二次函数的应用-——最大面积问题教学设计
2022年初中数学《二次函数在面积最值问题中的应用2》精品教案
21．4 二次函数的应用第1课时 二次函数在面积最值问题中的应用1．经历数学建模的根本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；(重点) 2．会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值．(难点)一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如以下图的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：利用二次函数求最大面积 【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，那么另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30；(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，因为a ＝－1＜0，所以S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值是225(平方米)．方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，表达了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】利用二次函数确定最大面积的条件现有一块矩形场地，如以下图，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值．解：(1)由题意知，B场地宽为(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自变量x的取值范围为0＜x＜30；(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，当x＝15m时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m2.【类型四】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如以下图)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架〞ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架〞三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)；(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x ；(3)设OB ＝m ，那么点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ， 所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ， 所以l ＝AB ＋AD ＋DC＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计图形面积最大值⎩⎪⎨⎪⎧1.利用二次函数求最大面积2.利用二次函数确定最大面积的条件3.利用函数判断面积取值成立的条件4.最大面积方案设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题．本章复习【知识与技能】对本章的内容进行回忆和总结，熟练掌握数轴、相反数、绝对值、有理数等有关概念.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.【过程与方法】釆用讨论法、练习法、尝试指导法，反思有理数的概念和有理数的运算，培养学生应用数学知识的意识，训练和增强学生运用新知识解决实际问题的能力.【情感态度】通过本章知识的学习，渗透数形结合的思想、辩证唯物主义思想，使学生学会如何归纳知识，反思自己的学习过程.【教学重点】回忆本章知识，构建知识体系.【教学难点】有理数的运算.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回忆本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回忆边建立知识框图.二、释疑解惑，加深理解1.理解根本概念要注意的一些问题：〔1〕对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+〞号的数是正数，带“-〞号的数是负数.例如-a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，-a是0，当a是负数时，-a是正数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数.〔2〕数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数.右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.故而可以用数轴来比拟数的大小.〔3〕求相反数的方法：直接在数字前加负号；如果是式子，先把整个式子括起来，再在括号前加负号；在数轴上表示互为相反数的两个数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.0的相反数是0.〔4〕正数的绝对值是它本身；如果a＞0，那么｜a｜=a；一个负数的绝对值是它的相反数；如果a＜0，那么｜a｜=-a；0的绝对值是0，如果a=0，那么｜a｜=0.2.有理数的运算的说明：〔1〕进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法那么、运算律及运算顺序.比拟复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.〔2〕进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力.3.关于本章的数学方法：数形结合的思想是数学中一种常用思想方法，在有理数的混合运算中常常与数轴、绝对值的知识融合于一体，画出数轴、观察数轴，从中进行体验，有助于解决问题.三、典例精析，复习新知例1一只蜗牛从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，这时蜗牛与数轴上的田螺相距1.5个单位，求田螺表示的数.【分析】先画出数轴，如以下图：蜗牛从原点O出发第一次向右移动2个单位，此时蜗牛表示的数为2，第二次向左移动5个单位，这时蜗牛表示的数为-3，又由于田螺与蜗牛相距1.5个单位，根据距离的概念和绝对值的知识，田螺在数轴上位置在点P或P1，即表示的数是-4.5或-1.5.例2假设数a在数轴上的对应点如以下图，请化简｜a+1｜和｜a-1｜.【分析】对于绝对值的化简，分析出a+1，a-1的正负是解题的关键.结合数轴很容易得出结论.观察数轴可知a的对应点在原点右侧，所以a为正数.