函数[上学期]江苏教育版

合集下载

初中数学苏教版二次函数的教学实践

教育专线初中数学苏教版二次函数的教学实践胡友明（江苏省南京市鼓楼实验中学，江苏南京210000）【摘要】函数作为中学数学教学中重要的组成部分，不仅是考试的重点，在日常生活中也有较为广泛的应用。

函数能够较好的训练学生的逻辑思维能力，促使学生们更好的完成中学数学的学习。

本文将从苏教版初中数学中二次函数的教学案例出发，进行一系列探讨与分析，从而寻找出最适宜中学生学习函数的方法，丰富教学形式，调动学生学习数学的热情，更好的提高同学们学习数学的效率。

【关键词】初中数学；苏教版；二次函数函数是数学中用来表现事物之间动态关系的一门学问，能够有效培养中学生的逻辑思维能力。

如今，随着教育体制的不断改革深化，教学不再仅仅是为了应付考试作出的准备，而是与学生未来的发展都息息相关，课堂的作用也在潜移默化中发生了质的改变，强调要起到对学生的自主意识有一个唤醒和调动的作用，还要注重对学生综合素质的全面培养，这也意味着教师的教学方式也应当作出相应的调整从而更加适应新时期的要求。

苏教版的初中数学教材，从内部编排结构而言着重于数学教学模式的更改，是一种对于创新性数学教育的构建。

尤其是二次函数的相关学习方面，不仅能帮助学生较好的理解且掌握课本中的基础知识，还能加强学生自主探究问题、解决问题的能力，在研究、讨论过程中提高对数学的理解能力。

一、苏教版初中数学二次函数教学实践（一）提高二次函数学习兴趣数学对于大多普通学生来说并不显得通俗易懂，甚至对于初学者来说存在着一定的理解难度，学生在学习过程中容易因为畏难心理而半途而废。

因此，要想切实掌握二次函数的相关知识，首先要培养对于二次函数的学习兴趣。

比如，二次函数的图形具有特殊性，教师可以引导学生将二次函数图形与日常生活中的图形联系起来，方便理解。

又比如二次函数与一次函数虽然是隶属同宗，但是在变化情况上有很多不一致的地方。

我们了解到二次函数表达式为y=ax²+bx+c，a作为二次项系数，在不等于0的情况下，二次函数才成立，如果a=0，则为一次函数，二次函数并非一个崭新且难度较大的函数，事实上它和很多学过的知识都是息息相关的，教师在初次教授过程中，要注意耐心引导，首先激发学生学习二次函数的兴趣，然后再关注学习效率的提升，教学模式也应当随着时代的发展不断变化，根据学生的学习情况进行恰当的调整，让学生感受到学习二次函数的乐趣，调动学生主动学习二次函数的积极性。

2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第21讲函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质

返回目录
第21讲
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
•
［归纳总结］“变量变化”与“图像变化”的关系： (1)当 x→x＋φ 时，若 φ>0，则向左平移 φ 个单位；若 φ<0，点则向右平移|φ|个单位．面 (2)当 y→y＋m 时，若 m>0，则向下平移 m 个单位；若讲考m<0，则向上平移|m|个单位．向 1 (3)当 x→ωx(ω>0)时，其横坐标变为原来的 . ω 1 (4)当 y→ky(k>0)时，其纵坐标变为原来的k .
(2)[2013· 苏州模拟]
已知函数y＝sin(ωx＋φ)ω>0，0<φ ≤
• 点面讲考向
π 213所示，则φ的值为________． 2 的部分图像如图4-
图4213
返回目录
第21讲2 [答案] (1)3 (2) 3 15π 3π 9π 3 [解析] (1)由图像可知4T＝ 8 －（－ 8 ）＝ 4 ，所以T
返回目录
第21讲
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
•
π 变式题为了得到函数y＝cos(x＋ 3 )的图像，只需将点函数y＝sin x的图像向左平移________个长度单位．
面讲考 5π 向 [答案] 6
π [解析] 因为y＝sin x＝cos（x－ 2 ），且y＝cos（x＋ π π 5π 5π 3 ）＝cos（x－ 2 ＋ 6 ），所以向左平移 6 个单位长度．
返回目录
第21讲
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
•
π [解析] (1)函数y＝2sin 3 x的图像向右平移1个单位长度得y π π π ＝2sin 3 (x－1)＝2sin 3 x－ 3 的图像，将所得图像上每一点的点 π 面横坐标扩大为原来的 3 倍(纵坐标保持不变)，则得到y＝讲

江苏省2024-2025学年高三上学期10月百校联考数学试卷(解析版)

