2020-2021学年高三数学(文科)高三教学质量检测一及答案解析

高三教学质量监测（一）数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数21z i=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合{0,1,2}P =，2{|320}Q x x x =-+≤，则P Q =I （ ）A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2} 3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532S =，则3a =（ ）A ．325 B ．2 C ．42 D ．5324．已知函数()12log 030xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，，则((4))f f 的值为（ ） A ．91- B ．9- C ．91D ．95．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（ ） A ．三棱台 B ．三棱柱 C ．四棱柱 D ．四棱锥 6．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+= 7.执行如图所示的程序框图，如果输入1a =-，2b =-，则输出的a 的值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 8．从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120,130），[130，140）,[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第7题图 第8题图 9．若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（ ）10．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，其外接球表面积为1S ，内切球表面积为2S ，则12:S S 的值为（ ） A ．3B ．33C ．9D ．49411. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若3AF FB =u u u r u u u r，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A ．3B ．83C ．43D ．23 12．已知偶函数)(x f (0)x ≠的导函数为)(x f '，且满足(1)0f =，当0x >时，()2()xf x f x '<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(1,0)(1,)-+∞UD ．(1,0)(0,1)-U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二. 填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13．设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若z x y =-，则z 的最大值为；14．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AC BE ⋅u u u r u u u r=；15．函数()2ln f x x x =-的单调递增区间是；16．的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF . 若||6AF =，||8BF =， 三. 解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知函数2()2cos2xf x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的最大值，并写出取得最大值时相应的x 的取值集合； （Ⅱ）若1tan 22α=，求()f α的值.18.（本小题满分12分）如图所示，三棱锥D ABC -中，AC ,BC ,CD 两两垂直，1AC CD ==,，点O 为AB 中点.（Ⅰ）若过点O 的平面α与平面ACD 平行，分别与 棱DB ,CB 相交于,M N ，在图中画出该截面多边 形，并说明点,M N 的位置（不要求证明）； （Ⅱ）求点C 到平面ABD 的距离.19.（本小题满分12分）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一（Ⅰ）求22⨯列联表中的数据x，y ，A ，B 的值； （Ⅱ）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？ （Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？20.（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且126F F ||=，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若△12AF F 的周长为16，求椭圆的标准方程； ，且A ,B ,1F ,2F 四点共圆，求椭圆离心率e 的值； （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设00(,)P x y 为椭圆上一点，且直线PA 的斜率1(2,1)k ∈--，试求直线PB 的斜率2k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）O（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a ，b 的值； （Ⅱ）若1x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值；（Ⅲ）若20a -≤<，对任意12,(0,2]x x ∈，求m 的最小值．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (Ⅰ)证明：//AB CD ；(Ⅱ)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (Ⅰ)求曲线2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知命题“a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---”是真命题，记t 的最大值为m ， 命题“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，其中(0,)2πγ∈.(Ⅰ)求m 的值； (Ⅱ)求n 的取值范围.N数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、解答题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题（每题给出一种解法仅供参考）1.A2.D3.A4.C5.B6.D7.B8.B9.B 10.C 11. C 12.D 1．A 试题分析：211z i i==+-，在复平面内复数z 对应点的坐标为(1,1)，在第一象限. 考点：复数的概念，复数的运算，复数的几何意义.2．