高中数学二轮精品 椭圆、双曲线的标准方程与几何性质(解析版)
定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：| PF1 | | PF2 | 2a ( 2a | F1F2 | ).
注意：（1）当 2a | F1F2 | 时，轨迹是线段 F1F2 .(2)当 2a | F1F2 | 时，轨迹不存在.
2.椭圆的几何性质
焦点 在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
1 AB 2 sin
2
3
3 4
AB 2 4
3 ，得 AB 4 ，即 F2 AB 是边长为 4 的等边三角形，该三角形的周长为
12 AF1 AF2 BF1 BF2 4a ，可得 a 3 ，由椭圆的对称性可知，点 A 、 B 关于 x 轴对称，则
AF2 F1
6
且
AB
x
轴，所以
AF2
例4
【2020 湖北省宜昌一中期末】已知点 P 为双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 右支上一点，点 F1, F2 分别为
双曲线的左右焦点，点 I
是 PF1F2 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 SIPF1
SIPF2
1 3
SIF1F2
成立，
则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． 1, 2
B． 1, 2
不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围； 要牢记几个最值：
①椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 上的点 M
到中心 O 的距离的范围： b
OM
a；
②椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 上的点 M
到一焦点 F
的距离的范围： a c
MF
ac.
例 2．【2020
华中师范大学一附中期中】椭圆
【二轮精品】第二篇
主题 15 椭圆、双曲线的定义、标准方程与几何性质
【主题考法】本主题考题形式为选择题或填空题，与函数、向量、正余弦定理、数列、不等式等知
识结合重点考查椭圆与双曲线的定义、标准方程、几何性质，考查运算求解能力、推理论证能力，难度为 基础题或中档题，分值 5 分.
【主题考前回扣】
1.椭圆的定义：把平面内与两定点 F1, F2 的距离之和等于常数（大于 | F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个
4
A． x2 y2 1 42
B． x2 y2 1 44
C． x2 y2 1 82
D． x2 y2 1 84
【分析】根据
Nห้องสมุดไป่ตู้
为
MF2
的中点，由中位线定理可得
ON //MF1
，且 | ON
|
1 2
|
MF1
|
， F1MF2
60
，再由双曲
线的定义结合 ON NF2 2b ，可得 a 2b ，然后设双曲线的焦距为 2c，在 △MF1F2 中由余弦定理，结
解得 e 2 12 3 1，故选 B 2
考向三 双曲线定义及其 标准方程
【解决法宝】1.涉及双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用双曲线的定义；
求解双曲线的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用
待定系数法求出方程中的 a2 , b2 的值，最后代入写出双曲线的标准方程.学#科网
，得
，
双曲线中
，即
，又
，所以
，得
，双曲线的渐近线为：
6
，所以两条渐近线的倾率为
，倾斜角分别为 ， ，故选 C.
3.【2020 广西南宁三中期末】已知 F1 ， F2 是椭圆与双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且
PF2
PF1
，椭圆的离心率为 e 1 ，双曲线的离心率为 e2 ，若
PF1
F1F2
0
，所以
AFB
90
，因为
|
AO
||
AF
| ，所以 |
AB
|
2
|
AF
|
，故
ABF
30
，
设椭圆 C 的左焦点为 F1 ，根据椭圆的性质，四边形 AF1BF 为平行四边形，且 AFB 90 ，所以四边形
AF1BF 为矩形，在直角三角形 AF1F 中， AF1F 30 ， AF1 3c ，| AF | c ，根据椭圆的定义，
1.【2020
百校联盟
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三月联考】已知椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点为 F
，点 A ， B 是椭圆
C
上关于原点
O
对称的两个点，且
|
AO
||
AF
|
，
FA
FB
0
，则椭圆
C
的离心率为（
）
A． 3 1
B． 2 3
C． 2 2
D． 2 3
【答案】A
【解析】因为
FA
FB
考向四 双曲线几何性质
【解决法宝】1.双曲线的离心率是双曲线的主要性质，是反映双曲线的开口大小的一个量，在求解有关离心
率的问题时，一般不是直接求出 a 和 c 的值，而是根据题目给出的双曲线的几何特征，建立关于参数 a, b, c
的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围；
2.双曲线的渐近线问题，要分焦点在 x 轴上上和焦点在 y 轴上分别处理，关键在找关于 a,b 的关系式.
AF1 | AF | 2a ，即
3c
c
2a
，则椭圆 C
的离心率
e
c a
3 1 ，故选 A.
2【. 2019 届北京市海淀区一模】椭圆
与双曲线
的离心率之积为 1，则双曲线 的
两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】C
【解析】椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝ ，离心率为 ，设双曲线的离心率为 e 则
标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a b
0)
焦点 焦距 范围
(±c,0 ) |F1F2|＝2c(c2＝a2－b2) |x|≤a；|y|≤b
(0，±c) |x|≤b；|y|≤a
顶点
长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b) 长轴顶点(0，±a)，短轴顶点(±b,0)
合正弦定理
△F1MF2
的面积为
1 2
|
MF1
|
|
MF2
|
sin
60
2
3 求解.