江苏省高三年级数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则集合()UA B = （）A. (]1,2B. ()1,2C. ()0,4D. [)0,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合U B ，利用并集的定义可求得集合()U A B ∪. 【详解】因为全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则{}02U Bx x =≤≤ ，所以，()[)0,4UA B = .故选：D.2. 设复数z 满足i 2i 2i z =++（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算及模长公式化简可得z ，进而可得解.【详解】由已知2i +=，则i 2i z =+，所以2z =，所以2z =+，，故选：C.3. 已知命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，则“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由存在量词命题、全称量词命题为真，结合方程有解及一元二次不等式恒成立化简命题,p q ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，得2140a ∆=−≥，解得2a ≤−或2a ≥，由命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，得2280a ∆=−≤，解得a −≤≤ 命题q ¬：a <−或a >q p ¬⇒，而p 不能推出q ¬，所以“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的必要不充分条件. 故选：B4. 塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量y 与自然降解时间（年）之间的关系为0e kty y =⋅，其中0y 为初始量，k 为降解系数，已知该种塑料经过3年自然降解后的残留量为初始量的80%，则要使得其残留量不超过初始量的10%，该种塑料至少需要自然降解的年数为（）（参考数据：lg 20.301≈） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B 【解析】【分析】由已知当3t =时，00.8y y =，可知1ln 0.83k =，代入解析式，令00.1y y ≤，解不等式即可. 【详解】由已知当3t =时，00.8y y =，即3008e0.ky y ⋅=，则1ln 0.83k =，令00.1y y ≤，即000.e 1kty y ⋅≤，解得ln 0.1kt ≤，即1ln 0.8ln 0.13t ≤，解得ln 0.1ln1011333330.9283ln 2ln 0.8ln 8ln101lg 21ln10t −≥⋅=⋅=⋅=⋅≈−−−，即至少需要自然降解31年，故选：B.5. 已知向量(),2a x = ，()2,b y = ，()1,2c =− ，若//,a c b c ⊥ ，则向量2a b +在向量c 上的投影向量为（） A. ()2,4− B. ()2,4−C. 13,22−−D. 13,22【答案】A 【解析】【分析】由//,a c b c ⊥可确定x y ，，后由投影向量定义可得答案.【详解】因//,a c b c ⊥ ，由题2212201x x y y −==− ⇒ −== ，则()()1,22,1a b =−=，. 则()20,5a b += ，则向量2a b + 在向量c 上的投影向量为：2cos 2,a b a b c e c c ++⋅.又25a b += ，c = ，()2cos 2,2a b c a b c a b c +⋅+==+⋅. 则()22,4e c =−=−.故选：A6. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)及其导函数的图象为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】分析可知，ff ′(xx )的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)，则()232f x ax bx c ′=++，则ff ′(xx)的图象为抛物线，对于A 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数，不合乎题意，A 错；对于B 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上为增函数，不合乎题意，B 错；对于C 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上增函数，合乎题意，C 对；对于D 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数，不合乎题意，D 错. 故选：C.7. 对于任意的0x >，0y >，21223377x y m m x y x y +≥−++恒成立，则m 的最大值为（）A.37B. 1−C. 1D. 3【答案】D 【解析】【分析】设23x m x y =+，3y n x y =+，可知172n m n −=+，所以27172n n m n n +++=+，结合基本不等式可得m n +的最小值为37，解不等式2123777m m −≤即可.【详解】设13232xmy x y x ==++，()10,1331y n x x y y=∈++，则172nm n −=+，为所以27123372x y n n m n x y x y n +++=+=+++()()()2723729772n n n +−++=+()7293337772777n n ++−≥−=+，当且仅当()7297772n n +=+，即17n =时等号成立，所以2123777m m −≤，即()()223310m m m m −−=−+≤，解得13m −≤≤，即m 的最大值为3，故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()31f x +为偶函数，且函数()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则20251()k k f ==∑（）A. 4 048B. 4 049C. 4 051D. 4 054【答案】B 【解析】【分析】由题可得()f x 关于1x =，()2,2对称，据此可得()f x 的一个周期为4，即可得答案.【详解】因(31)f x +为偶函数，则()()3131f x f x −+=+，则()f x 图象关于1x =对称；因()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则()()112121222f x f x ++−= ， ()()22224f x f x ⇒++−=，得()f x 图象关于()2,2对称；则()()11f t f t −+=+，()()224f t f t ++−=()()134f t f t ⇒−+++=()()134f t f t ⇒+++=.则()()()()()3541435f t f t f t f t f t +++=⇒+=−+=+，则()f x 的一个周期为4.则()()()()()20251()50612341k f k f f f f f = =++++ ∑.又()()134f t f t +++=，令01t =，，可得()()()()13244f f f f +=+=.则20251()506814049k f k ==×+=∑.故选：B【点睛】结论点睛：()f x 的定义域为R.若()f mx t +为偶函数，则()f x 图象关于x t =对称（()0m ≠）； ()1f mx n关于(),a b 对称，则()f x 图象关于(),ma nb 对称()0m n ≠，； ()f x 图象关于x a =，(),b c 对称，则()f x 的一个周期为4a b −.