所以a+1为正数，即｜a+1｜=a+1.因为a的对应点在0和1之间，所以a为小于1的正数.所以a-1＜0.解：因为a＞0，所以a+1＞0.所以｜a+1｜=a+1.因为0＜a＜1，所以a-1＜0.所以｜a-1｜=-〔a-1〕=1-a.例3计算：【分析】进行有理数的混合运算时，一定要准确地把握有理数的运算顺序和运算中的符号问题，恰当地运用运算律简化计算.例4下表是七年级〔1〕班第一组学生的体重.以体重50kg为标准〔超出局部为正，缺乏局部为负〕：求：〔1〕这组同学中，哪个同学的身体最重？哪个同学的身体最轻？〔2〕这组同学的平均体重是多少？【分析】〔1〕求哪个同学的身体最重，即求哪个同学的体重超出50kg的最多；〔2〕超出50kg局部的平均值与50kg的和即为这组同学的平均体重.解：〔1〕因为-6＜-4＜1＜3＜5＜7所以小天同学的身体最重，小丽同学的身体最轻.〔2〕这组同学的平均体重为：50+［〔-6〕+(-4)+1+3+5+7］÷6=50+6÷6=51(kg)【分析】一般情况下，分数计算是先通分.此题通分计算将很繁琐，但我们观察到各个分数分母的后一个因数比前一个大1，且后一个分数的分母含有前一个分数分母的因数，每一个分母中因数之差等于分子，故可利用如下一个关系式：再把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做裂项法.【教学说明】这一环节是本节课重点所在，这5个例题层次递进，对本章重要知识点进行有效复习和稳固，强化学生对本章重点知识的理解与运用.四、复习训练，稳固提高1.在数轴上的点A、B位置如以下图，那么线段AB的长度为〔〕3.〔1〕12的绝对值是_______，绝对值是12的是_______，绝对值等于它本身的数是_______.〔2〕绝对值小于3的整数有_______个；绝对值不大于3的整数有_______个，分别是______________________.4.粮库3天内进出库的吨数如下:〔“+〞表示进库,“-〞表示出库〕+26、-32、-15、+34、-38、-20.〔1〕经过这3天，库里的粮食是增多还是减少了.〔2〕经过这3天，仓库管理员结算发现库里还存480吨粮，那么3天前库里存粮多少吨？〔3〕如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付多少装卸费？5.一个正方体木块粘合成如以下图形式，它们的棱长分别为1cm、2cm、4cm，要在模型外表涂油漆，如果除去局部不涂外，该油漆的本钱为5元/cm2，求模型涂漆共花费多少元钱？【教学说明】师生共同回忆本章主要知识点，教师适时予以评讲，说明应用各知识点要注意的问题.对于所选例题，可根据需要适当增减.3.〔2〕57-3、-2、-1、0、1、2、34.解：(1)26+〔-32〕+〔-15〕+34+〔-38〕+〔-20〕=-45答：经过这3天，库里的粮食是减少了45吨.〔2〕480-〔-45〕=525答：3天前库里存粮525吨.〔3〕〔26+32+15+34+38+20〕×5=825答：这3天要付装卸费825元.5.解：大正方体的涂漆面积是:42×4＋〔42-22〕＝64＋12＝76〔cm2〕棱长为2cm的正方体的涂漆面积是:22×4＋〔22-12〕＝16＋3＝19〔cm2〕棱长为1cm的正方体涂漆面积是:12×5＝5〔cm2〕所以，总涂漆的面积为:76＋19＋5＝100〔cm2〕总费用为5×100＝500〔元〕答：模型的涂漆的总费用为500元.五、师生互动，课堂小结本堂课你能系统地回忆本章所学有关有理数的知识吗？你会用数轴来比拟数的大小吗？你能熟练地进行有理数的混合运算吗？【教学说明】教师引导学生回忆本章知识，尽可能让学生自主交流与反思，对于学生的困惑与疑问，教师应予以补充和点评.1.布置作业:从教材第52页“复习题〞中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节复习是首先通过知识框图整体把握,引导学生对本章知识点进行梳理，构建本章知识体系，通过典型例题探究加深学生对主要思想方法的理解，掌握常用解题方法.在教学中，关注学生是否认真思考，相互交流与合作，以及学生对问题的理解情况，使学生在反思和交流的根底上构建合理的知识体系.通过典型例题强化有理数的运算，训练学生的计算能力和分析解决问题的能力,从而提高他们应用数学的意识.。
初中九年级数学教案-二次函数最大面积问题-公开课比赛一等奖
教学设计
学习任务：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点最低点，因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值或最小值。
在最大利润这个问题中，应用顶点坐标求最大利润，是较难的实际问题。
学习过程：从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。
因此我由实际问题入手通过创设情境，层层设问，启发学生自主学习。
创设情境引入课题、分析问题解决问题、归纳总结、运用新知练习。
积极思考，发表自己的见解。
总结归纳学习内容，培养全面分析问题的好习惯。
培养学生归纳问题的能力。
学习方法建议：
①反复读题，理解清楚题意，对模糊的信息要反复比较。
②加强对实际问题的分析，加强对几何关系的探求，提高自己的分析能力。
③注意实际问题对自变量取值范围的影响，进而对函数图象的影响。
④注意检验，养成良好的解题习惯。
通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值。
二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变的取值范围的确定同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分。
让学生在合作学习中共同解决问题，培养学生的合作精神。
二次函数的应用——最大面积问题教学设计
二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。
新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。
将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。
通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。
二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。
2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。
三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。
的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。
补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。