【解析】由
N
为
MF2
的中点，所以
ON //MF1
，且 | ON
|
1 2
|
MF1
|
，故 F1MF2
60
，
|
ON
|
|
NF2
|
1 2
(|
MF1
|
|
MF2
|)
a
，故
a
2b
，设双曲线的焦距为
2c，在
△MF1F2
中，
由余弦定理可得 4c2 | MF1 |2 | MF2 |2 2 | MF1 | | MF2 | cos 60 ，
曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称
离心率 渐近线
e＝c∈(1，+ )，其中 c＝
a
ybx a
a2 b2
yax b
5. 等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为 x2 y2 ( 0) ，离心率为
2 ，渐近线为 y x .
6.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为 2b2 ，是过椭圆焦点 a
1(a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
焦点 焦距 范围
(±c,0) |F1F2|＝2c(c2＝a2+b2) |x|≥a；y∈R
(0，±c) x∈R；|y|≥a
顶点
实轴顶点(±a,0)，虚轴顶点(0，±b) 实轴顶点(0，±a)，虚轴顶点(±b,0)
对称性
曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称
2
2．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中 a，b，c 三者之间的关系，导致计算错误． 3．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
【主题考向】 考向一 椭圆的定义及其标准方程
【解决法宝】1.涉及椭圆上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用椭圆的定义与正余弦定理解题； 2.求解椭圆的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用
(| MF1 | | MF2 |)2 | MF1 | | MF2 | 4a2 | MF1 | | MF2 | ，| MF1 | | MF2 | 4c2 4a 2 4b2 ，△F1MF2 的面积为
1 2
|
MF1
|
|
MF2
|
sin
60
3b2 2 3 ，b2 2,a2 4b2 8 ，双曲线的方程为 x2 y2 1 ，故选 C 82
C． 0,3
D． 1,3
【分析】设 PF1F2 的内切圆半径为 r ，由 PF1 PF2 2a, F1F2 2c ，用 PF1F2 的边长和 r 表示出等式 中的三角形面积，结合双曲线的定义得到 a 与 c 的不等式，可求出离心率取值范围. 【解析】设 PF1F2 的内切圆半径为 r ，由双曲线的定义得 PF1 PF2 2a, F1F2 2c ，
x2 a2
2021年高考数学二轮专题突破(新高考)-专题六 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线(解析版)
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线【要点提炼】考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a(0<2a<|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值． 【热点突破】【典例】1 (1)(2020·广州四校模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 216＋y 225＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 29＋y 225＝1 D.x 225＋y 216＝1 【答案】 D【解析】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，可得2a ＋2c ＝16，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，可得c a ＝35，解得a ＝5，c ＝3，则b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP|＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52D ．2 【答案】 B【解析】 方法一 由题意知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP|＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝3. 方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝21＋3＝4. 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 203＝1，x 20＋y 20＝2，解得|y 0|＝32. 所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3.易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．【拓展训练】1 (1)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x 【答案】 C【解析】 方法一 因为以MF 为直径的圆过点(0,2)，所以点M 在第一象限．由|MF|＝x M ＋p 2＝5，得x M ＝5－p 2， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2. 从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2. 因为点N 的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y 轴相切于点(0,2)，从而2＝122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2， 即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x. 方法二 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设点A(0,2)，点M(x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知，得AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，解得y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4. 由|MF|＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5. 又因为p>0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.(2)已知椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点为F ，点A(－2,2)为椭圆C 内一点，若椭圆C 上存在一点P ，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m 的取值范围是( )A ．(6＋25，25]B ．[9,25]C ．(6＋25，20]D ．[3,5]【答案】 A【解析】 椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点F 的坐标为(2,0)．设左焦点为F ′，则F ′(－2,0)．由椭圆的定义可得2m ＝|PF|＋|PF ′|，即|PF ′|＝2m －|PF|，可得|PA|－|PF ′|＝|PA|＋|PF|－2m ＝8－2m.由||PA|－|PF ′||≤|AF ′|＝2，可得－2≤8－2m ≤2，解得3≤m ≤5，所以9≤m ≤25.