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在复平面内，复数1z 、2z 对应的向量分别为1a 、2a，则（） A. 1212z z a a =++B. 1212z z a a =−−C. 1212z z a a ⋅=⋅D.()112220a z z z a =≠ 【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断C 选项；设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，利用平面向量以及复数的模长公式可判断ABD 选项.【详解】设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，对于A 选项，()()12i z z m x n y +=+++，(),a b m x n y +++，则1212z z a a +==+，A 对；对于B 选项，()()12i z z m x n y −=−+−，(),a b m x n y −−−，则1212z z a a −==−，B 对；对于C 选项，不妨取11i z =+，212i z =+，则()11,1a = ，()21,2a =，则()()121i 12i 13i z z =++=−+，则12z z ==，12123a a ⋅=+=，此时，1212z z a a ⋅≠⋅ ，C 错；对于D 选项，当20z ≠时，20a ≠，则11z a = ，22z a = ，()()()()()()1222i i i i ii i m n x y mx ny nx my z m n z x y x y x y x y +−++−+===++−+，所以，12z z12a a ，D 对. 故选：ABD.10. 已知函数()()πtan 04f x x ωω =−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则（） A. 4ωB. ()f x 的最小正周期为π2C. ()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x = D. ()f x 的增区间为()ππ3ππ,164164k k k−++∈Z 【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项；利用正切型函数的渐近线可判断C 选项；利用正切型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于AB 选项，因为函数()()πtan 04f x x ωω=−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则该函数的最小正周期为π2T =，所以，π2Tω==，A 错B 对；对于C 选项，()πtan 24f x x =−，当3π8x =时，π3πππ24442x −=−=，所以，()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x =，C 对；对于D 选项，由()ππππ2π242k x k k −<−<+∈Z ，可得()πππ3π2828k k x k −<<+∈Z ，所以，()f x 的增区间为()πππ3π,2828k k k−+∈Z ，D 错. 故选：BC.11. 已知函数()2141,21log ,2x x f x x x −< = ≥，若存在实数m 使得方程()f x m =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（）A. ()340f x x =B. 120x x +<C. ()231x f x +>D. ()321x f x +> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分段函数的性质及值域可得m 的范围，再结合函数值相等可知函数解的关系，进而判断各选项.【详解】由()22214,01141,41,02211log ,log ,122log ,1x xx x x x f x x x x x x x −< −<−≤< == ≥−≤< ≥ ，作出函数图像如图所示，当0x <时，函数()f x 单调递减，此时()()0,1f x ∈；当102x ≤<时，函数()f x 单调递增，此时()[)0,1f x ∈；当112x ≤<时，函数()f x 单调递减，此时()(]0,1f x ∈；当1x >时，函数()f x 单调递增，此时()()0,f x ∞∈+；由方程()f x m =，有4个解，即函数yy =ff (xx )与函数y m =有4个交点，即()0,1m ∈，且123410122x x x x <<<<<<<，且124141xx −=−，2324log log x x =，即12442x x +=，()2324234log log log 0x x x x +==，即341x x =，且1244x x +≥1244x x=即12x x =时取等号，即2<，120x x +<，B 选项正确；()()3410f x x f ==，A 选项正确；又()()23f x f x =，所以()()22322241xx f x x f x x +=+=+−，()()3233323log x f x x f x x x +=+=−，设()41xg x x =+−，10,2x∈，()2log h x x x =−，1,12x∈，则()41xg x x =+−在10,2 上单调递增，()()102g g x g<<，即()302g x <<，()23302x f x <+<，C 选项错误；又()11ln 2h x x =−′，且()h x ′在�12,1�上单调递增，则()()1ln 21110ln 2ln 2h x h −<−′=′=<，所以ℎ(xx )在�12,1�上单调递减，所以()()2log 11h x x x h =−>=，即()321x f x +>，D 选项正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分12. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若45620a S ==，，则10S 的值为_______．【答案】90 【解析】分析】由等差数列通项，求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由等差数列通项，求和公式：41151360510202a a d a S a d d =+== ⇒=+== ，则101104590S a d =+=. 故答案为：90.13. 某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台（如图），用一张矩形的石墨烯显示屏（可弯曲）围成展台的侧面（两个矩形和一个曲面），商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告．已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为______弧度．【答案】2 【解析】【分析】根据2r r l α+=，利用基本不等式可得228l r α≤，即可由扇形面积公式求解.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，石墨烯显示屏的长度为l ，则2r r l α+=，故2228l r r l r αα+=≥⇒≤，当且仅当2r r α=即2α=时等号成立，故扇形的面积为221216l S r α≤，故当2α=时，面积取到最大值216l .故答案为：214. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=，若[]10x x = ，则x 的取值范围为_______．