二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函 数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几 何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的 最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面 积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数 的变量，然后根据二次函数的性质， 找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量 ，利用二次函数的性质求圆的最大面 积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量 ，然后根据二次函数的性质，找到使 面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三 角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时 对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现 在二次函数最值处，可以通过求导数 或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面 积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值 。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表 示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积 可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所
北师大版九年级下册第二章二次函数第二章：面积最大是多少教学设计
北师大版九年级下册第二章二次函数第二章：面积最大是多少教学设计一、教学目标1.了解二次函数中面积最大问题的基本概念和解法2.掌握求二次函数面积最大值的方法3.能够通过解决问题提高自己的解决问题的能力和思维能力二、教学内容1.二次函数中面积最大问题的基本概念2.二次函数面积最大值的方法3.实际问题的应用三、教学方法1.结合具体问题进行讲解，注重考点强化2.独立思考、小组合作、展示汇报等多种教学方法结合使用3.多媒体辅助教学，图文并茂四、教学过程1. 导入（5分钟）•老师介绍本节课的主题及重要性，并让学生提出面积最大问题的相关问题或想法，引导学生进入课程主题。
2. 讲授面积最大问题的基本概念（10分钟）•通过举例讲解面积最大问题的定义、分类、特点等基本概念。
•帮助学生理解面积最大问题与实际生活密切相关。
3. 介绍二次函数面积最大值的求解方法（20分钟）•让学生通过举例理解二次函数面积最大值的求解方法。
•具体讲解求解过程及方法。
4. 案例分析（30分钟）•分组进行实际问题探究和解决，组长为负责人，组员分工合作•团队协作、独立思考找出最大面积•每组在黑板上汇报，总结出结论5. 总结（5分钟）•回顾课堂重点内容，复习二次函数面积最大值的求解方法。
•总结今天的收获，展示个人的学习收获。
五、教学评估•通过实际问题分析和答题，评估学生对面积最大问题及二次函数面积最大值求解的理解、掌握程度。
•通过展示汇报等方式，评估学生的动手能力和团队协作成果。
六、教学反思•在今后的教学中，要注重和学生联系实际问题，让学生主动参与其中，提高课堂效果和学生的学习积极性。
•需加强评估和反馈，针对学生的不足点及时纠正，才能进一步提高教学效果。
人教版九年级数学上册《二次函数与实际问题——图形的最大面积》教学设计
实际问题与二次函数（第1课时）----二次函数与几何面积最值问题教学目标知识技能：1.正确理解题意，分析问题中的变量和常量.2.能根据题意，列出二次函数的关系式.3.能将实际问题转化为二次函数模型.结合二次函数的性质，讨论最值问题.过程与方法：1.经历二次函数的建模过程，提高学生分析问题、解决问题的能力.2.经历用二次函数解决问题的探索过程，增强学生的应用意识.情感态度：通过学生解决实际的问题，增强学生学习数学的兴趣，培养学生学数学，用数学的意识.让学生真正的意识到数学是从实践中来，到实践中去，是一门有用的学科.教学重点能根据题意，列出二次函数的关系式，解决实际问题.教学难点能根据题意，列出二次函数的关系式.能根据实际问题，结合二次函数的性质，讨论最值问题.教学过程一、复习导入说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.（1）y=x2-4x-5;(2)y=-x2-3x+4.（学生独立完成,组内交流答案.）一般地，当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．这节课，我们来学习利用二次函数的知识如何来求几何面积中的最值问题。
二、新课教学1.问题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t －5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．然后画出函数h＝30t －5t2 (0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．根据函数图象，可以观察到当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．也就是说，当小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m．(教师引导分析，学生思考交流完成)2.例题用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？问题1 矩形面积公式是什么？问题2 如何用l表示另一边？问题3 面积S的函数关系式是什么？（学生独立思考后，一生回答，教师指正）变式1如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？问题1 变式1与例题有什么不同？问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S的函数关系式是什么？问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5 如何求最值？（师生共同分析完成变式1，教师强调确定自变量范围）变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？问题6 如何求最值？（变式2学生分小组讨论交流，全班分享，教师点评，指出最值不一定在顶点处）注意：实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点、何时取端点处才有符合实际的最值.方法小结：（教师引导完成）二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.三．课堂练习1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是.2.如图2，在△ABC中，∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小.四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？如何来求几何面积的最值？1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.（学生交流，互相补充）五、布置作业课本习题22.3 4、5、6、7 题。
