福建省闽清高级中学2015_2016学年高一数学下学期期末考试试题
福建省福州市闽清高中2015-2016学年高一下学期期末语文试卷 Word版含解析
2015-2016学年福建省福州市闽清高中高一（下）期末语文试卷一、解答题（共1小题，满分9分）1．阅读下面的文宇，完成下列各题“自然世界”是由纯粹的自然事实和事件所构成，在人的因素介入之前由“盲目的”自然力量所支配；在人的因素介入之后，自然世界事实上成了“人化的自然”，在自然界中可以随处发现人类价值实践的痕迹。
但是，人类主体性实践在这里所能达到的程度和范围同样受着自然规律的制约。
“社会世界”是在“自然世界”基础上构建的整体，包括了各种各样的社会躯体、语言、规范、组织、机构、活动，等等。
在这些要素中，是社会价值规范而不是其他那些社会事实和事件构成了社会世界的核心，社会价值规范在“社会世界”的形成中发挥了自然规律在“自然世界”的形成中所发挥的同样的作用。
如果说“社会世界”是按照人的意志来运行的话，那么这个意志的实质不是一些人所说的“求真意志”“求权意志”“求爱意志”，而是“求价意志”，即追求“价值”的意志。
其他的意志都是这种意志的具体表现形式。
因此可以说，“价值”要素是自然世界和社会世界的分水岭。
人文世界是在社会世界基础上所建立起来的一个世界，．这个世界是由一系列对社会价值规范及其实践的总体反思和内心体验活动及其产品、组织、制度、符号等所构成。
简而言之，是由社会“价值”以及对这种价值进行总体反思和体验而形成的“意义”所构成。
但是，在人文世界里，意义取代价值成为核心要素。
价值及价值实践在人文世界里只不过是主体用来进行总体反思和体验的材料。
人文世界究其根源而言是一个人的“意义”的世界，而不是一个人的“价值世界”或人的“自然世界”，具有强烈的历史性、个体性和主观性。
“人的问题”不能笼统的说成是人文世界的问题，因为“人的问题”既可能是一个有关人的事实性问题，也可能是一个有关人的价值性问题，而真正与人文世界相关的问题是人生的意义性问题。
（选自石中英著《只是转型与教育改革》，有删改）（1）下面对“自然世界”和“社会世界”的理解，符合作者观点的一项是A．“自然世界”在没有人类介入之前由纯粹盲目的自然力量支配，当出现人类实践痕迹之后，则受人类价值规范制约，成为“人化的自然”。
2015年福州市高一第二学期期末全市统考
2015年福州市高一第二学期期末全市统考数学试卷1. 8tan 3π的值为（ ）A. B. C. 3 D. 3-2. cos20cos25sin 20sin 25︒︒-︒︒的值为（ ）A.0B.1C.D.3.若A （-1，-1），B （1,3），C （x ，5）且,AB BC λ=则实数λ等于( )AC BD CD AB DE EF FA -+-+++的结果为（ ）4. AB B. DA C. BC D. 0(2,2)(),42k k k Z ππαππ∈++∈则sin ,cos ,tan ααα的大小关系为（ ）A. tan sin cos ααα>>B. tan cos sin ααα>>C. tan sin cos ααα<<D. tan cos sin ααα<<()sin(2)f x x ϕ=+为奇函数的ϕ值可以是（ ） A. 4πB. 2πC. πD. 32πα的终边在第一象限，则角2α的终边在（ ）cos()3y x π=+的图像，只需将函数sin y x =的图像6π6π个长度单位56π个长度单位 D. 向右平移56π个长度单位9.如图所示，向量,,OA a OB b OC c ===，,,A B C 在一条直线上，且3AC CB =-，则（） A. 1322c a b =-+ B. 3122c a b =-C. 2c a b =-+D. 2c a b =+1sin 41sin 4,++-得到（ ）A. 2sin 2-B. 2cos2-C. 2sin 2D. 2cos22cos 1y x =+的定义域是（ ）A. (2,2)()33k k k Z ππππ-+∈B. (2,2)()66k k k Z ππππ-+∈ C. 2(2,2)()33k k k Z ππππ++∈ C. 22(2,2)()33k k k Z ππππ-+∈ ,OA OB 满足：1,()()0,OA OA OB OA OB =+⋅-=且OA 与OB 的夹角为60,︒又1212,02,OP OA OB λλλλ=+≤≤≤则由满足条件的点P 所组成的图形面积是（ ）A.2B.3 C. 1 D. 322015-︒终边相同的最小正角是________.0,a b c ++=且3,5,7,a b c ===则向量a 与b 的夹角是______.sin cos ()y a x b x x R =+∈22a b +的值为______.16.如图，已知O 是ABC 内一点，150,120,AOB AOC ∠=︒∠=︒向量,,OA OB OC ,OC mOA nOB =+则实数m n +的值为______.已知2,3,a b a ==与b 的夹角为120.︒（Ⅰ ）求tan sin()cos()2αππαα--+的值；（Ⅱ）若β为第三象限角，且3tan ,4β=求cos(2)αβ-的值.19. 如下图为函数()sin()(0,0,0)f x A x c A ωϕωϕ=++>>>图像的一部分.（Ⅰ ）求此函数的周期及最大值何最小值；（Ⅱ）求此函数的单调递增区间.20.（Ⅰ ）运用()S αβ+及()C αβ+证明：tan tan tan();1tan tan αβαβαβ++=- （Ⅱ）在ABC ，证明：tan tan tan tan tan tan .A B C A B C ++=34(),c ka kb k R =+∈且122,c =求k 的值；（Ⅰ ）若向量34(),c ka kb k R =+∈且122,c =求k 的值； （Ⅱ）若向量c 满足（a c -）(),c b ⊥-求c 的取值范围. (2sin(),3).(2sin(),cos 2)44a mxb mx mx ππ=+-=+ ,x R m R ∈∈， 函数().f x a b =⋅ （Ⅰ ）当1,(,)42m x ππ=∈时，求()f x 的最大值何最小值； （Ⅱ）当2n m π=时，若()f x 在区间[]0,2015恰有2015个零点，求整数n 的所有取值.。
2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题(解析版) (8)
高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c = 120b B == ，则边a 等于（ ）A.B. C. D. 2【答案】C【解析】试题分析：根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知222212cos 622b a c ac B a a ⎛⎫=+-∴=+-⨯-∴= ⎪⎝⎭故答案为C.【考点】解三角形点评：主要是考查了余弦定理的运用，求解边，属于基础题。
2．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则sin B 为（ ）A.B. 34C.D. 13【答案】A【解析】试题分析： 1sin sin sin 2b B a A a C -=，则由正弦定理可得2212b a ac -=，又2c a = ， 222222132224a cb b a ac a cosB ac +-∴=+=∴==.故选B.【考点】正弦定理，余弦定理3．各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S .若25378,13a a S -=-=，则数列{}n a 的通项公式为n a =（ ） A. 2n B. 12n - C. 3n D. 13n -【答案】D【解析】各项均为正数,公比为q 的等比数列{a n }，a 2−a 5=−78,S 3=13， 可得421111178,13a q a q a a q a q -=-++=， 解得113a q ==，，则11*13n n n a a q n N --==∈，， 本题选择D 选项.4．已知数列{}n a 的通项为()()143nn a n =--，则数列{}n a 的前50项和50T =（ ）A. 98B. 99C. 100D. 101 【答案】C【解析】数列{a n }的通项为()()143nn a n =--， 前50项和()()()()5015913171971591317211931974444425100.T =-+-+-+⋯+=-++-++-++⋯+-+=+++⋯+=⨯=本题选择C 选项.点睛：(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解． (2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．5．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 9 【答案】B【解析】试题分析：由题意可得9567890S S a a a a -=+++=，∴()7820a a +=，∴780a a +=，又10a >，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n 最大时，n=7，故选：B.【考点】等差数列的前n 项和．6．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）A. 48B. 56C. 64D. 72 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由两个长方体组成的组合体，上面的长方体长宽高分别为4,2,5，线面的长方体长宽高分别为4,6,1，据此可得该几何体的体积为42546164⨯⨯+⨯⨯=. 本题选择C 选项. 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7．设0,0a b >>，若2是4a 和2b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ）A. B. 4 C. 92D. 5【答案】C【解析】∵2是4a和2b 的等比中项， ()22424,22,22,1,2a b a b b a b a +∴⋅=∴=∴+=∴+=又∵0,0a b >>，21215592222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当b a a b =，即23a b ==时等号成立. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和.是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0248121824324050......、、、、、、、、、，则此数列第20项为（ ）A. 180B. 200C. 128D. 162 【答案】B【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…， 可得偶数项的通项公式：a 2n =2n 2. 则此数列第20项=2×102=200. 本题选择B 选项. 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若M N P 、、三点共线， O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+（直线MP 不过点O ），则20S 等于（ ） A. 20 B. 10 C. 40 D. 15 【答案】B【解析】∵M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+（直线MP 不过点O ），∴a 6+a 15=1，∴a 1+a 20=1， ∴()1202020102a a S +==.本题选择B 选项.10．