二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
系数线性微分方程特解的微分算子法
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法作者：李绍刚， 徐安农， LI Shao-gang， XU An-nong作者单位：桂林电子科技大学,数学与计算科学学院,广西,桂林,541004刊名：桂林电子科技大学学报英文刊名：JOURNAL OF GUILIN UNIVERSITY OF ELECTRONIC TECHNOLOGY年，卷(期)：2008，28(4)被引用次数：2次1.葛正洪算子法求非齐次常系数线性微分方程组的特解 1998(03)2.徐安农.段复建全微分方程与积分因子法[期刊论文]-桂林电子工业学院学报 2002(02)3.周展宏求常系数线性非齐次微分方程特解的微分算子级数法[期刊论文]-高等数学研究 2004(03)4.陈新明二阶常系数线性微分方程的通解公式[期刊论文]-高等数学研究 2007(03)5.赵士银二阶常系数线性微分方程的特解公式[期刊论文]-甘肃联合大学学报（自然科学版） 2008(01)6.叶彦谦常微分方程讲义 19827.M R 施皮格尔高等数学的理论与习题 19781.期刊论文刘许成可变换为二阶常系数线性微分方程的判别准则-枣庄师范专科学校学报2002,19(5)本文给出了二阶性微分方程能够利用变换化为二阶常系数线性微分方程的充要条件.2.期刊论文蔡炯辉.杨继明.杨亚非.CAI Jiong-hui.YANG Ji-ming.YANG Ya-fei常系数非齐次线性微分方程的一个特解公式-宝鸡文理学院学报（自然科学版）2008,28(2)目的 给出非齐次项为拟多项式的常系数非齐次线性微分方程一个特解公式.方法 以微分算子为工具,经过巧妙的逻辑推理,通过比较系数给出了特解中多项式的系数计算公式.结果 给出了求一类常系数非齐次线性微分方程的特解的递推公式.结论 算子方法对常系数线性微分方程的求解可以更进一步得到拓广.3.期刊论文唐生强.唐清干n阶常系数非齐次线性微分方程的通解-湖南农业大学学报（自然科学版）2004,30(5) 为研究n阶常系数非齐次线性常微分方程解的问题,求证了n阶常系数非齐次线性常微分方程的通解和特解的积分表达式.利用韦达定理和一个变量替换,对n阶常系数非齐次线性微分方程进行降阶,导出该方程的一个用积分表示的通解公式,并根据特征根的不同情形给出了通解的各种形式及相应的通解和特解公式.4.期刊论文吴洁.WU Jie高阶常系数线性微分方程的算子解法-天津职业院校联合学报2007,9(2)从一个新的角度探讨了高阶常系数线性微分方程的算子解法,借助于算子的代数性质讨论了算子解法求解常系数线性微分方程解的一般方法并给出了计算实例.5.期刊论文求常系数非齐次线性微分方程特解的一种简捷方法-网络财富2009,""(21)对于自由项为两种常见形式的常系数非齐次线性微分方程,本文给出求其特解的一个简捷方法.6.期刊论文杨继明.杨亚非.YANG Ji-ming.YANG Ya-fei一类常系数非齐次线性微分方程特解的求法-玉溪师范学院学报2006,22(9)给出了一类常系数非齐次线性微分方程的特解的计算公式.7.期刊论文杨芳.吴小欢n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法-广西师范学院学报（自然科学版）2009,26(4)归纳介绍了求n阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种方法,通过具体例子分析比较各种方法的优缺点,并小结各种方法的适用条件,供教学中参考.8.期刊论文孙静.常涛二阶常系数线性微分方程周期解的讨论-科教导刊2009,""(5)周期解问题是常微分方程中的一个重要问题,也是人们长期关注的一个焦点问题.该文研究二阶常系数线性微分方程y''+by'+cy=f(x)的周期解问题,采用常微分方程中常数变易法具体地讨论了它的存在条件及周期解的表达式.9.期刊论文温大伟.陈莉.王红芳.魏瑾.WEN Da-wei.CHEN Li.WANG Hong-fang.WEI Jin一类常系数非齐次线性微分方程通解和特解的直接解法-甘肃高师学报2010,15(2)提出了求常系数非齐次线性微分方程通解和特解的新方法:先根据方程的结构和特点,令出它的形式解并代入方程,再根据特征根的不同,直接求出方程的通解和特解.10.期刊论文杨继明.侯雪炯.YANG Ji-ming.HOU Xue-jiong一类常系数非齐次线性微分方程的特解公式-大学数学2008,24(6)给出了一类常系数非齐次线性微分方程的特解的计算公式.1.李珏东.黄容兰底质信息在水深反演中的应用研究[期刊论文]-桂林电子科技大学学报 2009(6)2.王明明.刘庆华随机共振及其在微弱信号方位估计中的应用[期刊论文]-桂林电子科技大学学报 2009(6)本文链接：/Periodical_gldzgyxyxb200804016.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：c6cf17ef-a35e-4021-9e9e-9dcf013e340f下载时间：2010年8月11日。
微分算子法求二阶常系数微分方程的特解ppt
y
e3x
D
32
x1
6 D
3
9
y
e3x
x1 D2
1 x2 x y e3x 2
D
y
e3x
1 6
x3
1 2
x2
例题6 求微分方程 y 4y xcos x的一个特解.
