浅谈中学数学中的化归思想(精)
中学数学中化归思想的研究
中学数学中化归思想的研究中学数学教育是全面发展学生知识和能力的重要环节，“化归思想”是学习数学的重要方法，帮助学生掌握数学知识，深入理解数学思想，提高学习效率，发挥数学的建构性作用。
本文通过介绍化归思想的概念、内涵和作用，对中学数学中化归思想的研究及其实践应用做出了介绍。
一、什么是化归思想化归思想是指将较复杂的数学问题在思想上归结到简单的共性学习问题，从而达到深入探究、挖掘思想的基本方法，它是学习数学的主要思想手段。
简而言之，“化归”就是把问题分解成更小的部分，有助于学生更快理解和掌握，进而向上求解。
二、化归思想的内涵化归思想主要包括“分解”、“归结”和“求解”三个方面。
1、分解是指通过解释、界定等方式将一个复杂的问题分解为相关的小问题，有助于揭示问题的实质，找出问题的解法。
2、归结是指通过找出问题的普遍性、明确问题所具有的规律性，以建立完整的数学模型，最终归结出问题的一般解法。
3、求解是指通过计算、绘图等方式，用数学语言描述问题，找到解决问题的方法，从而得出问题的具体解。
三、化归思想的作用1、激发研究兴趣和学习积极性。
由于数学中的规律性，每个问题都是一种新的挑战，学生往往可以从中激发出研究兴趣和学习积极性，更好地理解和应用数学。
2、提高学生数学综合运用能力。
当学生能够既深刻理解数学概念又能灵活使用数学思维方法，就可以更有效地应用数学解决复杂问题，从而提高学生数学综合运用能力。
3、培养学生数学创造力。
在学习数学过程中，学生按照规律、构建模型、做出实际解决问题的尝试，这极大地激发学生的思维，培养学生的数学创新性思维。
四、对中学数学化归思想的应用1、注重运用化归思想进行教学。
在数学教学中，老师应倡导学生探究学习，注重使学生掌握化归思想，让其能够有效的用化归思想解决问题。
2、提倡团队研究。
在团队协作中，学生共同探究学习，分工合作，彼此交流，激发学生思维，提高整体学习效率和效果。
3、搭建数学思维训练场所。
初中数学教学中化归思想的实践分析
初中数学教学中化归思想的实践分析一、化归思想的概念和意义1.化归思想的概念化归思想是指将一个复杂的问题转化为一个更为简单的问题，或者将一个问题转化为已知的问题，从而使得原问题得到解决的思维策略。
在数学中，化归思想常常用于解决一些复杂的问题，尤其是在证明和推理中，具有重要的意义。
2.化归思想的意义化归思想在数学教学中具有重要的意义。
化归思想可以提高学生的逻辑思维能力。
通过化归思想，学生需要将一个复杂的问题分解为若干个简单的步骤，并找到解决问题的方法，这有助于培养学生的逻辑推理能力。
化归思想可以提高学生的问题解决能力。
通过化归思想，学生可以将一个陌生的问题转化为一个熟悉的问题，从而更容易地解决问题。
化归思想对于学生的数学素养和创新能力的培养也具有积极的促进作用。
二、初中数学教学中化归思想的实践1.案例分析：方程式的化简在初中数学教学中，方程式的化简是一个常见的案例，可以很好地展现化归思想的实践。
解决方程式2x+3=7时，学生一般采用的方法是通过逆运算将3移到等号的另一侧，然后将2除以等号的另一侧，最终得到x=2。
这个过程实质上就是将一个复杂的方程式化简为x=2这样一个简单的形式，从而得到方程的解。
这个案例可以引导学生通过化归思想将复杂的方程式化简为简单的形式，从而解决方程。
2.案例分析：证明数论问题在初中数学教学中，数论问题是一个比较有挑战性的内容，可以通过化归思想进行实践。
证明一个数是质数的问题，学生可以通过化归思想将问题转化为找出该数是否具有除了1和它本身之外的其他因数，从而判断该数是否为质数。
这个案例可以引导学生通过化归思想将一个复杂的质数问题转化为一个简单的除法问题，从而得到答案。
三、初中数学教学中化归思想的策略与方法1.引导学生发现问题的本质在初中数学教学中，化归思想的关键在于引导学生发现问题的本质。
教师可以通过提出问题和让学生思考问题的不同角度，引导学生从复杂问题中提炼出问题的本质，然后进行化归思想的实践。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是数学解题中一种重要的思维方法，通过将原问题转化为更简单的问题来解决复杂的数学问题。
在中学数学解题中，应用化归思想可以帮助学生提高问题解决能力，并加深对数学概念的理解。