已知a b >，一元二次不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，由又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=，则222a b +的最小值为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】∵已知a >b ,二次不等式220ax x b ++…对于一切实数x 恒成立， ∴a >0，且△=4−4ab ⩽0，∴ab ⩾1.再由∃x 0∈R ,使20020ax x b ++=成立，可得△=0，∴ab =1，222a b ∴+=…当且仅当222a b =即b =时等号成立， 本题选择D 选项.11．若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是（ ） A. a b > B. a b < C. a b ≤ D. a b ≥ 【答案】B【解析】∵a 、b ∈(0,1)，且满足()114a b ->，()112211.22a b a b b a -+>-+∴>∴>，又， 本题选择B 选项.12．()()3,1,1,3,(0,0)OA OB OC mOA nOB m n ==-=->>若[]1,2m n +∈则OC的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题意,向量()()()3,1,1,33,3OA OB OC mOA nOB m n m n ==-=-=+-，，则OC =令t =,则OC =，而m +n ∈[1,2]，即1⩽m +n ⩽2，在直角坐标系表示如图，t =表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离， 分析可得：22t ，又由OC =，OC剟本题选择A 选项.二、填空题13．已知向量,a b满足()5a a b ⋅+= ，且2,1a b == ，则向量a 与b 夹角余弦值为__________．【答案】12【解析】()22,1,5,42,51,2a b a a b a a b cos a b cos a b cos a b ==⋅+=∴+⋅=+=∴=，，即向量a与b 夹角余弦值为12.14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c 且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积S =，则ab 的值为__________． 【答案】13【解析】在△ABC 中,由条件用正弦定理可得2sinCcosB =2sinA +sinB =2sin (B +C )+sinB ，即2sinCcosB =2sinBcosC +2sinCcosB +sinB ,∴2sinBcosC +sinB =0,12,.23cosC C π∴=-=由于△ABC 的面积为11sin .23S ab C ab =⋅==∴= 156、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____. 【答案】88.【解析】试题分析：设该长方体的高为x,则因为半径为，所以，即，所以长方体的表面积为，故应填88.【考点】1、简单几何体的体积的求法.16．设等比数列{}n a满足公比*q N∈，*na N∈，且{}n a中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a=，则q的所有可能取值的集合为．【答案】{}8127932,2,2,2,2【解析】试题分析：由题意，8112nna q-=，设该数列中任意两项为,m la a，它们的积为pa，则811811811222m l pq q q---=，即8112p m lq--+=，故1p m l--+必须是81的正约数，即1p m l--+的可能取值为1,3,9,27,81，所以q的所有可能取值的集合为{}8127932,2,2,2,2【考点】等比数列三、解答题17．请推导等比数列的前n项和公式.【答案】见解析【解析】试题分析：由等比数列的特点分类讨论，然后结合错位相减的方法即可求得等比数列前n项和公式.试题解析：若数列{}n a为公比为q的等比数列，则其前n项和公式()()11,11nna qS qq-=≠-，当1q=时，1nS na=.下面证明：21123111......nn nS a a a a a a q a q aq-=++++=++++，①23111...nnqS a q a q a q aq∴=++++，②①-②可得()11nnq S a aq-=-，当1q ≠时，上式两边同除以1q -可得()111nn a q S q-=-，当1q =时，数列各项均为1a ，故1n S na =.点睛：一是在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1或q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误． 二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.18．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，（1）若方程()60f x a +=有两个相等的实根，求()f x 的解析式； （2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．【答案】（1）()2163555f x x x =---；（2）((),22-∞-⋃-【解析】试题分析：（1）抓住二次函数的图像与横坐标的交点、二次不等式解集的端点值、二次方程的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，（2）结合二次函数的图象来解决是当不等式对应的方程的根个数不确定时，讨论判别式与0的关系，（3）当a>0时，配方法最大值，也可用顶点坐标，或在对称轴处取得最大值 试题解析：由题意可设()()()213f x x a x x +=--，且0a <， 即()()()132f x a x x x =---， 2分（1）()()()613260f x a a x x x a +=---+=， 即()24290ax a x a -++=有两个相等的实根，得()2242360a a ⎡⎤∆=-+-=⎣⎦，即25410a a --=， 而0a <，得15a =-，即()()()11325f x x x x =----，整理得()2163555f x x x =---． 6分（2）()()22max 124204a a f x a-+=>，即2410a a a--->，而0a <，得2410a a ---<，即2410a a ++>， 9分2a >-2a <-0a <，得a 的取值范围为((),22-∞-⋃-． 12分【考点】二次函数和一元二次不等式解的关系及二次函数的最值19．已知函数f (x )＝226xx +.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．【答案】（1）－25（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】(1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25(2)∵x >0，f (x )＝226xx +＝26x x+，当且仅当x已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t t 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 20．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若sinAsinC C ． 【答案】（Ⅰ）0120B =（Ⅱ）015C =或045C =【解析】试题分析：（1）由()()a b c a b c ac ++-+=得222a c b ac +-=-，结合余弦定理可求出B ;（2）由三角形内角和定理可知060A C +=，由()()cos cos 2sin sin A C A C A C -=++=可求出030A C -=或030A C -=-，解之即可.试题解析： （1）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-因此0120B =（2）由（1）知060A C +=，所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+ cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()cos 2sin sin A C A C =++112242=+⨯= 故030A C -=或030A C -=-，因此015C =或045C = 【考点】1.余弦定理；2.三角恒等变换.21．已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为 （1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积. 【答案】（1）20（2）50π 【解析】试题分析：(1)将四面体放入一个长方体，列出方程求得长宽高，据此可得该四面体的体积是20；(2)结合(1)的结论可得外接球半径为r =，则外接球的表面积为2450S r ππ==.试题解析：（1） 四面体的三组对边分别相等，∴四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，设长方体的棱长为,,a b c，则5===，解得4{3 5a b c ===，∴四面体的体积1142063V abc abc abc =-⨯==.（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体=∴外接球的半径为2r =， ∴外接球的表面积为2450S r ππ==.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*22n nn S a n N =-∈. （1）求1a 的值，若2n n n a c =，证明数列{}n c 是等差数列；（2）设()22log log 1n n b a n =-+，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n B ，若存在整数m ，使对任意*n N ∈且2n ≥，都有320n n mB B ->成立，求m 的最大值. 【答案】（1）见解析（2）18. 【解析】试题分析：(1)由题意可得112,1n n c c c -=-=，则数列{}n c 是首项为2，公差为1的等差数列.(2)由题意可得3111123n n B B n n n-=+++++ ，结合恒成立的条件可得m 得最大值为18.试题解析：（1）由22n n n Sa =-，则122n n n S a +=-，则21122S a =-可得14a =，又()11222n n n S a n --=-≥两式相减，得1222n n n n a a a -=--，即()1222n n n a a n --=≥， 于是11122n n n n a a ---=即112,1n n c c c -=-=， 所以数列{}n c 是112,1n n c c c -=-=以首项为2，公差为1的等差数列. （2）()12,n n n a n b n =+⋅=12311111112111123n n n n B b b b nB B n n n∴=+++=+++∴-=+++++令()111123f n n n n=+++++ 则()1111111233313233f n n n n n n n +=+++++++++++ 所以()()111113132331f n f n n n n n +-=++-++++ 1111120313233333333n n n n n n =++>+-=++++++. 所以当2n ≥时， ()f n 的最小值为()1111192345620f =+++=.据题意， 192020m <，即19m <，又m 为整数，故m 得最大值为18.。
