求解非线性方程和方程组的一些新方法
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
牛顿迭代法求解非线性方程组的解
10 简化牛顿法 简化牛顿法又称平行弦法，其迭代公式为
xk1 xk Cf (xk ),C 0, k 0,1,
(4-7)
从不动点迭代法的角度看，简化牛顿法的迭代函数(x) x Cf (x) ，下面讨论简
化牛顿法的收敛性。
若| '(x) ||1 Cf '(x) | 1 ,即取 0 Cf ' (x) 2 .在根 x* 附近成立，则迭代法
x k 的点 Pk 引切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 x k1 作为 x* 的新的近似值。 注意到切线方程为
y f (xk ) f '(xk )(x xk )
(4-4)
这样求得的值 x k1 比满足 f (xk ) f '(xk )(x xk ) 0 ，从而就是牛顿公式
x
k 1
| f (xk1) || f (xk ) |
(4-8)
满足此要求的算法称为下山法。
将牛顿法和下山法一起使用时，即在下山法保证函数值稳定下降的前提下，
用牛顿法加快收敛速度。为此，为此将牛顿法的计算结果
xk 1
xk
f (xk ) f ' (xk )
(4-9)
与前一步的近似值 xk 的适当加权平均作为新的改进值
代法中所遇到的 jacobi 矩阵难求的问题。
关键词：非线性方程组、牛顿迭代法、MATLAB、 jacobi 矩阵
一、前言 非线性方程组在实际问题中经常出现，并且在科学与工程计算中的地位越来
越来重要，很多常见的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化得到的，为 得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性模型，然而从线性到非线性是 一个质的飞跃，方程的性质的不同，所以求解方法也有很大差别。本文主要介绍 关于非线性方程及方程组的数值解法，先分析非线性方程的数值解法，然后再延 伸到方程组的解法。
迭代法(iterative method
迭代法(iterative method
迭代法是一种数学方法，通过不断地迭代逼近来求解数学问题。
这种方法通常用于求解方程、优化问题、积分问题等。
迭代法的基本思想是：给定一个初始值或初始解，然后根据一定的规则进行迭代，每次迭代都得到一个新的解，直到满足某个终止条件为止。
这个终止条件可以是精度要求、迭代次数限制等。
常见的迭代法包括：
1.牛顿迭代法：用于求解非线性方程的根，通过不断地逼近方程的根来求解。
2.梯度下降法：用于求解最优化问题，通过不断地沿着负梯度的方向搜索来找到最优
解。
3.牛顿-拉夫森方法：结合了牛顿法和二分法的优点，用于求解非线性方程的根。
4.雅可比迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
5.高斯-赛德尔迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
使用迭代法时需要注意初始值的选择、迭代规则的合理性、终止条件的设定等问题，以确保迭代过程的收敛性和有效性。
同时，迭代法也有一定的局限性，对于一些非线性问题或复杂问题，可能需要进行多次迭代或者采用其他方法进行求解。
第十章非线性方程及非线性方程组解法
(
x
)
n
lim
n
x
n
若
{x
}
n
收敛，即
lim xn x*，则：
n
x* (x*) f (x*) 0
迭代过程的几何表示
x (x) :
y x 交点即真根。
y (x)
yx
y
Q1
Q2
P* P2
O x* x2
P1
x1
y (x)
P0
x0
x
例：求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5附近的根x*. 解：（1） 将方程改写为 x 3 x 1
第十章 方程求根
求解非线性方程
f (x) 0 f 是非线性函数，
例：代数方程
a x a x a x a f (x) n
n1 L
0, n 1。
n
n1
1
0
例: 超越方程
f (x) ex sin x 0
§1. 非线性方程实根的对分法(二分法)
设 f (x) 在[a,b] 上连续且 [a,b] 有且仅有一个根又
xn1 (xn ) (n 0,1,L )
均收敛于x*，并有
x* xn
Ln 1 L
x1 x0
收敛充分性定理(一、2)
证：由条件（2）知(x)在[a, b]上连续。 令 (x) x (x),则 (x)在[a,b]上连续，且
(a) a (a) 0, (b) b (b) 0 故存在 [a,b]，使得（） 0,即 （）, 所以方程x (x)在[a,b]内有根。
可先用二分法或经验确定迭代初值x0 0.5，再按牛
顿公式进行迭代。
Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求 解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需计算函 数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难 时， Newton法无法进行。
实验五(线性方程组的数值解法和非线性方程求解)
1大学数学实验 实验报告 | 2014/4/5一、 实验目的1、学习用Matlab 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2、通过实例学习用线性代数方程组解决简化问题。
二、 实验内容项目一：种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。
种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。