1. 确定问题的等价变形：在解决数学问题时，往往可以通过将原问题转化为更简单的等价问题来解决。
在解决一元二次方程的时候，可以通过将方程化为标准形、配方法等等来简化求解过程。
这样做不仅可以减少计算量，还可以帮助学生更好地理解数学概念。
2. 利用对称性进行化简：对称性是数学中常见的一种性质，利用对称性可以简化问题的求解过程。
在解决平面几何问题时，可以利用图形的对称性质来简化分析，找出相应的对称点或线，从而有助于解题。
3. 利用递推关系进行化简：递推关系是数学中经常遇到的一种数学关系，利用递推关系可以通过找出问题中的规律，将问题化简为递推公式，从而简化求解过程。
在解决数列问题时，可以通过找出数列中的递推关系，写出递推公式，从而求解问题。
4. 利用特殊性质进行化简：某些数学问题具有特殊的性质，利用这些特殊性质可以简化问题的求解过程。
在解决组合数学问题时，可以利用排列组合的性质，例如乘法原理、加法原理等，进行合理的化简，以便更好地解决问题。
化归思想在中学数学解题中的应用可以帮助学生理解、把握问题的本质，减少解题过程中的复杂性，提高解题效率。
化归思想也能培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创造思维能力，提升他们解决问题的能力。
在中学数学教学中，应该注重培养学生的化归思维，引导他们灵活运用化归思想，更好地解决数学问题。
浅谈在初中数学教学中渗透化归思想
浅谈在初中数学教学中渗透化归思想
化归思想，就是将问题归纳为某些已经解过的问题，来求解新的问题。
这种思想在初
中数学中有着广泛的应用，尤其在代数和函数的学习中更是重要。
例如，在初一的代数学习中，我们可以通过将不同的代数式化成同类项的方式，来加
减混合运算。
此外，还可以通过练习化简代数式的方法，让学生更加深入地理解“同类项”的概念，并且可以观察到彼此之间的特殊性质。
在初二的函数学习中，我们可以通过化函数的方式，简化函数图像的形式。
比如，我
们可以将y = a·f(x) + b 中的 a 和 b 进行代数处理，从而将其变为 y = f(x) 的形式。
这样一来，就可以更加清晰地了解这个函数的“基调”和“平移”。
在教学过程中，我们可以在课堂上引导学生进行化归思想的实践。
例如，在解决一道
新的数学问题时，我们可以先通过思考将其归类为哪个已知的问题，从而将其解决。
我们
也可以在布置作业时，设置类似化简代数式、改变函数图像等练习，来让学生不断地巩固
和提升化归思想。
除了在数学学科中应用，化归思想还有很多实际的应用。
比如，在研究一个新的技术
问题时，我们可以先找到已知的技术问题，找到它们的共同点，然后再对新问题进行类比。
这样，就可以更快、更有效地解决问题。
总之，教育不仅仅是传授知识，更是培养学生的思维能力和创造能力。
在初中数学教
学中，渗透化归思想是一种很好的教育方法，可以让学生更加深入地理解数学知识，并且
帮助他们养成良好的思维习惯，为今后的学习和工作打下基础。
浅谈在初中数学教学中化归思想的运用
浅谈在初中数学教学中化归思想的运用化归思想是初中数学教学中常见的一种思想方法。
所谓“化归”即“转化和归结”也。
在数学教学中表现为引导学生，化难为易，化繁为简，化生为熟。
具体地说：是把将要解决的陌生问题通过化归，变为一个比较熟悉的问题来解决，将一个复杂问题化归为一个或几个简单的问题来解决，或将抽象的问题化归为具体的问题来解决，等等，这就是化归的思想方法。
化归思想无处不在，它是分析问题解决问题的有效途径。
在初中数学教学中运用这种化归的思维方法解决问题的例子非常多。
例如，在代数方程求解时大多采用“化归”的思路，即将复杂的方程（组）通过各种途径转化为简单的方程（组），最后归结为一元一次方程或一元二次方程。
这种化归过程可以概括为“高次方程低次化，无理方程有理化，分式方程整式化，多元方程组一元化”。
这里化归的主要途径是降次和消元。
虽然各类方程（组）具体的解法不尽相同，然而万变不离其宗，化归是方程求解的金钥匙。
平面几何的学习中亦是如此。
例如，研究四边形、多边形问题时通过分割图形，把四边形、多边形知识转化为三角形知识来研究；又如，圆中有关弦心距、半径、弦长的计算亦能通过连结半径或作弦心距把问题转化为直角三角形的求解。
还有，解正多边形的问题，通过添半径和边心距，转化为解直角三角形问题等等。
化归思想贯穿整个初中数学，在教学的过程中要有意识的培养学生这种科学的思维方法，从而达到事半功倍的效果。