2015-2016学年福建省厦门市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．=（）A．B．C．D．2．已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥（﹣），则实数x等于（）A．﹣4 B．4 C．0 D．93．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含4．函数y=tan（﹣）在一个周期内的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，﹣4），将线段OA绕点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．46．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α⊥β8．在△ABC中，||=1，||=3，∠BAC=60°，则||=（）A．1 B．C．3 D．9．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC 的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．直线l：3x+4y+4=0与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A，B两点，则cos∠ACB=（）A．﹣ B．C．﹣D．11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD 与BE交于点P，若=λ+μ，则λ等于（）A．B．﹣1 C．D．12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（）A．2 B．π+2 C． +2D． +2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为．14．已知斜率为2的直线l过点P（1，3），将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，若点A（2，1）在直线l′上，则实数m=．15．已知||=1，|+|=，||=2，则在方向上的投影等于．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2．该三棱锥外接球的表面积等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知O（0，0），A（2，﹣1），B（1，2）．（1）求△OAB的面积；（2）若点C满足直线BC⊥AB，且AC∥OB，求点C的坐标．18．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示．（1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．19．已知函数f（x）=Asinx+cosx，A＞0．（1）若A=1，求f（x）的单调递增区间；（2）函数f（x）在x=x0处取得最大值，求cosx0的值．20．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB=1，AC=，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）若二面角P﹣CD﹣B等于30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．如图，已知函数f（x）=msin（x+）（m＞0）的图象在y轴右侧的最高点从左到右依次为B1、B2、B3、…，与x轴正半轴的交点从左到右依次为C1、C2、C3、…．（1）若m=1，求•；，（i=1，2，3，…）中，有且只有三（2）在△OB1C1，△OB2C3，△OB3C5，…，△OB i C2i﹣1个锐角三角形，求实数m的取值范围．22．已知动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，r＞0．（1）求动点M的轨迹Γ的方程；（2）已知菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l：y=2x+3上，顶点C，D在Γ上，当直线l与Γ无公共点时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．2015-2016学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．=（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】根据诱导公式可知cos=cos（π+），进而求得答案．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣故选D．2．已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥（﹣），则实数x等于（）A．﹣4 B．4 C．0 D．9【考点】平面向量数量积的运算．【分析】①把转化为②用坐标运算公式=x1x2+y1y2【解答】解：∵∴，∴，∴1+2×2﹣（1×x﹣2×2）═0，∴x=9．故选D．3．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆关系．【解答】解：圆C1：x2+y2=1，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于1的圆．圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，即（x+2）2+（y﹣3）2=9，表示以C2（﹣2，3）为圆心，半径等于3的圆．∴两圆的圆心距d==，∵3﹣1＜＜3+1，故两个圆相交．故选：C．4．函数y=tan（﹣）在一个周期内的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正切函数的图象．【分析】根据函数y=tan（﹣）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除C、D；令﹣＜﹣＜，求得x的范围，从而得出结论．【解答】解：根据函数y=tan（﹣）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除C、D；令﹣＜﹣＜，求得﹣＜x＜，结合所给的选项，故选：A．5．已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，﹣4），将线段OA绕点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】设B（m，n），（m，n＞0），由OA⊥OB，且|OA|=|OB|，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，及两点的距离公式计算即可得到所求．【解答】解：设B（m，n），（m，n＞0），由OA⊥OB，且|OA|=|OB|，可得﹣•=﹣1，=，解得m=4，n=3．即B的纵坐标为3．故选：C．6．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于函数y=2cos2x=2•=cos2x+1，∴要得到得函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选：B．7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥β，进而可得l⊥m，故A不正确当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故B不正确当l∥m有直线m⊥平面α，因为直线m⊂平面β，α⊥β，故C正确，当l⊥m有α∥β或α∩β，故D不正确，故选：C．8．在△ABC中，||=1，||=3，∠BAC=60°，则||=（）A．1 B．C．3 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可知，，根据条件对上式两边平方进行数量积的运算即可得出，从而得出的值．【解答】解：===7；∴．故选：B．9．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC 的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与CD′所成的角．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，0，），F（2，，0），C（4，5，0），D′（0，5，3），=（2，，﹣），=（﹣4，0，3），∴cos＜＞===﹣，∴异面直线EF与CD′所成的角45°．故选：C．10．直线l：3x+4y+4=0与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A，B两点，则cos∠ACB=（）A．﹣ B．C．﹣D．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆心、半径，圆心到直线的距离，利用三角函数进行求解．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=9的圆心坐标为（2，0），半径为3，圆心到直线的距离为=2，∴cos∠ACB=，∴cos∠ACB=2cos2∠ACB﹣1=﹣1=﹣，故选：A．11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD 与BE交于点P，若=λ+μ，则λ等于（）A．B．﹣1 C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可以BC，DA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设，从而可根据条件求出A，B，C三点的坐标，并可求出，可写出直线BE的方程，从而求出点P的坐标，进而得出向量的坐标，带入即可建立关于λ，μ的方程，解出λ即可．【解答】解：以BC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设AB=，则：A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）；根据正切的二倍角公式：设tan22.5=x，则，且x＞0；∴解得x=；∴直线BE的方程为；∴令x=0，y=，即；∴，；∴；∴；解得．故选D．12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（）A．2 B．π+2 C． +2D． +2【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意求出圆台所在圆锥的母线长，利用弧长公式求出圆心角，把最短路程转化为三角形的边长求解．【解答】解：沿母线AD剪开并展开如图，∵圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，∴OB=4，OE=2．设展开图的圆心角为α，则2π•1=2α，∴α=π，∴∠AOE=90°，∴AE==2．∴经过的最短路程为2．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为﹣．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出sin2θ的值．