①又点A 在椭圆内，所以4m ＋4m －4<1(m>4)， 所以8m －16<m(m －4)(m>4)，解得m<6－25(舍)或m>6＋2 5.②由①②得6＋25<m ≤25，故选A.【要点提炼】考点二 圆锥曲线的几何性质1．求离心率通常有两种方法(1)求出a ，c ，代入公式e ＝c a. (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． 【热点突破】【典例】2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→·AF 2→＝0，AF 2→＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( )A.23B.34C.53D.74【答案】 C【解析】 ∵AF 2→＝2F 2B →，设|BF 2|＝x ，则|AF 2|＝2x ，∴|AF 1|＝2a －2x ，|BF 1|＝2a －x ，∵AF 1→·AF 2→＝0，∴AF 1⊥AF 2，在Rt △AF 1B 中，有(2a －2x)2＋(3x)2＝(2a －x)2，解得x ＝a 3，∴|AF 2|＝2a 3，|AF 1|＝4a 3， 在Rt △AF 1F 2中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＝(2c)2，整理得c 2a 2＝59，∴e ＝c a ＝53. (2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l ：y ＝x －1与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，则点M 到抛物线准线的距离为( )A.72B ．4C ．7D ．8 【答案】 B【解析】 由题意可知直线y ＝x －1过抛物线y 2＝4x 的焦点(1,0)，如图，AA ′，BB ′，MM ′都和准线垂直，并且垂足分别是A ′，B ′，M ′，由图象可知|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)， 根据抛物线的定义可知|AA ′|＋|BB ′|＝|AB|，∴|MM ′|＝12|AB|，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝6，∴|AB|＝x 1＋x 2＋2＝8，∴|MM ′|＝4.二级结论 抛物线的有关性质：已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则(1)|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为直线l 的倾斜角)． (2)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)1|AF|＋1|BF|＝2p. 【拓展训练】2 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C 的准线与双曲线Γ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则Γ的离心率e 等于( ) A.32 B.233 C.217 D.213 【答案】 D【解析】 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， 联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 2，y ＝±b a x ，解得y ＝±pb 2a ，可得|AB|＝pb a ， 由△ABF 为等边三角形，可得p ＝32·pb a ， 即有b a ＝23， 则e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝1＋43＝213.(2)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M(x 0,22)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p 2截得的弦长为3|MA|，若|MA||AF|＝2，则|AF|等于( ) A.32B ．1C ．2D ．3 【答案】 B【解析】 如图所示，由题意知，|MF|＝x 0＋p 2.∵圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p 2截得的弦长为3|MA|， ∴|MA|＝2|DM|＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 2. ∵|MA||AF|＝2，∴|MF|＝32|MA|， ∴x 0＝p.又∵点M(x 0,22)在抛物线上，∴2p 2＝8，又∵p>0，∴p ＝2.∴|MA|＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 2＝2，∴|AF|＝1. 【要点提炼】考点三 直线与圆锥曲线的位置关系解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的式子，进而求解即可．【热点突破】【典例】3 (2020·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m<5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【解析】解 (1)由题设可得25－m 25＝154，得m 2＝2516， 所以C 的方程为x 225＋y 22516＝1. (2)设P(x P ，y P )，Q(6，y Q )，根据对称性可设y Q >0，由题意知y P >0.由已知可得B(5,0)，直线BP 的方程为y ＝－1y Q(x －5)， 所以|BP|＝y P 1＋y 2Q ，|BQ|＝1＋y 2Q .因为|BP|＝|BQ|，所以y P ＝1.将y P ＝1代入C 的方程，解得x P ＝3或－3.由直线BP 的方程得y Q ＝2或8，所以点P ，Q 的坐标分别为P 1(3,1)，Q 1(6,2)；P 2(－3,1)，Q 2(6,8)．所以|P 1Q 1|＝10，直线P 1Q 1的方程为y ＝13x ， 点A(－5,0)到直线P 1Q 1的距离为102， 故△AP 1Q 1的面积为12×102×10＝52； |P 2Q 2|＝130，直线P 2Q 2的方程为y ＝79x ＋103， 点A 到直线P 2Q 2的距离为13026， 故△AP 2Q 2的面积为12×13026×130＝52. 综上，△APQ 的面积为52. 规律方法 解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)注意使用圆锥曲线的定义．(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．【拓展训练】3 (1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B|，|AB|＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【答案】 B【解析】 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，连接F 1A ，令|F 2B|＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m.由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A|＝a ＝|F 1A|，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝c a ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13，因为cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y22＝1.(2)设F 为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F 交抛物线于A ，B 两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB 的斜率为( ) A.12 B ．