必修一函数知识点整理和例题讲解(含答案)

高中数学必修一知识点和题型练习

一 集合与函数

1 集合的含义及表示*

????

??

?????

∈???

?????

???

确定性集合中元素的特征 互异性无序性 集合与元素的关系 : 列举法 集合的表示 描述法常见的数集 N N Z Q R

2,,A B B A A B A B A A A A B A B A B οο

φ≠

??=?????

?????≠??1定义:A=B

2若且则子集： , 集合相等: 集合间的基本关系真子集： 若且 则 空集φ的特殊性: 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集 *结论 含有n 个元素的集合，其子集的个数为2n ，真子集的个数为21n -

3集合的基本运算{}{}{}|||U A B x x A x B A B x x A x B C A x x U x A ??=∈∈?

?=∈∈??=∈??

并集：或 交集：且 补集：且

在集合运算中常借助于数轴和文氏图（*注意端点值的取舍） *结论 （1）A A A ?= A A A ?=, A A φ?= A φφ?=

（2）A B B A B ?=?若则 A B A A B ?=?若则

练习题

1． 若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，则P ∩Q 等于( )

A ．{x |3≤x <4}

B ．{x |3

C ．{x |2≤x <3}

D ．{x |2≤x ≤3} 2．已知集合M ＝{2，3，4}，N ＝{0，2，3，5}，则M ∩N ＝( )

A ．{0，2}

B ．{2，3}

C ．{3，4}

D ．{3，5}

3． 已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，6}，则?U A ＝( )

A ．{1，3，5，6}

B ．{2，3，7}

C ．{2，4，7}

D ．{2，5，7} 4．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝( )

A ．{x |x ＞2}

B ．{x |x ＞1}

C ．{x |2＜x ＜3}

D ．{x |1＜x ＜3}

5．已知集合A ＝{3，4，5，12，13}，B ＝{2，3，5，8，13}，则A ∩B ＝________．

6．已知集合A ＝{－2，－1，3，4}，B ＝{－1，2，3}，则A ∩B ＝________． 7． 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合?U (A ∪B )＝( )

A ．{x |x ≥0}

B ．{x |x ≤1}

C ．{x |0≤x ≤1}

D ．{x |0＜x ＜1}

8．设集合M ＝{1，2，4，6，8}，N ＝{1，2，3，5，6，7}，则M ∩N 中元素的个数为( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．7

9． 已知集合A ＝{－2，0，2}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}，则A ∩B ＝( )

A ．?

B ．{2}

C ．{0}

D ．{－2}

10．已知集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{－2＜x ＜1}，则M ∩N ＝( )

A ．(－2，1)

B ．(－1，1)

C ．(1，3)

D ．(－2，3)

二、函数及其表示??

??

???????

??????

??????函数的定义 定义域函数的三要素对应法则值域区间的表示 解析式法函数的表示法列表法图像法

(一)、求定义域

1

．函数y = ） A ．{|1}x x ≤

B ．{|0}x x ≥

C ．{|10}x x x ≥≤或

D ．{|01}x x ≤≤

2．函数4

2

2--=

x x y 的定义域 。 3.

函数y =的定义域为 4.函数1

112

2--+-=

x x x y 的定义域为

5

．函数()f x =的定义域为 6.函数f(x)=

x

x -132 +lg(3x+1)的定义域是 （ ）

A.（-∞,-3

1） B.（-3

1,3

1）

C.（-3

1，1）

D.（-3

1,+∞）

(二).求函数值域（最值）的方法： （1）基本函数的值域

常见函数的值域：

一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.

二次函数()2

0y ax bx c a =++≠，当0a >时为24,4ac b a ??-+∞????，当0a <时为24,4ac b a ??

--∞ ??

?. 反比例函数()0k

y k x

=

≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 如： 1．x

x

y -+=

43 的值域是

2.函数y =的值域是

（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 3.函数()()2log 31x f x =+的值域为

A. ()0,+∞

B. )0,+∞??

C. ()1,+∞

D. )1,+∞?? （2）二次函数的值域：（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）， 如

1.函数232y x x =-+的值域为

2.求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域

3.求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）

4.当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___

5.已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值。

(三).求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：

2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根

据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。 如

1.已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；

2．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，

则这个二次函数的表达式是 。

(2)代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。

1．若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = .

2.若221

)1(x

x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____

（3）方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。 如

1.已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式

2.已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g = 1

1

-x ,则()f x =

3.已知()f x 满足1

2()()3f x f x x

+=，求()f x 。

(四)、分段函数 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。 如：

1．已知f (x )＝???x －1（x >0），

0（x ＝0），x ＋5（x <0），

则f ( f (－2) ) ＝ (

)

A ．－2

B ．0

C ．2

D ．－1

2．已知f (x )＝???x －5 （x ≥6）

f （x ＋2） （x ＜6），则f (3) = ( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．已知22(1)

()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??

=-<

，若()3f x =，则x 的值是（ ）

A ．1

B ．1或

32 C ．1，3

2

或 D 4.设函数2211()21x x f x x x x ?-?=?+->??，

，，，

≤则

1(2)f f ??

???

的值为（ ） A ．

15

16

B ．2716

-

C ．89

D ．18

5．函数2

22(03)

()6(20)

x x x f x x x x ?-≤≤?=?+-≤≤??的值域是（ ）

A ．R

B ．[)9,-+∞

C ．[]8,1-

D ．[]9,1-

五.函数的奇偶性。

（1）定义：若()f x 定义域关于原点对称

1ο若对于任取x 的，均有()()f x f x -= 则()f x 为偶函数

2ο若对于任取x 的，均有()()f x f x -=-则()f x 为奇函数 （