解：D2 4
y
x cos
x
y
xcos x D2 4
y
Re
xeix
D2
4
y
Re
eix
2i去换D分母为0 y ex x sin 2x 2D
y
e
x
x
1 2
1 2
cos
2
x
y 1 xex cos 2x 4
y 1 xex cos 2x 4
例题5 求微分方程 y 6y 9y x 1 e3x 的一个特解.
解：D2 6D 9
y
x
1 e3x
y
x 1 e3x
2x
1 x 11 28
例题3 求微分方程 y 4y sin2x 的一个特解.
解：D2 4
y
sin 2 x
y
sin 2 x D2 4
i2i去换D
y
sin 2 x D2 4
分母为0
y x sin2x 2D
y x 1 sin2x 2D
sin2x积分 y
x
1 2
1 2
cos
4
ex sin
F D
x
位移定理
ex
sin x
FD
D 去换 D
5
ex pn x F D
位移定理
ex
二阶常系数微分方程解法
二阶常系数微分方程解法微分方程是数学中一个非常重要的部分，它描述了很多现实生活和科学问题。
其中，二阶常系数微分方程是应用广泛的一种类型的微分方程，其解法也相对较为简单，下面将详细介绍解这类微分方程的方法。
一、二阶常系数微分方程的定义和形式二阶常系数微分方程指的是形如 y''+ay'+by=f(x) 的微分方程，其中 y、f(x)均为函数，a和b均为常数。
这类微分方程中，y”表示 y 对自变量 x 的二次导数，y'表示 y 对 x 的一次导数。
二、特征方程法解二阶常系数微分方程最常用的方法是特征方程法。
根据 y=Ae^{mx} 这种形式，我们可以将 y" 和 y' 带入 y 中，得到以下等式：(Ae^{mx})''+a(Ae^{mx})'+bAe^{mx}=0化简后可得：m^2+am+b=0以上所得到的方程式称为特征方程，解特征方程的根 m_{1}, m_{2} 就可以得到二阶常系数微分方程的通解。
1、特征方程有两个不相等的实根如果特征方程有两个不相等的实根 m_{1} 和 m_{2}，那么通解为：y=C_{1}e^{m_{1}x}+C_{2}e^{m_{2}x}其中，C_1、C_2 为任意常数，分别由初始值条件所决定。
2、特征方程有两个相等的实根如果特征方程有两个相等的实根 m，那么通解为：y=(C_1+C_2x)e^{mx}其中，C_1、C_2 为任意常数。
3、特征方程有两个共轭复根如果特征方程有两个共轭复根α+iβ 和α-iβ，那么通解为：y=e^{αx}(C_1\cos βx+C_2\sin βx)其中，C_1、C_2为任意常数。
三、拉普拉斯变换法除了特征方程法外，拉普拉斯变换法也可以用来求解二阶常系数微分方程。
我们将 y、y' 和 y" 进行拉普拉斯变换，得到：L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)L\{y'\}=sY(s)-y(0)L\{y\}=Y(s)将以上三个式子带入二阶常系数微分方程中，消去 Y(s)，就可以得到：s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+a(sY(s)-y(0))+bY(s)=F(s)其中 F(s) 为右侧函数的拉普拉斯变换。
微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解
微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
其中，二阶常系数线性微分方程是一类常见且重要的微分方程类型。
在本文中，我们将探讨如何求解二阶常系数线性微分方程以及特解的求解方法。
首先，我们来了解一下什么是二阶常系数线性微分方程。
二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = f(x)$$其中，$a$和$b$是常数，$f(x)$是关于自变量$x$的函数。
这个方程中的未知函数是$y(x)$，我们的目标是求解$y(x)$的表达式。
要求解二阶常系数线性微分方程，我们可以先求解其对应的齐次方程，再找到特解，最后将齐次方程的通解与特解相加得到原方程的通解。
齐次方程是指当等号右边的$f(x)$为零时的方程，即：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$齐次方程的解可以通过特征方程来求解。
特征方程是将齐次方程中的导数项全部移到左边，并将未知函数$y(x)$表示为指数函数$e^{rx}$的形式得到的方程。
假设$y(x) = e^{rx}$，代入齐次方程中得到：$$r^2e^{rx} + are^{rx} + be^{rx} = 0将$e^{rx}$提取出来得到：$$e^{rx}(r^2 + ar + b) = 0$$由指数函数的性质可知，$e^{rx}$不可能为零，所以我们得到一个关于$r$的二次方程：$$r^2 + ar + b = 0$$解这个二次方程可以得到两个不同的解$r_1$和$r_2$。