D 试题分析：因为2{|320}Q x x x =-+≤{|12}x x =≤≤，{0,1,2}P =，所以{1,2}P Q =I ． 考点：集合的概念，集合的表示方法，集合的运算，一元二次不等式的解法．3．A 试题分析：根据等差数列的性质，535S a =，所以533255S a ==. 考点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，等差数列的性质.4．C 试题分析：因为()12log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，即()1(4)(2)9f f f =-=. 考点：分段函数求值，指数运算，对数运算.5．B 试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如右图所示．这是一个三棱柱. 考点：三视图，棱柱、棱锥、棱台的概念.6．D 试题分析：由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，3y x =+，即30x y -+=，故选D.考点：圆的标准方程，两条互相垂直直线斜率之间的关系，直线的方程. 7．B 试题分析：当1a =-，2b =-时，(1)(2)26a=-⨯-=<；当2a =，2b =-时，2(2)46a =⨯-=-<；当4a =-，2b =-时，(4)(2)86a =-⨯-=>，此时输出8a =，故选B.考点： 程序框图的应用.8．B 试题分析：依题意可得10(0.0050.010.020.035)1a ⨯++++=，解得0.03a =，故身高在[120,130），[130,140],[140,150]三组内的学生比例为3:2:1.所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3.考点： 统计的知识，分层抽样的方法，识别图表的能力.9. B 试题分析：由函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象可知，3,a = 所以3xy -=，33()y x x =-=-及3log ()y x =-均为减函数，只有3y x =是增函数，选B.考点：幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.10．C 试题分析：如图所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ，由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．在Rt △BEO 中，222BO BE EO =+，即2223()3R a r =+， 又63R r a +=，可得3R r =，2212::9S S R r ==，故选C. (或由等体积法设内切球半径为r ，外接球半径为R ，正四面体的侧面积为S ，易有11()433S R r Sr +=⋅，有3R r =) 考点：正四面体的定义，正四面体与球的位置关系，球的表面积.11. C 试题分析：（解法一）如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，||2||AB AE =，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB 的倾斜角为60o ，直线AB 的方程为3(1)y x =-， 联立直线AB 与抛物线的方程可得：23(1)y 4y x x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解之得：(3,23)A ，123(,)33B -， 所以2212316(3)(23)333AB =-++=，而原点到直线AB 的距离为3d =，所以14323AOB S AB d ∆=⨯⨯=，故应选C ． 当直线AB 的倾斜角为120o时，同理可求. （解法二）如图所示，设||BF m =， 则||||3AD AF m ==，3||2mAG =又||||2||2AD AG OF -==，故43m =，又83||||3CD BE ==，所以143||23AOB S OF CD ∆=⨯⨯=，故应选C ． 考点： 抛物线的简单几何性质； . 12．D 试题分析：根据题意，设函数2()()f x g x x =，当0x >时，3'()2()'()0f x x f x g x x ⋅-⋅=<，说明函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 为偶函数，所以()g x 为偶函数，又(1)0f =，所以(1)0g =，故()g x 在(1,0)(0,1)-U 的函数值大于零，即()f x 在(1,0)(0,1)-U 的函数值大于零.考点：函数的单调性，函数的奇偶性，构造函数解决问题，利用导数研究函数的性质. 二.填空题（每题给出一种解法仅供参考）13.3 14.2 15．1[,)2+∞（写成1(,)2+∞也给分） 16.5e =13.3 试题分析：不等式组所表示的平面区域如图：目标函数（虚线）在点(3,0)B 处取得最大值3max =z .考点：线性规划.14．2 试题分析： (解法一) 1()()()()2AC BE AB AD BC CE AB AD AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22142 2.2AD AB =-=-=(解法二)以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系，(2,2)AC =u u u r ,(1,2)BE =-u u u r，2AC BE ⋅=u u u r u u u r .15．1[,)2+∞（写成1(,)2+∞也给分）试题分析：函数()2ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，'1()20f x x=-≥，所以函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为1[,)2+∞.16.5e =试题分析：6AF =，8BF =，3cos 5BAF ∠=，由余弦定理可求得10AB =，90BFA ∠=︒，将A ，B 两点分别与双曲线另一焦点连接，可以得到矩形，结合矩形性质可知，210c =，利用双曲线定义，2862a =-=，所以离心率5e =.考点：双曲线的定义，双曲线的离心率，余弦定理. 三.解答题 17.（Ⅰ）()1cos 3sin f x x x =++2cos()13x π=-+, …………3分所以cos()13x π-=，即23x k ππ-=，23x k ππ=+()k ∈Z 时，函数()f x 的最大值为3， …………5分 此时相应的x 的取值集合为{|2,k Z}3x x k ππ=+∈. …………6分（或()2sin()16f x x π=++相应给分）（Ⅱ）22222cos 23sin cos 222()2cos 23sin cos 222cos sin 22x x xx x x f x x x +=+=+. ………10分2223tan 21tan 2xx+=+ …………11分8+435=. …………12分 考点：同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换，二倍角公式，辅助角公式，三角函数的性质. 18．（Ⅰ）当M 为棱DB 中点，N 为棱BC 中点时，平面a ∥平面ACD .…………6分（Ⅱ）因为CD AC ⊥，CD BC ⊥，所以直线CD ⊥平面ABC ， …………8分2222112AD AC CD =+=+=,22312BD BC CD =+=+=.