计算方法教案
大班数学计算活动教案40篇
大班数学计算活动教案40篇《大班数学计算活动教案40篇》这是优秀的幼儿园教案设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助，快来看看大班数学计算活动教案40篇！（1）大班数学活动教案《学习6的加法》含反思活动设计背景为了让幼儿更快一步适应学前班的加减法，同时也为养成良好的学习习惯，为进入学前班打下良好的基础。
活动目标1.知道6的数量，并能够快速的计算出其数量。
2.让知道快速算出有几只猴子的技巧与方法。
3.让幼儿养成乐于学习数学的好习惯。
4.引导幼儿积极与材料互动，体验数学活动的乐趣。
5.发展幼儿逻辑思维能力。
教学重点、难点重点：知道画面上猴子的数量;难点：能够计算出其数量，并能够快速的说出其数量;活动准备1.带有猴子的图片一，有一只大猴子，五只小猴子2.带有桃子的图片二，2个绿的，4个红的;活动过程(一)导入部分小朋友们，今天小猴子们旅行回来了，我们一块去看看他们吧!(教师出示图片一，问小朋友们，小猴子在哪里呀，他们都在干些什么事情呢?)(二)展开部分老师引导幼儿可以运用加法、减法的算式进行运算，并说一说每个数字表示的意思是什么?教师：小朋友们，你们能用一道算式来表示吗?如：1+5=6，表示的是1只猴子和5只猴子，他们呀，加起来就是6只猴子。
教师：你们还能说出和刚才不一样的算式吗?(快思老师.教案网出处)教师：列完后呢，老师就请一个小朋友说一说他列的算式好不好?教师：老师请一位来朋友将他列的算式按照排列的方式写到黑板上来好不好?加法：1+5=6 5+1=6 4+2=6 3+3=6(三)结束部分请小朋友们好好想一想这位小朋友列的算术对吗?可以进行讨论教学反思通过本节课的学习，幼儿轻松地掌握了6以内的加减法，并且学会了猴子、绿、红、树上等词语，有利于汉语水平的提高，同时也为学前班学习加减法，打下了良好的基础;不足之处：课程过于简单。
我会在今后总结经验，会把自己的课上的更好，表现的更加优秀。
（2）大班数学公开课教案《数字对对碰》含反思活动目标：1、学习对应数量与数字1～10。
小学五年级数学计算教案
小学五年级数学计算教案教学目标：1. 熟练掌握小学五年级的加减乘除运算方法；2. 能够灵活运用所学方法解决实际问题；3. 锻炼学生的逻辑思维和计算能力。
教学准备：1. 教学课件或者黑板；2. 练习册或者作业纸；3. 笔、纸、计算器等学习工具。
教学步骤：一、复习回顾（时间：5分钟）在上节课所学的基础上，简单回顾一下小学五年级的加减乘除运算方法。
请学生们回答以下问题：1. 加法和减法有哪些不同之处？能否举例说明？2. 乘法和除法有什么联系？可以通过什么方法相互转化？3. 如何进行大数的加减乘除运算？二、引入新知（时间：10分钟）通过课件或者黑板，展示一些实际问题，引导学生从中发现需要运用加减乘除运算的情景。
例如：1. 小明买了3件衣服，每件衣服的价格是68元，他用了多少钱？2. 一辆公交车上有48个人，每站上来5个人，共经过了多少站？3. 爸爸带着妹妹去超市购物，他们一共买了24个鸡蛋，每个鸡蛋的价格是2.5元，他们需要支付多少钱？三、讲解新知（时间：15分钟）根据学生的回答，结合具体情景，讲解加减乘除运算的相关概念和方法。
重点讲解进位与借位的原理，以及小数点的对齐和计算规则。
四、示范演练（时间：20分钟）给学生们提供一些练习题目，让他们在黑板上或者作业纸上进行计算，并进行讲解和纠正。
例如：1. 3567 + 2396 = ?2. 8932 - 5764 = ?3. 738 × 56 = ?4. 485 ÷ 5 = ?五、拓展运用（时间：15分钟）设计一些拓展性的问题，让学生们运用所学的知识解决实际的问题，并展示解题过程。
例如：1. 小明每天都要练习30分钟的数学题，他上学前有1小时，放学后有2小时的时间可以用来练习数学，请问他一周共能练习多长时间的数学？2. 一家商店的苹果原价是每斤4元，现在打8折出售，请问购买4斤苹果需要花多少钱？六、总结回顾（时间：5分钟）通过学生的讲解和分享，总结今天课堂所学的加减乘除运算方法，并强调运用数学计算方法解决实际问题的重要性。
小学数学加法减法教案8篇
小学数学加法减法教案8篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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数值计算方法教案
