分析位移共振和速度共振的条件
音叉的受迫振动与共振实验讲义
T2
4 2 (m0 m X ) k
(17)
其中 k 为振子的劲度系数，为常数，它与音叉的力学属性有关。m0 为不加质量块时 的音叉振子的等效质量，mX 为每个振动臂增加的物块质量。 由式（17）可见，音叉振动周期的平方与质量成正比。由此可由测量音叉的振动周 期来测量未知质量，并可制作测量质量和密度的传感器。
（6）
微分方程理论证明，在阻尼较小时，上述方程的解是：
2 x A0 e t cos( 0 2 t 0 ) A cos(t )
（7）
式中第一项为暂态项，在经过一定时间之后这一项将消失，第二项是稳定项．在振 子振动一段时间达到稳定后，其振动式即成为：
x A cos(t )
Q
2 1
0
f0 f 2
（13）
其中 f 0 为 0 对应的频率， f1 、 f 2 为 vmax 下降到最大值的 0.707 倍时对应的频率值。
3
图1 3.2、位移共振
速度共振曲线
图2
位移共振曲线
驱动力的频率ω为何值时才能使音叉臂的振幅 A 有最大值呢？对式（9）求导并令其 一阶导为零，即可求得 A 的极大值及对应的ω值为：
dx dt
（1）
式中γ是与阻力相关的比例系数，其值决定于运动物体的形状、大小和周围介质等 的性质。 物体的上述振动在有阻尼的情况下，振子的动力学方程为：
m
d 2x dx kx 2 dt dt
其中 m 为振子的等效质量， k 为与振子属性有关的劲度系数。 令 0
2
k ,2 ，代入上式可得： m m d 2x dx 2 2 0 x0 2 dt dt
实验时，将一组电磁线圈置于钢质音叉臂的上下方两侧，并靠近音叉臂。对驱动线圈 施加交变电流，产生交变磁场，使音叉臂磁化，产生交变的驱动力而使音叉振动。接收线 圈靠近被磁化的音叉臂放置，可感应出音叉臂的振动信号。由于感应电流 I dB / dt ,
振动速度加速度位移之间的相位关系
振动速度、加速度和位移是描述物体振动状态的重要物理量，它们之间的相位关系对于理解和分析振动运动至关重要。
下面通过分析振动速度、加速度和位移之间的相位关系，来探讨它们之间的关联。
1. 振动速度、加速度和位移的定义振动速度指的是物体在振动过程中的速度，通常用v来表示，单位是米每秒（m/s）。
加速度则是物体在振动过程中的加速度，通常用a 来表示，单位是米每秒平方（m/s^2）。
位移则是物体在振动过程中的位移量，通常用x来表示，单位是米（m）。
2. 三者之间的基本关系振动速度、加速度和位移之间的关系可以用微积分的概念进行描述。
假设物体在振动过程中的位移函数为x(t)，则物体的速度函数v(t)和加速度函数a(t)可以分别用位移函数对时间的导数和二阶导数来表示：v(t) = dx(t)/dta(t) = d^2x(t)/dt^2这里，t表示时间。
根据导数的定义，速度函数v(t)表示物体在任意时刻的瞬时速度，而加速度函数a(t)表示物体在任意时刻的瞬时加速度。
3. 位移、速度和加速度的相位关系在简谐振动中，位移、速度和加速度之间存在一定的相位关系。
根据简谐振动的定义，位移、速度和加速度都可以表示为关于时间的正弦或余弦函数。
假设物体的振动周期为T，振动频率为f=1/T，角频率为ω=2πf，则位移函数、速度函数和加速度函数可以分别表示为：x(t) = A*sin(ωt + φ)v(t) = A*ω*cos(ωt + φ)a(t) = -A*ω^2*sin(ωt + φ)这里，A表示振幅，φ表示初相位。
根据上述函数表达式，位移、速度和加速度之间存在以下相位关系：位移x(t)与速度v(t)之间的相位关系为：v(t) = ω*x(t + π/2)位移x(t)与加速度a(t)之间的相位关系为：a(t) = -ω^2*x(t)由上面的推导可知，振动速度与位移之间存在90°的相位差，而振动加速度与位移之间存在180°的相位差。
音叉的速度共振与位移共振曲线的测量和研究
第29卷第2期 2010年2月实验室研究与探索R ESEARCH AND EXPLORATI ON I N L ABORAT OR YVol .29No .2 Feb.2010 音叉的速度共振与位移共振曲线的测量和研究倪 敏, 薛珍美(上海师范大学数理学院,上海200234)摘 要:利用接收线圈和压电换能片2种传感器测得音叉受迫振动的速度、位移共振曲线,通过实验比较和理论分析,证明这2种传感器所测得的物理量并不相同,同时分析和验证了2种幅频曲线的区别。
对影响位移共振曲线测量结果的阻尼系数进行讨论和分析,得出:用接收线圈做传感器测得的音叉共振曲线为速度共振曲线,而用压电换能片做传感器测得的音叉共振曲线为位移共振曲线。
