最优控制
第七章--最优控制
Optimal Control Theory
同济大学汽车学院：赵治国 教授 Prof. Zhiguo Zhao School of Automotive Studies, Tongji University Tel：69589117(O) E-mail: Zhiguozhao@
*
x(t ) x* (t )上的变分等于零，即 J [ x* (t )] 0
§7－3 泛函与变分的基本概念
证明：对于任意给定的
x(t ) 来说，J [ x* (t ) x(t )]是实变量 的 * * J [ x ( t )] 函数。泛函 在 x (t ) 达到极值，即函数 J [ x (t ) x(t )] 在 0 时达到极值，所以它的导数在 0 时应为零，即
二. 最优控制问题的一般提法 用数学语言描述最优控制问题，应包括以下几个方面的内容： 1. 受控系统的数学模型 用状态方程描述：x (t ) f [ x(t ), u (t ), t ] 2. 受控系统的始端和终端条件，即状态方程的边界条件 对最优控制问题始端条件通常是已知的：x(t0 ) x0 终端条件可以用一个目标集表示：
J J [ x()] J [ x(t ) x(t )] 中的 x(t ) 应理解为某一特定函数的整体，而不是对应于 的
dx(t ) J ( x (t ) t )dt 0 dt 1 5 2 J (t t )dt 0 6 2 1 e J (e 2t tet )dt 1 0 2
1 2
若 x (t ) t 有
t x ( t ) e 若 有
§7－3 泛函与变分的基本概念
2.泛函自变量的变分 泛函 J [ x (t )] 的自变量函数 x (t ) 与标称函数 x* (t )之间的差值函数
最优控制
四、最优控制在控制领域中的应用
模拟退火算法 1983年,Kirkpatrick与其合作者提出了模拟退火(SA)的方法,它是求解单目标 多变量最优化问题的一项Monte-Caula技术。该法是一种物理过程的人工模 拟,它基于液体结晶或金属的退火过程。液体和金属物体在加热至一定温度 后,它们所有的分子、原子在状态空间D中自由运动。随着温度的下降,这些 分子、原子逐渐停留在不同的状态。当温度降到相当低时,这些分子、原子 则重新以一定的结构排列,形成了一个全部由有序排列的原子构成的晶体结 构。模拟退火法已广泛应用于生产调度、神经网络训练、图像处理等方面。
三、最优控制的研究方法
古典变分法:古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常 三、最优控制的研究方法
古典变分法:
古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取 值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在2个极限值范围内转动,电动 机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此,古典变分法的应用范 围十分有限。
二、最优控制问题的一般性描述
实际上，终端约束规定了状态空间的一个时变或非时变的集合，此满足终 端约束的状态集合称为目标集M，并可表示为：
M {x(t f ) | x(t f ) Rn , N1[ x(t f ), t f ] 0, N2[ x(t f ), t f ] 0}
为简单起见，有时将上式称为目标集。
三、最优控制的研究方法
极小值原理:
极小值原理是对分析力学中古典变分法的推广,能用于处理由于外力源的 限制而使系统的输入（即控制）作用有约束的问题。极小值原理的突出 优点是可用于控制变量受限制的情况,能给出问题中最优控制所必须满足 的条件。如高夯、汪更生、楼红卫等人论述了多种类型的抛物型方程和 退化拟线性、半线性椭圆方程的极小值原理。
最优控制问题介绍
最优控制问题介绍最优控制问题是现代控制理论的核心内容之一，它研究的主要问题是如何在满足一定约束条件下，使得某一性能指标达到最优。
这类问题广泛存在于各个领域，如航天工程、经济管理、生态系统等。
通过对最优控制问题的研究，我们可以更加科学、合理地进行决策，实现资源的优化配置，提高系统的运行效率。
一、最优控制问题的基本概念最优控制问题通常可以描述为一个动态系统的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个控制策略，使得系统从初始状态出发，在给定的时间内，通过控制输入，使得系统的某一性能指标达到最优。
这个性能指标可以是时间最短、能量消耗最小、误差最小等。
为了解决这个问题，我们首先需要建立系统的数学模型。
这个模型应该能够准确地描述系统的动态行为，包括状态方程、输出方程以及约束条件等。
然后，我们需要定义一个性能指标函数，这个函数描述了我们希望优化的目标。