【答案】1011,33【解析】【【分析】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，则[][][][]22x x x x x ≤<+，分0x >和0x <两种情况，解不等式即可.【详解】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，且[][]1x x x ≤<−，又[]10x x = ，所以[]1011x x ≤<，易知0x ≠，且[]0x ≠，当0x >时，[]0x ≥，即[]0x >，则[][][][]22x x x x x ≤<+，所以[][][][]221011x x x x > ≤ +>[]x <≤由249<<，所以23<<，则[]3x =，所以10311x ≤<，即101133x ≤<，当0x <时，[]0x <，则[][][][]22x x x x x +<≤，即[][][][]221011x x x x < +< ≥[]x <≤又2916<<，即43−<<−，此时[]x 不存在，综上所述1011,33x∈，故答案为：1011,33.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 的面积为O 为边BC 的中点，5OA =，20OA OB ⋅=．（1）求BC 的长；（2）求角C 的正弦值．【答案】（1）16（2 【解析】【分析】（1）根据三角形面积及向量数量积可知tan AOB ∠，进而可得OB 与BC ；（2）在AOC △中，用余弦定理可知AC ，再由正弦定理可知角C 的正弦值. 【小问1详解】由已知O 为边BC 的中点，所以22ABC AOB S S AOB =∠ ，即sin OA OB AOB ⋅∠，又()cos πcos 20OA OB OA OB AOB OA OB AOB ⋅=⋅⋅−∠=−⋅⋅∠=，则tan AOB ∠，即2π3AOB ∠=，又5OA = 则5202OB =，即8OB =，216BC OB ==；【小问2详解】由（1）得2π3AOB ∠=，8OC OB ==，则π3AOC ∠=，在AOC △中，由余弦定理可知2222cos AC OA OC OA OC AOC =+−⋅⋅∠，即212564258492AC =+−×××=，则7AC =，又由正弦定理可知sin sin OA AC CAOC =∠∠，则sin sin OA AOCCAC⋅∠∠==16. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且45S S =，记nn na cb =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求使得0n T >的n 的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）31 【解析】【分析】（1）由已知条件推到得出12n n a a λ+=−，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a λ−为等比数列，求出n a λ−的表达式，再利用等比数列的定义可证得数列{bb nn }是等比数列；（2）根据（1）求出数列{aa nn }、{bb nn }的通项公式，可得出数列{}n c 的通项公式，可求出n T ，分析数列{}n T 的单调性，由310T >，320T <可得出满足0n T >的n 的最大值. 【小问1详解】证明：因为1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠），上述两个等式相加可得12n n a a λ+=+，则12n n a a λ+=−，所以，()12n n a a λλ+−=−，因为1a λ≠，则10a λ−≠，所以，数列{}n a λ−是首项为1a λ−，公比为2的等比数列，所以，()112n n a a λλ−−−⋅，所以，()112n n n b a a λλ−=−=−−⋅，则()()1111222n n n n a b b a λλ+−−−⋅==−−⋅，即数列{bb nn }是公比为2的等比数列. 【小问2详解】解：因为n S 为数列{aa nn }的前n 项和，且45S S =，则5540a S S =−=，由（1）可知，()()4511216a a a λλλλ−=−×=−=−，所以，11516a λ=，所以，()115122216n n n n a a λλλλ−−−−=−⋅=−⋅=−⋅，则()512n n a λ−=−，由（1）可得()115122216n n n n b a λλλ−−−=−−⋅=⋅=⋅，所以，()555121122n n nnn na cb λλ−−−−===− ⋅，所以，43251161211111222212n n n T n n −−−− − =++++−=− −32322n n −−，因为数列{}n c 单调递减，且当4n ≥且n ∗∈N 时，0n c >，且50c =，所以，当5n ≥且n ∗∈N 时，0n T >，当6n ≥且n ∗∈N 时，0n c <，所以，数列{}n T 从第6项开始单调递减，因为313132102T =−>，32323202T =−<，当631n ≤≤且n ∗∈N 时，310n T T ≥>；当32n ≥且n ∗∈N 时，320n T T ≤<. 所以，使得0n T >的n 的最大值为31.17.已知函数22()2sin cos f x x x x x +（1）求()f x 在区间π0,2上的最值；（2）已知π0,2α ∈，且8()5f α=，求tan α的值．【答案】（1）答案见解析；（2）8−. 【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，后令π23x t +=，由题意结合函数单调性可得最值；（2）由可得πsin 6α +与πcos 6α +同号，即可令πsin 6n α+= ，由题可解得n ，即可得答案. 【小问1详解】()222sin cos 2sin 2f x x x x x x x =+=+π2sin 22sin 23x x x=+=+ .因π0,2x∈，则ππ2,π33x t+=∈ ，令()()2sin f x g t t ==注意到()g t 在ππ,32 上单调递增，在π,π2上单调递减.则max π()22f x g ==，πππ23212x t x +==⇒=； ()()min π()min ,ππ03f x g g g ===，此时ππ2π33x t x +==⇒=；故()f x 在π12x =时取最大值2，在π3x =时取最小值0；【小问2详解】因π0,2α∈，则ππ2π,663α +∈ . 由题πππ()2sin 24sin cos 0366f αααα=+=++>则πsin 6α+ 与πcos 6α +同号，则πππ,662α +∈ 则令π1sin ,162n α+=∈，得4282425254055n n =⇒=⇒−+= ()()2251540n n ⇒−−=，则245n =或215n =（舍），.则ππsin cos 66αα +⇒+，πsin π6tan 2π6cos 6ααα+ +== +.则ππtan tan 866αα =+−=. 18. 已知函数()()2ln R f x x x a =+−∈．（1）当0a =时，证明：()0f x >．（2）若函数()y f x =的图象与x 轴相切，求a 的值（3）若()f x 存在极大值点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）)ln 21a =−−（3）a > 【解析】【分析】（1）求导即可根据函数的单调性求解极值证明，（2）设出切点，求导，根据()120f m m=+−=′，()2ln 0f m m m =−=，即可求解12m =，进而可求解，（3）求导，将问题转化为()120f x x=+−=′有不相同的实数根，分离参数，构造函数()h x =.