1 C. 2 D.3 【答案】 D【解析】 假设A 在第一象限，如图，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D ，E ， 过A 作EB 的垂线，垂足为C ，则四边形ADEC 为矩形， 由抛物线定义可知|AD|＝|AF|， |BE|＝|BF|， 又∵|FA|＝3|FB|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B 为CE 的三等分点， 设|BF|＝m ，则|BC|＝2m ，|AF|＝3m ，|AB|＝4m ， 即|AC|＝|AB|2－|BC|2＝16m 2－4m 2＝23m ，则tan ∠ABC ＝|AC||BC|＝23m2m ＝3，即直线AB 的斜率k ＝ 3.专题训练一、单项选择题1．(2020·福州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±23x ，则此双曲线的离心率为( ) A.134B.132 C.133D.134【答案】 C【解析】 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±23x ，所以b a ＝23，所以双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝133.2．(2020·全国Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px(p>0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 【答案】 C【解析】 设A(x ，y)，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12.又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N)，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )A.x 212＋y28＝1 B.x 212＋y24＝1 C.x 23＋y22＝1 D.x 23＋y 2＝1 【答案】 C【解析】 由△AF 1B 的周长为43， 可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M ()－3，0，N(3，0)． 设点A(x 0，y 0)(x 0≠±3)， 由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 203，②由①②解得b 2＝2. 所以C 的方程为x 23＋y22＝1.4．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 【答案】 A【解析】 如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c24，①将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的公共弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ|＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2.由|PQ|＝|OF|，得2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0， 即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝ 2.5．(2020·潍坊模拟)已知点P 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，直线PF 1与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若|PF 1|＝4|HF 1|，则该双曲线的离心率为( )A.153 B.213 C.53 D.73【答案】 C【解析】 如图，取PF 1的中点M ，连接MF 2.由条件可知|HF 1|＝14|PF 1|＝12|MF 1|，∵O 是F 1F 2的中点， ∴OH ∥MF 2，又∵OH ⊥PF 1，∴MF 2⊥PF 1， ∴|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c.根据双曲线的定义可知|PF 1|＝2a ＋2c ， ∴|HF 1|＝a ＋c2，直线PF 1的方程是y ＝ab (x ＋c)，即ax －by ＋ac ＝0，原点到直线PF 1的距离|OH|＝|ac|a 2＋b2＝a ，∴在△OHF 1中，a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝c 2，整理为3c 2－2ac －5a 2＝0，即3e 2－2e －5＝0， 解得e ＝53或e ＝－1(舍)．二、多项选择题6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n>0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n>0，则C 是两条直线 【答案】 ACD【解析】 对于A ，当m>n>0时，有1n >1m >0，方程化为x 21m ＋y21n ＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确．对于B ，当m ＝n>0时，方程化为x 2＋y 2＝1n，表示半径为1n的圆，故B 错误． 对于C ，当m>0，n<0时，方程化为x 21m －y2－1n ＝1，表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a ＝1m，b ＝－1n，渐近线方程为y ＝±－m n x ；当m<0，n>0时，方程化为y 21n －x2－1m ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线，其中a ＝1n，b ＝－1m，渐近线方程为y ＝±－mnx ，故C 正确． 对于D ，当m ＝0，n>0时，方程化为y ＝±1n，表示两条平行于x 轴的直线，故D 正确． 7．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为 3 C ．曲线y ＝ex －2－1经过C 的一个焦点D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点 【答案】 AC【解析】 因为渐近线方程为y ＝±33x ，所以可设双曲线方程为x 29－y23＝λ，代入点(3，2)，得λ＝13，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；该双曲线的离心率为233，选项B 不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y ＝ex －2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C 正确；把x＝2y ＋1代入双曲线方程，得y 2－22y ＋2＝0，解得y ＝2，故直线x －2y －1＝0与曲线C 只有一个公共点，选项D 不正确．8．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是( ) A ．p ＝4 B.DF →＝FA →C ．|BD|＝2|BF|D ．|BF|＝4【答案】 ABC【解析】 如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF.抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF|＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF 为等边三角形，∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确；∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C 正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D 错误．三、填空题9．