【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学：3导数2

各地解析分类汇编:导数21【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=.（1）求)(x f 的极值；（2）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）)(x f 的定义域为),0(+∞,2)(ln 1)('x a x x f +-=，……2分 令0)('=x f 得a e x -=1，当),0(1a e x -∈时，,0)('>x f )(x f 是增函数； 当),(1+∞∈-a e x 时，,0)('<x f )(x f 是减函数， ∴)(x f 在a e x -=1处取得极大值，11)()(--==a ae ef x f 极大值，无极小值.………………5分（2）①当21e ea<-时，即1->a 时，由（1）知)(x f 在),0(1a e -上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，11max )()(--==∴a a e e f x f ,又当ae x -=时，0)(=xf ，当],0(a e x -∈时，0)(<x f ；当],(2e e x a -∈时，0)(>xf ； )(x f 与图象1)(=xg 的图象在],0(2e 上有公共点， 11≥∴-a e ，解得1≥a ，又1->a ，所以1≥a . ………9分②当21e ea≥-时，即1-≤a 时，)(x f 在],0(2e 上是增函数，∴)(x f 在],0(2e 上的最大值为222)(e ae f +=， 所以原问题等价于122≥+ea，解得22-≥e a . 又1-≤a ,∴无解. 综上，实数a 的取值范围是),1[+∞. ……13分2.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分14分）已知函数)(x f 的导数b a b f ax x x f ,,)0(,33)('2=-=为实数，21<<a .（Ⅰ）若)(x f 在区间［-1，1］上的最小值、最大值分别为-2、1，求a 、b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点）（1,2P 且与曲线)(x f 相切的直线l 的方程； （Ⅲ）设函数x e x x f x F 2]16)('[)(⋅++=，试判断函数)(x F 的极值点个数。

【答案】解：（Ⅰ）由已知得，b ax x x f +-=2323)(，……………………1分 由,0)('=x f 得a x x ==21,0.21],1,1[<<-∈a x Q ，当)0,1[-∈x 时，)(,0)('x f x f >递增；当]1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减.)(x f ∴在区间［-1，1］上的最大值为1,)0(=∴=b b f .………………3分又)1()1(,231231)1(,2321231)1(f f a a f a a f <-∴-=++-=--=+-=. 由题意得2)1(-=-f ，即223-=-a ，得1,34,34===b a a 故为所求。

………………5分（Ⅱ）解：由（1）得x x x f x x x f 43)(',12)(223-=++=，点P （2，1）在曲线)(x f 上。

（1）当切点为P （2，1）时，切线l 的斜率4)('2===x x f k ，l ∴的方程为074),2(41=---=-y x x y 即.………………6分（2）当切点P 不是切点时，设切点为),2)(,(000≠x y x Q 切线l 的余率0243)('0x x x f k x x -===，l ∴的方程为))(43(00200x x x x y y --=-。

又点P （2，1）在l 上，)2)(43(100200x x x y --=-∴， )2)(43()2(),2)(43()12(1002002000202030x x x x x x x x x x --=-∴--=+--∴， 0,0)2(2,4300002020=∴=--=∴x x x x x x 即.∴切线l 的方程为1=y .故所求切线l 的方程为074=--y x 或1=y .……………………………………8分 （Ⅲ）解：x x e x a x e x ax x x F 2222]1)2(33[)1633()(⋅+--=⋅++-=.x x e x a x e a x x F 222]1)2(33[2)]2(36[)('⋅+--+⋅--=∴. x e a x a x 22]38)3(66[⋅-+--=. ……………………10分二次函数a x a x y 38)3(662-+--=的判别式为0],1)2(3[12)11123(12)38(24)3(36222≤∆--=+-=---=∆令a a a a a 得：332332,31)2(2+≤≤-≤-a a .令0>∆，得332-<a ，或332+>a 。

21,02<<>a e x ， 2332<≤-∴a 当时，0)('≥x F ，函数)(x F 为单调递增，极值点个数0； ………………12分 当3321-<<a 时，此时方程0)('=x F 有两个不相等的实数根，根据极值点的定义， 可知函数)(x F 有两个极值点. ……………………………………14分3.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】本题满分12分)已知1=x 是函数()()2xf x ax e=-的一个极值点．(a ∈R ) （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：()()12||f x f x e -≤ 【答案】（Ⅰ）解：， --------------------2分 由已知得，解得． 当时，，在处取得极小值．所以. ----------------4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，.当时，，在区间单调递减； 当时，，在区间单调递增.所以在区间上，的最小值为.------ 8分又，，所以在区间上，的最大值为. ----------10分对于，有．所以. -------------------12分4.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】(本题满分14分)已知函数()()2ln(1)af x x a R x=-+∈ （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）如果当1,x >且2x ≠时，()ln 12x ax x->-恒成立，求实数a 的范围.【答案】（1）定义域为 -----------2分设① 当时，对称轴，，所以在上是增函数-----------------------------4分② 当时，，所以在上是增函数----------------------------------------6分 ③ 当时，令得令解得；令解得所以的单调递增区间和；的单调递减区间------------------------------------8分（2）可化为（※）设，由（1）知：① 当时，在上是增函数若时，；所以若时，。

所以所以，当时，※式成立--------------------------------------12分② 当时，在是减函数，所以※式不成立综上，实数的取值范围是．----------------------------14分解法二 ：可化为设令,所以在由洛必达法则所以5.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分12分）设函数32()f x x bx cx =++为奇函数，且在1x =-时取得极大值. （I ）求b ，c ；（II ）求函数()f x 的单调区间； （III ）解不等式()2f x ≤. 【答案】6.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分12分）设函数()xf x e =.（I ）求证：()f x ex ≥；（II ）记曲线()()()(),0y f x P t f t t =<在点其中处的切线为l ，若l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最大值.【答案】7.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分14分） 已知函数()()21ln0.f x ax x a x=-+>（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln 2.f x f x +>-【答案】8.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=1,ln 1,)(23x x a x c bx x x x f ，当23x =时，函数()f x 有极大值427.（Ⅰ）求实数b 、c 的值；（Ⅱ）若存在0x ∈[1,2]-，使得0()37f x a ≥-成立，求实数a 的取值范围. 【答案】①当11<≤-x 时，22()323()3f x x x x x '=-+=--，令0)(='x f 得320==x x 或 当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：根据表格，又2)1(=-f ，27)3(=f ，0)0(=f 9.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分14分） 已知：函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中R a ∈． （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+． 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =．经检验，13a =时，符合题意． ……4分 （Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+．故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-． …………………5分② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-． 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞． 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-． 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞． ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-． 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-； 当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞． ……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意． 当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意． 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意．所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞． …………14分 10.【 北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分13分）已知函数（）.（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.（3）若，求的取值范围.【答案】 （Ⅰ）解：当时，，所以，由，解得， 由，解得或，所以函数的单调增区间为，减区间为和.（Ⅱ）解：因为，由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立，设，所以，所以当时，有最大值为，因为对任意，恒成立， 所以，解得或，所以，实数的取值范围为或.（III ）.11.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分12分）. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A,B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【答案】（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ- 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭┅┅┅3分②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<<┅┅┅6分（Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，┅┅┅9分当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB边km 处。