态和算符的表象表示
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量子力学课件：4.1 态的表象
量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
同样
x 在自身表象即坐标表象中对应
有确定值 x’本征函数是
δ(x'-x)。
这可由本征 值方程看出：
所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量
p为变量的δ- 函数。
换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ函数。
x ( x x) x ( x x)
所以
x ( x) ( x x)
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
(x, t) an(t)un( x)
n
若Ψ, un都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
证：
1 *( x, t)( x.t)dx
动量表象 C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/] C(p)=δ(p'-p)
量子力学中几种表象及其之间的关系
量子力学中几种表象及其之间的关系摘要体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。
态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。
微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。
常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。
关键词态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。
ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是式中 是动量的本征函数，dxx t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ⎰=⎰=ψψψ/2/1)2(1)(ipx p ex -=πψ称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。
由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。
将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成dx t x dx t x w 2),(),(ψ=dpt p c dp t p w 2),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp pp p p/''')()()(),(),(-**⎰=ψ⎰=ψψψ/')'(t iEp e p p --=δ)()(),(x u t a t x n nn ∑=ψ上式两边乘 ，再对x 变化整个空间积分 即其物理意义是，体系处在ψ(x,t)所描述的状态时，力学量Q 具有确定值Qn 的几率为可以用一组数代替ψ(x,t)描写该状态。
周世勋《量子力学教程》(第2版)-态和力学量的表象笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
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变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
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第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
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变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
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第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
第四章-表象—态和力学量的表达方式
c1 (t ) c2 (t ) Ψ (t ) = M cn (t ) M 来自行矢量()
归一化条件
Ψ (t )Ψ (t ) = ∑ cn (t ) = 1
+ 2 n
* * Φ + (t ) = b1* (t ) b2 (t ) L bn (t ) L
+ * n *
∞ r r Ψ (r , t ) = ∑ c n (t )ψ n (r ) n= 0
编号有时是从零开始的， 注： 编号有时是从零开始的，例如谐振子情况 r 连续谱情况
r 有时需要重新编号， 有时需要重新编号，例如氢原子情况 Ψ (r , t ) = ∑ cnlm (t )ψ nlm (r )
n
∑ c (t )
n n
2
r 2 = ∫ Ψ (r , t ) dV
r Ψ (r , t )描述状态 ⇔ {cn (t ), n = 1,2, L}描述状态
* * * Ψ + (t ) = c1 (t ) c2 (t ) L cn (t ) L
状态可由矢量描述——态矢量 态矢量 状态可由矢量描述 列矢量