最后，我们通过求解一个优化问题，找到使得性能指标函数达到最优的控制策略。
二、最优控制问题的分类根据系统的动态特性和性能指标函数的不同，最优控制问题可以分为多种类型。
其中，最常见的包括线性二次型最优控制问题、最小时间控制问题、最小能量控制问题等。
1. 线性二次型最优控制问题：这类问题中，系统的动态特性是线性的，性能指标函数是状态变量和控制输入的二次型函数。
这类问题在实际应用中非常广泛，因为许多实际系统都可以近似为线性系统，而二次型性能指标函数可以方便地描述许多实际优化目标。
2. 最小时间控制问题：在这类问题中，我们的目标是使得系统从初始状态到达目标状态的时间最短。
这类问题通常出现在对时间要求非常严格的场合，如火箭发射、紧急制动等。
3. 最小能量控制问题：这类问题的目标是使得系统在完成指定任务的过程中消耗的能量最小。
这类问题在能源有限的系统中尤为重要，如无人机、电动汽车等。
三、最优控制问题的求解方法求解最优控制问题的方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：解析法是通过求解系统的动态方程和性能指标函数的极值条件，得到最优控制策略的解析表达式。
最优控制
最优控制最优控制（optimal control）使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少。
最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。
苏联学者L.S.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。
最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。
最优控制理论（optimal control theory）最优控制理论概述最优控制理论是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。
它是现代控制理论的重要组成部分。
这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellma n）提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理。
这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。
1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。
控制理论中的最优控制与鲁棒控制
控制理论中的最优控制与鲁棒控制控制理论是研究如何设计系统，使其行为符合确定性或随机性要求的一门学科。
在控制理论中，最优控制和鲁棒控制是两个重要的概念。
它们分别代表着在不同情况下如何有效地控制系统，保证系统稳定性和性能。
最优控制是指在给定约束条件下，通过调节控制器的参数，使系统的性能达到最优。
最优控制问题可以用数学工具和优化方法来解决，通常包括确定最优控制器的结构和参数，以实现系统的最佳性能。
最优控制理论在航空航天、自动驾驶、机器人等领域有着广泛的应用，能够有效提高系统的鲁棒性和性能。
鲁棒控制则是指在系统存在各种不确定性和干扰时，仍能保持系统的稳定性和性能。
鲁棒控制的设计考虑系统不确定性的影响，能够有效应对各种外部扰动和环境变化，保证系统在不确定性条件下的稳定性和鲁棒性。
鲁棒控制理论在工业控制、气候控制、金融领域等有着广泛的应用，能够有效应对系统面临的各种挑战和风险。
在实际工程中，最优控制和鲁棒控制通常结合起来，以实现系统的高性能和可靠性。
最优控制能够提高系统的性能和效率，而鲁棒控制则能够保证系统在面对各种不确定性和干扰时仍能正常运行。
通过最优控制和鲁棒控制的结合，可以有效提高系统的鲁棒性和性能，实现系统在各种复杂环境中的稳定运行。
综上所述，控制理论中的最优控制与鲁棒控制是两个互补的概念，分别强调系统在确定性条件和不确定性条件下的优化控制。
它们在实际工程中有着重要的应用，能够有效提高系统的鲁棒性和性能，保证系统稳定运行。
通过不断研究和应用最优控制和鲁棒控制理论，可以为各种自动控制系统的设计和优化提供重要的理论支持和指导。
现代控制理论-第7章 最优控制
(3)控制规律：
u* kx(t)
P由黎卡提微分k 方Q2程1BT得P 到 边界条件：P(tf)=Q0
PA AT P PBQ21BT P Q1 P(t)
例：求解使：J最小的u*(t)
0 1 0 x 0 0x 1u,
பைடு நூலகம்
J
第二节 状态调节器
在不消耗过多控制能量的前提下，使系统各状态在受 到外界干扰作用下，维持平衡状态。
一.无限长时间状态调节器
1.原系统：可控系统