这两个解可以是实数或复数。
根据这两个解，我们可以得到齐次方程的通解：$$y_h(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$是常数。
接下来，我们需要找到二阶常系数线性微分方程的特解。
特解是指使得原方程成立的一个特定解。
算子法解微分方程
常系数非齐次线性微分方程的解法有很多，例如笔者的教材（《高等数学第六版》）所述的待定系数法和接下来给出的称之为“算子法”以及另一种同样使用算子的方法。
1、首先介绍一种使用算子求解的方法：考察二阶常系数非齐次线性微分方程d2x/dt2＋a1dx/dt＋a0x＝b(t)相应的齐次方程的通解是已知的，所以只须求出方程的一个特解（由微分方程解的结构给出）。
设该方程的特征多项式q(λ)＝λ2＋a1λ＋a0分解为q(λ)＝(λ－λ1) (λ－λ2)则算子多项式q(D)也分解为q(D)＝(D－λ1) (D－λ2)则原微分方程可写成 (D－λ1) (D－λ2)＝b(t)依次解以下两个方程(D－λ2) x1＝b(t)(D－λ1) x＝x1就可求得方程的特解。
（其中x1看成是中间变量，只要通过求解x1来求解x）对于λ1和λ2是共轭虚数的情形，按上述步骤求得的方程特解有可能是一个复值函数z(t)＝x(t)＋iy(t)。
这时应有恒等式d2z(t)/dt2＋a1dz(t)/dt＋a0z(t)＝b(t)比较上式两边的实部，我们得到d2x(t)/dt2＋a1dx(t)/dt＋a0x(t)＝b(t)这样，不论λ1和λ2是实数或者是共轭虚数，我们都可能够求出方程在实数范围内的特解，从而完全解决了这方程的求解问题。
给出教材上一个例子:求微分方程y``－5y`＋6y＝xe2x.（《高等数学》P343）解：该微分方程的算子多项式分解为 q(D)＝(D－2) (D－3)设y1＝(D－2)y，代入知(D－3)y1＝xe2x（该式子是一阶常系数微分方程），易求得y1＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x（其中C为任意常数）.所以 (D－2)y＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x.得y＝C1e2x＋C2e3x－(x2＋2x) e2x／2.2、下面来说另一种更简便的方程，也就是“算子法”。
不过在使用算子法的时候，很多性质是必须了解的，在这里不作说明。
“算子法”是一个能直接求出常系数非齐次线性微分方程的特解的一个简单的方法，也就是得到我们需要求的y*。
张宇讲的微分算子法
张宇讲的微分算子法一、引言微分算子法（Operator method）是高等数学中的一种常用求解微分方程的方法。
它由中国著名数学家张宇在其讲授的高等数学课程中提出并详细讲解。
本文将对张宇讲的微分算子法进行全面详细、完整且深入的介绍和解析。
二、微分算子法概述微分算子法是一种将微分方程转化为代数方程求解的方法。
通过引入一个特殊的算子，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了问题的求解过程。
三、微分算子在微分算子法中，我们首先需要引入一个特殊的算子——微分算子（Differential Operator）。
对于一个函数f(x)，其对应的微分算子为D，表示为D[f(x)]。
常见的微分算子包括一阶导数算子D、二阶导数算子D²等。
对于一阶导数算子D，其定义为：D[f(x)] = f'(x)其中f’(x)表示f(x)对x的一阶导数。
四、微分方程与代数方程转换通过引入微分算子，我们可以将一个n阶线性常系数齐次微分方程转化为一个n次代数方程。
具体的转换方法如下：1.将微分方程中的函数用微分算子表示，例如对于f(x)，用D表示。
2.将微分方程中的导数用微分算子表示，例如对于f’(x)，用D[f(x)]表示。
3.将微分方程中的常数项移至等号右侧。
4.应用微分算子的性质和运算规则，将微分方程转化为代数方程。
5.求解代数方程，得到原微分方程的解。
五、示例下面通过一个具体的例子来演示如何使用微分算子法求解微分方程。
例题：求解二阶线性常系数齐次微分方程：y'' - 3y' + 2y = 0解答：1.首先引入微分算子D，将函数y(x)表示为D[y]。
2.将导数用微分算子表示，将常数项移至等号右侧，得到：(D² - 3D + 2)y = 03.将方程中的D²、D和常数项2应用到函数y上，得到：(D² - 3D + 2)[y] = 04.根据代数方程的性质和运算规则，我们可以将上述代数方程拆分为两个代数方程：(D - 1)(D - 2)[y] = 05.求解上述代数方程，得到两个根：D = 1和D = 2。