矩阵元
厄米共扼——转置+共扼(F 转置+ 厄米共扼 转置
+
)
nm
* = Fmn
r ˆ r r ˆ r * ˆ 是厄米算符时 F = φ * (r )Fφ (r )dV = φ (r ) Fφ (r ) dV = F * F nm m n mn ∫ n ∫ m
(
)
(F )
+
nm
= Fnm , 即，F + = F
描述状态 前面——波函数 波函数 前面 ——算符 算符 描述力学量 r r ˆ F (r ,− ih∇ )Ψ (r , t ) 这种描述方式(坐标表象 坐标表象)不是描述态和力学量的唯一方式 这种描述方式 坐标表象 不是描述态和力学量的唯一方式 态和力学量的具体表达(描述) 态和力学量的具体表达(描述) 方式称为表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象——表象理论 坐标表象出发讨论其它表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象 表象理论 第1节 态的表象
归一化条件
Ψ (t )Ψ (t ) = ∑ cn (t ) = 1
+ 2 n
* * Φ + (t ) = b1* (t ) b2 (t ) L bn (t ) L
+ * n *
∞ r r Ψ (r , t ) = ∑ c n (t )ψ n (r ) n= 0
编号有时是从零开始的， 注： 编号有时是从零开始的，例如谐振子情况 r 连续谱情况
r 有时需要重新编号， 有时需要重新编号，例如氢原子情况 Ψ (r , t ) = ∑ cnlm (t )ψ nlm (r )
n
∑ c (t )
n n
2
r 2 = ∫ Ψ (r , t ) dV
r Ψ (r , t )描述状态 ⇔ {cn (t ), n = 1,2, L}描述状态
* * * Ψ + (t ) = c1 (t ) c2 (t ) L cn (t ) L
状态可由矢量描述——态矢量 态矢量 状态可由矢量描述 列矢量
矩阵元
厄米共扼——转置+共扼(F 转置+ 厄米共扼 转置
+
)
nm
* = Fmn
r ˆ r r ˆ r * ˆ 是厄米算符时 F = φ * (r )Fφ (r )dV = φ (r ) Fφ (r ) dV = F * F nm m n mn ∫ n ∫ m
(
)
(F )
+
nm
= Fnm , 即，F + = F
描述状态 前面——波函数 波函数 前面 ——算符 算符 描述力学量 r r ˆ F (r ,− ih∇ )Ψ (r , t ) 这种描述方式(坐标表象 坐标表象)不是描述态和力学量的唯一方式 这种描述方式 坐标表象 不是描述态和力学量的唯一方式 态和力学量的具体表达(描述) 态和力学量的具体表达(描述) 方式称为表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象——表象理论 坐标表象出发讨论其它表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象 表象理论 第1节 态的表象
态、算符与表象
态、算符与表象简单的讲，对于量子力学，我们关心的物质世界，为了方便量化，可以简单的称之为“系统”。
也就是说需要了解和改变的对象，是系统。
那么如何描述一个系统呢，在这里，就引入了“态”的概念。
系统的态，从字面上，就是系统所处的状态。
严格上说，“态”就是包含了对于一个系统，我们所有“有可能”了解的信息的总和。
在这个抽象定义的基础上，为了描绘“态”，引入了“态函数”，用一个函数来代表一个态，到这里就可以将问题数学化和具体化了。
对于系统的这个态，也就是对于物质的状态，我们可以做那些呢？无非就是了解（也就是测量），和干涉（也就是改变）。
量子力学里面，了解的过程和干涉的过程其实是同步而不能分割的，这也从某种意义上提供了方便---为了描绘我们如何对系统的态进行了解，或进行改变，我们只需引入一种数学形式就可以了。
这种数学形式，就被称作“算符”。
也就是说算符是测量/改变的数学形式。
那么这种数学形式就一定是作用在同样是数学形式的态函数上。
对于不同的系统，和不同的系统所可能具备的不同状态，我们就引入不同的态函数来描绘。
同理，对于不同类型的改变，干涉，测量，我们就引入不同类型的算符。
所以，当一个操作（测量，改变）被施加在一个系统上，数学上一个算符就作用在了一个态函数上。
毫无疑问，我们希望从这种操作中了解我们究竟如何改变了系统，或者我们希望从测量里得到希望的系统参数。
这时，我们可以观察数学化以后的算符作用在态函数上得到了什么-----得到的是一个新的态函数-----这个新的态函数自然也就代表了我们改变之后的那个系统。
特别的，对于所有“测量”类操作，我们能够得到来自系统的反馈。
力学的算符表示和表象
(3)
（二）再论(归一化的) r , t 和 C r , t 的物理意义
2 2
与波函数相联系的粒子，一般既不具有精确的位置，有不具有精确的动量。一般 地，对于 ψ 表示的单个粒子系统，要对该粒子的动力学变量中的这个或者那个做测量 时，我们不能对测量结果做确定的预言，但是对于 N 个大量数目、彼此独立的等价系统 （每个系统都由同一波函数 ψ 描述） ，如果我们对它们中的每一个做位置测量，则 给
i 3
e
dp
-2-
drdr * r , t r , t i 3 r r dr * r , t i dr r , t 3 r r dr * r , t i r , t
(15) (16) (17)
ˆ y r , t dr p y * r , t p ˆ z r , t dr pz * r , t p
不难证明，对于正整数 n，有
ˆ x n r , t dr px n * r , t p
(1)