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。
四则运算教案(通用13篇)
四则运算教案（通用13篇）四则运算教案篇1教学目标1让同学学会计算小数连乘、乘加、乘减类型运算挨次2让同学熟悉到小数的四则运算挨次和整数一样3让同学通过整数四则运算到小数四则运算的学习，培育其学问的迁移学习、应用力量重难点连乘、乘加、乘减题型中小数四则运算挨次教学用具电子幻灯PPT教学过程教学方法和手段引入我们已经学过了整数的四则运算，也就是关于整数的加、减、乘、除，下面大家推断屏幕上每一小题的运算挨次（板书）（1）连乘：103×8×9从左往右的依次计算（2）乘加：103＋8×9先算乘法，再算加法（3）乘减：103－8×9先算乘法，再算减法通过复习整数的四则运算挨次概念分析同整数相同，连乘根据从左往右挨次依次计算；乘加，先算乘法，再算加法；乘减，先算乘法，再算减法例题讲解一、新授出示P11页“铺瓷砖”，让同学齐读题目，了解题意(a)问题是什么？100块够吗？实际上是问→100块够铺这么大的面积吗？(b)计算面积（c）面积公式（板书）二、同学列式计算（1）提示：先算一块瓷砖面积，再算100块瓷砖面积连乘：0.9×0.9×100（2）110块够吗？A0.9×0.9×110，再和85平方米比较B0.81×10＋81乘加课堂练习P11做一做P14第7题做一做【乘加】【乘减】72×0.81＋10.47.06×2.4-5.7=58.32+10.4=58.32+10.4=68.72=606.528小结与作业课堂小结（1）连乘：从左往右的依次计算（2）乘加：先算乘法，再算加法（3）乘减：先算乘法，再算减法本课作业一课3练课后追记四则运算教案篇2教学内容：P58、59教学目标：1、能用综合算式解答两步计算题。
2、依据文字计算题，选择正确的算式。
3、结合树状算图，用逆推的思想探究文字计算题的结构。
4、运用树状算图，培育同学有条理地思索问题。
数值计算方法教案
《计算方法》教案课程名称：计算方法适用专业：医学信息技术适用年级：二年级任课教师：利萍编写时间： 2011年 8月新疆医科大学工程学院利萍教案目录《计算方法》教学大纲 (4)一、课程的性质与任务 (4)二、课程的教学容、基本要求及学时分配 (4)三、课程改革与特色 (5)四、推荐教材及参考书 (5)《计算方法》教学日历 ................. 错误!未定义书签。
第一章绪论.. (6)第1讲绪论有效数字 (6)第2讲误差………………………………………………………………………………第二章线性方程组的直接法 (14)第3讲直接法、高斯消去法 (14)第4讲高斯列主元消去法 (22)第5讲平方根法、追赶法 (29)第三章插值法与最小二乘法 (32)第6讲机械求积、插值型求积公式 (32)第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (38)第8讲高斯公式、数值微分 (43)第9讲第10讲第12讲第四章数值积分与数值微分 (48)第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (49)第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (53)第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (57)第14讲第15讲第五章微分常微分方程的差分方法 (60)第16讲迭代收敛性与迭代加速 (61)第17讲牛顿法、弦截法 (65)第18讲第19讲第20讲第六章线性方程组的迭代法 (68)第21讲迭代公式的建立 (69)第22讲第23讲第24讲向量数、迭代收敛性 (72)第25讲《计算方法》教学大纲课程名称：计算方法/Computer Numerical Analysis B学时/学分：54/4先修课程：高等数学、线性代数、高级语言程序设计（如：Matlab语言）适用专业：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院（部）、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。