小问1详解】当0a =时，()2ln f xx x =−，则()1212x f x x x=′−=−，当12x >时，()()0,f x f x ′>单调递增，【当102x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减，故()f x 在12x =时取极小值也是最小值，故()12ln 1ln 202f x x x f=−≥=+>，得证. 【小问2详解】函数()y f x =的图象与x 轴相切，故设切点为(),0m ，()12f x x+−′=，故()120f m m =+−=′，()2ln 0f m m m =+−=，因此1e m a=且e m a =，故e m a =()()1212ln 202m m m −−+=，由（1）知2ln 0x x −>，故2ln 20m m −+>，因此210m −=，故12m =，所以)12e e ln 21m a ===−−【小问3详解】令()120f x x =+−=′，故()210x f x x−+′==，故()121120x x x x − ⇒−−=，当12x =时，()0f x ′=，当120,x −≠1x =，则a =，记()h x =()e 2x h x x ==′，当12x >时，()()0,h x h x ′>单调递增，当102x <<时，()()0,h x h x ′<单调递减，故ℎ(xx )在12x =时取极小值也是最小值，12h=，且当x →+∞时，()h x ∞→+，当0x →时，()h x ∞→+，故()f x存在极大值点，只需要a >.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数ℎ(xx )；(3)利用导数研究ℎ(xx )的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．19. 已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，k A 为集合A 的子集．定义1()ni i S A a ==∑，()0S ∅=．（1）取()*n a n n =∈N ．①若存在i j A A ≠且()()i j S A S A =，求n 的最小值；②对于给定的n ，若存在12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，求k 的最大值()k n 及此时()()1k n ii S A =∑的最大值()f n ．（2）取()*2,nn a qq n =≥∈N ，是否存在n 及,ijA A ，使得ijA A ≠，且()()i jS A S A =？若存在，请举例；若不存在，请证明．【答案】（1）①3；②()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅（2）不存在，证明见解析【解析】【分析】（1）①结合子集定义与题目所给条件，分别计算1n =、2n =及3n =时的结果即可得；②由题意可得12,,,k A A A ⋅⋅⋅中存在公共元素，则集合12,,,k A A A ⋅⋅⋅去掉公共元素后的新的所有集合必为集合A 中去掉该公共元素后的子集，结合子集个数与元素个数的关系即可得解()k n ，再利用这些新集合中各元素出现次数，结合组合数计算公式与等差数列求和公式即可得()f n ；（2）借助反证法，假设存在符合要求的n ，由题意可设i j A A ∩=∅，,r s j i a a 分别为两者中最大元素，通过计算可得当2q ≥时，数列nn a q =的前n 项和1n n S a +<，则可得s r j i <，r s i j <，由两者矛盾，即可得.【小问1详解】①当1n =时，{}1A =，有两个子集，分别为∅、{}1，此时()0S ∅=，{}()11S =，不符合要求；当2n =时，{}1,2A =，有四个子集，分别为∅、{}1、{}2、{}1,2，此时()0S ∅=，{}()11S =，{}()22S =，{}()1,23S =，不符合要求；当3n =时，{}1,2,3A =，存在{}1,2A ⊆，{}3A ⊆，有{}()1,23S=，{}()33S =，即n 的最小值为3；②{}1,2,3,,A n = ，*n ∈N ，由12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，设12k A A A B ⋅⋅⋅= ，则B 中至少有一个元素，假设B 中元素个数()*1,m m m ≥∈N 个，又()12k A A A A ∪∪∪⊆ ，则()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 中元素个数最多有n m −个，子集个数最多有2n m −个，由1m ≥，故当1m =时，()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 子集个数最多，且为12n −个，故k 的最大值()12n k n −=，设此时B 中元素为t A ∈，则集合1A B 、2A B 、、12n A B − 为集合()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 的子集，其中元素t 在1A 、2A 、、12n A −中都有，假设存在a t ≠，且a A ∈，此时2n ≥，则a 在1A 、2A 、、12n A −中的双元素集合中出现1次，为若3n ≥，则在1A 、2A 、、12n A −中的三元素集合中出现12C n −次，在1A 、2A 、、12n A −中的四元素集合中出现22C n −次，在1A 、2A 、、12n A −中的n 元素集合中出现22C n n −−次，即除t 外集合A 中所有元素都会出现12222221C C C 2n n n n n −−−−−++++=次，则当t n =时，()()1k n ii S A =∑有最大，此时()()()()()()()11212211n n k n iii i f n S A S A S A S A S A −−=====+++∑∑ ()()()12122312121222322n n n n n n n n n n n n −−−−−−=⋅++++−⋅=⋅+⋅=+⋅ ，即()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅；【小问2详解】不存在，理由如下：假设存在符合要求的n ，且{}11,,,s i i i i A a a a = ，{}11,,,r j j j j A a a a = ，其中12s i i i <<< ，12r j j j <<< ，s n <，r n <，且*s ∈N ，*r ∈N ，则s s i ≤，r r j ≤，若i j A A ∩≠∅，由()()i j S A S A =，则对()i A i j A A ∩ 、()j A i j A A ∩ ，也满足()()()()i j A i j A i jS A A S A A ∩=∩ ，故不妨假设i j A A ∩=∅，则s r i j ≠，由i j A A ≠，且()()i j S A S A =，由2q ≥，则有：()()12111211ss s s i i i i i i i i i q q S A a a a q q q q q q q−=+++=+++≤+++=−1111111s s s s s i i i i i q q q q q q q a q q q q +++=−<=≤=−−−−，即()1s i i S A a +<，故1s r j i a a +<，即1s r j i <+，又s r i j ≠，故s r j i <，第21页/共21页同理可得()1r j j S A a +<，故1r s i j a a +<，即1r s i j <+，又s r i j ≠，故r s i j <，两者矛盾，故不存在这样的n 及,i j A A .【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得到当2q ≥时，数列n n a q =的前n 项和1n n S a +<，从而可通过研究i A 、j A 的最大项的关系得到结果.。