等均代表对 的运算。概括起来讲，设某种运算将函数 变为函数 u，记作
ˆ u Fv
ˆ 称作算符。若算符 F ˆ 满足 则表示这种运算的符号 F
(2)
ˆ c v c v c F ˆ ˆ F 1 1 2 2 1 v1 c2 Fv2
(3)
ˆ 为线性算符。动量算符， 其中 v1 和 v2 是任意函数， c1 和 c2 是常数（一般为复数） ，则称 F
2
C p, t
1
2
2
3
2
r , t e
量子力学 态和力学量的表象
果在 x x dx 范围内的几率。 在 x, t 所描写的态中测量粒子动量所得结 | c p, t |2 dp ： 果在 p p dp 范围内的几率。 可以看出：当 x, t 已知，就可完全确定 c p, t 。 反之， 当 c p, t 已知，就可完全确定 x, t 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
力学的算符表示和表象
(18)
对于 p y ， p z 也有同样的等式。如果 G px 是 p x 的解析函数，且可展成 p x 的幂级数 G p x Cn p x n (19)
n
则有
n ˆx G px G px Cn * r , t p r , t dr n
(1)
等均代表对 的运算。概括起来讲，设某种运算将函数 变为函数 u，记作
ˆ u Fv
ˆ 称作算符。若算符 F ˆ 满足 则表示这种运算的符号 F
(2)
ˆ c v c v c F ˆ ˆ F 1 1 2 2 1 v1 c2 Fv2
(3)
ˆ 为线性算符。动量算符， 其中 v1 和 v2 是任意函数， c1 和 c2 是常数（一般为复数） ，则称 F
(3)
（二）再论(归一化的) r , t 和 C r , t 的物理意义
2 2
与波函数相联系的粒子，一般既不具有精确的位置，有不具有精确的动量。一般 地，对于 ψ 表示的单个粒子系统，要对该粒子的动力学变量中的这个或者那个做测量 时，我们不能对测量结果做确定的预言，但是对于 N 个大量数目、彼此独立的等价系统 （每个系统都由同一波函数 ψ 描述） ，如果我们对它们中的每一个做位置测量，则 给
（一）统计平均值的意义
如果通过一系列的实验测定系统的一个状态参量 ξ，得到相应的值为 A1,A2……AS，在 总的试验次数 N 中，得到这些值的次数分别是 N1,N2,……NS，则 ξ 的（算数）平均值为
AN
i 1 s i
s
i
N
i 1
Ai
i 1
s
Ni N
(1)
i
当总的试验次数 N 时，量 ξ 的平均值的极限便是ξ的统计平均值
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( x, t ) F ( x, i ) ( x, t ) x
（4.2.21）
我们来看这个方程在 Q 表象中的表达式。先设Q 只有分离的本 征值 ，对应的本征函数是1 ( x), 2 ( x), n ( x), 将 ( x, t ) 和 ( x, t ) 分别按 n ( x )展开：
Fqq ( x) F ( x, i )q ( x)dx x
* q
（4.2.34）
4.2 态和算符的表象表示
例如，在坐标表象中 F 的矩阵元为
Fxx ( x x" ) F ( x, i = F ( x, i ) ( x x" )dx x
x 的本征方程是
（4.2.4）
本征函数是 ( x x) 。量子态 ( x) 总可按 x 的本征函数系 展开，得 （4.2.5） ( x) ( x) ( x x)dx
展开系数 ( x) 就是该量子态在
x 表象的表示，即波函数。
4.2 态和算符的表象表示
（2）动量表象
Q 表象的基底；
IV. 不同表象 不同基底，不同坐标系； VI. 厄米算符的本征函数系 一组完备的基矢。
4.2 态和算符的表象表示
2. 算符的表象表示
Q1 , Q2 , , Qn 前面我们讨论了态在各种表象中的表示，下面我们讨论算 符在各种表象中的表示。
( x, t )后，得出另一波函 ) 作用于波函数 设算符 F ( x, i x 数 ( x, t ) ，在坐标表象下记为：
*
（4.2.27） （4.2.28） （4.2.29）
令
则
m
{am (t )} 和{bn (t )} 上式就是（4.2.21） 在 Q 表象中的表达式。 Fnm 是算符 F 在 分别是 ( x, t )和 ( x, t )在 Q 表象中的表示。 表象中的表示。这一组方程用矩阵形式写出为：
b1 (t ) b2 (t ) bn (t ) F11 F12 F21 F22 Fn1 Fn 2 F1m F2 m Fnm a1 (t ) a2 (t ) an (t )
* Fmn Fnm n ( x){Fm ( x)}* dx * ( x)Fn ( x)dx Fmn （4.2.32） m
4.2 态和算符的表象表示
n ( x )是算符 Q 的本征函数，则：
Qnm ( x) Q ( x, i
* n * = n ( x)Qm m ( x)dx
4.2 态和算符的表象表示
( x, t ) 在 Q 表象中的表示为
a1 (t ) a ( t ) 2 = * a1* (t ), a* (t ), 2 a (t ) n
, a* (t ) n
（4.2.13）
* 归一化条件： an (t )an (t ) 1 n
an (t ) 是在 ( x, t ) 所描述的态中，力学量 Q 具有 由此可知， 确定值 Qn 的几率。它具有和 统计解释完全相同的几 率解释。因此，我们可以用一组系数{an (t )}代替 ( x, t ) 来描 述该状态，将系数 a1 (t ), a2 (t ), , an (t ) 写一个列矩阵，则
2
C( p, t ) ( x, t ) * p ( x)dx
2