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次 线性方程的通解，再求一特解。
前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。
多数教材中采用的是待定系数法求其特解, 这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理, 而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。
因此, 微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法, 基于上述考虑, 文章针对非线性项的不同情况, 给出微分算子法求 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式, 具有记忆方便, 计算简单的特点。
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为()y py qy f x '''++=， （1）其中,p q 为常数.为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法 见下表表中()n R x 为待定的n 次多项式，()k R x , ()k S x 为系数待定的k 次多项式，max k ={},n m .引入微分算子,dD dx= 222,d D dx =则有,dyy Dy dx'== 222,dy y D y dx ''==于是式（1）可化为()()2D pD q y f x ++= （2）令()2,F D D pD q =++称为算子多项式，则式（2）即为()()F D y f x =，其特解为()()1,y f x F D =这里，()1F D 称为逆算子.1．算子多项式1.1 算子多项式的性质引理[]61 设算子多项式()F D 如上定义，()f x ,()g x 为可微函数，则有 (1)()()()()()()()F D f x g x F D f x F D g x αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦; (2) 设 ()()()12F D F D F D =; 则有()()()()()()1221F D F D f x F D F D f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3) 设()()()12F D F D F D =+， 则有()()()()()()12F D f x F D f x F D f x =+.证明略.1.2算子多项式的公式引理[]72 设算子多项式()F D 如上定义，,k a 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下列结论成立（1） ()()kx kx F D e e F k =；（2） ()()22sin sin F D ax axF a =-； ()()22cos cos F D ax axF a =-； （3） ()()()()kx kx F D e v x e F D k v x =+; （4）()()()()()()F D xv x xF D v x F D v x '=+. 证明略.1.3逆算子多项式的性质引理[]73 设算子多项式()F D 如上定义，,R αβ∈，()f x ,()g x 为可微函数，则有 （1）()()()()1F D f x f x F D =； （2）()()()()()()()111f xg x f x g x F D F D F D αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦ ； （3）设 ()()()12F D F D F D =， 则有()()()()()()()()122111111f x f x f x F D F D F D F D F D ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.2. 特解公式利用上述性质，可以得到下面的特解公式。
微分算子法求微分方程的特解2022
二阶常系数微分方程的微分算子法求特解二阶常系数非齐次微分方程求特解，在一般的本科教材中均采用设特解再用待定系数法求出待定的系数，计算量往往偏大，考生若掌握了微分算子法，则可以起到事半功倍的效果。