(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________． 【答案】 (3，15)【解析】 不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M|＝2c ＝8，所以|F 2M|＝2a －8＝4.设M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M|2＝x ＋42＋y 2＝64，x>0，y>0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．10．(2020·全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________． 【答案】 2【解析】 如图，A(a,0)．由BF ⊥x 轴且AB 的斜率为3，知点B 在第一象限，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 则k AB ＝b 2a－0c －a ＝3，即b 2＝3ac －3a 2.又∵c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝c 2－a 2， ∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴e 2－3e ＋2＝0.解得e ＝2或e ＝1(舍去)．故e ＝2.11．设双曲线mx 2＋ny 2＝1的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________． 【答案】3【解析】 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴mx 2＋ny 2＝1的一个焦点为(0,2)， ∴焦点在y 轴上， ∴a 2＝1n ，b 2＝－1m，c ＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a 2＋b 2＝1n －1m ，又离心率为2，即41n ＝4，解得n ＝1，m ＝－13，∴此双曲线的方程为y 2－x23＝1，则双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为 d ＝|23|1＋3＝ 3.12.如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p24，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，D ，B ，C 四点，则AB →·CD →的值为________．【答案】 p24【解析】 易知AB →·CD →＝|AB|·|CD|，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝p 2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，|AB →|＝|CD →|＝p 2，所以AB →·CD →＝p 2·p 2＝p24；当直线l 的斜率存在时，设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x 1＋p 2－p 2＝x 1，同理|CD|＝x 2，设l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，可得k 2x 2－(pk 2＋2p)x ＋k 2p 24＝0，则AB →·CD →＝|AB|·|CD|＝x 1·x 2＝p 24.综上，AB →·CD →＝p24.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|＝43|AB|.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF|＝5，求C 1与C 2的标准方程． 【解析】解 (1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ， 其中c ＝a 2－b 2. 不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b2a ；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB|＝2b 2a ，|CD|＝4c. 由|CD|＝43|AB|得4c ＝8b 23a ， 即3×c a ＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2， 解得c a ＝－2(舍去)，c a ＝12. 所以C 1的离心率为12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1. 设M(x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c2＝1，y 20＝4cx 0， 故x 204c 2＋4x 03c＝1.① 由于C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF|＝x 0＋c ，而|MF|＝5，故x 0＝5－c ，代入①得5－c 24c2＋45－c 3c ＝1， 即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)，c ＝3.所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1， C 2的标准方程为y 2＝12x.14．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E 上，且到原点的距离为2 3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF 交抛物线于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．【解析】(1)解 由题意可得⎩⎨⎧ m 2＝4p ，4＋m 2＝23，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x. (2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨取A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)， 联立⎩⎨⎧ y ＝22x －1，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 所以直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，易知直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 因为点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r ，所以以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．。
高三数学知识点椭圆双曲线
高三数学知识点椭圆双曲线高三数学知识点：椭圆与双曲线椭圆与双曲线是高中数学中重要的几何概念之一，它们在代数几何中有着广泛的应用。
本文将重点介绍椭圆和双曲线的基本定义和性质，并讨论它们的图像、方程和几何意义。
一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距。
椭圆还有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
椭圆的标准方程为：(x-a)²/b² + (y-c)²/d² = 1，其中(a, c)为椭圆的中心坐标，b和d分别为短轴和长轴长度。
根据椭圆的方程，我们可以确定椭圆的图像和位置。
椭圆还有其他一些重要的性质，如离心率和焦半径等。
离心率是一个表示椭圆形状的重要指标，它的值介于0和1之间。
当离心率接近0时，椭圆形状趋近于圆形；当离心率接近1时，椭圆形状趋近于长条形。
二、双曲线的定义和性质双曲线是平面上满足一点到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。