4.2 态和算符的表象表示
C ( p, t ) 是同一个状态在动量 状态在坐标表象中的波函数， 表象中的波函数。
1. 态的表象表示
（1）坐标表象
以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表
象。以一维的 x 坐标为例。算符
x ( x x) x ( x x)
p x
C ( p , t )e
dp
展开系数 C ( p, t ) 就是动量表象中的波函数。
4.2 态和算符的表象表示
动量表象也可以用动量为自变量表示
C( p) p ( x) p ( x)dx
* i
1 2
e
( p p )
dx ( p p)
（4.2.8）
所以，在动量表象中，粒子具有确定的动量 p 的波函数 是以动量 p 为变量的 函数。 （3） 任意表象 设有某一线性厄米算符 Q 。假定算符 Q 具有分离本征 值谱。它的本征方成为
若算符 Q 的本征值谱连续，则相应的表达式为
( x, t ) a (t ) ( x)d
* a (t ) ( x, t ) ( x)dx
（4.2.18）
（4.2.19） （4.2.20）
* ( x) ( x)dx ( )
波函数 பைடு நூலகம் x, t ) 在 Q 表象中用相应的连续列矩阵表示。
4.2 态和算符的表象表示
在量子力学中，态和力学量的具体表达方式称为表象。 假设体系的状态在坐标表象中用波函数 ( x, t ) 来描述，前面 已经介绍过动量的本征函数为
p ( x)
1 (2 )1 2
i
e
p x
（4.2.1） （4.2.2） （4.2.3）
且
其中
( x, t ) C( p, t ) p ( x)dp
（4.2.14）
如果力学量 Q 除具有分立本征值 Q1 , Q2 , , Qn 具有连续本征值 q对应的归一化波函数是
1 ( x), 2 ( x), n ( x), q ( x),
外还
则
( x, t ) an (t ) n ( x) aq (t ) q ( x)dq
n
4.2 态和算符的表象表示
( x, t ) am (t ) m ( x)
( x, t ) bm (t ) m ( x)
m
m
（4.2.22） （4.2.23）
将（4.2.22）和（4.2.23）代入（4.2.21） 得：
bm (t )m ( x) F ( x, i
m
n
) am (t )m ( x) x m
)m ( x)dxam (t ) x
（4.2.24）
* 上式两边左乘 ( x)再对 x 在整个区域内积分得：
bm (t ) *n ( x)m ( x)dx *n ( x)F ( x, i
m m
（4.2.25）
利用 n ( x)的正交归一性
Qn (r ) Qn n (r )
（4.2.9）
将波函数 (r , t ) 按 Q 算符得正交归一本征函数系 {n (r )} 展开 (r , t ) an (t ) n (r )
n
（4.2.10）
4.2 态和算符的表象表示
* an (t ) ( x, t )n ( x)dx 式中 设 ( x, t ) 和 n ( x) 都是归一化的，那么就有
4.2 态和算符的表象表示
从上面的讨论可知，同一个态可以在不同的表象中 用波函数来描述，所取的表象不同，波函数的形式不同， 物理意义不同。 总结上述，可以得出下列对应关系：
I.
II.
希尔伯特空间中的态矢量； 波函数 态矢量在特定基底中的分量，可以用列矩阵或函数表
量子态
示； III. 任意算符 Q 的本征函数系 V. 本征函数 基矢；
) m ( x)dx x
（4.2.33）
=Q m n,m
上式表明，算符在自身表象中是一个对角矩阵。 如果 Q 只具有连续分布的本征值 q ，上述讨论仍然 b 的脚标由可数的 m、 a、 n 换成连续变化 成立，只是 、 的 q ，所有的求和要换为对 q 的积分，算符 Q 在 Q 表象 中仍旧是一个矩阵，矩阵元为：
( x, t ) dx 是在 ( x, t ) 所描述的态 从前面的讨论知道：
中在 x x dx 范围内测量粒子位置的几率；同样 C( p, t ) dp 是在 ( x, t ) 所描述的态中在 p p dp 范围内测量粒子动 ( x, t ) 和 C ( p, t ) 描述同一个状态， ( x, t ) 是这个 量的几率。
（4.2.30）
4.2 态和算符的表象表示
所以，算符 F 在 Q 表象中是一个矩阵，它的矩阵元是 Fnm 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，现在我们 来看厄米算符在 Q 表象中的矩阵表示有什么特点。 由
* * F dx ( F ) dx
（4.2.31）
上式表明， F 矩阵的第 m列第 n 行的矩阵元等于第 n列第 m 行矩阵元的复共轭，此即厄米矩阵。所以，表示厄米算 符的矩阵是厄米矩阵。 现在要问：算符在自身表象中的矩阵表示又取什么形式？
* ( x)m ( x)dx n,m
n
（4.2.26）
4.2 态和算符的表象表示
得：
bm (t ) n ( x) F ( x, i )m ( x)dxam (t ) x m Fnm * ( x ) F ( x , i )m ( x)dx n x bn (t ) Fnm am (t )
（4.2.15）
4.2 态和算符的表象表示
式中
* aq (t ) ( x, t )q ( x)dx
（4.2.16）
q
归一化条件
2
a (t )a (t ) a (t )a (t )dq 1
* n n * q n
（4.2.17）
aq (t ) dq 表示在 ( x, t ) 中测量力学量 Q 所得结果在 q q dq 之间的几率。
（4.2.11）
( x, t )
2
dx a (t )an (t ) ( x) n ( x)dx