具体做法如下：引入微分算子222222d d d d d d ,,,,,,d d d d d d ====== nn n n n n y y y D Dy D D y D D y x x x x x x因此，n 阶常系数线性非齐次方程()(1)11()−−′++++= n n n n y a y a y a y f x()111()−−⇒++++= n n n n D a D a D a y f x令111()n n n n F D D a D a D a −−=++…++称为算子多项式，则 方程*1()()()()⇒=⇒=F D y f x y f x F D【评注】D 表示求导，1D 表示积分.如()21111,cos 2sin 222==x x x x D D ，不要常数.类型1 ()=e kx f x1.若()0F k ≠，则()()11e e ∗==kx kx y F D F k , 2.若()=0F k ，k 为()0F k =的m 重根，则 ()()()()11e e ∗==m kx m kx m m y x x F D F k ,【例1】求223e x y y y ′′′+−=的一个特解【解析】()2222221111e e e e 2322235x x x x y F D D D ∗====+−+×−【例2】求323e x y y y −′′′+−=的一个特解【解析】由与()3=0F −，3−为()0F k =的单根， ()()()3333311111e e e e e 222324∗−−−−−=====−′+×−+x x x x x y x x x x F D F D D ,【例3】求2+e xy y y ′′′−=的一个特解【解析】由于()1=0F ，1为()0F k =的二重根， ()()2221111e e =e e 22∗===′′x x x x y x x x F D F D .类型2 ()=cos f x ax 或()=sin f x ax1.若2()0F a −≠，则()()2211sin sin y ax ax F D F a ∗==− 或()()2211cos cos y ax ax F D F a ∗==−2.若2()=0F a −，则()()2211sin sin y ax x ax F D F D ∗==′ 或()()2211cos cos ∗==′y ax x ax F D F D【评注】()()212211111sin sin cos n n n ax ax ax D D a a a + ==− −− ()()212211111cos cos sin n n n ax ax ax D D a a a +==−− 由此()()11sin cos ax ax F D F D ，可求，例如 221111sin sin sin 2112121x x x D D D D ==+−−+−− ()()21111sin =1sin cos sin 2144D x D x x x D +=−+=−+−【例4】求+4+5sin 2y y y x ′′′=的一个特解【解析】()22111sin 2sin 2sin 245245y x x x F D D D D ∗===++−++ ()21411sin 2sin 28cos 2sin 24116165D x x x x D D −===−−+−【例5】求+4cos 2y y x ′′=的一个特解【解析】()220F −=()21111cos 2cos 2cos 2sin 24222x y x x x x x F D D D ∗====+类型三 ()()=m f x P x 即自由项为x 的m 次多项式 ()()()()1m m y P x Q D P x F D ∗==，其中()Q D 为1除以()F D 按升幂()1n n n aa D D −+++ （即从低次往高次排列）所得商式，其最高次为m 次，超过m 次的求导后全为零，故略去.【例6】求232231y y y x x ′′′−+=−+的一个特解【解析】()()21231y x x F D ∗=−+()22137231248D D x x =++−+ ()()2137231+434248x x x −+−+×23724x x =++ ()()()2221123123132∗=−+=−+−+y x x x x F D D D ()2211231312122−+ −− x x D D()222231311123122222 =+−+−+−+D D D D x x ()222319112312242=+−++−+ D D D x x ()223711231242=+++−+ D D x x ，下同【例7】求233y y x ′′′−=−的一个特解【解析】1）()()()()22113=33y x x F D D D ∗=−−− ()222111111225=3=39273927D D x x x D D −−−−−+−321125=+9927x x x −−2）()()()()()222111113=33333∗ =−−=−− −− y x x x F D D D D D ()()()22223111111133133939393313=−−−−=−++−−−−D D x x x x x D D 2332122111251253393933927981 =−−++−−=−+−+x x x x x x x【评注】数字1除以23D D −是没法直接除的，因为分母没有最低次常数项.