数学中化归的形式与方法是多种多样的。
在初中代数与几何的教学中常见的有以下几种：一、化高次为低次例1.已知：，求的值。
【分析】题目的条件中所含的是字母x的一次式，而所求的结论中是x的四次式，因次我们可以通过降次，由结论向已知转化；或通过升次，由已知向结论转化。
【解】【注】由已知升次向结论转化亦可二、化多元为一元例2.若，则=【分析】消去未知数是解题的常见思路，常见的方法有代入消元和加减消元，本问题可采用“设k法”，表面上看似乎增加了未知数的个数，实际上找到了新的等量关系，如x=3k等，设参与消参的转化达到了化多元为一元的目的，使问题顺利求解。
浅谈在初中数学教学中渗透化归思想
浅谈在初中数学教学中渗透化归思想
数学是一门需要多种思维方式的学科，而化归思想则是其中至关重要的一种。
在初中数学教学中，我们应该注重渗透化归思想，让学生不断强化这种思维方式的应用，从而提高数学学习的有效性。
首先，化归思想作为数学教学的基本手段，可以帮助学生理解数学概念。
例如，在初中数学中，有很多概念是需要化归思想才能理解的，例如有理数、正数、偶数等。
通过化归思想，我们可以将复杂的概念简单化，使学生更容易理解并掌握。
其次，化归思想也是解题的有效方法。
初中数学的解题过程中，化归思想无处不在，例如在解方程、化简分式、证明等各个环节，化归思想都可以派上用场。
通过让学生不断练习化归思想的运用，可以提高他们的解题能力，从而在数学学习中取得更好的成绩。
然而，在初中数学教学中，许多学生对于化归思想的运用还存在困难。
因此，我们应该在教学过程中注重多角度的渗透，在不同的知识点上不断强化化归思想的应用，让学生更加熟练掌握这种思维方式。
例如，在解方程的过程中，我们不仅要让学生掌握基本的化归运算方法，还要让他们学会通过变形、提取公因数等多种方法灵活应用化归思想。
此外，我们还可以通过一些趣味的数学游戏来帮助学生更好地理解和应用化归思想。
例如，利用有限步骤将乱序魔方复原的游戏，就可以锻炼学生的化归思维能力。
这样既增加了学生的趣味性，也使得学生更加熟练地掌握了化归思想。
总之，在初中数学教学中，渗透化归思想无疑是非常重要的，通过灵活多样的教学手段，可以帮助学生更好地理解和应用这种思维方式，从而提高数学学习的有效性和乐趣性。
试析化归思想在初中数学教学中的应用
试析化归思想在初中数学教学中的应用导言：数学在初中阶段是学生们比较难以理解和掌握的一门学科，尤其是抽象的代数知识更是让学生望而生畏。
化归思想作为数学中的一种重要思维方式，在初中数学教学中有着重要的应用价值。
本文将从化归思想的概念、特点以及在初中数学教学中的应用等方面进行探讨和分析。
一、化归思想的概念和特点1.概念化归思想，是指将一个问题转化为另一个已解决的问题的思维方法。
在数学中，化归思想常常用来简化问题，找到解题的突破口，使得原本复杂的问题变得更加简单和直观。
化归思想的应用领域非常广泛，不仅仅局限于数学领域，同时在物理、化学等学科中也有重要的应用。
2.特点化归思想的主要特点包括：简化问题、突破瓶颈、提高解题效率、拓展思维空间等。
通过化归思想，我们可以将原本复杂的问题简化，找到解题的思路和方法，从而提高解题的效率和质量。
化归思想也能够帮助学生拓展思维空间，提高他们的逻辑推理和问题解决能力。
1. 代数方程的化归在初中数学中，代数方程是一个比较抽象和难以理解的知识点，许多学生往往在代数方程的解题中感到困惑。
而化归思想在代数方程的解题中有着重要的应用价值。
以一元一次方程为例，当遇到较为复杂的一元一次方程时，我们可以通过化归思想将其转化为简单的方程，从而更容易解题。
如将2x+3=5x-7的方程化简为2x+10=5x，再利用化归思想将问题化为一个更容易解决的问题：10=3x，从而得到x的值。
2. 几何问题的化归在初中几何学习中，许多几何问题往往需要通过一些几何原理和性质来解决，而有些问题本身可能相对较为复杂，难以直接解决。
这时，我们可以通过化归思想将问题转化为已知几何原理或性质的问题，从而更容易解决。
比如在解决相似三角形问题时，我们可以利用化归思想将问题转化为已知相似三角形的角度关系问题，从而更容易找到解题的方法和思路。
三、化归思想在初中数学教学中的展望1. 培养学生的问题解决能力化归思想在初中数学教学中的应用可以帮助学生培养问题解决能力。
浅议初中数学中的化归思想
二、化烦琐为简单
