上海市进才中学2018-2019学年高二上期末考试数学试题(无答案)
进才中学2018-2019学年度第一学期期末考试高二年级数学试题卷
一、填空题
1.关于y x 、的二元一次方程组的增广矩阵为 ⎝⎛01 12 ，⎪⎪⎭
⎫-53则=+y x _____. 2.已知()()，，，，2315=-=OB OA 则AB 对应的坐标是__________.
3.已知直线024=-+y ax 与直线01=++ay x 重合,则=a ______.
4.在正方体1111D C B A ABCD -中,E 是AB 中点,F 为BC 电点,则直线E A 1与F C 1的位置关系是________.
5.圆04222=+-+y x y x 的圆心到直线0543=-+y x 的距离等于_______.
6.已知复数，i
i z 22+=则z 的虚部为_______. 7.经过动直线02=+-k y kx 上的定点,方向向量为(1,1)的直线方程是______.
8.复数i 43+的平方根是_______.
9.过点M ()
06，-和双曲线2222=-y x 有相同的焦点的椭圆方程为________. 10.已知双曲线116
9:2
2=-y x C 的左、右焦点分别为，、21F F P 为双曲线C 的右支上一点,且 ，212F F PF =则21F PF △的面积等于________.
11.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是_________.
12.已知圆M:()，1122=-+y x 圆N:()，112
2=++y x 直线21l l 、分别过圆心M 、N,且1l 与圆M 相交于A 、B 两点,2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆14
92
2=+y x 上任意一点,则 PD PC PB PA ∙+∙的最小值为_________.
二、选择题
13.已知方程122
22=++m y m
x 表示焦点在x 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 A.12-＜或＞m m B.2-＞m C.21＜＜m - D.122--＜＜或＞m m
14.若点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线x y 22=的焦点,点M 在抛物线上移动时,使MA MF +取得最小值的M 的坐标为
A.()00，
B.⎪⎭
⎫ ⎝⎛121， C.()
21， D.()22， 15.将正方体表面正方形的对角线称为面对角线.若b a 、是同一正方体中两条异面的面对角线,则b a 、所成的角的所有可以取得的值构成的集合是 A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧23π，π B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧2π C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧3π D.⎭
⎬⎫⎩⎨⎧3223π，π，π 16.下列关于复数z 的四个命题中,正确的个数是
(1)若，211=++-z z 则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；
(2)若，22-2=+-z z 则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；
(3)若，1e 1+=-z R z 则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；
(4)若，32≤-z 则z 图的取值范围是[]。
，51 A.4 B.1 C.2 D.3
三、解答题
17.设，，R n m ∈关于x 的方程02=++n mx x 的两个根分别是α和.β
(1)当i +=1α时,求β与n m 、的值；
(2)当42==n m ，时,求βα+的值。
18.过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B(其中点A 在第一象限),交其准线l 于点Q,同时点F 是AC 的中点。
(1)求直线AB 的倾斜角；
(2)求线段AB 的长。
19.已知M 为圆1:22=+y x O 上的动点,过点M 作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为A 、B,连接BA 并延长至点P,使得，BA AP 2=记点P 的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C 的方程；
(2)直线m kx y l +=:1与圆O 相切,直线n kx y l +=:2与曲线C 相切,求22
n
m 的取值范围。
20.已知椭圆()，＞＞01:2222b a b y a x C =+若四点()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22122110114321，，，，，，，P P P P 中恰有三点在椭圆C 上.
(1)指出四点4321P P P P 、、、中,可能不在椭圆C 上的点,并说明理由；同时求出椭圆C 的方
程；
(2)过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,点M 的坐标为(2,0),设O 为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
21.双曲线().001:22
22＞，＞b a b
y a x =-Γ (1)已知双曲线Γ的实轴长为4,渐近线方程为，x y 3±=求双曲线Γ的标准方程；
(2)若双曲线Γ与直线01=-+y x 交于P 、Q 两点,且0=∙(O 为原点).
