弯曲法测横梁弹性模量研究性报告材料

弯曲法测横梁弹性模量第一作者：马奎元 14051206 第二作者：蒲兴宇 14051212 学院：航空科学与工程学院摘要：弹性模量就是描述材料形变与应力关系的重要特征量，它是工程技术中常用到的一个参数。

弯曲法测量横梁弹性模量是一种轻便有效的试验方法。

本文主要从实验原理，实验方法和内容，数据的测量与处理，以及存在的问题这几个方面进行讨论。

关键词：弹性模量，霍尔位置传感器，数据处理实验目的1. 熟悉霍尔位置传感器的特性；2. 了解弯曲法测弹性模量的原理和霍尔传感器原理的应用；3. 掌握基本长度和微小位移量测量的方法，学习游标卡尺、千分尺等常用长度测量仪器的使用。

实验原理（1）霍尔位置传感器霍尔元件放置于磁感应强度为B 的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流I ，则与这二者相垂直的方向上将产生霍尔电势差H U ：H U K I B =⋅⋅ （1）（1）式中K 为元件的霍尔灵敏度。

如果保持霍尔元件的电流I 不变，而使其在一个均匀梯度的磁场中移动时，则输出的霍尔电势差变化量为：d H BU K I Z k Z dZ∆=⋅⋅⋅∆=∆ （2） （2）式中Z ∆为位移量，此式说明若dBdZ 为常数时，H U ∆与Z ∆成正比,其比例系数用K 表示，称为霍尔传感器灵敏度。

图 1 均匀梯度磁场为实现均匀梯度的磁场，可以如图1所示，两块相同的磁铁（磁铁截面积及表面磁感应强度相同）相对放置，即N极与N极相对，两磁铁之间留一等间距间隙，霍尔元件平行于磁铁放在该间隙的中轴上。

磁铁截面要远大于霍尔元件，以尽可能的减小边缘效应影响，提高测量精确度。

若磁铁间隙内中心截面处的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时，输出的霍尔电势差应该为零。

当霍尔元件偏离中心沿Z轴发生位移时，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就产生相应的电势差输出，其大小可以用数字电压表测量。

由此可以将霍尔电势差为零时元件所处的位置作为位移参考零点。

霍尔电势差与位移量之间存在一一对应关系，当位移量较小（2mm），这一对应关系具有良好的线性。

（2）攸英装置攸英装置如图4所示，在二支架上设置互相平的钢制刀刃，其上放置待测棒和辅助棒。

在待测棒上二刀刃间的中点处，挂上有刀刃的挂钩和砝码托盘，往托盘上加砝码时待测棒将被压弯，通过在待测棒和辅助棒上放置的千分表测量出棒弯曲的情况，从而求出棒材的杨氏模量。

图 2 攸英装置（3）弹性模量将厚度为a 、宽度为b 的横梁放在相距为l 的两刀口上，在梁上两刀口的中间处挂一质量为m 的砝码，这时梁被压弯，梁的中心处下降的距离Z ∆称为弛垂度。

在横梁发生微小弯曲时，梁的上半部分发生压缩，下半部分发生拉伸；而中间存在一个薄层，虽然弯曲但长短不变，称为中性面（见图2）。

取中性面上相距为y 、厚为dy 、形变前长为dx 的一段作为研究对象（见图2）。

梁弯曲后所对应的张角为d θ，长度改变量为yd θ，所受的拉力为dF -。

图 3 弯曲梁弹性模量计算用图根据胡克定律有dS d Ey dF dyθ=- （3） （3）式中，dS 表示形变层的横截面积，设横梁宽为b ，则dS bdy =。

于是，d dF Ebydy dxθ=- 此力对中性面的转矩dM 为 2d dM dFy Eby dy dxθ==积分得 322212a a d Eba d M Eby dy dxdxθθ-==⎰（4）如果将梁的中点O 固定，在两侧各为2l 处分别施以向上的力12mg ，则梁上距中点O 为x 、长为dx 的一段，由于弯曲产生的下降()d Z ∆ 为()()2ld Z x d θ∆=-当梁平衡时，由外力12mg 对该处产生的力矩122l mg x ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于由式（4）求出的力矩M ,即312212l Eba d mg x dx θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭从该式中解出d θ代入式()2l d Z x d θ⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭中并积分，可求出驰垂度232330624lmg l mgl Z x dx Ea b Ea b ⎛⎫∆=-= ⎪⎝⎭⎰于是弹性模量为 334mgl E a b Z=•∆ （5）Z ∆属微小位移，用一般工具很难测准，在此可用霍尔位置传感器进行测量。

实验仪器(见图4，图5)Ⅰ. 霍尔位置传感器测杨氏模量装置一台（底座固定箱、读书显微镜、95型集成霍尔位置传感器、磁铁两块等）；Ⅱ. 霍尔位置传感器输出信号测量仪一台（包括直流数字电压表）。

其中：1.铜刀口上的基线 2.读数显微镜 3.刀口 4.横梁 5.铜杠杆（顶端装有 型集成霍尔传感器） 6.磁铁盒 7.磁铁（ 极相对放置） 8.调节架 9砝码图 5 试验装置示意图图 4 实验所需仪器实验内容利用霍尔传感器测量弹性模量一.实验仪器调整1)调节三维调节架的调节螺丝，使集成霍尔位置传感器探测元件处于磁铁中间的位置。

