一次函数与三角形面积

一次函数相关的面积问题思路：画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。

规则图形（公式法）不规则图形（切割法）不含参数问题含参数问题（用参数表示点坐标，转化成线段）注意：坐标的正负、线段的非负性。

求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。

1、求直线y = -2x +4，y = 2x -4 及y 轴围成的三角形的面积。

2、已知正比例函数y = 2x与一次函数y = x +2相交于点P，则在x上是否存在一点A，使S△POA=4?若存在，求出点有坐标；若不存在，请说明理由。

3、如下图，一次函数的图像交正比例函数的图像于M 点，交x 轴于点N（-6，0），已知点M 在第二象限，其横坐标为-4，若S△NOM=15，求正比例函数的解 析式。

过点 A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ．（1）求点 D 的坐标；（2）求直线l 2的解析表达式；（3）求△ADC 的面积；（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直．接．写出点P 的坐标． 图 11 5、如图，直线 L 的解析表达式为 y = -1 x +2，且与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ， 在 y 轴上有一点 C （0，4），动点 M 从 A 点以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向 左移动。

直线 l 经1）求A、B 两点的坐标；2）△COM 的面积 S 与 M 的移动时间 t 之间的函数关系式；3）当何值时△COM≌△AOB，并求出此时 M 点的坐标。

一次函数（动态问题）举一反三：如图（十二），直线l的解析式为y = -x + 4，它与x轴、y轴分别相交于A、B 两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒（0 t≤ 4 ）．1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2 ，①当2t≤4时，试探究S2与t之间的函数关系式；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB面积的5？216图十二答案】解（1）当x=0时，y = 4 ；当y = 0时，x = 4 ．A（4，0），B（0，4）；2）Q MN∥AB，O O M N =O O B A =1，OM =ON =t，S1= 12OM·ON = 12t2；3）①当2 t≤ 4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）,x= t，F点的坐标满足即F（t，4 - t），同理E（4-t，t），则y=-t+4，PF =PE= t-（4-t）=2t-4，所以S2 = S△MPN -S△PEF = S△OMN -S△PEF=1t2-1PE·PF = 1t2-1（2t-4）（2t-4）=-3t2+8t-8；2 2 2 2 2②当0t≤2时，S = t2，t2= 44= ，解得t=- 50，t= 5 2，2 2 2 16 2 2 1235 7 两个都不合题意，舍去；当2 t≤4时，S =-3t2+8t-8= 5，解得t =3，t =7，75综上得，当t = 7或t =3时，S2为△OAB的面积的5．32 16模仿操练：如图，直线y = -x + 4与两坐标轴分别相交于 A.B 点，点M是线段AB上任意一点（A.B 两点除外），过M 分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0 a4），正方形OCMD 与△AOB重叠部分的面积为S．试求S 与a的函数关系式并画出该函数的图象．6、在ABC中，C = Rt, AC = 4cm, BC =5cm,点D在BC上，且以CD＝3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点 C 移动；点Q 以 1.25cm/s 的速度沿BC 向终点 C 移动。

过点P 作PE∥BC 交AD 于点E，连结EQ。

设动点运动时间为x 秒。

（1）用含x 的代数式表示AE、DE的长度；（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设EDQ的面积为y（cm2），求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；3）当x为何值时，EDQ为直角三角形。

7、如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4 3），点B在x正半轴上，且∠ABO = 30o．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．（1）求直线AB的解析式；（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0 ≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．8、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图 1 所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF 沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC= x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．（1）如图2，求当x= 1时，y的值是多少？2（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；（3）求y与x之间的函数关系式；9、（重庆课改卷）如图1 所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图2 所示）.将纸片AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A,D1,D2,B始终在同一直线上），当点D1于点B 重合时，停止平移.在平移过程中，C1D1与BC2交于点E, AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.（1）当AC1D1平移到如图 3 所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；（2）设平移距离D2D1为x ，AC1D1与BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值；使得重叠部分的面积等于原ABC面积的1？若不存在，请说明理由.4图310、已知：如图，△ABC 是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P 到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P 的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?（2）设四边形APQC 的面积为y（cm2），求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC 的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；三角形面积与函数解析式的几种题型一、利用面积求解析式1、直线y = 2x+b与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b = __________ .（分类讨论）2、已知直线 y=x+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB交于点C，把,△AOB的面积分为2：l两部分，求直线l 名的解析式．3、如图,已知直线 PA：y = x+n(n0)与x轴交于 A,与y轴交于 Q,另一条直线y = -2 x + m(m n)与x轴交于 B,与直线 PA 交于 P 求: (1)A,B,Q,P 四点的坐标(用m 或n表示)(2)若AB=2,且S 四边形PQOB= 5,求两个函数的解析式.64、已知直线y = -x+2与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线y =kx+b (k0)经过点C(1,0)，且把AOB分成两部分(1)若AOB被分成的两部分面积相等，则k和b的值(2)若AOB被分成的两部分面积比为1：5，则k和b的值35、已知一次函数y = - 3x + 3的图象与y轴、x轴分别交于点A、B，直线y = kx + b经过OA上的三分之一点D，且交x轴的负半轴于点C，如果S AOB = S DOC，求直线y = kx + b的解析式．二、利用解析式求面积1、直线y =kx+b过点A（－1，5）和点B（m,-5）且平行于直线y =-x，O为坐标原点，求AOB的面积.2、如图，所示，一次函数y =kx+b的图像经过A，B两点，与x轴交于C3 求：（1）一次函数的解析式；（2）AOC的面积3、已知:直线y =2x-4与直线y= x + 3,它们的交点C的坐标是____________ ,设两直线与x轴分别交于 A,B, 则S Δ ABC=___ ,设两直线与y轴交于 P,Q, 则S Δ PCQ=____ .4、一次函数y1= k1x - 4与正比例函数y2= k2x的图象都经过(2,-1),则这两个函数的图象与x轴围成的三角形面积是__________ .5、已知，直线 y=2x+3 与直线 y=-2x-1. (1)求两直线交点 C的坐标;(2)求△ABC 的面积.(3)在直线 BC 上能否找到点 P,使得S△APC=6，若能，请求出点 P 的坐标，若不能请说明理由。

4 4 4 4 4 6、如图，直线 y＝-4x+4 与 y 轴交于点 A，与直线 y＝4x+4交于点 B，且直线 y＝4x+43 5 5 5 5 与 x 轴交于点 C ，求△ ABC 的面积。

7、已知直线y = kx + b经过点A(0，6)，且平行于直线y = -2x .1)求该函数的解析式，并画出它的图象；2)如果这条直线经过点P(m，2)，求m的值；3)若O为坐标原点，求直线OP解析式；4)求直线y = kx + b和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。

三、关于面积的函数关系1、已知点A(x，y)在第一象限内，且x+y=10，点B(4，0)，△OAB 的面积为S.(1)求S与x 的函数关系式，直接写出x 的取值范围，并画出函数的图像；(2)△OAB的面积为6时，求A 点的坐标；2、如图，直线y = kx + 6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为(-8，0)，点A 的坐标为(-6，0)。

(1)求k的值；(2)若点P( x，y )是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；27(3)探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为27，并说明理由。