这两个给定点称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离称为双曲线的焦距。
双曲线还有一个重要的性质，即双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的常数项。
双曲线的标准方程有两种形式：(x-a)²/b² - (y-c)²/d² = 1 和 (y-c)²/d² - (x-a)²/b² = 1，其中(a, c)是双曲线的中心坐标，b和d分别为短轴和长轴长度。
根据双曲线的方程，我们可以确定双曲线的图像和位置。
双曲线也有离心率和焦半径等重要性质。
与椭圆不同的是，双曲线的离心率大于1，表明双曲线的形状更加扁平。
双曲线还有两条渐近线，它们与双曲线的曲线趋势完全相同。
三、椭圆和双曲线的几何意义椭圆和双曲线有着重要的几何意义和应用。
在椭圆和双曲线的研究中，我们可以探索许多有趣的性质和结论。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结
高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结在高中数学中，椭圆与双曲线是解析几何部分的重要内容，它们具有独特的性质和广泛的应用。
下面让我们一起来详细了解一下这两个重要的数学概念。
一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点轨迹。
1、椭圆的标准方程当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\），＼（c\）为半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
2、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：对于\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
（3）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），离心率反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
3、椭圆的焦半径设椭圆上一点\（P(x_0, y_0)＼），焦点为\（F_1\）、＼（F_2\），则\（｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0\），＼（｜PF_2| ＝ a ex_0\）。
4、椭圆的切线方程若点\（P(x_0, y_0)＼）在椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）上，则过点\（P\）的切线方程为\（＼frac{x_0x}｛a^2} ＋＼frac{y_0y}｛b^2} ＝ 1\）。
椭圆 双曲线(解析版)
第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线班级：________________姓名：________________一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线2214y x -=的实轴长为A ．3B ．4C ．5D ．2【答案】B【解析】由双曲线方程可知24,2,24a a a =∴=∴=，所以实轴长为4．故选B ．2．若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且1||3PF =，则2||PF =A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B【解析】由双曲线定义得12||||||26PF PF a -==，即2|3|||6PF -=，解得2||9PF =，故选B ． 3．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则它的标准方程是A ．2211818y x -＝B ．2211818x y -＝C ．22188y x -＝D ．22188x y -＝【答案】B【解析】设等轴双曲线方程为22221x y a a -=(a ＞0)，则2226a a +=，所以218a =，故所求双曲线的标准方程为2211818x y -=．故选B ．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为A ．y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =±【答案】D【解析】由题可得3c e a ==，则222229c a b a a+==，所以228b a =所以双曲线C 的渐近线方程为by x a=±=±，故选D ．5．以直线y =为渐近线的双曲线的离心率为A ．2BC ．2D 【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为y =，则b a =ab=b =或a =，则22224c a b a =+=或222243c a b a =+=，则双曲线的离心率e 为2，故选C ． 6．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是A ．B ．(1,2)C ．D ．)+∞【答案】C【解析】过点F 且倾斜角为45°的直线的斜率为1，一条渐近线方程为by x a=，由题意可得1b a <，即2221c a a-<，结合c e a =及1e >，解得1e <<C ． 7．设双曲线2219y x -=的左，右焦点分别为12,F F ，直线1x =与双曲线的其中一条渐近线交于点P ，则12PF F △的面积是A ． BC ．D 【答案】A【解析】渐近线3y x =与直线1x =的交点坐标为(1,3)，双曲线的焦点12(F F ，则12PF F △的面积为132⨯=A ． 8．已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之2C 的渐近线方程为A ．0x =B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】C【解析】由题意得1c =，2c =121224c c e e a a a =⨯==，整理得12b a =，所以2C 的渐近线方程为b y x a =±，即12y x =±，即20x y ±=．故选C ．9．已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，且212||b F F a=，I 为12PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为A ．12+B ．1C 1D 1【答案】C【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12||||2PF PF a -=，12||2F F c =，111||2IPF S PF r =⋅△，221||2IPF S PF r =⋅△，12122IF F S c r cr =⋅⋅=△． 由题意得：1211||||22PF r PF r cr λ⋅=⋅+，∴12||||2PF PF a c c λ-==，又212||2b F F c a==，∴222c a ac-=，∴1a c λ==，故选C ． 10．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为ABCD 【答案】D【解析】不妨设焦点在x 轴上，方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则设焦点F (c ，0)，虚轴顶点B (0，b )，所以直线FB 的方程为0bx cy bc +-=， 因为直线与渐近线y =b x a 垂直，所以有·1b bc a-=-，即b 2=ac ，所以22c a ac -=，即210e e --=，解得e =12或e =12．因为1e >，所以e =12．故选D ． 11．设双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左、右焦点分别为12,,F F 若在双曲线C 的右支上存在点P ，使得12PF F △的内切圆半径为a ，圆心记为M ，记12PF F △的重心为G ，满足12MG F F ∥，则双曲线C 的离心率为A BC ．