当前，由于科学技术的快速发展和计算机的广泛应用，学习和掌握计算机上常用的数值计算方法及有关的基础理论知识，并能用某种高级语言（如Matlab语言）将这些常用算法编程实现，这对于计算机专业的学生来说是非常重要的。
加减法的简便计算(练习课)教案
加减法的简便计算（练习课）教案一、教学目标：1. 让学生掌握加减法的简便计算方法，提高计算速度和准确性。
2. 培养学生运用加减法简便计算解决问题的能力。
3. 培养学生合作交流、积极思考的学习态度。
二、教学内容：1. 加减法的简便计算方法。
2. 运用加减法简便计算解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 掌握加减法的简便计算方法。
2. 运用加减法简便计算解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生发现加减法的简便计算方法。
2. 运用小组合作交流，培养学生互相学习、共同进步的精神。
3. 通过练习巩固所学知识，提高学生的计算能力。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾加减法的计算方法，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解加减法的简便计算方法：1) 利用数列的规律进行计算。
2) 利用交换律、结合律进行计算。
3) 利用拆分、合并法进行计算。
3. 练习：学生独立完成练习题，巩固加减法的简便计算方法。
4. 应用：引导学生运用加减法简便计算解决实际问题，如购物、长度测量等。
6. 布置作业：布置一些有关加减法简便计算的练习题，巩固所学知识。
六、教学反思：在课后对教学效果进行反思，观察学生对加减法简便计算的掌握程度，针对存在的问题进行改进，提高教学效果。
七、课时安排：1课时八、教学评价：1. 学生能熟练掌握加减法的简便计算方法。
2. 学生能运用加减法简便计算解决实际问题。
六、教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
3. 实际问题情境的材料。
七、教学过程：1. 导入：通过一个简单的实际问题，引入加减法的简便计算。
2. 新课讲解：a. 介绍加减法的简便计算方法。
b. 通过示例，演示如何使用简便计算方法。
3. 练习环节：a. 分组练习，让学生在小组内互相练习和讨论。
b. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
4. 应用环节：a. 提供一些实际问题，让学生运用简便计算方法解决。
b. 学生分享解题过程和答案，教师点评。
数值计算方法教案
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与意义介绍数值计算的概念解释数值计算在科学研究与工程应用中的重要性1.2 数值计算方法分类介绍数值逼近、数值积分、数值微分、数值解方程等基本方法分析各种方法的适用范围和特点1.3 误差与稳定性解释误差的概念及来源讨论数值计算中误差的控制与减小方法介绍稳定性的概念及判断方法第二章：插值与逼近2.1 插值法的基本概念介绍插值的概念及意义解释插值函数的性质和条件2.2 常用的插值方法介绍线性插值、二次插值、三次插值等方法分析各种插值方法的优缺点及适用范围2.3 逼近方法介绍切比雪夫逼近、傅里叶逼近等方法解释逼近的基本原理及应用场景第三章：数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本概念介绍数值积分的概念及意义解释数值积分的原理和方法3.2 常用的数值积分方法介绍梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式等方法分析各种数值积分方法的适用范围和精度3.3 数值微分的基本概念与方法介绍数值微分的概念及意义解释数值微分的原理和方法第四章：线性方程组的数值解法4.1 线性方程组数值解法的基本概念介绍线性方程组数值解法的概念及意义解释线性方程组数值解法的原理和方法4.2 常用的线性方程组数值解法介绍高斯消元法、LU分解法、迭代法等方法分析各种线性方程组数值解法的优缺点及适用范围4.3 稀疏矩阵技术解释稀疏矩阵的概念及意义介绍稀疏矩阵的存储和运算方法第五章：非线性方程和方程组的数值解法5.1 非线性方程数值解法的基本概念介绍非线性方程数值解法的概念及意义解释非线性方程数值解法的原理和方法5.2 