有些数学问题结构复杂，若用常规手法过程麻烦，对 这个问题，可以从其结构入手，将结构进行转化，另辟解题 途径。
例如，已知 x2-4x-1=0. 求式子（2x-3）2-（x-y）(x+y)-y2 的值。 这道题一般都会先将所求式子化简，将其化为 3x212x +9，再看已知条件是一个一元二次方程，若将解得的两 个无理根代入，显然计算量太大，这个方法不可取，因此将 化简后代数式的前两项因式分解，变形为 3(x2-4x)+9，将已 知条件的等式变形为 x2-4x=1，便可轻松代入求得结果。
例如初中几何经常遇到证明两条边相等的问题，如果 沿着这个思路去考虑，不转换角度，问题的难度就很大。 但是如果改变思维方向，进行逆向思维，就可以找到解决 问题的办法：只要根据图形，证明两个三角形全等就可以 解决问题，而证明三角形全等，需要找出三角形全等的条 件，看问题中缺少什么条件，要不要作辅助线。最后只需 要把这个思维过程反向整理即可。
我们不难发现，教材中有很多问题都是用化归思想来 解决的，因此教师要重视数学思想的教学，发挥数学思想 方法在数学中的作用，引导学生认识化归思想的重要性， 并且在解决数学问题时，能够灵活运用化归思想，进一步 落实素质教育，培养学生的创新能力。
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新课程教学 ２０１８ 年第 ５ 期
浅议初中数学中的化归思想
河北省唐山市第三十中学 史丽茹
【摘 要】在初中数学中渗透化归思想，可以使抽象的数学问题形象化，使隐含的数学条件直观化。在初中数 学教学中渗透化归思想，可以充分激发学生学习兴趣，提高学生数学思维能力，帮助学生更好地解决数学问题。本 文列举化归思想在初中数学教学中的几种典型应用。
三、化空间为平面
例如，“蚂蚁吃蜂蜜”，圆柱形容器高 5 cm，底面周长 24 cm，在杯口点 B 处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部
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浅谈中学数学中的化归思想作者：中原中学刘继华不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止。
————波利亚化归是解决数学问题的一种重要思想方法．化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义．匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。
”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。
”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。
” 路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。
在数学教育中，化归思想是“问题解决”的一种重要手段和方法。
—、化归方法的基本思想1、化归方法的含义：把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题甚至为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决．我们就把这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法．2、化归方法是辨证思维在方法论上的反映数学中充满着矛盾，有着极其丰富的辨证内容，例如，数学概念中一与多、正与负、常量与变量、有限与无限以及数学运算中的加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等都表现为矛盾的对立统一的形式．化归方法正是根据客观事物是普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一及其相互转化的观点，来实现问题解决的，它着眼于揭示联系实现转化．因此说化归方法是辨证思维在方法论上的反映．3、化归方法的作用我们知道整个中学数学内容，始终贯穿着数学知识和数学方法这两条线．