2.性能指标： 说明：(1) J
x Ax Bu, y Cx
12表0 (示xTQ1系x u统TQ2要u)d求t 状态变量偏离平衡点的累积
u* kx(t)
3.控制规律
k Q21BT P
正定实对称P由黎卡提代数方程得到：
PA AT P PBQ21BT P Q1 0
例：求使J最小的u*(t)。 0 1 0
解：
x 0 0x 1u,
J
1
(xT
x uTu)dt
误差最小，这xTQ意1x 味着因某种原因系统状态偏离平衡点，控制
作用应使它很快回复到平衡点，调节器的名称由此而来
(2) 表示在控制过程中，消耗的能量最小
J中(3的u)TQ权Q2u1重半正定，Q2正定，用来确定状态变量与控制能量在
即寻求控制规律，使系统的状态变量x(t)按性能指标J的要 求，在无限长的时间内达到平衡点
1.原系统：可控、可观系统
x Ax Bu, y Cx
2.性能指标：J
1 2
[(y
0
最优控制原理及应用
最优控制原理及应用最优控制原理是指在给定系统的状态和约束条件下，通过选择最优的控制策略，使系统的性能指标达到最优。
最优控制理论是现代控制论的重要分支之一，广泛应用于工业制造、航天航空、交通运输、能源管理等领域。
最优控制理论的核心概念是最优控制问题。
最优控制问题是指在给定系统的动力学模型、性能指标以及约束条件下，寻找最优的控制策略，使系统的性能指标达到最优。
最优控制问题可以分为两类：静态最优控制问题和动态最优控制问题。
静态最优控制问题是指在给定系统的当前状态下，寻找最优的控制策略；动态最优控制问题是指在给定系统的初始状态下，寻找最优的控制策略使系统在一段时间内的性能指标达到最优。
最优控制原理的核心思想是通过优化算法来寻找最优的控制策略。
最优控制问题通常可以转化为一个最优化问题，通过求解最优化问题的解，得到最优的控制策略。
最优控制问题的求解方法主要有两种：动态规划和最优化方法。
动态规划方法将最优控制问题转化为一个递归求解的问题，通过构建一个值函数来描述系统的性能指标，然后通过递归求解值函数得到最优的控制策略。
最优化方法是一种利用优化算法求解最优控制问题的方法，通过定义一个优化目标函数，将最优控制问题转化为一个优化问题，通过求解优化问题的解得到最优的控制策略。
最优控制原理的应用非常广泛。
在工业制造领域，最优控制原理可以应用于生产调度、优化控制、质量控制等方面，实现生产过程的优化和效率的提高。
在航天航空领域，最优控制原理可以应用于航天器的姿态控制、飞行路径规划等方面，实现航天器的稳定和飞行轨迹的优化。
在交通运输领域，最优控制原理可以应用于交通信号控制、交通流优化等方面，实现交通拥堵的缓解和交通效率的提高。
在能源管理领域，最优控制原理可以应用于电网调度、能源供需平衡等方面，实现电力系统的优化和能源的高效利用。
最优控制原理的应用还涉及到许多其他领域，如经济学、环境保护、医学等。
在经济学中，最优控制原理可以应用于经济系统的优化和资源的分配问题，实现经济的高效运行和社会福利的最大化。
自动控制原理最优控制知识点总结
自动控制原理最优控制知识点总结自动控制原理是现代工程领域中一个非常重要的学科，广泛应用于工业生产、交通运输、航空航天等各个领域。
在自动控制原理中，最优控制是一个关键的概念和方法，它旨在通过优化系统的性能指标，实现系统的最佳控制效果。
本文将对自动控制原理中的最优控制知识点进行总结。
一、最优控制的基本概念最优控制是在给定约束条件下，通过设计最优控制器使系统的性能指标达到最佳的控制方法。
其中，性能指标主要包括系统的稳定性、响应速度、误差稳态和鲁棒性等方面。
最优控制的目标是通过优化控制器参数和系统的状态变量，使系统的性能指标最小化或最大化。
二、最优控制的数学模型最优控制的数学模型主要包括动态模型和性能指标两个方面。
动态模型描述了系统的演化过程，可以是线性模型或非线性模型；性能指标则是对系统性能的衡量，可以是能量消耗、误差平方和、状态变量变化率等。
最常用的数学工具是拉格朗日乘子法、泛函分析、动态规划等。
三、最优控制的方法最优控制的方法包括最优化理论、动态规划、变分法等。
其中，最优化理论是最常用的方法之一，主要通过求解极值问题来设计最优控制器。
动态规划则是一种递推算法，通过将大问题分解成小问题，并利用最优性原理逐步求解最优控制器。
变分法则是通过对系统状态和控制器函数进行变分，并通过求解欧拉-拉格朗日方程来得到最优系统。
四、最优控制的应用最优控制在各个领域都有广泛的应用。
在工业生产中，最优控制可以提高生产过程的效率和质量；在交通运输中，最优控制可以优化交通流量和减少交通拥堵；在航空航天中，最优控制可以提高飞行器的性能和安全性。
此外，最优控制还应用于经济学、生物学、环境科学等其他领域。
五、最优控制的发展趋势随着科技的发展和应用领域的不断扩展，最优控制领域也在不断发展和创新。