2)用水准器观察是否在水平位置，若偏离时可以用底座螺丝调节。

3)调节霍尔位置传感器的毫伏表。

磁铁盒下的调节螺丝可以使磁铁上下移动，当毫伏表数值很小时，停止调节固定螺丝，最后调节调零电位器使毫伏表读数为零。

4)调节读数显微镜，使眼镜观察十字线及分划板刻度线和数字清晰。

然后移动读数显微镜前后距离，使能够清晰看到铜架上的基线。

转动读数显微镜的鼓轮使刀口架的基线与读数显微镜内十字刻度线吻合，记下初始读数值。

二.数据测量记录1)逐次增加砝码（每次增加10g砝码），相应从读数显微镜上读出梁的弯曲位移及数字电压表相应的读数值（单位mV）。

以便于计算杨氏模量和霍尔位置传感器进行定标。

（注意：在进行测量之前，要求符合上述安装要求，并且检查杠杆的水平、刀口的垂直、挂砝码的刀口处于梁中间，要防止外加风的影响，杠杆安放在磁铁的中间，注意不要与金属外壳接触，一切正常后加砝码，使梁弯曲产生位移；精确测量传感器信号输出端的数值与固定砝码架的位置Z的关系，也就是用读数显微镜对传感器输出量进行定标，检验的关系。

）2)测量横梁两刀口间的长度d及测量不同位置横梁宽度b和梁厚度a。

3)用逐差法按照公式（3）进行计算，求得待测材料的杨氏模量，并估算不确定度，并把测量值与标准值进行比较。

4)用一元线性回归法计算求出霍尔位置传感器的灵敏度及其不确定度。

利用攸英装置测量弹性模量1)按图2安置好仪器，用千分表直接测出。

2)用螺旋测微计在横梁的各处测厚度，宽度，要测5次取平均值。

3)用米尺测二刀刃间的距离。

4)将测得的量代入公式求出棒材的杨氏模量。

5)求测量结果的误差。

数据处理1) 用一元线性回归计算霍尔位置传感器的灵敏度K 及其不确定度。

2) 用逐差法计算待测材料的弹性模量E ，并估算不确定度，计算与标准值的相对误差。

已知黄铜材料的标准值为10210.5510Cu E N m =⨯，铸铁材料的标准值为10218.1510Fe E N m =⨯。

3) 用逐差法计算攸英装置所测得弹性模量。

(一) 原始数据1) 两刀口间隙 1223.0923.1023.09522d d d cm ++=== 2) 横梁厚度和宽度3)弯曲法测黄铜横梁弹性模量4)铸铁材料试验数据5)攸英装置测横梁弹性模量刀口距离d’=200.1+199.9=400mm(二)用一元线性回归计算霍尔元件灵敏感1)回归计算列表及结果：由一元线性回归法得:2222()ii i i iix y k x y x y xy b x k xx x --==--∑∑∑∑∑()23.7691541.93752128.53831096.1467183.769114.2845⨯-+==--()541.93751096.146718 3.76913589.549095a y bx =-=-+⨯=由计算得2128.5383 3.7691541.93750.99892561xy x yr -⋅-+⨯===≈即x 与y 严格线性相关。

灵敏度k 的不确定度为()()((16.993a u k s b s y s y =====-则最终表述为k=1096.147±16.993(二) 用逐差法计算铸铁和黄铜弹性模量E 1）铸铁4i m m +=4i u u +++∆=4i u u --+∆=u ∆33112533 1.983910 1.9841044Hmgd kmgd E N m MPau a b u a bh===⨯=⨯∆∆ 相对误差1.984 1.815100%9.31%1.815A N N ϕ--==⨯=不确定度的计算()u E E =得()11250.1537100.15410u E N m MPa =⨯=⨯ 则最终表述为2）黄铜4i m m +=4i u u +++∆=4i u u --+∆=u ∆()()52.00.210Fe E E u E MPa=±=±⨯33112533 1.124710 1.11044Hmgd kmgd E N m MPa u a b u a bh===⨯=⨯∆∆ 相对误差1.1247 1.055100%12.47%1.055A N N ϕ--==⨯=不确定度的计算()u E E =得()11250.10683100.10710uE N m MPa =⨯=⨯则最终表述为(三) 攸英装置测量铸铁弹性模量（逐差法）4i m m +=4i u u +++∆=4i u u --+∆=u ∆()()51.10.110Cu E E u E MPa=±=±⨯33112533'' 2.0262110 2.0261044mgd mgd E N m MPa a b a b uλ===⨯=⨯∆不确定度计算()u E E =得()50.13210u E MPa =⨯ 得最终表述为误差分析1) 仪器误差：螺旋测微计与游标卡尺的仪器零点误差，在计算过程中可以减去，消除误差。

2) 人为误差：人的视觉误差如观察米尺等读数时未正视。

3) 理论误差：g 的值为近似值，g 的真实值与当地的纬度有关。

4) 在量取厚度与宽度的时候可能会有随机误差，要多次测量消除误差。

5) 要胆大心细地进行实验，掌握时间的长短，按时完成。

()112.00.110E Pa=±⨯实验总结、建议和改进进行四次试验，从失败和成功的例子中，我们得到：（一）注意事项（1）在用千分尺测量黄铜厚度时，将千分尺旋转时，当将要接触时，必须用微调轮。

当听到答答答三声时，停止旋转。

（2）霍尔位置传感器定标前，应先将霍尔传感器调整到零输出位置，这时可调节电磁铁盒下的升降杆上的旋钮，达到零输出的目的，另外，应使霍尔位置传感器的探头处于两块磁铁的正中间稍偏下的位置，这样测量数据更可靠一些；（3）加砝码时，应该轻拿轻放，尽量减小砝码架的晃动，这样可以使电压值在较短的时间内达到稳定值，节省实验时间；（4）实验开始前，必须检查横梁是否有弯曲，如有，应矫正。