种群年龄记作k=1,2,…,n ,当年年龄k 的种群数量记作x k ，繁殖率记作b k （每个雌性个体1年的繁殖的数量），自然存活率记作s k （s k =1−d k ，d k 为1年的死亡率），收获量记作ℎk ，则来年年龄k 的种群数量x ̌k 应该为x ̌k =∑b k n k=1x k , x ̌k+1=s k x k −ℎk , (k=1,2,…,n -1)。
要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要求使得x ̌k =x k , (k=1,2,…,n -1).(1) 如果b k , s k 已知，给定收获量ℎk ，建立求各个年龄的稳定种群数量x k 的模型（用矩阵、向量表示）.(2) 设n =5,b 1=b 2=b 5=0,b 3=5,b 4=3,s 1=s 4=0.4,s 2=s 3=0.6,如要求ℎ1~ℎ5为500,400,200,100,100，求x 1~x 5.(3) 要使ℎ1~ℎ5均为500，如何达到？问题分析：该问题属于简单的种群数量增长模型，在一定的条件（存活率，繁殖率等）下为使各年龄阶段的种群数量保持不变，各个年龄段的种群数量将会满足一定的要求，只要找到种群数量与各个参量之间的关系，建立起种群数量恒定的方程就可以求解出各年龄阶段的种群数量。
模型建立：根据题目中的信息，令x ̌k =x k ，得到方程组如下：{x ̌1=∑b k nk=1x k =x 1x ̌k+1=s k x k −ℎk =x k+1整理得到：{−x 1∑b k nk=1x k =0−x k+1+s k x k =ℎk2 大学数学实验 实验报告 | 2014/4/52写成系数矩阵的形式如下：A =[b 1−1b 2b 3s 1−100s 2−1…b n−1b n0000⋮⋱⋮000000000⋯00−10s n−1−1]令h =[0, ℎ1,ℎ2,ℎ3,…,ℎn−2,ℎn−1]Tx =[x n , x n−1,…,x 1]T则方程组化为矩阵形式：Ax =h ，即为所求模型。
lyapunov-schmidt方法
Lyapunov-Schmidt方法是一种用于非线性方程组的求解的数值方法。
它是由俄罗斯数学家Aleksandr Lyapunov和德国数学家Ernst Schmidt分别在19世纪和20世纪提出的。
这种方法在处理非线性问题时非常有效，并且在应用数学和工程领域得到了广泛的应用。
Lyapunov-Schmidt方法的核心思想是将原始的非线性方程组转化成一系列线性方程组，从而简化求解过程。
这种方法的优势在于可以通过有限步骤来逼近非线性方程组的解，从而大大提高了求解效率。
下面我们将详细介绍Lyapunov-Schmidt方法的原理和应用。
1. Lyapunov-Schmidt方法的原理Lyapunov-Schmidt方法的原理是通过引入一组正交归一的特征函数，将原始的非线性方程组转化为一系列正交归一的线性方程组。
这样一来，原始的非线性方程组就被分解成了一系列互相独立的线性方程组，从而使得求解过程变得更加简单和高效。
2. Lyapunov-Schmidt方法的应用Lyapunov-Schmidt方法在科学和工程领域有着广泛的应用。
比如在物理学中，通过Lyapunov-Schmidt方法可以求解复杂的非线性波动方程，从而对物质的运动和变形进行研究。
在工程领域，Lyapunov-Schmidt方法可以用于求解具有非线性特性的结构力学问题，如弹性体的变形和弹性波的传播等。
3. 使用案例我们以一个简单的非线性方程组为例来说明Lyapunov-Schmidt方法的求解过程。
假设我们有一个非线性方程组：f(x, y) = 0g(x, y) = 0我们希望求解这个方程组的解。
我们可以通过Lyapunov-Schmidt方法将原始的非线性方程组转化为一系列正交归一的线性方程组：Φ1(x, y) = 0λ1(Φ1x + Φ1y) = 0Φ2(x, y) = 0λ2(Φ2x + Φ2y) = 0...我们可以通过求解这一系列线性方程组来逼近原始的非线性方程组的解。
非线性方程和方程组的求解讲解
注：1.若初始值充分接近于根，则N－R法的收 敛速度很快； 2.由于方程的精确解的具体值事先不知道， 在编程实施时，可以预先给定一个足够小的正 数 ，以下式作为迭代终止的判定条件：
x k 1 x k
N-R法的几何意义
y f(x) f(x0) f(x1) 0 x* xk+1 xk … x1 x0 x
0 1 0 2
0 x1 0 x2
f 2 ( x1 , x2 ) (x x ) x2
1 1 0 1
0 x1 0 x2
1 0 ( x2 x2 )0
1 1 0 X x x 若令 1 1 1
1 1 0 X 2 x2 x2
1 T 2
则 X X
1
1 1
X
令
f 1 x 0 J( X ) 1 f 2 x1
f (1) 1 在[0,1]中有实根
bk 1 0.5 0.5 0.375 0.375 0.375 0.359375 0.3515625 0.34765625 0.34765625 0.34765625 0.34765625 0.347412109 xk 0.5 0.25 0.375 0.3125 0.34375 0.359375 0.3515625 0.34765625 0.345703125 0.346679687 0.347167968 0.347412109 0.347290038 f(xk) -3.75 0.265625 -0.07227 0.09302 0.009369 -0.03171 -0.01124 -0.000949 0.004206 0.001627 0.0003387 -0.0003054 0.00001666
Matlab程序：
非线性方程(组)的解法
lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
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求解非线性方程和方程组的一些
新方法