未来的研究方向主要包括多目标最优控制、非线性最优控制、鲁棒最优控制等。
同时，随着计算机技术的进步，最优控制算法也将得到进一步改进和优化。
总结：自动控制原理中的最优控制是一个重要的概念和方法，通过优化系统的性能指标，实现系统的最佳控制效果。
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J =
能观,
1 1 x ( t f ) T C T Q 0 Cx ( t f ) + 2 2
tf
[ x T C T Q 1 Cx + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
二次型指标最优控制问题
线性系统
二次型性能指标
x = Ax + Bu y = Cx
tf
J =
1 T x (t f )Q 0 x (t f ) + 2
1 二次型性能泛函
1 1 T J = x (t f ) Q 0 x (t f ) + 2 2
半正定
tf
[ x T Q 1 x + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
半正定
正定
误差大小的代价函数, qij大表示对应误差要求小 对控制的约束或要求. 表示在区间内消耗的能量, qij大表示对应付出的能量小. 最优控制目标是使性能指标J取得极小值, 其实质是用不大的控制来 保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的.
0 x = 1
1 x a + 2
1
y=x1
1 w( s ) = C ( sI A) B = 2 s + s a + 2 +1
281
6.4 线性二次型最优控制问题
6.4 线性二次型最优控制问题
输出调节问题
x (t ) = A (t ) x (t ) + B (t )u (t ) y ( t ) = C ( t ) x ( t ), x ( t 0 ) = x 0
q1 , q 2 > 0 , q 0 ≥ 0
u * ( t ) = Q 2 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t ) = q 2 1 p ( t ) x ( t )
1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P = PA A T P + PBQ
0
B
T
P Q1
p = 2 ap + p 2 q 2 1 q 1 ,.. p ( t f ) = q 0
u(t)随 u(t)随q2变化
6.4 线性二次型最优控制问题
277
q2 减 小
x(t)随 x(t)随q2变化
6.4 线性二次型最优控制问题
当终端时间不同时的P(t) 当终端时间不同时的P(t)
q0=1 tt=1,3,5,9 q0=0
6.4 线性二次型最优控制问题
无限时间状态调节问题 能控 Q1半正定, Q2正定 存在唯一最优控制
tf
1 1 T J = y (t f ) Q 0 y (t f ) + 2 2
Q0,Q1半正定,Q2正定,
[ y T Q 1 x + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
假设u不受限制 寻求最优控制 取极值. 假设 不受限制,寻求最优控制 使J取极值 不受限制 寻求最优控制,使 取极值 任务: P282
黎卡提(Riccati)矩阵代数方程 矩阵代数方程 黎卡提
PA A T P + PBQ 21 B T P Q1 = 0
6.4 线性二次型最优控制问题
例题6 22续 例题6-22续
p11 = p12 = 1 p 22 =
a+2 b a+2
a + 2 x 2 (t )
最优控制 闭环系统
u * ( t ) = x1 ( t )
假设u不受限制 寻求最优控制 取极值. 假设 不受限制,寻求最优控制 使J取极值 不受限制 寻求最优控制,使 取极值
6.4 线性二次型最优控制问题
根据极小值原理 1 H [ x , u , t ] = [ x T Q 1 x + u T Q 2 u ] + λ T [ Ax + Bu ] 2
最优控制应使H取极值, H ,
性能指标J 性能指标 求极值
tf
J = ∫ L( x, u )dt = t f t0 ,..L( x, u ) = 1
t0
J min = t f t 0
6.2 最优控制问题的描述
1) 受控动态系统的数学描述 状态方程: 状态方程
x ( t ) = f [ x ( t ), u ( t ), t ]
x = Ax + Bu , x ( 0 ) = x 0
1 J = 2
∞
[ x T Q 1 x + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