实验的研究有利于学生对受迫振动和共振概念的深入理解,也有利于对2种传感器的正确运用。
关键词:音叉;速度共振;位移共振;接收线圈;压电换能片中图分类号:O 4233 文献标识码:A 文章编号:1006-7167(2010)02-0024-03Survey a nd R e sea rch of Tuni ng Fo rk ’s Ve l o c ityR e sonance and D isp lacem ent R e sonance C urve sN IM in, XU E Z hen 2m ei(College of Mathe m atic s and Sc ience,Shangha i Nor m al U niversity,Shangha i 200234,China )Abstrac t:The rece iving l oop and peizoelectric transducer were used to m ea sur e the vel ocity and dis p lace m ent r e s onancecurves of a tuning f or k.It was de monstrated tha t the physical quantite smeasured by the t w o kinds of sens or are different thr ough experi m ental comparis on and theor e tical analysis .Also the difference bet ween the t wo a mplitude 2versus 2frequen 2cy cur ves wa s ana lyzed and demonstrated.A t the sa m e ti m e,the damping coeffic ient which af fects the m ea sure ment of the dis place m ent r e s onance curve was discussed and analyzed .It is conc luded that the tuning f or k ’s resonance curve m ea sur ed by the receiving loop is velocity r e s onance cur ve,while the one measured by piez oelectric transduce r is dis 2place ment resonance curve .The research on the experi m ent will deepen the students ’unde rstanding of certain concepts in for ced vibr ation and res onance,and will ensure a c orr ect use of the t wo kinds of sensor,and theref or e the experi m ent can be involved in the design physics experi m ent in universities .Key wor ds:tuning f ork;ve l oc ity r e s onance;displace m ent resonance;r ece iving coil;piez oe lec tric tr ansduce收稿日期66作者简介倪 敏(6),女,上海人,副教授,主要从事近代物理实验和普通物理实验教学。
位移共振与速度共振之别
所 以缸体 侧壁 所受 总力 的竖直 分力 Ｆ 侧 为
Ｆ侧 一 Ｆ总 ｓ ｉ ｎ ０一
（ ８ Ｆ ＋ × ２ ６ 。 × ３ ． ４ ） 一
８ Ｆ＋ １ ３ ６ —８ Ｆ４ － １ ３ ６（ 单位： Ｎ）
所以 Ｎ —Ｇ 缸一 Ｆ 侧一
５ ０× １ ０一 （ ８Ｆ ４ －１ ３６ ）一
分方程． 式 中叫 。 一 ／ 旦 Ｙ ｒ ／ 为无阻尼时弹簧振子的固有
角频 率 ， ＝ 为 阻尼 因数 ， ｈ一 ．
一 ｚ ， 即
— —
Ｙ ｒ ／
齐次 微分 方程 的 特征 方程 为
ｒ 。 ＋２ 口 ｒ＋ ； 一０ 其 两个 根为 ｒ 一 －ｐ± 。 一∞ ｉ