【解答】解：将sinθ+cosθ=左右两边平方得：（sinθ+cosθ）2=，整理得：sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+sin2θ=，则sin2θ=﹣1=﹣．故答案为：﹣14．已知斜率为2的直线l过点P（1，3），将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，若点A（2，1）在直线l′上，则实数m=2．【考点】直线的一般式方程．【分析】由已知直线l的斜率且过点P，根据直线方程的点斜式求出其解析式，然后根据平移的性质：左加右减，上加下减，得到直线l′，再根据点A在直线l′上，代入直线l′方程计算即可得答案．【解答】解：由直线l斜率为2且过点P（1，3），得y﹣3=2（x﹣1），即y=2x+1，将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，则直线l′即y=2（x﹣m）+1，又点A（2，1）在直线l′上，∴2×（2﹣m）+1=1，解得m=2．故答案为：2．15．已知||=1，|+|=，||=2，则在方向上的投影等于．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件对的两边平方即可求出的值，这样根据一个向量在另一个向量方向上的投影的计算公式便可得出所要求的投影的值．【解答】解：根据条件，==3；∴；在方向上的投影为：===；∴在方向上的投影等于．故答案为：．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2．该三棱锥外接球的表面积等于12π．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由题意将三棱锥补全为正方体，且正方体的对角线为该三棱锥外接球的直径，即2R=2，得到三棱锥A﹣BCD外接球的半径大小，即可求出三棱锥外接球的表面积．【解答】解：由题意将三棱锥补全为正方体，且正方体的对角线为该三棱锥外接球的直径，即2R=2，∴R=∴三棱锥外接球的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知O（0，0），A（2，﹣1），B（1，2）．（1）求△OAB的面积；（2）若点C满足直线BC⊥AB，且AC∥OB，求点C的坐标．【考点】正弦定理；两点间距离公式的应用．【分析】（1）由两点之间的距离公式求出|OA、|OB|，由向量的坐标运算、数量积运算得到=0，判断出OA⊥OB，由三角形的面积公式求出△OAB的面积；（2）点C的坐标为（x，y），由向量的坐标运算求出、、，根据条件、向量垂直和平行的坐标条件列出方程组，求出x，y的值，可得点C的坐标．【解答】解：（1）由题意得，|OA|=|OB|=，∵=（2，﹣1），=（1，2），=0，∴OA⊥OB，则△OAB的面积S=；（2）设点C的坐标为（x，y），则=（x﹣1，y﹣2），=（x﹣2，y+1），且=（﹣1，3），∵直线BC⊥AB，且AC∥OB，∴=0，，则，解得，∴点C的坐标为（4，3）．18．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示．（1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）根据直观图，可得俯视图，根据三角形的三条边，即可求截面AEF的面积；（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角，即可求直线AM 与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：（1）俯视图如图所示，截面AEF中AF=EF=2，AE=2，面积为=6；（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角．∵GM=，GA=2，∴tan∠AMG=．19．已知函数f（x）=Asinx+cosx，A＞0．（1）若A=1，求f（x）的单调递增区间；（2）函数f（x）在x=x0处取得最大值，求cosx0的值．【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．【分析】（1）由题意利用两角和的正弦函数公式可得f（x）=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（2）由两角和的正弦函数公式可得f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=，由题意可求sin（x0+φ）=1，其中tanφ=，=，进而解得A，sinφ的值，解得x0=2kπ+﹣φ，k∈Z，利用诱导公式即可解得cosx0的值．【解答】解：（1）∵由题意可得：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），∴由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，可得单调递增区间为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．（2）∵f（x）=Asinx+cosx=sin（x+φ），其中tanφ=，且函数f（x）在x=x0处取得最大值，∴sin（x0+φ）=1，其中tanφ=，=，∴由A＞0，解得：A=2，sinφ==，x0+φ=2kπ+，k∈Z，∴x0=2kπ+﹣φ，k∈Z，∴cosx0=cos（2kπ+﹣φ）=sinφ=．20．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB=1，AC=，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）若二面角P﹣CD﹣B等于30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PD中点E，连结NE，CE，可证MNEC为平行四边形，由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD；（2）证明AC⊥CD，确定∠PCA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，求出PA，即可求四棱锥P ﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：取PD中点E，连结NE，CE．∵N为PA中点，∴NE∥AD，NE=AD，又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC∥AD，MC=AD．∴NE∥MC，NE=MC，即MNEC为平行四边形，∴MN∥CE．∵EC⊂平面PCD，且MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD．（2）解：∵AB=1，AC=，AD=2，∴AB2+AC2=AD2，∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴PC⊥CD，∴∠PCA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，即∠PCA=30°，∴PA=tan30°=1，∴四棱锥P﹣ABCD的体积=×=．21．如图，已知函数f（x）=msin（x+）（m＞0）的图象在y轴右侧的最高点从左到右依次为B1、B2、B3、…，与x轴正半轴的交点从左到右依次为C1、C2、C3、…．（1）若m=1，求•；，（i=1，2，3，…）中，有且只有三（2）在△OB1C1，△OB2C3，△OB3C5，…，△OB i C2i﹣1个锐角三角形，求实数m的取值范围．【考点】正弦函数的图象．【分析】（1）利用正弦函数的图象的特征求得B1、B2、B3、…，与C1、C2、C3、…的坐标，利用两个向量的数量积公式求得•的值．（2）由题意可得∠OB3C5为锐角，且∠OB4C7为钝角，故有+﹣OC5＞0，且+﹣OC7＜0，从而求得m的范围．【解答】解：（1）若m=1，则令x+分别等于，，…，可得B1（，1）、B2（，1）、B3（，1）…，令x+分别等于π，2π，3π，…，C1（，0）、C（，0）、C3（，0）…，∴•=（，1）•（1，﹣1）=﹣1=﹣．（2）由题意可得函数f（x）=msin（x+）（m＞0）的周期为=4，△OB3C5为锐角三角形，且△OB4C7为钝角角三角形，即∠OB3C5为锐角，且∠OB4C7为钝角，∴+﹣OC5＞0，且+﹣OC7＜0，即+m2++m2﹣＞0，且+m2++m2﹣＜0，求得＜m＜，即＜m＜．22．已知动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，r＞0．（1）求动点M的轨迹Γ的方程；（2）已知菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l：y=2x+3上，顶点C，D在Γ上，当直线l与Γ无公共点时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用直接法，求动点M的轨迹Γ的方程；（2）求出0＜r＜，可得得0＜b＜3，求出a的范围，即可求菱形ABCD的面积S的取值范围．【解答】解：（1）设M（x，y），则∵动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，∴=，化简可得x2+y2=r2；（2）∵直线l与Γ无公共点，∴圆心到直线的距离＞r，∴0＜r＜设AB=a，直线CD的方程为y=2x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，∴0＜b＜3，∵=，∴b=3﹣a，∴0＜a＜，∴菱形ABCD的面积S=2=∈（0，）．。
福建省福州市高一数学下学期期末质量检测试题
2016年福州市高一第二学期期末质量检测数 学 试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.终边落在第二象限的角组成的集合为 ( ) A ．{|,}2k k k Z παπαπ<<+∈ B ．{|,}2k k k Z παπαππ+<<+∈C ．{|22,}2k k k Z παπαπ<<+∈ D ．{|22,}2k k k Z παπαππ+<<+∈2.AB BC AD +-= ( )A ．ADB ．DAC ．CD D ．DC3.若α为第四象限角，3cos ,5α=则tan α=( ) A ．43- B ．43 C ．34- D ．344.sin63cos33sin 27sin33︒︒-︒︒= ( )A ．0B ．12．15.点O 为正六边形ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 （ ） A ．,OA BC B ．,OA CD C.,AB CF D ．,AB DE6.点(tan 3,cos3)落在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限7.角α的终边与单位圆交于点43(,)55-，则cos()2πα-=（ ）A ．35B ． C.45 D ．45-8.已知函数()sin 2()f x x ϕ=+，则 （ ） A ．当4πϕ-=时，()f x 为奇函数 B ．当0ϕ=时，()f x 为偶函数 C. 当2πϕ=时，()f x 为奇函数 D ．当ϕπ=时，()f x 为偶函数9.若向量(4,3)a =，(1,2)b =--，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．-2B ．2 C.- D ． 10.为得到cos y x =的图象，只需将sin()6y x π=+的图象 （ ）A ．向左平移6π个单位B ．向右平移6π个单位 C. 向左平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位 11.