2D 【答案】C【解析】设(,),(,),(,)M M G G P P M x y G x y P x y ，则由12MG F F ∥，即//MG x 轴得：G M y y a ==，33p G y y a ==，所以12121123(2)22PF F S c a PF PF c a =⋅⋅=⋅++⋅△，又122PF PF a -=，所以122,2PF c a PF c a =+=-，由2222212()()p P p PF x c y PF c x -+==--，得：2p x a =，因此(2,3)P a a ，代入椭圆方程得：222222491312-=⇒=⇒=+=a a b b a e a b a．故选C ． 12．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则121e e 的最大值是A ．233B ．433C ．2D ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义，可得1212PF PF a +=，1222PF PF a -=，所以112PF a a =+，212PF a a =-，设122F F c =，因为123F PF π∠=，所以在12F PF △中根据余弦定理可得222121212(())42()c a a a a a a =++--+12()cos 3a a π-，即2221234a a c +=，即2212134e e +=，所以22121213234e e e e +=≥，即121233e e ≤，所以121e e 的最大值为233，故选A ．13．D 【解析】试题分析：由焦点在y 轴上椭圆的标准方程可知，202,kk>>，可得01k <<. 考点：椭圆的标准方程. 14．B 【解析】试题分析：由||1AM =u u u u r可知点M 的轨迹为以点A 为圆心，1为半径的圆，过点P 作该圆的切线PM ，则|PA|2=|PM|2+|AM|2，得|PM|2=|PA|2-1，∴要使得||PM u u u u r的值最小，则要PA u u u r 的值最小，而PA u u u r 的最小值为a-c=2，此时||PM u u u u r B ．考点：椭圆的定义． 15．D 【解析】试题分析：由题意直线10y kx --=kx y =-⇒1恒过定点)1,0(，只要)1,0(在椭圆内或椭圆上即可，故5111505022≠≥⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≠>m m k m m 且，选D 考点：点在椭圆上（内）的充要条件 16．C 【解析】试题分析：设x=2cos α，y=sin α，则弦≤考点：（1）椭圆；（2）三角函数. 14．B 【解析】试题分析：由题意，F （1，0），设点P （00,x y ），则有220012x y +=，解得220012x y =-，因为PF u u u r ＝(1−0x ，−0y )，OP uuu r ＝(0x ，0y )，所以OP FP ⋅u u u r u u u r此二次函数对应的抛物线的对称轴为0x =1，因为022x -≤≤，所以当x 0=1时，则OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为12-．故答案为：B ． 考点：1.椭圆的简单性质；2.平面向量数量积的运算． 18．A【解析】由题意得.31)35(1)(),0,3(22222=--=--≥-=c a MF PF PM F 所以.3min =PM考点：圆的切线长，椭圆定义 19．A 【解析】试题分析：设B A ,分别为圆(x+3)2+y2=4和(x-3)2+y2=1的圆心,也为椭圆的左右焦点，则11R PA PM R PA +≤≤-,22R PB PN R PB +≤≤-,所以33++≤+≤-+PB PA PN PM PB PA ,因为102==+a PB PA ,所以137≤+≤PN PM . 考点：椭圆定义 20．C【解析】由题意可得，2k －1>2－k >0，即21220k k k >⎧⎨>⎩－－，－，解得1<k <2，故选C.21．D【解析】设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a 2-b 2=c 2,由题意,·2c ·b=1, ∴bc=1,b 2+c 2=a 2≥2bc=2. ∴a ≥.∴长轴的最小值为2.22．B【解析】(筛选法)直线y=kx+1恒过点(0,1),该点恰巧是椭圆+y 2=1的上顶点,椭圆的长轴长为4,短轴长为2,而直线不经过椭圆的长轴和短轴,因此排除A,C;而将直线y=kx+1绕点(0,1)旋转,与椭圆有无数条弦,其中必有最大弦长,因此排除D.故选B. 23．C【解析】设直线l 的方程为y=x+t,代入+y 2=1,消去y,得x 2+2tx+t 2-1=0,由题意得Δ=(2t)2-5(t 2-1)>0,即t 2<5, 弦长|AB|=·≤.24．C【解析】直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆+=1上或其内部即可.从而m ≥1,又因为椭圆+=1中m ≠5,所以m 的取值范围是[1,5)∪(5, +∞).【误区警示】本题易误选D,根本原因是误认为椭圆的焦点在x 轴上,得1≤m<5,而忽视其焦点可能在y 轴上.35．D【解析】【思路点拨】数形结合利用几何法求解.易知当P,Q分别在椭圆短轴端点时,四边形PF1QF2的面积最大,此时F1(-,0),F2(,0),不妨设P(0,1),∴=(-,-1),=(,-1),∴·=-2.。
椭圆和双曲线的性质
椭圆和双曲线的性质椭圆和双曲线是数学中常见的曲线形状，它们具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆和双曲线的定义、方程、焦点、直径、离心率等基本概念，并探讨它们的性质和应用。
一、椭圆的性质椭圆是平面上一点到两个固定点的距离之和等于常数的轨迹。
这两个固定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆的方程一般形式为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的中心位于原点(0,0)处。
椭圆的性质有以下几点：1. 椭圆是对称图形，关于x轴和y轴都具有对称性。
2. 椭圆的长轴和短轴分别是直径，且长轴和短轴的长度之比等于椭圆的离心率。
3. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
4. 椭圆的离心率小于1，且越接近于1，椭圆越扁平。
椭圆的应用广泛，例如在天文学中，行星的轨道可以近似看作椭圆；在工程中，椭圆的形状常用于设计汽车、船舶等物体的外形。
二、双曲线的性质双曲线是平面上一点到两个固定点的距离之差等于常数的轨迹。
这两个固定点称为双曲线的焦点，常数称为双曲线的离心率。
双曲线的方程一般形式为：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴的长度。
双曲线的中心位于原点(0,0)处。
双曲线的性质有以下几点：1. 双曲线是对称图形，关于x轴和y轴都具有对称性。
2. 双曲线的长轴和短轴分别是直径，且长轴和短轴的长度之比等于双曲线的离心率。
3. 双曲线的焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的长轴长度。
4. 双曲线的离心率大于1，且越接近于1，双曲线越扁平。
双曲线的应用也非常广泛，例如在物理学中，双曲线常用于描述光的折射和反射现象；在经济学中，双曲线常用于描述供需关系和市场变化。
总结：椭圆和双曲线是两种常见的曲线形状，它们具有一些共同的性质，如对称性和焦点到曲线上任意一点的距离关系。
同时，它们也有一些不同的特点，如离心率的大小和形状的扁平程度。
二轮复习专题六微重点16椭圆双曲线的二级结论的应用课件(59张)
2.(2022·保定模拟)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分
别为 F1，F2，直线 l：y＝kx(k≠0)与 C 交于 M，N 两点，且四边形 MF1NF2
的面积为 8a2.若点 M 关于点 F2 的对称点为 M′，且|M′N|＝|MN|，则
C 的离心率是
C 的方程为__x_32_－__y4_2＝__1____.