的运 动为 阻尼振 动．
略． 圆盘形 的振子 体积较 小 ， 受到 液体 的浮 力可忽 略
不计， 以竖直 向下 为正 方 向 ， 由牛 顿第二 定律 ， 有 一 一， ｃ ＋ Ｆ ｓ ｉ ｎ ￡ 一ｍａ 即
【 例 ｌ 】有 一个 竖 直 弹簧 振 子 ， 弹簧 的 劲度 系数 为 ， 振子 为 圆盘形 ， 质量 为 ， 其 表 面 与 弹簧 垂 直 ， 在 某种 液体 中上 下振 动 ， 在 运动速 度较 小 的情况 下 ，
２ ０ １ ４年 第 ３期
物 理 通 报
解 题 思 路 与技 巧
Ｉ
ｌ
觏
位 移 共 振 与速 度 共 振 之 别
郑 金
（ 凌 源市 职教 中 心 辽 宁 朝 阳 １ ２ ２ ５ ０ ０ ） （ 收稿 日期 ： ２ Ｏ ｌ ２— ０ ６ —０ ０ １ ）
ｌ ＿ ｉ
令旦 ＝∞ ： ， 一２ Ｊ ９ ， 得
１ ７１ 。
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生《结构动力学》思考题第1章1、对于任一振动系统，可划分为由激励、系统和响应三部分组成。
试结合生活或工程分别举例说明：何为响应求解、环境识别和系统识别？响应求解：结构系统和荷载已知，求响应。
又称响应预估问题，是工程正问题的一种，通常在工程中是指结构系统已知，具体指结构的形状构件及离散元件等，环境识别：主要是荷载的识别，结构和响应已知，求荷载。
属于工程反问题的一种。
在工程中，如已知桥梁的结构和响应，根据这些来反推出桥梁所受到的荷载。
系统识别：荷载和响应已知，求结构的参数或数学模型。
又称为参数识别，是工程反问题的一种，在土木工程领域，房屋、桥梁和大坝等工程结构被视为“系统”，而“识别”意味着由振动实验数据求得结构的动力特性（如频率、阻尼比和振型）。
如模态分析和模态试验技术等基本成型并得到广泛应用。
2、如何从物理意义上理解线性振动系统 解的可叠加性。
求补充！！！！！3、正确理解等效刚度的概念，并求解单自由度系统的固有频率。
复杂系统中存在多个弹性元件时，用等效弹性元件来代替原来所有的弹性元件，等效原则是等效元件刚度等于组合元件刚度，则等效元件的刚度称为等效刚度。
4、正确理解固有频率f 和圆频率ω的物理意义。
固有频率f ：物体做自由振动时，振动的频率与初始条件无关，而仅与系统的本身的参数有关(如质量、形状、材质等)，它是自由振动周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。
圆频率ω： ω=2π/T=2πf 。
即为单位时间内位移矢量在复平面内转动的弧度，又叫做角频率。
它只与系统本身的参数m ，k 有关，而与初始条件无关5、正确理解过阻尼、临界阻尼、欠阻尼的概念。
一个系统受初扰动后不再受外界激励，因为受到阻力造成能量损失而位移峰值渐减的振动称为阻尼振动。
系统的状态按照阻尼比ζ来划分。
把ζ=0的情况称为无阻尼，即周期运动;把0<ζ<1的情况称为欠阻尼，即系统所受的阻尼力较小，振幅在逐渐减小，最后才达到平衡位置;把ζ>1的情况称为过阻尼，如果阻尼再增大，系统需要较长的时间才能达到平衡;把ζ=1的情况称为临界阻尼，即阻尼的大小刚好使系统作非"周期"运动。
共振现象及其应用
一 共振的现象
显然，和尚的朋友深通物理知识，他不仅知道这是一种共振现象， 而且知道如何消除这种现象.他巧妙地在磬上锉了几下，这就改变了磬的 固有频率，使磬与钟的频率不再一样，也就引 不起共鸣了.
共振现象及其应用
一 共振的现象
荡秋千 秋千是个摆，有它的固有频率.轻推一下使秋千微微摆动起来以后， 只要按它的固有频率周期性地施加推力，每当它往前摆时轻轻推它一下， 尽管每次的推力都很小，经过一段时间，秋千也会荡得很高，即发生了共 振.
共振现象及其应用
三 共振的危害
1906年的一天，一队俄国骑兵齐步通过彼得堡封塔克河上的爱纪毕 特桥，突然大桥断裂.原来是士兵们整步走的频率与桥的频率一致，引 起了桥的共振.
共振现象及其应用
三 共振的危害
自从揭示了毁桥的原因后，各国军队规定，过桥时不用整齐的步 伐走，而用不整齐的碎步走，以避免共振的发生.
共振现象及其应用
三 共振的危害 机器损坏
机器在工作时由于零部件的运动 (如活塞轴的转动),也会产生周期性 的策动力，使机器 因共振而受到损坏.
共振现象及其应用
三 共振的危害
为了避免共振，设计时要注意机器的转速，使机器的 固有频率不与策动 力的频率接近.
共振现象及其应用
三 共振的危害
在厂房、桥梁等建筑物的设计 时，也要考虑到共振的因素而尽量 设法避免共振.