如图，点P 是半径为1的半圆弧AB 上一点，若AP 长度为x,则直线AP 与半圆弧AB 所围成的图形的面积S 关于x 的函数图象为 （ ）12.将函数()3cos()2f x x π=与()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为123,,,,n A A A A ，若O 为坐标原点，则12n OA OA OA +++=（ ）A ．0B ．1 C.3 D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知钝角α满足sin α=，则α= ． 14.如图所示，在正方形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，线段AC 与DE 交于点P ，则tan APD ∠= ．15.将函数()sin(2)4f x x π=-的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变）得到()g x 的图象，则()g x = ．16.在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AMMB= ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +） （1）求证：AB BC ⊥； (2) //AD BC ，求实数m 的值. 18. 已知函数()sin(2)4f x x π=+（1）用“五点法”作出()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）写出()f x 的对称中心与单调递增区间； （3）求()f x 的最大值以及取得最大值时x 的集合.19. 已知函数44()cos sin cos cos 22x xf x x x x =-+ （1）求()f x 的周期； （2）若2()23f α=，求()3f πα+的值.20.在△ABC 中，AB=2，AC=23，∠BAC=60°，D 为△ABC 所在平面内一点，2BC CD = （1）求线段AD 的长； （2）求∠DAB 的大小.21.如图，点P 为等腰直角△ABC 内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P 作PQ//AB ，交AC 于点Q ，记,PAB APQ θ∠=∆面积为()S θ (1)求()S θ关于θ的函数;(2)求()S θ的最大值,并求出相应的θ值.22.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<部分图象如图所示,点P 为()f x 与x 轴的交点,点A,B 分别为()f x 的图象的最低点与最高点,2PA PB PA ⋅= (1)求ω的值；(2)若[1,1]x ∈-，求()f x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DDABB 6-10: CBCAC 11、12：AD 二、填空题 13.23π 14. -3 15.sin(4)4x π- 16.1 三、解答题17.解：(1)依题意得，(2,3),(3,2)AB BC =-= 所以23(3)20AB BC ⋅=⨯+-⨯=所以AB BC ⊥.（2）2(33,3)AD m m =++，因为//AD BC所以23(3)2(33)0m m +-+= 整理得2210m m --= 所以，实数m 的值为12-或1. 18.(1)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图所示：（2）由（1）图象可知， ()f x 图象的对称中心为1(,0),82k k Z ππ-+∈； 单调递增区间为3[,),88k k k Z ππππ-++∈ （3）max ()1f x =，此时x 组成的集合为{|}8x x k k Z ππ=+∈.19.2222()(cos sin )(cos sin )cos f x x x x x x x =+-+cos 222sin(2)6x xx π==+所以()f x 的周期22T ππ==. (2) 因2()2sin()263f απα=+=，所以，令6t πα=+，则6t πα=-，1sin 3t =所以，()2sin[2()]336f πππαα+=++22sin(2)22cos 22(12sin )149t t t π=+==-=20. 解：（1）依题意得：212cos 2323AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=⨯⨯= 因为2BC CD =所以1113()2222AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+ 所以22221319319432412244244923AD AB AC AB AC AB AC =-+=+-⋅=⨯+⨯-⨯=所以1AD =，即AD ＝1 （2）由（1）可知，221313132()212222223AD AB AB AC AB AB AC AB ⋅=-+⋅=-+⋅=-⨯+⨯=-所以，11cos ,122AD AB DAB AD AB⋅-∠===-⨯ 又因0180,DAB ︒<∠<︒ 所以120.DAB ∠=︒21. 解：（1）依题意得，∠CAB ＝4π，如图，过点A 作直线PQ 的垂线，垂足为E. 因为PQ//AB ，所以,,4EPA PAB EQA CAB πθ∠=∠=∠=∠=在RT △APE 中，cos cos ,sin sin EP AP EPA AE AP EPA θθ⋅∠==⋅∠=＝ 在RT △AQE 中，因为,4EQA π∠=所以sin EQ AE θ==所以PE ＝PE －EQ ＝cos sin θθ-， 所以11()(cos sin )sin ((0,))224S PQ AE πθθθθθ=⋅=-∈（2）由（1）得，1()(cos sin )sin 2S θθθθ=-111cos 2sin 24221sin(2)444θθπθ-=-⋅=+-因为(0,)4πθ∈，所以32(,)444πππθ+∈ 所以当242ππθ+=，即8πθ=时，max 1()4S θ=22. 解：（1）设0(,0),()P x f x 最小正周期为T ，，则0013(,1),(,1)44A x TB x T +-+， 所以13(,1),(,1)44PA T PB T =-= 222311,11616PA PB T PA T ⋅=-=+，解得T ＝4，所以2.2T ππω==（2）由（1）知，()sin()2f x x πϕ=+，T ＝4，由22,222k x k k Z ππππϕπ-+≤+≤+∈ 得221414,k x k k Z ϕϕππ-+-≤≤+-∈所以()f x 的增区间为22[14,14]k k ϕϕππ-+-+-，减区间为22[14,34]()k k k Z ϕϕππ+-+-∈因为0ϕπ<<，所以2141414,k k k k Z ϕπ-+<-+-<+∈当0k =时，2111ϕπ-<-<所以()f x 在区间2[1,1]ϕπ--上为增函数，在区间2[1,1]ϕπ-为减函数，所以当[1,1]x ∈-时，max 2()(1)1f x f ϕπ=-=易知21x ϕπ=-为()f x 图象的一条对称轴.所以当221(1)1(1)ϕϕππ---≤--，即，min ()(1)sin()cos 2f x f πϕϕ==+= 当221(1)1(1)ϕϕππ--->--，即02πϕ<<时，min ()(1)sin()cos 2f x f πϕϕ=-=-+=-综上，当02πϕ<<，()f x 的值域为[cos ,1]ϕ-；当2πϕπ≤<时，()f x 的值域为[cos ,1].ϕ。
2015-2016年福建省福州市高一(下)期末数学试卷(解析版)
）的图象（ 个单位 个单位
）
B．向右平移 D．向右平移
11． （5 分）如图，点 P 是半径为 1 的半圆弧 弧
上一点，若 AP 长度为 x，则直线 AP 与半圆 ）
所围成的面积 S 关于 x 的函数图象为（
A．
B．
C． 12． （5 分）将函数 f（x）＝3cos（
D． x）与 g（x）＝x﹣1 的所有交点从左往右依次记为 A1， + C．3 +…+ |＝（ ） D．5
A2，A3，…，An，若 O 为坐标原点，则| A．0 B．1
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分.、共 16 分. 13． （4 分）已知钝角 α 满足 sinα＝ ，则 α＝ ．
14． （4 分） 如图所示， 在正方形 ABCD 中， 点 E 为边 AB 的中点， 线段 AC 与 DE 交于点 P， 则 tan∠在长度为一个周期的闭区间上的简图； （Ⅱ）写出 f（x）的对称中心以及单调递增区间； （Ⅲ）求 f（x）的最大值以及取得最大值时 x 的集合．
19． （12 分）已知函数 f（x）＝cos x﹣sin x+4 （Ⅰ）求 f（x）的周期； （Ⅱ）若 f（ ）＝ ，求 f（α+ ）的值．
22． （13 分）已知函数 f（x）＝sin（ωx+φ） （ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点 P 为 f（x）与 x 轴的交点，点 A，B 分别为 f（x）图象的最低点与最高点， （Ⅰ）求 ω 的值； （Ⅱ）若 x∈[﹣1，1]，求 f（x）的取值范围． • ＝| |．
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sin cos cosx．
20． （12 分）在△ABC 中，AB＝2，AC＝ ，∠BAC＝60°，设 D 为△ABC 所在平面内一 点， ＝2 ．
2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题带答案
2015—2016学年度高一下学期期末考试数学试题命题人：陈文科 考试时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．等差数列{}n a 中，若464=+a a ,则132a a -的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．设βα,为不重合的两个平面，n m ,为不重合的两条直线，则下列判断正确的是 ( ) A ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥α B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βC ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α 3．若两直线0343=++y x 与016=++my x 平行，则它们之间的距离为（ ）A ．21B ．25 C ．52 D ．552 4．在如图所示的长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ,G F E ,,分别是11,,CC AB DD 的中点，则异面直线E A 1与FG 所成角的余弦值是 ( )A ．515B ．22 C ．510D ．05．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥ B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 6．在空间直角坐标系中，点)2,3,2(),2,3,1(--B A ，则B A ,两点间的距离为 （ ） A ．14B ．5C ．31D ．257．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知4,6π==A b ，若三角形有两解，则边a 的取值范围为 （ ）A ．)6,0(B ．)6,1(C ．)6,3(D ．),3(+∞8．