二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿
二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿22.过程与方法：培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，掌握建模思想，熟练掌握最值问题的解法。
23.情感态度与价值观：通过实际问题的应用，让学生感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱。
本节课的重点是最值问题的解法和建模思想的培养，难点是对实际问题的分析和建模思想的掌握。
三、教学方法的选择本节课采用“引导发现、归纳总结、启发式教学”等多种教学方法，其中引导发现法是本节课的核心教学方法，通过引导学生发现实际问题中的规律和模式，培养学生独立思考和解决问题的能力；归纳总结法是巩固知识的有效方法，通过对学生已有的知识进行梳理和总结，加深对知识的理解和记忆；启发式教学法则是在教学中采用启发式问题，激发学生的思考和求知欲，提高学生的研究兴趣和积极性。
四、教学过程的设计本节课的教学过程分为四个环节：导入、讲授、练、归纳总结。
导入环节通过引入实际问题，激发学生的兴趣和求知欲，让学生认识到最值问题的实际应用价值；讲授环节通过具体例子和图像分析，讲解最值问题的解法和建模思想；练环节则通过多种形式的练，巩固学生的知识和技能；归纳总结环节则对本节课的知识点进行总结和梳理，加深对知识的理解和记忆。
五、教学效果预测通过本节课的教学，学生将能够掌握最值问题的解法和建模思想，能够熟练应用所学知识解决实际问题，同时也能够感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱，为学生今后的研究打下坚实的理论和思想方法基础。
2、___要在一块长为20米、宽为15米的空地上建一个长方形花园，他想让花园的面积最大，你能帮他算一下最大面积是多少吗？3、某公司生产一种产品，销售价格为每个10元，生产成本为每个5元，每天能生产1000个，你能帮助他们算一下每天的最大利润是多少吗？设计思路]通过这三个问题，引导学生发现实际问题中的最值问题，从而引出二次函数的最值问题。
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《实际问题与二次函数》说课稿各位评委：你们好！很高兴有机会参加这次比赛，并能得到各位专家的指导，我说课的课题是：实际问题与二次函数——最大值问题。
所用教材是人民教育出版社九年级上第22章第三节实际问题与二次函数，本节共需四课时，面积最大是第一节，利润最大是第二节。
下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。
一、教学内容的分析1、地位与作用：实际问题与二次函数也可以称作二次函数的应用，本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题、利润问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲解。
目的在于让学生通过掌握求最大值这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时。
3.学情及学法分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
二、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=（a ≠0）的图象与性2ax bx c ++质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
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二次函数的应用-——最大面积问题教学设计《二次函数的应用——面积最大问题》教学设计二次函数的应用——面积最大问题。
所用教材是山东教育出版社材九年级上册第三章第六节二次函数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。
下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。
一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
2、课时安排教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。
3.学情及学法分析学生由简单的二次函数y＝x2学习开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和图像的性质。
对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
二、教学目标、重点、难点的确定教学目标：1、知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c++（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
2．过程与方法：经历“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题”的过程体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。
3.情感态度、价值观：培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。
教学重点：利用二次函数y=2ax bx c++（a≠0）的图象与性质，求面积最值问题教学难点：1、正确构建数学模型2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用三、教学方法与手段的选择由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑提问学生上面练习中第三题矩形EFGH的最大面积是多少？学生在操作中发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决，而不是老师告诉他用函数。
求一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习。
2、在解决问题中找出方法这一环节我设计了探究活动一：在上面练习题3中，若要使矩形EFGH获得最大面积，那么它的长和宽各是多少？最大面积是多少？把矩形变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——我们要学有用的数学知识。