u * ( t ) = Q 2 1 BPx ( t )
黎卡提(Riccati)矩阵代数方程 矩阵代数方程 黎卡提
PA A T P + PBQ 21 B T P Q1 = 0
6.4 线性二次型最优控制问题
例题6 例题6-22 0 x = 0
J = 1 2
∞
1 0 x + 1 u , 0
2 [ x 12 + 2 bx 1 x 2 + ax 2 + u 2 ]dt ∫
求时J最小的u(t) 解: 能控性
t0
1 Q1 = b
b , Q2 = 1 a
a b2 > 0
6.4 线性二次型最优控制问题
例题 6-20 续 p (t ) = q 2
β + α + (β α )
q 0 / q1 α β 2 β ( t t f ) e q 0 / q1 α + β q 0 / q1 α β 2 β ( t t f ) 1 e q 0 / q1 α + β
6.4 线性二次型最优控制问题
2 有限时间状态调节问题
调节问题和跟踪问题
状态调节和 输出调节 输出跟踪
1 1 T J = x (t f ) Q 0 x (t f ) + 2 2
任务: P273
tf
[ x T Q 1 x + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
x (t ) = A (t ) x (t ) + B (t )u (t ) y ( t ) = C ( t ) x ( t ), x ( t 0 ) = x 0
β=
状态解
q1 + a2 q2
1 x = ax p (t ) x , x (0 ) = x 0 q2
6.4 线性二次型最优控制问题
276
a = 1, q 0 = 0 , q 1 = 1, x 0 = 1, t f = 1
6.4 线性二次型最优控制问题
q2 P(t)随 P(t)随q2变化 q2 减 小 减 小
二次型指标最优控制问题
二次型性能指标
t
f
J =
t
f
∫
t0
1 { x T ( t ) Qx ( t ) + u T ( t ) Ru ( t )} dt 2
u M g
u (t ) ≤ u 0
x (t 0 ) = h
x (t 0 ) = v 0
u (t ) → x (t f ) = 0, x (t f ) = 0
最小. 使tf最小
6.1 最优控制概念
u与x的关系 状态方程 与 的关系 的关系:状态方程
M ( t ) = u ( t ) g , x 1 = x ( t ), x 2 ( t ) = x ( t ) x x1 ( t ) = x 2 ( t ) x 2 ( t ) = u ( t ) g , x 1 ( 0 ) = x 10 , x 2 ( 0 ) = x 20
H = 0 → Q 2u + B T λ = 0 u u * ( t ) = Q 2 1 B T λ
正则方程
= H = Q x AT λ λ 1 x x = Ax + Bu = Ax BQ 2 1 B T λ
6.4 线性二次型最优控制问题
λ (t ) = P (t ) x (t )
得到: 得到
正则方程
控制方程
边界条件
6.3 最优控制求解 最小值原理及其应用 线性二次型(LQ)最优控制 最优控制 线性二次型
t
u ≤k
J ( u ( t )) = φ [ x ( t f ), t f ] +
f
∫ L [ x ( t ), u ( t ), t ] dt
t0
x ( t ) = f [ x ( t ), u ( t ), t ]
u * ( t ) = Q 2 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t ) = K ( t ) x ( t ) K ( t ) = Q 2 1 ( t ) B T ( t ) P ( t )
黎卡提(Riccati)矩阵微分方程
P = PA A T P + PBQ P (t f ) = Q 0
有等式约束条件的极值问题. 拉格朗日乘子法
J ( x, u ),...2 x u = 0 H = J + λ (2 x u )
6.3 最优控制求解
t
J ( u ( t )) = φ [ x ( t f ), t f ] +
f
∫
t0
L [ x ( t ), u ( t ), t ] dt
x ( t ) = f [ x ( t ), u ( t ), t ]
t
J ( u ( t )) = φ [ x ( t f ), t f ] +
f
∫ L [ x ( t ), u ( t ), t ] dt
t0
6.2 最优控制问题的描述：
4) 一个容许的控制集合
u(t ) ∈ ∈ R
m
最优控制问题, 就是从可供选择的容许控制集合U中,寻找 一个控制u(t), 使受控系统在[t0,tf]内,从初始状态x(t0), 转移到终端状态x(tf)或目标集时,性能指标J取最小(大)值.