半径为1，圆心角为π32的扇形卷成一个圆锥，则它的体积为 ( ) A ．8122πB ．2722πC ．27π D ．3π 9．过点)2,4(P 作圆222=+y x 的两条切线，切点分别为B A ,，点O 为坐标原点，则AOB ∆的外接圆方程是 （ ） A ．()5)1(222=+++y xB ．()20)2(422=+++y xC ．()5)1(222=-+-y xD ．()20)2(422=-+-y x10．一个几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥而成，它的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．已知圆4:22=+y x O 上到直线m y x l =+:的距离为1的点有且仅有2个，则m 的取值范围是（ ） A ．(),2()2,+∞-∞- B ．)23,2()2,23( -- C ．)23,23(- D ． )2,2(-12．已知圆1)1(:22=+-y x M ，设)25(),6,0(),,0(-≤≤-+t t B t A ，若圆M 是ABC ∆的内切圆，则ABC ∆面积的最大值为（ ） A ．215B ．429C ．7D ．427 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上） 13．经过直线01:,05:21=--=-+y x l y x l 的交点且垂直于直线032=-+y x 的直线方程为 .正视图侧视图14．已知y x ,满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(0≤k )，若目标函数3z x y =+的最大值为8，则k 的值为 .15．已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，则222PC PB PA ++的最大值为 .16．已知正方体D C B A ABCD ''''-的棱长为1，下列说法：①对角线C A '被平面BD A '和平面D C B ''三等分；②以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是61； ③正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表面积 之比为3:2:1；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积为3π； 则正确的是 . （写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）设直线l 的方程为R a a y x a ∈=-+++,02)1(；（Ⅰ）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若直线l 与坐标轴围成三角形的面积为2，求实数a 的值.18．（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为54cos ,4,,,=π=B A c b a ． （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）若2=c ，求ABC ∆的面积．19．（12分）如图1所示，在边长为1的等边三角形ABC 中，E D ,分别是AC AB ,边上的点，AE AD =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABC ∆沿AF 折叠，得到如图2所示的三棱锥BCF A -，其中22=BC； （Ⅰ）证明：//DE 平面BCF ；（Ⅱ）证明：⊥CF 平面ABF ；（III ）当32=AD 时， 求三棱锥DEG F -的体积．20．（12分）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元； （Ⅰ）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （Ⅱ）若400=a ，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？21．（12分）已知点))(,(*N n b a P n n n ∈都在直线22:+=x y l 上，1P 为直线l 与x 轴的交点，数列{}n a 成等差数列，公差为1； （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若)(n f =⎩⎨⎧)(b )(n 为偶数为奇数n n a n 问是否存在*N k ∈,使得2)(2)5(-=+k f k f 成立；若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由； （III ）求证：*21231221,2,52111N n n P P P P P P n∈≥<+⋅⋅⋅++.22．（12分）已知⎩⎨⎧+-≥≤+--+501810222a x y y x y xR y x ∈,，若由不等式组围成的区域为P ，设两曲线的交点为B A ,，)5,(a C 且P C ∈； （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0=a ，求ABC ∆的面积； （III ）求ABC ∆的面积的最大值.2015—2016学年度高一下学期期末考试数学答案一、选择题1~5 BDADC 6~10 BCACD 11~12 BA 二、填空题13. 012=+-y x 14. 88 15. 6- 16. ①③ 三、解答题17. 解：（Ⅰ）由题意知：⎩⎨⎧≤-≥+-020)1(a a ∴1-≤a（Ⅱ）由题意知：1-≠a 令2,0-==a y x 令12,0+-==a a y y ∴212221=+--=a a a S ∴0=a ，或8=a 18.（Ⅰ）53sin ,054cos =∴>=B B )4c o s ()]4(cos[cos B B C +-=+-=πππ10254225322)sin 4sincos 4(cos-=⋅-⋅=--=B B ππ（Ⅱ）由（Ⅰ）知1027sin =C 由正弦定理知：C c A a sin sin = ∴ 725=a∴7353272521sin 21=⋅⋅⋅==B ac S19.（Ⅰ）在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AEEC .在折叠后的三棱锥A -BCF 中也成立，∴DE ∥BC . ∵DE 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF . （Ⅱ）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥FC ，BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥A -BCF 中，BC ＝22， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2，∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .（III ）由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG .∴V F -DEG ＝V E -DFG ＝13×12×DG ×FG ×GE ＝13×12×13×⎝⎛⎭⎫13×32×13＝3324. 20.（Ⅰ）可变成本为241v ，固定成本为a 元，所用时间为v1000 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a v v y 2411000，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v a v y 411000。
2015-2016学年度第二学期高一数学期末试题
2015-2016学年度第二学期高一数学期末试题一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．）1．sin 210°的值等于( )．A ．21B ．－21 C ．23 D ．－23 2．已知向量(1,2),(1,0),a b a b ==-⋅=则（ ）A ．3B ．2C ．0D ．﹣13．已知数列{}n a 的通项公式为43n a n =-，则5a 的值是（ ）A ．9B ．13C ．17D ．214．已知△ABC 中，2=a ，3=b ，︒=60B ，那么角A 等于（ ）A ．︒135B ．︒90C ．︒45D ．︒305．2sin 15°cos 15°=（ ）A ．B ．C ．D ．6．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于（ ）A ．32B ．16C ．8D ．47．如果，那么（ ）A ．B ．C ．> D ． 8．不等式0)2(≥+x x 的解集为（ ）A ．}02|{≤≤-x xB ．}20|{-≤≥x x x 或C ．}20|{≤≤x xD ．}20|{≥≤x x x 或9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1,2,120b c A ===，则a =（ ）A ．4 BCD10．不等式260x y -+>表示的平面区域在直线260x y -+=的（ ） 0<<b a 0>-b a bc ac <a 1b122b a <A ．右下方B ．右上方C ．左上方D ．左下方11． 设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为平面上任意一点，则 OA OB OC OD +++=（ ）A . 4OMB . 3OMC . 2OMD . OM12．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数)0(1)(>+=x xx x f ,则)(x f 的最小值是 ． 14．已知向量(1,2),(,2)x ==a b ，且⊥a b ，则实数x 的值为 ．15．已知等差数列{}n a 中，2528a a ==，，则其前6项和6S = .16．已知x 、y 满足222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分70分。
2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题带答案
2016年春季学期高一期末考试数学试卷(本试卷共三大题,满分150分,考试时间为120分钟)一、 选择题（12道题，每题5分，共60分）1、若集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,4}，则集合A ∪B 等于( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2}D ．{0} 2.若θ是第二象限的角,且4sin 5θ=,则cos θ=( )A. 15B. 15- C. 35D. 35-3. 设=-=-=(1,3),(2,4),(0,5)a b c 则-+3a b c =（ ）A. (3,-8)B.(-2,3)C.(2,3)D.(3,8) 4若已知=(4,2), =(6,x),且∥,则x=( )A.3B. 5C.1D.-1 5.－400°角的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 函数y=sin(3x+3π)+2的最小正周期为（ ）A. 2πB. 3πC. 3πD.23π7. 若向量a ＝(3,3)，b ＝(－3,2)，则|a ＋2b|＝( )8已知角α的终边过点P （－1-,2）,tan α的值为 ( )A ．－55 B ．2 C D ．129已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ）(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)120010若A 是第三象限的角,1cos()3A p -=,求2sin()A p+=（ ）A.13-B.23C.23-D. 1311在ABC △中，A B 边上的高等于13BC ,则cos B = （ ）（A （B （C （D ）-12设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为（ ）A. 2πB. πC.23pD.2p二、 填空题（4道题，每题5分，共20分）13.=(4,2), =(6,x)若与相互垂直，则X= 14. sin 810°= 15.若tanA=12,求4c si os n 2s in o s c A A AA -+=16.函数的图像可由函数的图像得到。