求解线性方程分为两种方法–二分法和迭代法常见的方法一共有5种二分法迭代法牛顿法割线法拟牛顿法Halley法
使用条件二分法需要知道两个自变量，分别是一个根的两侧
牛顿法迭代法是最常用的方法，收敛性信赖于初值，取不同的初值可以的方程不同的根，函数用的是一阶导数，输入的是一个猜想的可能的值
割线法给定两个初值再带入计算,比如要在2附近求一个根，那就可以假设这个范围是（1.9，2）拟牛顿法这个比较方便，用时最好可以找到一个好的初始值Halley法需要知道函数值以及它的一阶求导、二阶求导
这里我从计算代码的角度来解释一下，代码按以下顺序给出。
把方程组直接带入已知条件，就可以得到答案。
二分法
基本函数是这样子的：y = dichotomy(fun,a,b,tol)；二分法的算法要输入四个变量，fun,a,b,tol：函数，一个根的左右点，tol=1.0e-6
function y =fun(x)
y = x^3-5* x +4.272;
上面这个就是定义的fun，每次的输入的方程不同，第一条不动，直接改第二行就可以的。
比如这里我们要计算的方程y = x^3 - 5 * x + 4.272;我们是可以通过简单计算得到一个根的两侧分别是1和1.3
那在窗口指令指令中输入x=dichotomy(’fun‘,1,1.3,1.0e-6)就可以得到结果
function y =dichotomy(fun,a,b,tol)if nargin <4
tol =1.0e-5;
end
n =1;iffeval(fun,a)*feval(fun,b)<0
c =(a+b)/2;while(abs(b-
c)>tol)&&(abs(feval(fun,c))>tol)if(feval(fun,c)*feval( fun,a)>0)
a = c;
c
=(a+b)/2;elseif(feval(fun,c)*feval(fun,a)<0)
b = c;
c =(a+b)/2;else
y = c;
tol =100;
end
n = n +1;
end
y = c;
elseif feval(fun,a)==0
y = a;
elseif feval(fun,b)==0
y = b;elsedisp('there may not be a root in the interval');
end
n
function y =fun(x)
y = x^3-5* x +4.272;
牛顿法还是用刚才那道题，y = x^3 - 5 * x + 4.272，一阶导是y = 3 * x^2 - 5;
function y =dfun(x)
y =3* x^2-5;
下面的是具体的算法，根据x = newton(x0,tol)，我们只需要输入一个我们猜想的值就可以。
但是有一定的误差
function x =newton(x0,tol)if nargin <2
tol =1.0e-5;
end
x = x0 -fun(x0)/dfun(x0);
n =1;while(norm(x-x0)>tol)&&(n<1000)
x0 = x;
x = x0 -fun(x0)/dfun(x0);
n = n +1;
end
n
割线法
这里我们用割线法求y = x^3 - 5 * x + 4.272在方程x=2的根，输入上要用两个初始值，比如说现在来计算就可以输入
x=secant(2,1.9，10e-6)
function x =secant(x0,x1,tol)if nargin <3
tol =1.0e-5;
end
x = x0 -fun(x0)*(x0 - x1)/(fun(x0)-fun(x1));
n =1;while(abs(x0-x1)> tol)&&(n <=1000)
x1 = x0;
x0 = x;
x = x0 -fun(x0)*(x0 - x1)/(fun(x0)-fun(x1));
n = n +1;
end
n
拟牛顿法
这里我们可以直接找到一个初始值输入，比如说
broyden2,10e-6),如果不知道不确定也没关系，至少要知道一个范围。
比如说给个范围（0.5，0.5）有下面这个函数
function y =funm(x)y(1,1)=x(1,1)-0.7*sin(x(1,1))-
0.2*cos(x(2,1));y(2,1)=x(2,1)-
0.7*cos(x(1,1))+0.2*sin(x(2,1));
那就可以输入x = broyden(x0,tol)
function x =broyden([0.5，0.5],tol)if nargin <2
tol =1.0e-5;
end
A=eye(size(x0,1));
x = x0 -A \ funm(x0);
n =1;while(norm(x - x0)> tol)&&(n <1000)
x0 = x;
x = x0 -A \ funm(x0);
p = x - x0;
q =funm(x)-funm(x0);A=A+(q -A*p)*p'/norm(p)^2;
n = n +1;
end
n
Halley法
这个要求二阶导，比如说第一个道题，y = x^3 - 5 * x + 4.272;，二阶导数是下面这个输入
function y =d2fun(x)
y =6* x;
最后输入x = halley(1，10e-6)就可以计算出一个结果
function x =halley(x0,tol)if nargin <2
tol =1.0e-5;
end
m =size(x0,1);
x = x0 -(eye(m)-1/2*(dfun(x0) \ d2fun(x0))*(dfun(x0) \ fun(x0))) \ ...(dfun(x0) \ fun(x0));
n =1;while(norm(x - x0)> tol)&&(n <1000)
x0 = x;
x = x0 -(eye(m)-1/2*(dfun(x0) \
d2fun(x0))*(dfun(x0) \ fun(x0))) \ ...(dfun(x0) \
fun(x0));
n = n +1;
end
n。