运用换元积分法与分部积分法 才能求出结果.
1 2 1 1 1 2 1 x2 x arctan x ( 1 )dx x arctanx dx 2 2 2 2 1 x 2 2 1 x 1 2 x 1 x arctanx arctanx C 2 2 2
微积分 第4章 不定积分
4.3 不定积分的分部积分法
x sinx ( cos x ) C x sin x cos x C .
常见不定积分的求解方法
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载常见不定积分的求解方法地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容常见不定积分的求解方法的讨论马征指导老师：封新学摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。
关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。
The discussion of common indefinite integral method ofcalculatingMa ZhengAbstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly.Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.0引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。
4-4反常积分
f (x) R[a,b],
如果极限
lim
a
b f (x)dx 存在，则称
a
此极限为函数 f(x) 在(- b]上的反常积分，记作
b
f (x)dx . 即
b
f (x)dx lim
b
f (x)dx
a a
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在
时，称反常积分发散.
任意c,如果反常积分
p 1
p1时反常积分发散.
练习1 计算
若F(x)是f(x)的一个原函数，且 lim F(x) 存在，并 x
分别记 lim F(x) F(), lim F(x) F(). 这样
x
x
a
f
( x)dx
[F (x)]a
F ()
F (a)
b
f
( x)dx
[F (x)]b
F (b)
F ()
f
1 xq
因此x=0是被积函数的
瑕点.
q=1
时，
1 0
1 xq
dx
1 0
1 x
dx
ln
x
1 0
q1
时，
1 0
1 xq
dx
1 1 q
x1q
1 0
1 1 q
,
,
q 1 q 1
因此，当0<q<1时收敛； q 1时发散.
例4
证明积分
2 1
dx x(ln x)a
,
当0<a<1时收敛；
a1时发散.
证 x=1是被积函数的瑕点.
c
a
f
( x)dx
和
b
f (x)dx
4-3分部积分法
练习3 求积分 x 3 ln xdx . 4 x 3 解 x ln xdx ln xd ( ) 1 x 4 ln x 1 x 3 dx
1 4
x
4
x ln x
4
1 16
4
4
x C.
4
练习4 求积分 xe dx 解 设 x t , x t 2 , d x 2 td t
对 .
2.形如 e
ax
sin bxdx, e
ax
cos bxdx的不定积分，可
以任意选择u和dv，但应注意, 为要使用两次分部 因 积分公式，两次选择u和dv应保持一致.
例6 求 lnxdx. 解
ln xdx x ln x xd(lnx) x ln x x
例9
求
x arctan x 1 x
2
dx.
2
1 x a
2 2
d x ln
x a x C
2 2
解法一 原式
arctan x 2 1 x
2 d（ x 2） arctan x d 1 x 1+
1 x arctan x 1 x d arctan x 1 2 2 1 x arctan x 1 x dx 2 1 x 1 2 1 x arctan x dx 2 1 x 2 2 1 x arc tan x ln | x 1 x | C.
4.3
移项得
分部积分法
d(uv) vdu udv，
由函数乘积的微分公式
udv d(uv) vdu，
对上式两端同时积分，得 u d v u v v d u ( 1 ) 或 u v' d x u v u ' v d x 公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 . 例1 求 xsin xdx. 解 x sin xdx= xd cos x
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b
x cos xdx xd sin x
x sin x cos x c
x sin x sin xdx
例4 .3.28
2
求 x 2 arctan xdx
1 解 x arctan xdx arctan xdx 3 3 1 3 1 3 x arctan x x d arctan x 3 3 3 1 3 1 x x arctanx dx 2 3 3 1 x 1 3 1 x x arctan x x dx 2 3 3 1 x 1 3 1 1 x x arctan x xdx dx 2 3 3 3 1 x 1 3 1 2 1 x arctan x x ln(1 x 2 ) C 3 6 6
试求
：
x f ( x)dx
0
1
解 由分部积分公式、得
1
0
x f ( x)dx
1
0
xdf (x) xf ( x)
1 0
f ( x)dx
0
1
f (1) f (x ) 1 f (1) f (1) f (0) 0
例4.3.30 设f (x)连续，则有
例4.3.31 解
x
n1
e sin xdx
x
2 0
e sin xdx
x
sin xde x e x sin x e x cos xdx e sin xdx
e x sin x cos xde x e x sin x e x cos x e x d cos x e x sin x e x cos x e x sin xdx
4 .3 .3 分部积分法 定理4.3.4 设u u(x), u v(x) 都具有连续的导数则有 ,
或者
uvdx uv u ' vdx
udv uv vdu
证 因u v(x)， u (x) 是可微的，所以 u
d (uv) udv vdu
即
udv d (uv) vdu
x x
x e 2( x e e dx )
2 x x例4.3.30xnln xdx
解
x n1 x n ln xdx ln xd n 1
2
1
x ln xdx
n1 1 n1 x ln x x d ln x n 1 n 1
1 n1 1 x 1 n ln x x dx n 1 x (ln x n 1) c n 1 n 1
，两边积分，得
udv uv vdu
[ 若u u(x)和 u v( x)在区间 a, b]上 都是连续的导函数
定理4.3.5
或者
b
a
uvdx uv u vdx
b a a
b a b a
b
例4.3.27
解
udv uv 求 x cos xdx
vdu
证
1
0
f (0) f (1) 1 1 f ( x)dx x(1 x) f ( x)dx 2 2 0
0
x(1 x) f ( x)dx 1 x(1 x)df ( x) 0
1
x(1 x) f ( x) f ( x)d[ x(1 x)]
移项,得
2 e x sin xdx e x (sin x cos x) c1
e e sin xdx 2 (sin x cos x) c
x
x
2 0
e x sin xdx 2 sin xde x e x sin x
e cos xde
2 2 0
2 0
0
2 e x cos xdx
0
x
2 0
e 2 (e x cos x
2 e x sin xdx)
0
e 2 1
移项合并，得
2 0
e x sin xdx
2 0
1 2 e sin xdx (e 1) 2
x
例4.3.33
设f (x)在[0,1]上连续，且 f (0) 0, f (1) 1, f (1) 2
例4 .3.29
解
x
2
e dx
x x
x
设u x ， dv e dx de , 则
2
2 x x x 2e x dx x 2de x x 2e x e x dx 2 x e 2 xe dx
ve
x
x
x 2e x 2 xde x
2 x
x e 2 xe 2e c
1 0 0
1
(2 x 1) f ( x) 1 f ( x)d (2 x 1) 0
f (1) f (0) 2 f ( x)dx
0 10
(2 x 1) f ( x)dx (2 x 1)df ( x)
0
1
1
1
0
移项即得所证等式。