常用的非线性方程数值解法介绍迭代法、牛顿法、弦截法等方法分析各种非线性方程数值解法的优缺点及适用范围5.3 非线性方程组数值解法介绍消元法、迭代法等方法讨论非线性方程组数值解法的特点和挑战第六章：常微分方程的数值解法6.1 常微分方程数值解法的基本概念介绍常微分方程数值解法的概念及意义解释常微分方程数值解法的原理和方法6.2 初值问题的数值解法介绍欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等方法分析各种初值问题数值解法的适用范围和精度6.3 边界值问题的数值解法介绍有限差分法、有限元法、谱方法等方法讨论边界值问题数值解法的特点和挑战第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程数值解法的基本概念介绍偏微分方程数值解法的概念及意义解释偏微分方程数值解法的原理和方法7.2 偏微分方程的有限差分法介绍显式差分法、隐式差分法、交错差分法等方法分析各种有限差分法的适用范围和精度7.3 偏微分方程的有限元法介绍有限元法的原理和步骤讨论有限元法的适用范围和优势第八章：数值模拟与计算可视化8.1 数值模拟的基本概念介绍数值模拟的概念及意义解释数值模拟的原理和方法8.2 计算可视化技术介绍计算可视化的概念及意义解释计算可视化的原理和方法8.3 数值模拟与计算可视化的应用讨论数值模拟与计算可视化在科学研究与工程应用中的重要作用第九章：数值计算软件与应用9.1 数值计算软件的基本概念介绍数值计算软件的概念及意义解释数值计算软件的原理和方法9.2 常用的数值计算软件介绍MATLAB、Mathematica、Python等软件的特点和应用领域9.3 数值计算软件的应用案例分析数值计算软件在科学研究与工程应用中的典型应用案例第十章：数值计算方法的改进与新发展10.1 数值计算方法的改进讨论现有数值计算方法的局限性介绍改进数值计算方法的研究现状和发展趋势10.2 新的数值计算方法介绍近年来发展起来的新型数值计算方法分析新型数值计算方法的优势和应用前景10.3 数值计算方法的未来发展探讨数值计算方法在未来可能的发展方向和挑战重点和难点解析一、数值计算概述难点解析：对数值计算概念的理解，误差来源及控制方法的掌握。
培养学生数学计算教案
培养学生数学计算教案一、教学目标：1. 知识与技能：让学生掌握基本的数学计算方法，能够熟练地进行整数、小数的加减乘除运算。
2. 过程与方法：通过实例讲解和练习，让学生学会运用数学计算解决实际问题。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学计算的兴趣，提高学生的逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 整数加减法：让学生掌握整数加减法的计算方法，能够正确进行计算。
2. 整数乘除法：让学生掌握整数乘除法的计算方法，能够正确进行计算。
3. 小数加减法：让学生掌握小数加减法的计算方法，能够正确进行计算。
4. 小数乘除法：让学生掌握小数乘除法的计算方法，能够正确进行计算。
5. 实际问题解决：让学生学会运用数学计算解决实际问题，如购物、计时等。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：让学生掌握基本的数学计算方法，能够熟练地进行整数、小数的加减乘除运算。
2. 教学难点：让学生学会运用数学计算解决实际问题。
四、教学方法：1. 实例讲解：通过具体例子，讲解数学计算的方法和步骤。
2. 练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学的数学计算方法。
3. 小组讨论：让学生分组讨论，共同解决实际问题。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习成果：检查学生完成的练习题，评估学生的计算能力和解决问题的能力。
3. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解学生对数学计算的理解和掌握程度。
六、教学准备：1. 教学资源：准备PPT、练习题、实际问题案例等教学资源。
2. 教学工具：准备计算器、黑板、粉笔等教学工具。
3. 教学环境：确保教室环境安静、整洁，有利于学生学习。