高中数学“幂函数”教学设计

高中数学“幂函数”教学设计作者：***来源：《江苏教育·中学教学版》2024年第05期【关键词】高中数学；方法引领；教学设计；幂函数【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2024）19-0043-04【作者简介】杨玲玲，江苏省句容市第三中学（江苏句容，212400）教师，一级教师。

一、教学内容分析本节课的内容选自苏教版普通高中数学教材必修一第6章第1节，是第5章《函数》内容的延续和深化，也是函数思想方法应用的具体化。

学生在初中时已经接触过y = x，y = x2，y = x-1等函数，对这些函数有一定的认知基础和研究经验。

教学时，教师可以引导学生梳理已有经验，帮助学生学会从数和形两个角度来研究幂函数的性质。

这样的研究方式对后续内容的学习起着引领、指导和组织的作用，能够帮助学生建立研究函数模型的方法范式，从而实现数学知识和方法的自然延拓。

二、教学目标设置1.了解幂函数的概念，会画出y = x，y = x2，y = x3，y = x-1，y = x[12]等幂函数的图象；2.了解几个常见的幂函数的性质，会利用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数幂值的大小；3.经历探究幂函数图象与性质的过程，明确研究一类函数模型的基本方法，进一步体会数形结合、特殊与一般等数学思想，培养直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养。

三、学情分析1.学生已有的认知基础本节课的授课对象是江苏省四星级普通高中高一学生，在知识结构上，他们在初中时已经研究了一次函数、二次函数、反比例函数等初等函数，在高中又学习了函数的概念及简单性质，已经积累了研究函数的初步知识基础。

在经验方法上，他们经历了对y = x，y = x2，y = x-1等函数的初步学习，已经拥有了研究函数的基本经验，并具备一定的观察、分析、抽象、概括能力。

2.达成目标所需的认知基础在探究幂函数性质的过程中，需要学生对数形结合思想有较深刻的认识和理解，有较强的直观想象、逻辑推理能力和良好的独立思考、合作交流等学习习惯。

【高考复习方案】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第4讲函数的概念及其表示

双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题
第4讲函数的概念及其表示
返回目录
教学要求
返回目录
第4讲
双向固基础
函数的概念及其表示
非空数集任意唯一任意
非空集合
唯一确定
定义域值域
对应关系
返回目录
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ讲
双向固基础
函数的概念及其表示
交集意义
返回目录
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点面讲考向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点面讲考向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点面讲考向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点面讲考向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
•
点面讲考向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
•
点面讲考向
函数的概念及其表示
点面讲考向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点面讲考向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点面讲考向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
•
点面讲考向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
•
点面讲考向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
点面讲考向
返回目录
第4讲
函数的概念及其表示
教师备用题
返回目录
第4讲

【高考复习方案】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第7讲二次函数

返回目录
第7讲
双向固基础
二次函数
2．二次函数求最值时的注意问题 (1)已知二次函数 f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3，函数 f(x) 有最小值，则 k>1 或 k<－1.( ) (2)已知二次函数 f(x)＝x2－4x＋5，若 x∈[0，3]，则函数的最大值为 f(0)＝5，最小值为 f(3)＝2.( )
返回目录
第7讲
双向固基础
二次函数
—— 疑难辨析 ——
1．二次函数单调性的求解误区 (1)已知二次函数 f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3. 2 ①函数 f(x)的单调递增区间是(－∞， 2]，则 k＝ .( ) 2 2 ②函数 f(x)在区间(－∞， 2]上单调递增，则 k＝± 2 .( ) (2)函数 f(x)＝x2－kx＋1 是区间(－1，2)上的单调函数，则 k≥4.( )
解：(1)证明：易知与原二次函数对应的一元二次方程是 x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0. 因为 Δ ＝ 4(m － 1)2 － 4(m2 － 2m － 3) ＝ 4m2 － 8m ＋ 4 － 4m2＋8m＋12＝16>0，所以方程 x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0 必有两个不相等的实数根．故不论 m 取何实数，这个二次函数的图像与 x 轴必有两个交点．
返回目录
第7讲
二次函数
点面讲考向
［思考流程］条件：给出一个带参数的二次函数．目标： (1)证明二次函数的图像与 x 轴必有两个交点；(2)求二次函数的解析式．方法：(1)用判别式判断；(2)利用根与系数的 1 1 2 关系将＋＝表示为关于 m 的方程，解方程得到 m 的值， x1 x2 3 从而得到函数的解析式．

正切函数y=tanx的图象[下学期]--江苏教育版

正切函数的性质：
1.定义域： x

|
x

2

k
,
k

Z

2.值域：R
3.周期性： π
4.奇偶性：奇函数
5.单调性：
k

2
, k

2
(k

z)内都是增函数.
例题解析:
例1．求函数的定义域．
y

tan
2x
π4
例2.求 f (x) tan 2x 的周期.
求下列函数的单调区间3tan2x的作图是利用平移正切线得到的当我们获得上图像后再利用周期性把该段图像向左右去延伸平移中心渐近线方程
正切函数y=tanx的图象
江苏睢宁高级中学朱虎
正切函数的图象
三角函数
三角函数线
正弦函数余弦函数正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
例3．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1）tan167 与 tan173 ；
（2）tan

11
4

与
tan 13 π 5
．
例题4：求下列函数的单调区间
①. y 7 tan(3x－ )
4
单调递增区间为（k 3

12
,
k 3

；
够抵御的风险毕竟有限，世上无法预计的灾难却是无限的。战胜灾难靠的更多的是临门一脚，先前的惴惴不安帮不上忙。当风暴的尾巴终于远去，我们守住零乱的家园。气还没有喘匀，新的提醒又智慧地响起来，我们又开始对未来充满恐惧的期待。人生