磬无故而鸣，使和尚大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯 ，一听到磬发出声音，就坐卧不安，心惊肉跳，以为是妖孽作怪 ，结果忧虑成疾，病倒在床.
共振现象及其应用
一 共振的现象
一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧虑.正在说话 时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声.
阻尼振动与受迫振动教案
三、共振的危害与应用
1、共振的危害与防止
例1、（图片说明）１８世纪中叶，法国昂热市附近一座长102m的桥，因一队骑兵在桥上经过。他们在指挥官的口令下迈着整齐的步伐过桥，引起桥梁共振，桥梁突然断裂，造成２２６名官兵和行人丧生。此后，各国都规定大队人马过桥，要便步通过。
例3、（图片说明）微波炉：微波炉加热食品时,炉内有很强的交变电磁场,它使得食物分子中的带电微粒做受迫振动.由于分子间的相互作用,振动的能量最终成为食物分子热运动的动能,提高了食物的温度。
四、思考
对于一个振动系统，如果其位移做的是一个无阻尼简谐振动，则其速度的运动也是简谐振动。
在受迫振动中，位移也在做一个类似于简谐振动的周期性振动
3、知道共振的应用和防止的实例。
教学重点
1、什么是阻尼振动以及阻尼振动的特点。
2、什么是受迫振动，什么是共振及共振产生的条件。
教学难点
1、简谐振动、阻尼振动及受迫振动的区别。
2、共振发生的条件。
教学方法
1、多媒体课件与黑板板书相结合。
2、图片举例，了解共振的应用和防止；
3、实际演示，了解阻尼振动的特点及共振现象。
振动方程
振动特点
特征量
无阻尼简谐振动
等幅振动
机械能守恒
初始条件
系统自身性质
阻尼振动
减幅振动
能量不断衰减
初始条件
阻尼因子
系统自身性质
受迫振动
等幅振动，
需要外界不断补充能量
与策动力的幅值、
频率及阻尼因子有关
1、在张紧的水平绳上挂7个单摆，先让D摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、D、G三摆的摆长相同，则下列判断正确的是
稳定受迫振动系统位移和速度共振的幅值计算与能量转换_王长荣
Vol. 18 No. 1 Feb. 2000
王长荣
( 湖北民族学院 电气工程与应用物理系, 湖北 恩施 445000)
摘要: 通过对稳定受迫振动系统位移和速度共振振幅 的定量分 析与计算, 并利 用功能关 系, 得到了 各
种情况下受迫振动的振幅均小于位移共振振幅以及受迫振动的振幅虽与强迫力频率有关但却 稳定的结论.
别为 t0 和 t, 则有
WF =
Qx xLeabharlann Hcosptdx=Q
t t
-
HApcosptsin( pt+
U) dt
0
0
= - pAH( - co2spUcos2pt + si2nUt+ s4inpUsin2pt)
t
;
t0
( 13)
Wf = Qxx0- CTdx= Qtt0- CP2A2sin2( pt+ U) dt
1 2
AH(
cosU-
P2 sinU)
( 21)
Wf1= -
1 4
CPA2
P
( 22)
由( 16) 式 A =
( X20-
h p2) 2+
4B2p2=
m2
mh ( X20- p2) 2+ C2p2
即有:
H= ACP[ 1+
m2(
X20- p2) C2P2
2
]
1 2
.
( 23)
将( 23) 式代入( 21) , 得到:
( 7)
( 5) ( 6) ( 7) 三式表明, 在系统本身性质 ( m, k) 不变及环境状态 B一定的情况下, 受迫振动的初相 U及振
幅 A 均与强迫力的频率 p 直接相关.