2015-2016学年高一下学期期末联考数学试题(解析版)9
高一下学期期末联考数学试题一、选择题1．已知全集U Z =，集合{}3,1,0,1,2A =--， {}|21, B x x k k N ==-∈，则U A C B ⋂=（ ）A. {}0,1,2B. {}3,1,0--C. {}1,0,2-D. {}3,0,2- 【答案】D【解析】由题意可得，集合U C B 表示所有的整数除去正奇数组成的集合，则U A C B ⋂= {}3,0,2-. 本题选择D 选项.2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =， 49S =，则6a =（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B【解析】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=2,S 4=9，∴112{ 43492a d a d +=⨯+=，解得131,22a d ==， ∴6315422a =+⨯=. 本题选择B 选项.3．已知4sin cos 3αα-=， 3,24ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则tan2α=（ ）A.8B. 48D. 4【答案】A【解析】由题意可得1612sin cos 9αα-=,∴72sin cos 9αα=-， ∵3,24ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴sin cos 3αα+===，∴sin αα==∴27sin22sin cos ,cos22cos 19ααααα==-=-=则sin2tan2cos2ααα==本题选择A 选项.4．下列各组数，可以是钝角三角形的长的是（ ）A. 6，7，8B. 7，8，10C. 2，6，7D. 5，12，13 【答案】C【解析】由余弦定理可得，当三边满足2220a b c +-<时，三角形可以是钝角三角形，结合所给的三角形边长可得2222670+-<.本题选择C 选项.点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. 20B. 25C. 30D. 40 【答案】C【解析】由三视图可知，几何体是一个底面边长为3,4的直角三角形，高为5的三棱柱，则体积为1345302V =⨯⨯⨯=.本题选择C 选项.点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．6．已知两条不同直线,a b 与两个不同的平面,αβ，且b α⊥，给出下列命题： ①若//a α，则a b ⊥；②若a b ⊥，则//a α；③若b β⊥，则//αβ；④若αβ⊥，则//b β.其中正确的是（ ）A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③ 【答案】A【解析】根据线面垂直的性质可知①正确； ②中，当a ⊥b 时，也满足题意，该命题错误；③中，垂直与同一直线的两平面平行，命题正确； ④中，结论可能是b β⊂，该命题错误； 本题选择A 选项.7．已知变量,x y 满足0{440 x y x y x a-≥--≤≥，点(),x y 对应的区域的面积为2524，则22x y +的取值范围是（ ）A. 19,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 19,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 132,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 117,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】做出不等式组表示的平面区域，很明显()()44,44,,,,33A a a B C a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知2524ABC S = ，即： ()1425442324a a a --⨯-=，且43a <，即2425336a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 44510,,3362a a a ->∴-== ， 此时111,2,,222A C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则OA OB ====3>， 22x y +表示点(),P x y 到原点距离的平方， 则222211724x y OA ⎛⎫≤+≤= ⎪⎝⎭，即22x y +的取值范围是117,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦本题选择D 选项.点睛：若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．约束条件中含参数 由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值8．若动点()()1122,,,A x y B x y 分别在直线1:110l x y --=和2:10l x y --=上移动，则AB 中点M 所在直线方程为（ ）A. 60x y --=B. 60x y ++=C. 60x y -+=D. 60x y +-= 【答案】A【解析】由题意知,M 点的轨迹为平行于直线l 1、l 2且到l 1、l 2距离相等的直线l ，故其方程为60x y --= . 本题选择A 选项.9．已知函数()()2211f x x a x =+-+，若对区间()2,+∞内的任意两个不等实数12,x x 都有()()1212110f x f x x x --->-，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】函数()()2211f x x a x =+-+,若对区间(2,+∞)内的任意两个不等实数x 1,x 2都有()()1212110f x f x x x --->-，即()()()()121211011f x f x x x --->---,x 1−1,x 2−1∈(1,+∞)，可得：f (x )在区间(1,+∞)上是增函数，二次函数的对称轴为： 212a x -=-，可得： 2112a --≤,解得12a -…. 本题选择C 选项.点睛：解决二次函数的图象问题有以下两种方法： (1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．10．已知直线:430(0)l x y m m -+=<被圆22:2260C x y x y ++--=所截的弦长是圆心C 到直线l 的距离的2倍，则m 等于（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 【答案】B【解析】圆C : 222260x y x y ++--=的圆心C (−1,1),半径42r =∵直线l :4x −3y +m =0(m <0)被圆C : 222260x y x y ++--=所截的弦长是圆心C 到直线l 的距离的2倍，∴∠AOB =90°,∴4AB =， ∴圆心C (−1,1)到直线l :4x −3y +m =0(m <0)的距离：725m d -===，由m <0，解得m =−3. 故选：B.11．已知数列{}n a 中， 12a =，132n na a +-=，则数列{}n a 的前n 项和为（ ） A. 3233n n ⨯-- B. 5235n n ⨯-- C. 3253n n ⨯-- D.5255n n ⨯--【答案】B【解析】由递推关系可得123n n a a +=+，即()1323n n a a ++=+，则数列{}3n a +是首项为135a +=，公比为2的等比数列， 其通项公式为： 11352,523n n n n a a --+=⨯∴=⨯-， 分组求和可得数列{}n a 的前n 项和为5235n n ⨯--.本题选择B 选项.点睛：数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 12．如图，树顶A 离地面4.8m ，树上另一点B 离地面2.4m ，的离地面1.6m 的C 处看此树，离此树多少m 时看,A B 的视角最大（ ）A. 2.2B. 2C. 1.8D. 1.6 【答案】D【解析】过C 作CH ⊥AB 于H ，设C H x =，则5t an AH ACH CH x∠==， 2tan BH BCH CH x∠==， ()23.20.8 2.43tan tan 3.20.8 1.621x x ACB ACH BCH x x x x -∴∠=∠-∠==≤+⨯+， 当且仅当21.6x x=，即 1.6x =时等号成立.二、填空题13．已知ABC ∆•3AB AC =- ，则A =__________．【答案】56π 【解析】由题意可得：1sin cos 32bc A bc A ==-，两式作比值可得：5tan 6A A π==. 14．若不等式()2210a a x ax +-+>对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)4,03⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，【解析】当0a =时，不等式成立，否则应有： ()()222{40a a a a a +>∆=--+>，解得： 0a >或43a <-，综上可得实数a 的取值范围是[)4,03⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，.15．已知直三棱柱ABC A B C '-''中， 2AB AC AA ==='， AB AC ⊥，则直三棱柱ABC A B C '-''的外接球的体积为__________．【答案】【解析】设'2,AB AC AA AB AC ===⊥，设外接球半径为r ，则()2234212,3,3r r V r π====。