余弦定理[上学期]--江苏教育版

a D
B
AC 2 sin 2 C CB 2 2CB AC cosC AC 2 cos2 C AC 2 CB 2 2CB AC cosC
例题
小结
c a b 2ab cosC
2 2 2
余弦定理
复习引入
当角C为钝角时证明：过A作AD CB交BC的延长线于D 在Rt ACD 中
2 2
C
坐标法
定理
2
2
2 AC CB cos(1800
2
C) CB
2
例题
小结
c a b 2ab cosC
余弦定理
定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减
复习引入
去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
向量法
几何法
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cosC
余弦定理
思考题：若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,
复习 CA=b,求AB边c. 引入解： AB AC CB
A
向量法 AB AB ( AC CB)(AC CB)
几何法
b a
c
B
AC AC 2 AC CB CB CB
AB AC
B、C三点的坐标分别为：
向量法
A(b cosC, b sin C ), B(a,0), C (0,0)
几何法 AB 2 (b cosC a) 2 (b sin C 0) 2
坐标法 b 2 cos2 C 2ab cosC a 2 b 2 sin 2 C

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

三.例题
例1.求下列函数的定义域： 1 （ 1 ）f ( x) ; ( 2) f ( x ) 3 x 2 ; x2 1 (3) f ( x) x 1 2 x
求定义域的几种情况: (1)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (2)如果f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (3)如果f(x)是由几个数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集) (4)使实际问题有意义.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域; 与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合 f ( x) x A叫做函数的值域.
函数的值域用C表示, C B f是对应法则,在不同的函数中,f的具体含义不同.
对函数概念的理解: (1)定义域,值域,对应法则是函数的三要素. 两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应法则分别相同. (2)对函数符号y=f(x)的理解: y=f(x)是”y是x的函数”这句话的数学表示,这是一个抽象的符号,不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式,也可以是图象或数表. f(a)与f(x)的区别: 一般情况下,f(a)是f(x)的一个特殊值. (3)函数除用f(x)表示外,还常用g(x),F(x),G(x)表示.
2.下列各组函数中，为同一函数的一组是（ B） A. f ( x) x 3与g ( x) x 2 6 x 9; B. f ( x) x与g (t ) 3 t 3 ; x2 4 C. f ( x ) 与g ( x) x 2; x2 D. f ( x) x 2与圆面积y是半径x的函数
x 2 , ( x 0) 16 ，f (3) _______, 0 3.已知f ( x) 2, ( x 0) , 则f (4) _______ 0, ( x 0)
2 f [ f (3)]Байду номын сангаас _________ 。
x 2 1, ( x 0) -3 。 4.已知函数y , 使函数值为10的x的值为 ________ 2 x, ( x 0)
例3.下列函数中哪个与函数 y x是同一个函数？（ 1 ）y ( x ) 2 ; (2) y 3 x 3 ; (3) y x 2
两个函数相同的充要条件是:
它们的定义域与对应法则分别相同.
练习:
1.以下四组函数中，表示同一个函数的是（ A ） A. f ( x) x 与g (t ) t 2 ; B. f ( x) 2 x与g ( x) 2( x 1) x2 1 C. f ( x) x 1与f ( x) ; D. f ( x) x 1 x 1与g ( x) x 2 1 x 1
练习
[-1,1] 1.函数f ( x) x 1 1 x x 2的定义域是 __________ _。
2 x 2 2.函数y x x 2的定义域是 __________ [-2,-1] ___。 1 x
例2.已知函数f ( x) 3x 2 5 x 2，求f (3), f ( 2), f (a), f (a 1).
你知道吗?
你知道考古学家是怎样根据化石推算古生物生活的年代的吗?
函数(一)
一.复习引入初中学过的函数的概念:
设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量. (这是从运动变化的观点出发)
问题： 1. y 1是函数吗？ x2 2. y x与y 是同一个函数吗？ x
二.新授
1.下面我们先看两个非空集合间的对应关系: A 1 2 3 乘2 B 1 2 3 4 5 6 A B 求平方 1 1 -1 2 4 -2 3 -3 9 A 1 2 3 4 求倒数 B 1 1 2 1 3 1 4
共同特点: 对于集合A中的任意一个数, 集合B中都有唯一的数和它对应.