七、教学过程：1. 导入新课：通过引入生活实例，激发学生学习数学计算的兴趣。
2. 讲解新知：讲解本节课要学习的数学计算方法，让学生理解和掌握。
3. 练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学的新知识。
4. 小组讨论：让学生分组讨论，共同解决实际问题。
中位数的统计意义与计算方法 教案
中位数的统计意义与计算方法教案一、教学目标1.了解中位数的概念与统计意义。
2.掌握计算中位数的方法。
3.能够运用中位数解决实际问题。
二、教学内容1.中位数的定义2.中位数的统计意义3.计算中位数的方法4.中位数在实际问题中的应用三、教学步骤步骤一：中位数的定义1.教师介绍中位数的概念与定义：中位数是指将一组数据按照从小到大的顺序排列后，位于中间位置的数值。
2.给出一个简单的例子来说明中位数的概念。
步骤二：中位数的统计意义1.教师说明中位数的统计意义：中位数可以反映出数据的集中趋势，相对于均值而言，中位数能更好地反映出数据的典型值。
2.与均值对比，讨论中位数的优势和不足。
步骤三：计算中位数的方法1.教师介绍计算中位数的方法：–如果数据个数为奇数，中位数即为排序后的中间数；–如果数据个数为偶数，中位数即为排序后的中间两个数的平均值。
2.给出一个具体的例子进行计算演示。
步骤四：中位数在实际问题中的应用1.教师引导学生思考中位数的应用场景，如：–人口统计中的中位数–收入分配中的中位数–资产评估中的中位数–消费行为分析中的中位数2.小组讨论并汇报各自的思考结果。
步骤五：练习与讨论1.教师设计一些练习题，由学生自主计算中位数。
2.学生上台展示计算过程，并与同学进行讨论。
步骤六：总结与拓展1.教师对本节课内容进行总结。
2.提醒学生在解决实际问题时，灵活运用中位数的计算方法。
四、教学资源1.中位数的定义与概念解释2.示例数据进行计算演示3.练习题及答案五、评估方式1.学生课堂表现评价2.练习题答题情况评价六、教学反思本教案针对中位数的统计意义与计算方法进行了全面介绍和训练，既注重了基础知识的传授，又注重了学生能力的培养。
通过实际问题的引入和讨论，学生对中位数的理解更加深入，能够及时运用所学知识解决实际问题。
在评估方式上，既重视了学生的课堂表现，又注重了学生的综合能力。
在教学过程中，教师应尽量提供更多的实例让学生进行实践和思考，培养学生良好的数据分析能力。
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第1章误差分析与数值计算 (3)§1.1 引言 (3)§1.2 绝对误差与相对误差、有效数字 (9)§1.3 近似数的简单算术运算 (12)§1.4数值计算中误差分析的一些原则 .. 14 第2章非线性方程（组）的近似解法 (16)§2.1 引言 (16)§2.2 根的隔离 (17)§2.3 对分法 (18)§2.4 迭代法 (20)§2.6 弦截法 (23)§2.6 弦截法 (24)§1.7 用牛顿法解方程组 (25)本章小结 (27)第3章线性方程组的解法 (28)§3.1 引言 (28)§3.2 高斯消去法 (30)§3.3 矩阵的LU分解 (34)§3.4 对称矩阵的LDL T分解 (35)§3.5 线性方程组解的可靠性 (36)§3.6 简单迭代法 (39)本章小结.................................................. 45 第4章矩阵特征值与特征向量的计算 (46)§4.1 引言 (46)§4.2幂法和反幂法 (47)§4.3 雅可比方法 (48)§4.4 QR方法* (50)本章小结 (51)第5章插值与拟合 (52)§5.1 引言 (52)§5.2 插值多项式的存在和唯一性 (53)§5.3 拉格朗日插值多项式 (54)§5.4 均差插值公式 (56)§5.5 差分等距结点插值公式 (58)§5.6 爱尔米特插值公式 (59)§5.7 分段低次插值 (60)§5.8 三次样条函数 (61)§5.9 曲线拟合的最小二乘法 (65)本章小结 (68)第6章数值积分和数值微分 (69)§6.1 引言 (69)§6.2 牛顿一科特斯型积分公式 (70)§6.3 复合求积公式 (72)§6.4 龙贝格求积公式 (76)§6.5 高斯求积公式 (77)§6.6 二重积分的数值积分法 (81)§6.7 数值微分 (82)本章小结 (84)第7章常微分方程的数值解法 (85)§7.1 引言 (85)§7.2 欧拉法和改进的欧拉法 ................. 86 §7.3 龙格-库塔方法 .. (87)§7.4 线性多步法 (92)§7.5 算法的稳定性与收敛性 (95)§7.6 微分方程组和高阶微分方程解法.. 96 本章小结 (98)第1章误差分析与数值计算§1.1 引言1、课程任务和目的：在第七届国际软件工程学术会议上，“计算方法”被列入应用方法学的研究领域，强调了计算方法的研究应用与软件方法学的研究密切结合。