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闽清高级中学2015----2016学年度下期期末段考试高一数学学科试题第I 卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．把函数f (x )＝sin )32π+x -（的图象向右平移π3个单位可以得到函数g (x )的图象，则g ）（4π等于( )A ．－32 B.32C ．－1D ．1 2．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图象关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数3．在下列向量组中，可以把向量)7,3(-=a 表示出来的是 A ．)2,0(),1,0(21-==e e B. )10,2(),5,1(21--==e e C. )1,2(),3,5(21-=-=e e D. )8,7(),8,7(21--==e e 4. 等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若35,773==S a ，则=8a A ．3- B ． 4- C ．5- D ． 6-5．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是m 30，则河流的宽度BC 等于A ．m )13(30-B ．m )13(60-C ．m )13(90-D ．m )13(120- 6．在平行四边形ABCD 中， AD = 2，060=∠BAD ，E 为CD 的中点， 若4=∙， 则AB 的长为A. 1B.2C.2D 7．已知数列{}n a 满足32,0321-==++a a a n n ，则{}n a 的前5项的和等于 A. 27121 B. 27122 C. 81121 D. 811228．在△ABC 中，22==BC AB ,6π=∠A ,则△ABC 的面积为A ．21B ．23C ．1D ．39．设常数0>a .若8922+≥+a xa x 对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 A ．[]42， B ．[]32， C. []42，- D. []32，-10．不等式1132>-x x的解为A ．)21,31(B ．)1,21(C ．)1,31(D ．)21,31(-11．函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（ ）个单位长度.A.向右平移6π B.向右平移12πC.向左平移6π D.向左平移12π12. 已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为3，则 7112a a +的最小值为A ．B ．23C ．24D ．26第II 卷（非选择题 共90分）二、填空：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13. 已知角)23,2(ππα∈，且512tan -=α，则=-)2cos(απ ．14. 设向量)3,1(-=a ，)1,2(=b ，若()()a b a b λλ+⊥-且0>λ，则实数λ=________.15. 若数列{}n a 的通项公式是)23()1(--=n a n n ,则12a a ++…91a += .16. 设()sin 2cos2f x a x b x =+，其中,,0a b R ab ∈≠，若()()6f x f π≤对一切x R ∈恒成立，则①11()012f π=. ②()f x 既不是奇函数也不是偶函数. ③7()10f π＜()5f π.④存在经过点（a,b ）的直线与函数()f x 的图象不相交. ⑤0>b 时,()f x 的单调递增区间是)(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ.以上结论正确的是 _____________________________(写出正确结论的编号).三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17．(本小题满分12分)已知x ∈R ，向量＝(a cos 2x,1)，＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝⋅，a ≠0.(1)求函数f (x )的解析式，并求当a >0时，f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)若A 为锐角，且向量m ＝(1,5)与向量n ＝(1，f (π4－A ))垂直，求cos 2A 的值．19. （本小题12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，21=b ，公比为q ，且1622=+S b ，224qb S =． （1）求n a 与n b ； （2）设数列{}n c 满足nn S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T ．20. （本小题12分）设0>a ，函数x x x a x x f 2sin )cos sin 2(cos )(+-=的最大值为2. （1）求函数)(x f 的单调递减区间；（2）设△ABC 三内角A ，B ，C 所对边分别为c b a ,,且c a ccb a bc a -=-+-+2222222，求)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π，B 上的值域．21. （本小题12分）已知等差数列{}n a 中，52=a ，176=a ，若从数列{}n a 中依次取出第3项，第9项，第27项,...，第n3项，按原来的顺序构成一个新的数列{}n b ．(1)求数列{}n b 的通项公式； (2)设13+=n n b n c （*N n ∈），*(21N n c c c T n n ∈+++= ，证明：43<nT .22. （本小题12分）如图，在平面四边形ABCD 中，32,3,7,2,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA ,2π=∠BEC . （1）求CED ∠sin 的值；（2）求BE 的长.参考答案1—5 DCCAB 6—10 ADBAC 11-12 AD 13. 答案：13514. 答案：2 15. 答案：-136 16. 答案：①②⑤17．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin 2x －a ＝3a sin 2x ＋a cos 2x ＝2a sin(2x ＋π6)．当a >0时，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．故函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)．当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]．若a >0，当2x ＋π6＝π2时，f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52；若a <0，当2x ＋π6＝7π6时，f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5.所以a ＝52或－5.18．解 (1)f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32＝3[22(sin x ＋cos x )]2－cos 2x －1＋32＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1， 所以f (x )的最小正周期为π，最小值为－2.(2)由m ＝(1,5)与n ＝(1，f (π4－A ))垂直，得5f (π4－A )＋1＝0，∴5sin[2(π4－A )－π6]－4＝0，即sin(2A －π3)＝－45.∵A ∈(0，π2)，∴2A －π3∈(－π3，2π3)，∵sin(2A －π3)＝－45<0，∴2A －π3∈(－π3，0)，∴cos(2A －π3)＝35.∴cos 2A ＝cos[(2A －π3)＋π3]＝35×12＋45×32＝43＋310.19. 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎩⎨⎧==+22224,16qb S S b 所以164122=+q b b ，即3242=+q q …………………………………2分∴ 4=q 或8-=q （舍），,5,8,8222===a S b 2=d ． ….…………………………………….4分故12+=n a n ，122-=n n b ． … ………………………………………………..6分（Ⅱ）)2(+=n n S n ， …………………………………………………..8分)211(21)2(11+-=+==n n n n S c n n ． ………………………………………………………10分42122143)211123(21)2111111......51314121311(21+-+-=+-+-=+-++--++-+-+-=n n n n n n n n T n ……………………………………12分20. 解：(1)x x a x x x a x x f 2cos 2sin sin )cos sin 2(cos )(2-=+-= ………………………………2分 由21)(2max =+=a x f 得，3=a ………………………3分因此)62sin(22cos 2sin 32cos 2sin )(π-=-=-=x x x x x a x f ……………………………4分 令Z k k x k ∈+≤-≤+,2236222πππππ得Z k k x k ∈+≤≤+,653ππππ 故函数)(x f 的单调递减区间)(65,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ ……………………………6分（2）由余弦定理知：c a cC b B c C ab B ac cb a bc a -===-+-+2cos cos cos 2cos 2222222 即C b B c B a cos cos cos 2=-， ………………8分又由正弦定理知：()A C B C B B C B A sin sin cos sin cos sin cos sin 2=+=+=即21cos =B ,所以3π=B ……………………….…10分当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23ππ，x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-65262πππ，x ，()[]2,1∈x f故)(x f 在(]B ,0上的值域为[]2,1 …………………………….…………12分21. 解：（1）公差345172626=-=--=a a d ，………………………………2分所以13)2(2-=-+=n d n a a n ， ……………………………………4分1313313-=-⨯==+n n n n a b ． ……………………………………6分 （2）13+=n n b nc *∈⋅=N n n ,)31(n …………………………7分n 1n 21)31(n )31()1n (......)31(2)31(⨯+⨯-++⨯+=-n T …………………………8分1n n 32)31(n )31()1n (......)31(2)31(31+⨯+⨯-++⨯+=n T ……9分 1n 1n n 32)31(n )31(2121)31(n )31(......)31()31(3132++⨯-⨯-=⨯-++++=n n T ………11分n)31(432n 43⋅+-=n T ，故43<n T ………………………………………12分 22. 解:设α=∠CED (1)在CDE ∆中，由余弦定理，得EDC DE CD DE CD EC ∠⋅⋅-+=cos 2222于是由题设知，032,24722=-+++=CD CD CD CD 即解得1=CD (3-=CD 舍去)在CDE ∆中，由正弦定理，得αCDEDC EC =∠sin ，1421sin 142172332sin =∠==⋅=CED EC CD ，即πα ……………………6分(2)由题设知，20πα<<，于是由（1）知，而απ-=∠2AEB ,所以1421cos =∠AEB 在EAB Rt ∆中，.212,14213cos =∴===∠BE BE BE EA AEB . ………………………………12分。