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分析位移共振和速度共振的条件
高中物理教材关于发生共振条件的论述，现行教材和以前的教材相比说法有所变化。
以前的教材讲：“当策动力（现行教材改为驱动力）的频率等于物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
”，意思是说驱动力的频率等于物体的固有频率是发生共振的条件。
现行教材改为“当驱动力的频率接近物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅增大，这种现象称为共振。
”究竟怎样才算接近固有频率呢？看高中物理教材共振曲线（见图1），如图2中由12f f →或由43f f →所示的情况也算是接近固有频率吗？如果算，此时却未发生共振，又当如何理解？
再看各种复习参考资料，相关的习题都沿用“驱动力的频率等于固有频率时发生共振”的说法，似乎“驱动力的频率等于物体的固有频率是发生共振的条件”更为可信。
然而，根据又是什么呢？
要弄清这个问题，还要从受迫振动说起。
为了与高中物理教材吻合，我们只讨论在弱阻尼振动系统上加周期性外力发生的受迫振动。
以弹簧振子为例，质点受三种力：弹性力-kx ，阻尼力dx
dt
γ-，驱动力F ，设其按余弦（或正弦）规律变化且初相为零，则有
0cos F F t ω=
由牛顿第二定律，有
202cos d x dx m kx F t dt dt
γω=--+ 令
2000,2,F k f m m m
γ
ωβ=
== 得
20022cos d x dx x f t dt dt
βωω++= 1.1
A f f ′ O 受迫振动的振幅
图2 f 1 f 2 f 3 f 4 A f f ′
O 受迫
振
动的
振
幅
图1
这就是受迫振动的方程，为二阶常系数非齐次微分方程。
根据微分方程理论，上式的解为
0cos(')cos()t x Ae t A t βωαωϕ-=+++
1.2
A 和α是由初始条件决定的积分常数。
（1.2）式为两项之和，表明质点运动包含两个分运动，第一项为阻尼振动，随时间的推移而趋于消失，它反映受迫振动的暂态行为，与驱动力无关。
第二项表示与驱动力频率相同且振幅为A 0的周期性振动。
开始时，受迫振动的振幅较小，经过一定时间后，阻尼振动消失。
质点进行由（1.2）式第二项决定的与驱动力同频率的振动，称为受迫振动的稳定振动状态，可表示如下：
0cos()x A t ωϕ=+
（1.3）
稳定振动状态表面上像简谐运动，其实不然。
ω并非固有频率，而是驱动力的频率；振幅A 0和初相ϕ也并非决定于初始条件，而是依赖于振动系统本身的性质，阻尼的大小和驱动力的特征，将（1.3）式代入（1.1）式，得
20020
00(cos cos sin sin )2(sin cos cos sin )(cos cos sin sin )cos A t t A t t A t t f t
ωωϕωϕβωϕωϕωωϕωϕω---++-=
由等式性质，有
2
20000
22
00
0()cos 2sin ()sin 2cos 0
A A f A A ωωϕβωϕωωϕβωϕ--=-+=
可解出
022
2
2
()4f A ωωβω
=
-+ （1.4）
当驱动力频率取某值时，振幅获得最大值（振动系统做受迫振动时，其振幅大最大值的现象叫做位移共振——即高中物理教材中所说的共振）。
由上式，并用微分法关于极大值的判据，可求出共振时驱动力的圆频率为
2202r ωωβ=-
这一频率称为位移共振频率。
显然，位移共振频率一般不等于振动系统的固有频率。
物体做受迫振动达到稳定状态时，其速度做周期性变化，由（1.3）式可得
0sin()2
x dx v A t dt πωωϕ=
=++ 由此可知速度幅（即速度的最大值）
00v A ω=
由（1.4）式可知，由于A 0随驱动力的频率变化而变化，驱动力频率ω达到某一数值时可使振动的速度幅取最大值，这种现象称为速度共振。
将（1.4）式代入00v A ω=，并应用极值的微分判据可得速度共振的条件为
0ωω=
即驱动力的圆频率等于振动系统的固有圆频率。
综上所述，速度共振和位移共振的条件是不同的。
位移共振：当驱动力的角频率ω等于某个适当数值(称共振角频率)时，振幅出现极大值、振动很剧烈的现象，此时能量转化效率最高。
速度共振：当驱动力的角频率正好等于系统的固有角频率时，速度幅A ω达极大值的现象。
当阻尼无限小时，位移共振的圆频率2
2
02r ωωβ=-，无限接近于固有圆频率（此时振幅将趋于无穷大，产生极激烈的位移共振），与速度共振的条件相同，我们不必再区分两种共振。
再看高中物理教学过程中的共振实验和练习，都是在弱阻尼情况下发生的共振（即阻尼因数β→0，这一点从大量发行的教辅材料中就可发现）。
因此，为便于教学，亦便于学生理解，建议还是把共振条件表述为“驱动力的频率等于振动系统的固有频率”更为合适，不然学生在解题时将无所适从。
高中物理表述的共振条件，主要是针对位移共振而言，至于位移共振和速度共振的区分以及进一步学习和研究，留待升入大学解决更为合适。