如图，令|F2B|＝t， 则|AF2|＝2t， ∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t， 又|A1F2|＋|B1F2|＝2ba2 ，
∴21t＋1t ＝2ba2，即23t＝2ba2，
又|F1B|－|F2B|＝2a， ∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，
∴直线 AP1，AP2，…，AP10 这 10 条直线的斜率乘积为－125＝－312.
规律方法 周角定理的推广：A，B 两点为椭圆(双曲线)上关于原点对 称的两点，P 为椭圆(双曲线)上异于 A，B 的任一点，则椭 圆中 kPA·kPB＝－ba22，双曲线中 kPA·kPB＝ba22.
跟踪演练3 设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，上、下顶 点分别为 A，B，直线 AF2 与该椭圆交于 A，M 两点，若∠F1AF2＝90°，
tan 4 ∴c2－a2＝4a2，即 c2＝5a2，即 e＝ac＝ 5.
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3.椭圆 C：x92＋y42＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 作直线交椭圆于
A，B 两点，且-A-F→2＝2-F-2→B，则△AF1B 的外接圆面积为
5π A. 2
B.4π
C.9π
√D.254π
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高三数学二轮复习-专题五第二讲-椭圆、双曲线、抛物线课件
抛物线的方程及几何性质
(5分)(2011·山东)设M(x0，y0)为抛物线C: x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为 圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交， 则y0的取值范围是
A．(0,2)
B．[0,2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
【标准解答】 ∵x2＝8y, ∴焦点F的坐标为 (0,2), 准线方程为y＝－2.
∴c2＝a2－b2＝8.∴e＝ac＝2 4 2＝
2 2.
答案 D
4．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该
抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的 距离为
3 A.4
B．1
5
7
C.4
D.4
解析 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3，∴xA＋xB＝52.
解析 由于直线AB的斜率为－ba，故OP的斜率为－ba，
直线OP的方程为y＝－bax.
与椭圆方程ax22＋by22＝1联立，解得x＝±
2 2 a.
因为PF1⊥x轴，所以x＝－ 22a，
从而－ 22a＝－c，即a＝ 2c. 又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5， 故 2c＋c＝ 10＋ 5，解得c＝ 5， 从而a＝ 10.所以所求的椭圆方程为1x02 ＋y52＝1. 答案 1x02 ＋y52＝1
又双曲线的离心率e＝ a2a＋b2＝ a7，所以 a7＝247， 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3， 故双曲线的方程为x42－y32＝1.
答案 x42－y32＝1
圆锥曲线是高考考查的重点，一般会涉及到 圆锥曲线的定义、离心率、圆锥曲线的几何 性质及直线与圆锥曲线的位置关系等. 在命题 中体现知识与能力的综合，一般地，选择题、 填空题的难度属中档偏下，解答题综合性较 强，能力要求较高，故在复习的过程中，注 重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线的综 合问题的强化训练，尤其是对推理、运算能 力的训练.
专题12 椭圆、双曲线、抛物线方程及其几何性质(基础篇)(解析版)
实轴的长 2a ，虚轴的长 2b
关于 x 轴 、 y 轴对称，关于原点中心对称
F1 c, 0 、 F2 c,0
F1 0, c 、 F2 0,c
3
焦距
F1F2 2c (c2 a2 b2 )
离心率
e c a
c2 a2
a2 b2 a2
1
b2 a2
6．【2018 年理新课标 I 卷】已知双曲线 C：
，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C
的两条渐近线的交点分别为 M、N.若 OMN 为直角三角形，则|MN|=
A.
B. 3 C.
D. 4
【答案】B
9
7．【2018 年理数全国卷 II】已知 ， 是椭圆
的左，右焦点， 是 的左顶点，
（4）关于抛物线焦点弦的几个结论：
设 AB 为过抛物线 y 2 2 p x ( p 0 ) 焦点的弦， A(x1, y1) 、B(x2, y2 ) ，直线 AB 的倾斜角为 ，则
⑴
x1x2
p2 4
,
y1 y2
p2; ⑵
AB
2p sin2
;⑶
以 AB
为直径的圆与准线相切；⑷
焦点 F
x2 b2
1a b
0
到两定点 F1 、F2 的距离之和等于常数 2 a ，即 | MF1 | | MF2 | 2a （ 2a | F1F2 | ）
a x a 且 b y b
b x b 且 a y a
1 a,0, 2 a,0, 1 0, b, 2 0,b 1 0, a, 2 0, a, 1 b,0, 2 b,0
开口
高中数学知识点椭圆双曲线抛物线
高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （23．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于BA ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2（3①求双曲线12222=-by a x的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-by ax ，因式分解得到0x y a b±=。
②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ；（4）等轴双曲线为222t y x =-，其离心率为2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是=||PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。