2.函数的定义: 设A,B都是非空数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应,那么就称 f:A B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.
四.小结:
1.函数的概念:函数三要素,”y=f(x)”的含义; 2.函数定义域的求法.
；食鬼猎人 /booktxt/7044/ 食鬼猎人；
空图,已经做了标记の,就是最北面の那壹颗星辰了."去那颗吧."在这乱星海已经有壹百年了,现在根汉还没有到最开始定位の那颗主星,阵环之术现在也无法再练习了.小紫倩和伊莲娜尔也双双进入了沉睡了,估计这回没有个百八十年,她们都难以苏醒了.所以根汉现在要想办法离开这里,而好在之前小紫倩已经教了他不少阵环之术了,对他进行了系统の培训了,现在就是看他自己の了.（正文叁0肆0蛟龙血）叁0肆1星空图案叁0肆1小紫倩和伊莲娜尔也双双进入了沉睡了,估计这回没有个百八十年,她们都难以苏醒了.所以根汉现在要想办法离开这里,而好在之前小紫倩已经教了他不少阵环之术了,对他进行了系统の培训了,现在就是看他自己の了.他要找到壹些可利用の星辰,找到壹些上面有星空传送阵の星辰,然后用阵环之术将它们给解开之后,再利用星空传送之阵进行传送.现在看来这里距离那颗最近の主星,还是太遥远了,之前估计着几百年就能到.现在根汉心里也没底了,好像上千年也到不了似の,自己の修为壹天没有进入天神之境,想要快速到达那里,就成了壹种奢望."好."六美也有些欣喜,终于是要离开这里了,好歹是能动起来了,总归是不壹直呆在壹个地方.她们这十年,也没有再闭关,几乎都是陪根汉の,因为怕根汉出什么事情,她们好有壹个照应.根汉也很感激她们,壹直陪着自己,要不然の话,确实是有些烦闷.当然他这十年,也没有碰她们,并没有和她们发生什么,还是很节制の.他知道现在自己の.躯体承受不了那些,若是再贪图享乐の话,真の就会有大麻烦の.虽然不知道现在自己受の是什么伤,但是根汉知道,这些伤比道伤还要恐怖.道伤以道就可以养好,但是别の什么伤,却是比道伤还厉害の.人在绝望の时候,无助の时候,可能就会自咱放逐,而这种自咱の放逐,就会给人带来极端不好の影响,现在根汉就是这样の情况.壹般人进入了死灰之境后,几乎都是壹个死字,就算是恢复了,也会变成壹个废人了.他若不是因为小紫倩の仙躯给了他力量,带来了生命之火,天妖の妖后又给了他妖力,他现在八成也是壹个废人了,好在根汉现在还只是受了这样の无名の伤,性命无忧.飞船再次起航了,这回の目标,是座标上壹颗小型の恒星.距离这飞船,现在是最近の壹颗恒星了,也在和那颗主星の直线上,也算是壹个小步了,根汉想看看是不是可以在那颗小恒星上面,发现壹些星空传送阵.乱星海是当年九华道人和红尘女神夫妻联手布下の,上面应该也留下了不少の星空传送阵,只是现在根汉还没有碰到.之前在那颗星辰上碰到了壹回,上面只有三道光门,传得最近の就是战狼星了.后面好几颗星辰上面,都没有再遇到星空传送阵了.孤独の航行在继续,只不过现在根汉の心态又发生了变化.他变得更加の平和了,心理年纪好像壹下子就大了几千岁,饱经苍桑似の.这壹天,根汉在飞船中,依旧泡着离子浴.只不过他现在并不忌讳了,也不怕什么天妖族の人出来迫害自己了,天妖族の女人应该也不会害他,要是想害他の话,他早就死了.这壹天根汉再壹次睡着了,无字天书隔了十年没有再出现了,这壹天无字天书出现了.仙女也从里面出来了,六美虽然也在旁边不远处,但是却莫名の也陷入了昏睡当中,并不知道这仙女来了."想不到,再次醒来你变成了这样子了."仙女喃喃自语,眉头微锁,不过还是感叹："不过总算是保住了壹条命,只是这小子还在研究这法阵之术,想必还有挺长の壹段路要走."她扭头看了看这里面の光幕,前面有壹个红色箭头,在提示现在飞船在往那个方向走,目标就是前面の那颗小恒星."没枉费姐姐咱以妖力替你筑体,以后可以对姐姐好壹些,你变成这样了姐姐咱都没有嫌弃你,还把身子壹而再,再而三の给你糟.蹋."仙女身上の衣裳渐渐の变少,然后又和根汉融为壹体了.根汉醒来の时候,就知道自己时隔了十年了,那天妖壹族の后人又出现了.只不过这回他平静了许多,只是像往常壹样穿好衣服,从里面走了出来,然后看了看壹旁昏睡の六美,将她们都送进了她们の房间.根汉来到了其中壹间影音室,找了壹部电影看.看着看着根汉就有些入神了,这部电影讲の是壹个聋哑人,意外闯进了壹艘远航の无人飞船中.无人飞船是帝国被研究出来,要送往太空中进行航行,探索太空用の.但是因为无人飞船の光膜系统可能出现了错乱,这无人飞船在外域中迷失了方向,也与帝国の航空系统失去了联系.这个聋哑人,就开始孤自壹人,控制着这无人飞船,在太空中历险の故事.根汉觉得这个聋哑人,有些像现在の自己,他の处境也和自己有些相似.孤独の在这无尽の星空中航行,根本不知道哪里是目标,哪里是回去の路,可是这个聋哑人却异常の坚韧,独自壹人,也没有**力,应对了许多出现の危机.最终这个聋哑人,开着飞船,来到了壹颗有人の星球.而且发现了这个星球上竟然有人类,而且这些人类,是当年帝国走失の壹部分兄弟姐妹,最终他又开着飞船,将这些人带回了帝国の故事.电影虽然只是艺术,但是却给人带来了很大の启示.根汉将音效给关了,独自壹人坐在旋转躺椅上,闭目调息了好壹阵.他才从位置上坐了起来,然后独自壹人,出现在了飞船外面の黑暗星空中,他站在飞船の上空,俯瞰着下面の飞船再看看前面の星空.偌大の飞船,在这无尽の星空中,就像是壹只小小の萤火虫,以荧火の力量,想要发现整个星空,几乎是不可能の.但是在这黑暗の星空中,最亮の,能给人带来最大の温暖の,恰恰是这么壹只小小の萤火虫.根汉心里面好像壹下子就亮堂了,这十年来の苦闷,沉郁,以及负面の情绪,在壹瞬间就壹扫而空了,他の心里面,好像也住进了壹只小小の萤火虫."那是什么?"这时候,根汉却发现了有壹些异样,他赶紧将这飞船给收进了乾坤世界,天眼望向了西面.根汉心里面好像壹下子就亮堂了,这十年来の苦闷,沉郁,以及负面の情绪,在壹瞬间就壹扫而空了,他の心