类型四 ()()=e kx f x u x ,其中()u x 为x 的多项式或()sin cos ax ax 【移位定理】()()()()11e =e kx kx v x v x F D F D k +【例8】求+32e sin 2x y y y x −′′′−=的一个特解【解析】()()()211e sin 2=e sin 21312x x y x x F D D D ∗−−=−+−− 2211+8=e sin 2e sin 2e sin 24864x x x D x x x D D D D −−−==+−−−()()11e 2cos 28sin 2e cos 24sin 26834x x x x x x −− =−+=−+【例9】求+3+2ex y y y x −′′′=的一个特解【解析】()()()211e =e 1+312∗−−=−−+x x y x x F D D D ()21111=e e e 11−−−==−++xx x x x D x D D D D D ()211e 1e 2−− −=− xx x x x D类型五 ()()=sin m f x P x ax 或()cos m P x ax【评注】此种情况考试考到的概率几乎为零. （可以不看）. 为不加重考生负担，仅讨论()=m P x x ，且()20F a −≠否则，要用到欧拉公式，且计算量不比待定系数法简单！ 记()()sin cos u x ax ax =，则()()()()()()11F D x u x x u x F D F D F D ′⋅=−【例10】求+cos 2y y x x ′′=的一个特解【解析】()211cos 2cos 21y x x x x F D D ∗==+2222112cos 2cos 21131D D x x x xD D D=−=−− +++1214cos 2+cos 2cos 2sin 233339Dx x x x x x=−⋅=−+−。
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证明 ( 1) ( 2) 由引理 1 易证, 下面只证 ( 3) , 依题 ( ) 意可令 F ( x ) = ( x - k ) m Η( x ) , 其中 Η( k ) ≠0, 则有 F m
( k ) = m ! Η( k ) , 故可得 1
F (D ) e =
kx
1 kx e = (D - k ) m Η(D ) 1 1 1 = ekx m = Η(D + k ) D Η( k )
Ξ
摘 要: 微分算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法, 基于算子多项式的理论, 针对二阶常系数 线性微分方程, 论文给出了非线性项为指数函数、 三角函数、 幂函数及其混合函数的微分算子特解公式, 实例表明 特解公式在解题中具有可应用性、 有效性和简捷性。 关键词: 线性微分方程; 常系数; 微分算子; 特解 中图分类号: O 175. 1 文献标识码: A 文章编号: 16732808X ( 2008) 0420330204
D ifferen tia l opera tor m ethod for particular solution for second- order con stan t coeff ic ien t l inear d ifferen tia l equa tion
L I S hao2g ang , X U A n 2nong
Ξ
[ 125 ]
y″ + py′ + q = f (x ) ,
( 1)
其中, p , q 为常数。 引入微分算子
d d 2 = D, 2 = D , dx dx 2 dy d y 2 则有 y ′ = = D y, y″ = 2 = D y, dx dx
2
于是式 ( 1) 可化为
(D 2 + pD + q ) y = f ( x )
第 28 卷 第 4 期 2008 年 8 月
桂林电子科技大学学报
Journa l of Gu il in Un iversity of Electron ic Technology
. 28,N o. 4 Vol A ug. 2008
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
李绍刚, 徐4)
2 2
kx kx
[7 ]
m ! Η( k )
e x
= xm
F
(m )
e
kx
(k )
.