又2213 2.AB AC BC =+=+=所以AB BD =，……………………………………9分设点E 是AD 的中点，连接BE ，则BE AD ⊥,又C ABD D ABC V V --=，而11122ABC S AC BC ∆=⋅=⨯=， 设点C 到平面ABD 的距离为h ，则有1133ABD ABC S h S CD ∆∆⋅=⋅， ……10分1h =⨯，∴h =C 到平面ABD. ……12分 考点：空间垂直关系的转化与证明，点到面的距离，线面平行，面面平行问题.19．（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物”为事件A ，由已知得302()100y P A +==，所以10y=，40B =，40x =，60A =． ………5分看出疫苗影响到发病率． …………10分11分10000005016.6710.8285020603==≈>⨯⨯．所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.…………12分考点：独立性检验的应用，统计，概率，根据统计数据做出相应评价． 20．（Ⅰ）由题意得3c =， …………1分 根据2216a c +=，得5a =．…………2分 结合222a b c =+，解得2225,16a b ==.…………3分…………4分O（Ⅱ）(解法一)设1122(,),(,)A x y B x y…………6分由AB 、EF 互相平分且共圆，易知，22AF BF ⊥，因为211(3,)F A x y =-u u u u r，222(3,)F B x y =-u u u u r ，即 128x x =-，所以有结合229b a +=．解得212a =，所以离心率 ………8分 （若设1111(,),(,)A x y B x y --相应给分）(解法二)设）（11,y x A ，又AB 、EF 互相平分且共圆，所以AB 、EF 是圆的直径，所以92121=+y x ，又由椭圆及直线方程综合可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+1429221221112121b y a x x y y x 前两个方程解出1,82121==y x ，…………6分将其带入第三个方程并结合92222-=-=a c a b ，解得：122=a ，23=e . …8分…………9分 由题可设1111(,),(,)A x y B x y --，…………10分 又22012201222201013(1)3(1)112124x x y y x x x x ----==--- ,由121k -<<-…………12分 考点：1. 21．（Ⅰ）∵21()ln 2f x x a x b =-+，∴'()af x x x=-， …………2分 ∵曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=， ∴13a -=，(1)0f =,∴2a =-，102b +=，∴2a =-，12b =-. ……4分 （Ⅱ）∵1x =是函数()f x 的极值点，∴'(1)10f a =-=，∴1a =； …………6分 当1a =，定义域为(0,)+∞，当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减，当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，所以，1a =. …………8分 （Ⅲ）因为20a -≤<，02x <≤ ， 所以'()0af x x x=->，故函数()f x 在(0,2]上单调递增， 不妨设1202x x <≤≤，则10分等价于30x ax m --≤在(0,2]上恒成立，即3m x ax ≥-在(0,2]上恒成立，又20a -≤<，所以2ax x ≥-，所以332x ax x x -≤+， 而函数32y x x =+在(0,2]上是增函数，所以3212x x +≤（当且仅当2a =-，2x =时等号成立）.所以12m ≥．即m 的最小值为12.…………12分考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值，恒成立问题，及参数取值范围等内容．22．（Ⅰ）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, ……………3分 同理，NTB TCD ∠=∠,所以，TCD TAB ∠=∠, 所以，//AB CD . ……………5分 （Ⅱ）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ，所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠， 又由（Ⅰ）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠. ……………8分在MTD ∆中,由正弦定理知,sin sin MD TDDTM TMD =∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠,因TMC TMD π∠=-∠, 所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BD TC AC =, 所以MD BD MC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅.23．（Ⅰ）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,…3分 又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分 x联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , …8分即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交， 由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），…………………7分 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，…………………8分 则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分 此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.24．（Ⅰ）因为“a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---”是真命题， 所以a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---恒成立， 又c b a >>，所以)11()(cb b ac a t -+-⋅-≤恒成立，所以，min )]11()[(c b b a c a t -+-⋅-≤.…………………………3分又因为)11()()11()(cb b ac b b a c b b a c a -+-⋅-+-=-+-⋅-42≥--+--+=cb b a b ac b ，“=”成立当且仅当b a c b -=-时.因此，4≤t ，于是4=m . ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤（(0,)2πγ∈），因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ，即4πγ=时. ……8分即，22222=--+n n ，由绝对值的意义可知，22≥n .…………10分。