学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，把另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找出等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑自变量的取值范围，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。
想一想的设计让学生体会到不同的解设方法所得的最大面积是一样的，图形的最大值只有一个。
解决完想一想之后及时让学生总结方法，为变式训练打下思想方法基础。
3、在巩固与应用中提高技能有一块三角形余料如图所示，∠C=90°，AM=30cm，AN=40cm，要利用这块余料如图截出一个矩形ABCD，问矩形的边长分别是多少时，矩形的面积最大？我设计了两个问题：(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y 的值最大？最大值是多少？问题一的设计目的：这个问题，学生在学习相似时见过同种类型，所以在课堂上要给学生留出一些思考和交流的时间，让学生充分发挥课堂的主体地位。
在学生充分发挥自主探索的能力后，教师要与学生共同协作完成题目的解答。
这样做的目的是为学生在后面的学习起示范作用，帮助学生在脑海中形成完整的解答过程。
具体的过程如下：分析：(1)要求A D边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC 。
由△EBC∽△EAF，得即，所以AD＝BC＝(40－x)。
(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD ＝x·(40－x)的最大值，就转化为数学问题了。
下面由学生完成解答过程。
我设计了一个问题：用什么方法求出AD的长？学生容易想到三角形相似，而忽略了相等的角的三角函数值也相等，借助∠M或者∠MCD 的正切值也可以求出AD的长，然后让学生比较最优解题方法。
提出问题：解决这类问题你有什么心得？（首先对题意进行分析，找到变量间的关系，发现求面积就是求矩形的两条边，其次把两条边都用含有x的代数式表示出来，最后带入面积公式将实际问题转化为数学问题，用数学的方式解决它。
）设计目的让学生及时回思，总结解题方法，达到举一反三的效果。
2．问题二：将问题一变式：“设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？”问题二的设计目的：学生在是生活中遇到的问题是千变万化的，他们要有具体问题具体分析的能力，所以将问题进行一定变化后学生可以通过自己的分析独立解决这类问题。
从而提高学生独立思考并解决问题的能力。
分析：要求面积需求AB的边长，而AB=CD，所以需要求DC的长度，而DC是△MDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求,也可以借助三角函数值相等求出。
一生板演。
提出问题：矩形面积的最大值有何变化？让学生感知：同一实际问题中的最大值问题与所设的自变量无关，它是固定不变的的。
设计说明：课堂上要求学生独立完成这个问题的完整解答，请一、两名学生板演，再由其他学生进行点评，找出完美的解答过程。
体现学生的自主探索、合作交流的意识与能力，也充分体现了生生评价的激励作用。
3．问题三：对问题一再变式问题三的设计目的：问题二的解答会使一部分学生完全按照问题一的格式套下来，此时他们还会有点不熟练，但问题三则从另一个角度重新诠释了面积最大的问题。
即让学生对这个问题重新进行审视又让学生彻底弄清这类问题的思考方式。
让学生在课堂上看到了活生生的数学问题，感受到数学与生活有着密切的联系，使学生真正领悟到数学的价值。
在Rt △0MN 的内部作内接矩形ABCD ，点A 和D 分别在两直角边上，BC 在斜边MN 上。
①设矩形的边BC=xm ，则AB 边的长度如何表示？②设矩形的面积为ym 2，当x 取何值时，y 的最大值是多少?提出问题：,在一个直角三角形的内部能找到两者的关系，所以该题要40m 30m D N O A B C M GDA添加辅助线——斜边上的高，转化为探究活动一的问题。
活动目的：有了前面两题作基础，这个问题教师可以带领学生先行分析后留给学生自己解决，作为练习。
课件展示规范的解题步骤。
为了培养优生，张扬学生的个性发展，设计了一个提高题：如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,其AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使EF 在BC上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上.问矩形DEFG 的最大面积是多少?4．问题四：窗户通过的最大面积问题四的设计目的：有关面积最大问题的基础训练前面已经涉及，这里设计了提高题来提升学生解决问题的能力。
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多?此时,窗户的面积是多少?教学预设：引导学生分析得出x为半圆的半径，2x是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系，要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx ＝15，所以y＝。
面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．实际教学效果：问题四中的数量关系，较前面3个问题，该题处理起来比较繁琐，教师要给予学生及时的指导和帮助。
此处设计了微视频，通过微视频让学生明确解题方法。
第二环节归纳升华活动内容：同学们能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．活动目的：通过前面例题的学习和感受，学生讨论交流，在教师的帮助下归纳出：基本流程为：理解题目分析已知量与未知量转化为数学问题．解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用二次函数表示出变量间的关系；(4)确定最大值或最小值；(5)检验结果的合理性并进行应用拓展。
第三环节课堂检测设计说明：通过一节课的的研究，让学生进一步感受二次函数解决面积最大的思路，为了让更多的学生体验到成功，利用两个比较简单的问题及时巩固，并有利于学生树立信心。
第四环节回顾反思本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题，增强了应用数学知识的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值．设计说明：旨在培养学生的建模思想和合作交流的意识。
课堂中应请学生自主总结本节课的内容。
教师予以鼓励、表扬和肯定即可。
通过微视频提升学生兴趣。
A B C D 第五环节 布置作业1.预习下一节最大利润应用问题2.课本P78问题解决1、33.（选作）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平米。