这就说明了计算方法与软件之间的联系以及在应用软件研制中的地位与作用，计算方法是研究各种数学问题求解的数值计算方法。
在计算机成为数值计算的主要工具的今天，则要求研究适合于计算机使用的数值计算方法。
计算方法就是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论，它的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程值解、线性方程组数值解、常微和偏微数值解等，即都是以数学问题为研究对象的。
因此，计算方法是数学的一个分支，只是它不象纯数学那样只研究数学本身的理论，是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论，计算方法是计算机应用和软件研制开发的重要组成部分，通过本课程的学习和上机实习，使学生掌握利用计算机进行科学计算的基本理论和基本方法，并且学会将基本理论和基本方法应用于软件开发以及软件研制。
（1）掌握方法的基本原理和思想。
（2）掌握方法处理的技巧及与计算机的结合。
（3）掌握误差分析，收敛性及稳定性的基本理论。
（4）学会进行可靠的理论分析，对近似计算要确保精度要求，要进行误差分析。
（5）通过例子，学习使用各种计算方法解决实际计算问题。
（6）通过上机实践，能编写算法和实现算法。
（7）掌握数值计算中一些最基本、最常用的计算方法和算法。
3、本课程与各课程的关系：由于本课内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，学生必须掌握这几门课的基本内容才能学好这一课程，同时，学习此课程还必须具备计算机系统的初步知识，掌握一门常用的高级语言，如：BASIC、PASCAL、C语言等，并须具备一定的编程能力。
（1）面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。
即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。
（2）有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，而且都是建立在相应数学理论基础上的。
（3）有好的计算复杂性。
时间复杂性好是指节省时间；空间复杂性好是指节省存储量。
这也是建立算法时要研究的问题，因为它关系到算法能否在计算机上完成。
（4）要有数值实验。
即任何一种算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。
计算方法最基本的立足点是容许误差，在误差容许的范围内对某一数学问题进行近似计算，得到能满足要求的近似结果。
现实世界中误差是普遍存在的，由于世界上没有绝对精确的量具（绝对精确的量具是没有刻度的），因此人类通过量具采集的数据都是近似值，另一方面，我们的生产、实验工具都不是绝对精确的，这就使得人类在生产和科学实验中必需容许误差。
计算机的应用可以分为二个方面，即数值计算和非数值计算。
利用计算机进行数值计算的过程如下图所示：在上图中，计算方法的任务是：由建立的数学模型给出可编程并由计算机能完成的计算方法，然后编程和上机求解。
由于计算方法是编程后可由计算机求解的近似计算方法，如何确保近似解的精度显得尤为重要，必须深入讨论有关误差的基本概念和基本理论，为近似计算的精度分析打下基础。
1、误差的来源（种类）误差的来源主要有以下四种（1）模型误差：建立数学模型时的误差。
例如：在求重量的数学模型G=m*g 中，重量G不是仅与质量和重力加速度有关，它还与温度、测量地点的海拔、地层结构等众多因素有关，为了使模型较为简单和实用，采用抓住主要矛盾的方法，去掉了大量对重量影响不大的次要因素，建立了上述重量的近似模型，由此产生了模型误差。
（2）观测误差：采集数据时的误差。