中学数学问题的解决过程常常表现为不断发现问题、分析问题直到归结转化为熟悉的或已能解决的问题的过程，化归方法是中学数学中的重要数学方法之一．例如 (1代数中解一般方程(或不等式的基本思路是多元向一元、高次向低次的化归；分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归．(2基本运算中也凝结着化归的思想：减法向加法化归，除法向乘法化归；幂的运算化归为指数的相加或相减；对数运算把乘法或除法运算化归为加法或减法运算．(3利用三角诱导公式可以化任意角的三角函数为锐角三角函数；化不同名(或角的三角函数为同名(或角的三角函数．(4处理立体几何问题可以采用把空间问题化归为平面问题，复杂的图形化归为简单的图形．(5解析几何在于把几何问题化归为代数问题来研究，而函数图象在于把代数问题化归为几何图形来讨论．在中学数学教学中，这样的例子很多，只要教师具有化归的思想意识深入钻研教材，挖掘和提炼中学数学内容的转化矛盾思想，有意识地加强化归方法的教学，对于改革目前重知识轻方法、重结论轻思想的教学现状，对于培养造就“发现”、“创造”型人材都具有十分深远的意义．二、化归方法的基本原则数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单，化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单—”；化“高维”为“低维”等。
为了更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则．化归方法的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、和谐化原则。
1、熟悉化原则熟悉化是把我们遇到的“生疏”的问题转化为我们比较“熟悉”的问题，以便充分利用我们已知的知识和经验，使原问题得以解决．这里的“熟悉”，指的是已经能解决或具有既定解决问题的方法与程序．例1：证明不等式：(x1x2+y1y2+z1z22（x12+y12+z12）(x22+y22+z22【思路】本题直接证明比较麻烦，从不等式的形式上可以观察出（x12+y12+z12）,(x22+y22+z22是空间两点分别到原点的距离的平方，(x1x2+y1y2+z1z2则具备了空间两向量内积的形式，这二者之间能否挂上钩呢？【解】设向量=｛x1,y1,z1｝,=｛x2,y2,z2｝，与的夹角为，又·=··cos=··cos(x1x2+y1y2+z1z22=（x12+y12+z12）(x22+y22+z22·cos2（x12+y12+z12）(x22+y22+z22这里采用构造两个空间向量把问题转化为向量的内积运算使问题顺利解决。
学生如在平时的练习中多加注意的话，上述问题就在高二教材配套的练习册P的第10题：原题为“若，是非零向量，=x1i+y1j, =x2i+y2j, 与的夹角为。
（1）求cos；（2）证明（x1x2+y1y2）2 （x12+y12）(x22+y22；（3）若与为空间向量，你能推出怎样的不等式？”例2、已知是非零常数，对x R成立f(x+=,问：f(x是否为周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，请说明理由。
分析、周期函数使我们联想起熟知的三角函数，由f(x+λ=发现与三角等式tg(x+=相类似，而tgx是周期函数,它的最小正周期是π,是tg(x+=中的4倍,由此猜想f(x是周期函数,一个周期为4解：f(x+2=f(x++===-f(x+4= f(x+2+2=-=-=f(x，所以f(x是周期函数。
2、简单化原则简单化就是把我们遇到的比较复杂的问题转化为比较简单的，且易于确定解决问题方向和程序的问题，从而使原问题得到解决．众所周知，复杂与简单是相对而言的，以二次方程为例，相对于一次方程来说，它是复杂形式；而相对于高次方程来说，它又是简单形式了．例3、作函数y=+-9的图象分析、画函数图象的常规方法是将复杂函数转化成简单函数（一次函数，二次函数，幂函数，指数、对数函数，三角函数），本题函数可转化为y=+-9xy=，这样将复杂函数化成一次函数，其图象容易画出3、具体化原则具体化就是把比较抽象的问题化归成比较具体的问题，以使其中的数量关系和空间形式更为明确，更容易把握．例4、求函数y=(a-b+(+的最小值2分析、本题是关于二次函数的最值问题，如单纯用代数方法求解难以完成，由具体化原则，通过观察，发现y是两动点A(a,与B(b, -的距离的平方，即y=，因此问题化归为A,B两点之间的最短距离。
