概率论 条件概率、乘法公式与全概率公式

说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义.
(2). 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为 P(A|B)=0.1066.
即使检出阳性，尚可不必过早下结论有癌 症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000 个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常 要通过其他试验来确认.
1.4.2 乘法公式
P( AB) P( A | B) , P( B)
得
P(B)>0 (2)
P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)>0
P( AB) P( B | A) , P( A)
得
P(AB)=P(A)P(B|A)
(3)
(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们 可计算两个事件同时发生的概率.
将上述公式一般化，就得贝叶斯公式.
1.4.3.2 贝叶斯公式
设A1 , A2 ,, An 是样本空间的一个划 分，且P( Ai ) 0，i 1,2,, n.B为中任一事 件，它总是伴随着A1 , A2 ,, An 之一发生，则
P( A i | B) P( A i ) P( B｜A i ) , i 1, 2,, n .
在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易, 但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai , 使B 伴随着某个Ai 的出现而出现，且每个 P( Ai B) 容易计算.可用所有 P( Ai B) 之和计算 P(B).
我们还可以从另一个角度去理解全概率公式. 某一事件 B 的发生有各种可能的原因 Ai (i=1,2,„,n) ，如果 B 是由原因 Ai 所引起，则 B 发生的概率是
i 1 n
证： B B ( A1 A2 An）B
A1 B A2 B An B, 由A1 , A2 ,, An 两两互斥知
A1 B, A2 B,, An B两两互斥，故
P( B) P( A1 B A2 B An B)
P( A1 B) P( A3
3 (2) P( A B) .
5
可见 P(A) ≠P(A|B). 虽然 P(A) 与 P(A|B) 不同，但二者之间存 在什么关系呢? 先来计算P(B)和P(AB). 因为100件产品中有5件是不合格品， 所以P(B)=5/100. 而P(AB)表示事件“抽到的产品是不合格品、 又是次品”的概率，由100件产品中只有3件即 是不合格品又是次品，得
加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B) A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
定义 3 设 为试验E的样本空间，
事件组A1 , A2 , , An 满足： (1) A1 , A2 , , An 两两互斥； (2) A1 A2 An , 称A1 , A2 , , An 是样本空间的一个 划分或一个完备事件组.
故P( A) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A 2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
10 9 90 0 . 0083 100 99 98
A A1 A2 A3 .
1.4.3 概率基本公式
概率基本公式——全概率公式和贝叶斯公式. 主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实 质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用
P(AB)=3/100 通过简单运算，得
3 3 100 P( AB) P( A | B) . 5 5 P( B) 100 P( AB) 则P( A | B) . P( B)
受此启发，对条件概率进行如下定义.
定义2 对于事件A、B，P(B)>0，则在B发 生的条件下，A的条件概率P(A|B)定义为：
(1) 该试验对于诊断一个人是否患有癌症有 无意义? (2) 检出阳性是否一定患有癌症?
(1). 该试验对于诊断一个人是否患有癌症有无 意义？
如果不做试验，抽查一人, 他是癌症患 者的概率 P(A)=0.005 .
患者阳性反应的概率是0.95，若试验后 呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人 是癌症患者的概率为 P(A|B)= 0.1066 . 概率从0.005增加到0.1066, 约增加了21倍.
CC
1 4
1 3
A
2 5
3 0.6 5
C 3 或P( B) 0.6 5 C
2 (2) P 1 0.5 C4 4
定义1若P(B)>0,在事件B发生的条件下, 事件A 发生的概率称为条件概率， 记为 P(A|B).
C
1 2
1 3 1 5
这样，在引例1的(2)中P =P(B|A)， P(B|A)≠ P(B),条件概率与无条件概率不等. 一般 P(A|B)≠ P(A)
合起来有 P(AB)=P(B)P(A|B)= P(A)P(B|A)
多个事件乘法公式的推广:
P (A1A2…An）
= P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) ， 其中P(A1A2…An-1) > 0 .
例 1 一批灯泡共100只，其中10只是次品，90 只是正品，作不放回抽取，每次取一只，求第 三次才取到正品的概率. 解： 设Ai ={第 i 次取到正品}, i=1,2,3. A ={第三次才取到正品}. 则
例5 某地区患有癌症的人占0.005，患者对试 验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试 验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个 人 ，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的 概率有多大? 解：设 A = {抽查的人患有癌症}, B = {试验结果是阳性}. 则 A ={抽查的人不患癌症}.
则 P( A) 0.005,
考虑上边例子：
记 Ai = {球取自 i 号箱}， i =1, 2, 3; B = {取得红球}.
所求概率为 P(A1|B). P ( A1 B) P( A1 ) P( B | 3 P ( A1 | B) P ( B) 运用全概率公式 计算P(B)
k 1 k
A1 )
k
P( A ) P( B｜A )
P( A1 ) P( B A1 ) P( A2 ) P( B A2 ) P( An ) P( B An ) P( Ai ) P( B Ai )
i 1 n
由公式
P ( B ) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
n
不难看出: “全部概率” P(B)，可分成多 个 “部分概率” P( Ai B) 之和. 它的理论和实用意义在于:
条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0, 则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P(Ω |B)=1； 3. 设A1, A2,…两两互斥，则
P(( A1 A2 ) | B)) P( A1 | B) P( A2 | B)
而且，前面对概率所证明的一切性质， 也都适用于条件概率.
P( A ) 0.995 ,
P( B | A) 0.95, P( B | A ) 0.04 ．
由贝叶斯公式，得
P( A) P( B | A) P( A | B) ， P( A) P( B | A) P( A ) P( B | A )
代入数据计算，得 P(A | B)= 0.1066. 现在来分析一下结果的意义：
P( A i B) 故P( A i | B) P( B)
＝ P( A i ) P( B｜A i )
P( A ) P( B｜A )
i 1 i i
n
, i 1, 2,, n .
例 4 某人从外地赶来参加 紧急会议，他乘
火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3 1 1 2 、 、 及 .如果乘飞机来，不会迟到， 10 5 10 5 而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为 1 1 1 、 、 .若此人迟到，试推断他是怎么来的？ 4 3 12
诸Ai是原因 B是结果
例3 一盒中放12个乒乓球，其中有9个是新 的，第一次比赛时，从中任取3个球来用，比 赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中取3个 球，求第二次取出的球全是新球的概率.
实际中还有一类问题：已知结果求原因. 接例1，考虑如下问题： 某人从任意一箱中任意摸出一球，发现 是红球，求该球是取自1号箱的概率. 或者问：“该球取自各箱的可能性大小” . 这一类问题在实际中常见，它所求的是 条件概率，是某结果发生条件下，求各原因 发生的可能性大小.
贝叶斯公式 P ( Ai | B)
P ( Ai ) P ( B｜Ai )
P ( A ) P ( B｜A )
j 1 i i
n
在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称 为原因的验前概率和验后概率. P(Ai) ( i =1, 2,„, n ) 是在没有进一步的 信息(不知道事件B是否发生) 的情况下，人 们对诸事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸 事件发生可能性大小 P(Ai | B) 有了新的认识.
P( A ) P( B｜A )
i 1 i i
n
该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率.
证：P( A i B) P( A i ) P( B｜A i )， P( B) P( Ai ) P( B｜Ai )
n i 1
P( B)
P( Ai B)
i 1
3
对和式中的各项 运用乘法公式得
P( Ai ) P( B | Ai )
3
8 1 1 1 2 1 1 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形， 就得到在概率计算中常用的全概率公式.
i 1
1.4.3.1 全概率公式
P( AB ) P( A | B) P( B)