例 1 y ″ + 2y ′ - 3y = e 2 x 解法 1 因为特征方程为
r + 2r 2
3 = 0, r1 = 1, r2 = - 3,
由于 2 不是特征方程的根, 故可设特解为 y = be2x , 代 入原方程可得:
所以 b=
故特解为 y =
解法 2 因为 2 F (D ) = D + 2D - 3, F ( 2) = 5≠0, 所以 y =
e = e = e . F (D ) F ( 2) 5 x 例 2 y ″ - 2y ′ + y= e
1
2x
1
2x
1
2x
( 3)
1 1 1 f (x ) = [ f (x ) ] = F (D ) F 1 (D ) F 2 (D ) 1 1 ( ) [ ( ) f ( x ) ]. F2 D F1 D
g ( x ) 为可微函数, 则有
kx 1 e ( 2) 若 F ( k ) ≠0, 则有 ( ) ekx = ( ) ; F D F k ( 3) 若 F ( k ) = 0, 不妨设 k 为 F ( k ) = 0 的m 重根 (m = 1, 2) , 则有 kx 1 kx 1 e m kx m e = x e = x , (m ) (m ) F (D ) F (D ) F (k )
第 4 期 李绍刚等: 二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法 331
1 其中, 称 ( ) 为逆算子。 F D
1
F (D )
e v (x ) = e
kx
kx
1
F (D + k )
v (x ) ;
1 算子多项式
1. 1 算子多项式的性质
引理 1 [ 6 ] 设算子多项式 F (D ) 如上定义, f ( x ) ,
2
( 2)
令 F (D ) = D + pD + q , 称为算子多项式, 则式 ( 2) 即为 F (D ) y = f ( x ) , 其特解为
y =
1
F (D )
f (x ) ,
收稿日期: 2008204211 作者简介: 李绍刚 (1978- ) , 男, 河南漯河人, 硕士, 讲师, 目前主要研究方向为最优化理论与算法。
所以 b=
1 2 2x x e . 2
解法 2 因为 F (D ) = D 2 - 2D + 1, 1 为 F ( 1) = 0 的二重根, 此时m = 2, 所以
桂林电子科技大学学报 2008 年 8 月 332
y = x
(Schoo l of M athem atics and Com p u tational Science, Gu ilin U n iversity of E lectron ic T echno logy, Gu ilin 541004, Ch ina )
Abstract: D ifferen tia l op era to r m ethod is an effective app roach fo r so lving inhom ogeneou s linea r differen tia l equa 2 tion w ith con stan t coefficien ts. B a sed on the theo ry of op era to r po lynom ia l and a i m ing a t second o rder inhom oge2 neou s linea r differen tia l equa tion w ith con stan t coefficien ts, differen tia l op era to r p a rticu la r so lu tion s fo rm u la a re given w here the non linea r item ha s severa l typ es of function such a s exponen tia l, trigonom etry, pow er, m ix tu re. T he exam p les p roved tha t the p a rticu la r so lu tion fo rm u la had the p rop erties of app lica tion, va lidity and conciseness in so lving p rob lem s. Key words: linea r differen tia l equa tion; con stan t coefficien t; differen tia l op era to r; p a rticu la r so lu tion
2bex = ex , 1 , 故特解为 2
y =
2 特解公式
利用上述性质, 可以得到下面的特解公式。 首先考虑 f ( x ) 是指数函数的情形, 可得到如下 特解公式。 定理 1 设算子多项式 F (D ) 如上定义, k 为任意 实数, v ( x ) 为二阶可导函数, 则有下述结论成立。
( 1) 逆算子移位原理:
5be2x = e2x , 1 , 5 1 2x e . 5
引理 3 [ 7 ] 设算子多项式 F (D ) 如上定义, Α , Β∈ R , f ( x ) , g ( x ) 为可微函数, 则有
( 1) ( 2) 1 F (D ) f ( x ) = f ( x ) ; F (D ) 1 [Α f ( x ) + Βg ( x ) ]= F (D ) 1 1 Α ( ) f (x ) + Β ( ) g (x ) ; F D F D 设 F (D ) = F 1 (D ) F 2 (D ) ,
y =
1
F (D )
sin2x =
1
D + 4D + 5
2
sin2x =
( 2) 当 F ( - a ) = 0 时有 1 1 sin ax , 2 sin ax = x (D 2 ) F (D ) F′
2 F (D )
2
1 1 sin2x = sin2x = 4D + 1 - 22 + 4D + 5 ( 4D - 1) sin2x = 16D 2 - 1 1 ( 8co s2x 65 sin2x ). 1 ( 4D sin2x 65 sin2x ) =
2
1 x e = (D 2 - 2D + 1) ″
1 2 x x e. 2
代入方程比较两端系数可得
a= -
其次考虑 f ( x ) 是三角函数的情形, 可得到如下特解 公式。 定理 2 设算子多项式 F (D ) 如上定义, a 为任意 实数, 则有下述结论成立 ( 1) 当 F ( - a 2 ) ≠0 时有
1 sin ax 2 sin ax = 2 , F (D ) F (- a ) 1 co sax 2 co sax = 2 ; F (D ) F (- a )
8 1 , b= , 65 65
故特解为
y = -
1 ( 8co s2x 65
sin2x ).
解法 2 因为 F (D ) = D 2 + 4D + 5, F ( - a 2 ) = 5 ≠0, 所以