采集数据时，通常是依靠仪器和量具，由于没有绝对精确的仪器和量具，因此采集的数据有误差，此误差称为观测误差。
（3）舍入误差：由于计算机字长有限而产生的误差。
硬件再发展，计算机的字长总是有限的，在计算过程中，当数据的长度超过了计算机的字长时，计算机就会进行四舍五入，由此产生的误差称为舍入误差。
（4）截断误差：无限形式的有限化而产生的误差。
在计算中有时会运用无限形式的计算公式，例如台劳公式：+-++-+=n 00)n (00)1(0)x x (!n )x (f )x x (!1)x (f )x (f )x (f显然此公式无法进行计算，因此必需根据实际需要，从某一项起将后面的各项截断，即n 00)n (00)1(0)x x (!n )x (f )x x (!1)x (f )x (f )x (f -++-+≈由此产生的误差称为截断误差。
§1.2 绝对误差与相对误差、有效数字为描述方便，首先约定x*是精确值x的近似值。
引入误差的概念，其目的是为了衡量近似值x*的好坏。
（1）绝对误差：x*-x由于精确值x通常无法确定，因此绝对误差无法计算，由此引入绝对误差限的概念。
绝对误差限：绝对误差的一个上界。
即：若| x*-x | ≤ e，则称e为x*的绝对误差限。
绝对误差限的性质是：A.不唯一这是因为| x*-x | 的上界是不唯一的。
B.可确定只要我们对x*的实际背景有一定的了解，就不难确定| x*-x |的上界。
例如，x*表示身高，则| x*-x |的上界可为3米。
当x*是你求出的，那么为了说明你的工作认真，你一定会将| x*-x | 的上界估计得尽量小，因此在这种意义上绝对误差限可用来衡量x*的好坏。
由于绝对误差限没有考虑问题的规模，因此有时它也不能衡量x*的好坏。
例如：x是地球与太阳的距离，y是分子中二个原子间的距离，若| x*-x | ≤ 1公里，| y*-y | ≤ 1厘米，则并不能说y*比x*精确。
由此引入相对误差和相对误差限的概念。
（2）相对误差：(x*-x ) / x* 相对误差限：相对误差绝对值的一个上界。
3、有效数字这里我们必须搞清楚什么是有效数字以及如何确定x*有几位有效数字。
（1）有效数字的定义若|x*-x|<x*的某一位的半个单位，则称x* 精确到这一位，并从这一位开始，一直到前面第一个不为零的数都是x*的有效数字。
此定义实际上定义了什么叫精确到某一位和什么叫有效数字。
例如：若x*精确到小数点后第3位，即指| x*-x | ≤ 0.5 ⨯10-3。
（2）有效数字的判定方法方法一：四舍五入此方法首先确定x*是由x的哪一位四舍五入产生的，然后从这一位的前一位开始一直到前面第一个不为零的数都是x*的有效数字。
例1 若x=0.872596, x*=0.87，求x*的有效位数。
解： x*是由x的小数点后第三位四舍五入产生的，所以x*有二位有效数字。
注意，方法一判定有效数字很简单，但有时会失效。
例如，若x=0.272987 x*=0.273102，此时无法用方法一确定x*的有效位数，原因是x*不是由x四舍五入产生的，在这种情况下，必须用有效数字的定义来确定x*的有效位数。
即方法二：用定义此方法首先计算| x*-x |，再判断它小于等于x*的哪一位的半个单位，然后从近一位开始，一直到第一个不为零的数都是有效数字。
例2 若x=0.62073，x*=0.6207，确定x*的有效位数。
解：因为| x*-x | ≤ 0.0003 ≤ 0.5⨯10- 4，x*精确到小数点后第4位，所以x*有四位有效数字。
例3 若x=0.080199，x*=0.802，确定x*的有效位数。
解：因为| x*-x |=0.00001≤0.5⨯10- 5，所以≤0.5⨯10- 3，推出x*有三位有效数字。
例4 若x=6.28936，x*=7.3132，确定x*的有效位数。
解：| x*-x |=0.02357≤0.5⨯10- 1，所以x*有二位有效数字。
§1.3 近似数的简单算术运算1.3.1近似数的加法设有n 的近似数x k *>0 (k=1,2,…n),其准确值为x k >0,(k=1,2,…n)**1nk k x x ==∑的绝对误差限E(x*) ****1111**1()()()()()n n n n k k k kk k k k k n k k E x x x x x E x E x E x ======-=-=≤∑∑∑∑∑ (1)和的绝对误差等于各项绝对误差之和。