而点A在半圆x+y=3(y上,点B在双曲线-y=1(y0上，-2yOxy由图象可知的最小值=,A(,0,B(2,0,所以=2-,y==7-4.4、和谐化原则所谓“和谐”指的是配合得适当和匀称．数学中的和谐表现在定义、定理、性质、法则以及数、式、形之间。
和谐化就是使问题的表现方式更符合数、式与形内部固有的和谐统一的特点，以便突出问题所涉及的各种数学对象之间的本质联系，帮助我们去确定解决方法和程序。
例5、已知三角形ABC中，A=,求证：分析、为使问题简单化，先证c-a < --------(1。
已知条件给的是角的关系，要证的结论是边的关系，为使条件和结论更为接近，联系更为紧密，应设法将二者统一起来（和谐化），把要证的结论等价地转化为2(sinC-sinA< sinB--------(2,而（2）式中角太多，再想办法化成同名角，由C=2A,B=-(A+C= -3A，（2）式可化归为2(sin2A-sinA 再把 (3 式中的复角统一为单角，（3）式可化归为2(2sinAcosA-sinA <3sinA-4sin A4cosA-2<3-4sin A-------(4，再将（4）式统一成同名三角函数（和谐化），（4）式化归为4cos A-4cosA+1>04(cosA->0，因为此式成立，所以与之等价的（1）式成立。
同理可证：c-a成立。
三、化归方法的几种类型化归方法的类型很多，有的是把一个系统的问题化归为另一个系统中去解决，例如关系映射反演方法是通过恰当的映射使问题的领域从未知向己知化归；还有的属于在本系统内化归．中学数学中很多解题方法与技巧都统一在化归方法之下，例如，消去法是通过有限次的恒等变形逐步消去一些元素，从而实现未知向已知的化归，拆补法是采取把待解问题的若干项分解或组合，从而实现化难为易的化归。
1、变形法：（1）等价变形．等价变形是把待解的数学命题等价地化归为另一数学命题．比如，代数或三角中的恒等变形，方程(组、不等式(组的同解变换以及反证法、同一法都属于等价变形．除此之外的另—种常用手法，是将命题结论的形式加以适当改变，如代数、三角、几何领域间作转化和本领域内的转化。
例6、已知log9=a,18=5,求log45。
分析：此题利用对数恒等式化归，达到化未知为已知的目的。
因为18=5，所以log5=b,log45====例7、关于z的方程z+a+i=0在复数集内总有解，求实数a的范围。
分析：复数方程有解的条件不易研究，但将复数方程化为实数方程可将问题化难为易、化暗为明。
设z=x+yi,代入方程:x+yi+a+i=0,由复数相等的定义，命题等价为x+a=0,y=-1x+a=0a=-在R上有解，又等价于求函数y=-的值域。
设x+1=tg,(-,代入得y=-，又转化为三角函数求值域。
通过化弦y=cos-sin=cos(+,y。
（2）非等价变形．我们经常通过去分母将一个分式方程化归为整式方程，通过有理化将无理方程化归为有理方程．在这个过程中就有可能产生增根，引起解答失真，这里施行的就不是等价变换．这种对问题进行非等价变形，在解决数学问题时经常遇到，只要运用得当，注意防止“误差”，同样也可以取得成功，有时还能发挥等价变形所无法发挥的巧妙作用．例8、求证：1+分析、在不等式的证明中，常常用“舍掉一些正（负）项”而使不等式的各项之和变小（大），或在分式中放大或缩小分式的分子与分母而达到化归的目的。
这种化归方法是依据不等式的传递性a而发展出来的，是不等价的转化思想的体现。
因为将上述n个不等式相加，即得求证式。
2、分解与组合：波利亚说，分解与重新组合是重要的智力活动，对于很多问题特别是比较困难的问题，我们有必要把问题分解成几部分，然后试用某个新方式重新组合其元素，使问题更易下手。
这种化归方法是“化大为小，化繁为简”转化思想的体现。
用分解与组合处理数学问题时，一般是先将待解问题适当分解成若干个有逻辑联系的、较简单的、熟悉的小问题，然后分别求解这些小问题，最后根据原问题的条件将这些小问题的解重新组合叠加起来，就得到原问题的解．分解与组合的主要特点是，将要待解问题先“化整为零”，分而治之，然后再“积零为整’．整体分割法：把问题本身作为分割的对象，可以把问题分解成几个局部之和，也C1A1可以把问题分解成整体与局部之差。