求证:行列式2312
b 2213a 的值为常数；
(3)可以证明:函数x
y 1=的图象是由双曲线222=-y x 的图象逆时针旋转45°得到的.用类似的方法可以得出:函数x
x y 23
33+=的图象也是双曲线.按教材对双曲线的性质的研究,请列出双曲线x
x y 23
33+=的性质(不必证明)。
上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01
上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01时间：120分；满分：100分一、填空题（本大题共12题，共36分） 1、抛物线x y =2的准线方程是__________.2、若复数z 满足i x 232-=，其中i 为虚数单位，则=z ________.3、点()0,1p 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为________.4、双曲线141222=-y x 的两条渐近线的夹角为________. 5、在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆13222=+my m x 的焦距为6，则=m _______. 6、已知复数θθcos sin 3i z +=（i 是虚数单位）且，5=z 则当θ为钝角时，=θtan ________. 7、若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是___. 8、设直线,3:,3:21x y l x y l -==点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，且2-=⋅OB OA ，其中O 为原点，则AB 的中点M 的轨迹方程为____________.9、已知椭圆()10122<<=+m y mx 上存在不同的两点B A ,关于直线1:+=x y l 对称，则m 的取值范围是________.10、双曲线2:22=-y x C 的右焦点为P F ，为其左支上任意一点，点A 的坐标为)1,1(-，则△APF 周长的最小值为________.11、椭圆134:221=+y x C ，抛物线x y C 4:22=，过抛物线2C 上一点P （异于原点O ）作不平行与x 轴的直线l ，使得直线l 与抛物线只有一个交点，且与椭圆1C 交于B A ,两点，则直线l 在x 轴上的截距的取值范围是_________.12、已知点n n B A ,在双曲线1=xy 上，且点n A 的横坐标为1+n n，点n B 的横坐标为()*1N n nn ∈+，记M 点的坐标为()1,1，()n n n y x P ,是△M B A n n 的外心，则=∞→n n x lim ________.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 1、已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-z ，则（ ）A . i z 21+-=B . 5=z C. i z --=2 D . 2-z 是纯虚数2、下列以t 为参数方程所表示的曲线中，与1=xy 所表示的曲线完全一致的是（ ）A . ⎪⎩⎪⎨⎧==-2121t y t x B . ⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 1 C . ⎩⎨⎧==t y t x sec cos D . ⎩⎨⎧==ty tx cot tan 3、设双曲线()0,012222>>=-b a b y a x ，右焦点()20,=acc F ，，方程02=--c bx ax 的两个实数根分别为21,x x ，则点()21,x x P 与圆422=+y x 的位置关系是（ ）A . 点P 在圆外B . 点P 在圆上C . 点P 在圆内D . 不确定4、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，对称轴与准线的交点为，T P 为抛物线C 上任意一点，当PTPF 取最小值时，∠=PTF （ ）A .3π B . 4π C . 5π D . 6π三、解答题（本大题共6题，共48分）1、（本题满分6分）若i z z z f 52)(-+=，i z f 36)(-=，试求z .2、（本题满分6分）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 6y x （θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 4131得到曲线C '. （1）求曲线C '的普通方程；（2）若点A 在曲线C '上，点)3,1(D ，当点A 在曲线C '上运动时，若PD AP 2=，求P 点的轨迹方程.3、（本题满分7分）我边防局接到情报，在两个海标A 、B 所在直线的一侧M 处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速排出快艇前去搜捕. 如图，已知快艇出发位置在码头P 处，线段AB 布满暗礁，已知8=PA 公里，10=PB 公里， 60=∠APB ，且BM AM >.请建立适当的直角坐标系，求使快艇沿航线M A P →→或M B P →→的路程相等的点M 的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形.4、（本题满分7分）已知关于x 的二次方程0)1()1(222=+++++i a x i a x i a 有实根，求实数a 的值及相应的实根.5、（本题满分10分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）经过点)21,26(P ，22=a c ，动点M 在直线2=x 上，O 为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个值.6、（本题满分12分）如图，点)0,3(-H ，动点P 在y 轴上，动点Q 在x 轴的非负半轴上，动点M满足0=⋅PM HP ，23-=，设动点M 的轨迹为曲线C ，过定点)0,(m D （0>m ）的直线l与曲线C 交于A 、B 两点.（1）求曲线C 的方程；（2）若点E 的坐标为)0,(m -，求证：BED AED ∠=∠；（3）是否存在实数a ，使得以AD 为直径的圆截直线a x l =':所得的弦长为定值？若存在， 求出实数a 的值；若不存在，说明理由.。
2018-2019学年上海市进才中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市进才中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A.2,21m m >-<<-B.2,1m m ><-C.2m >-D.12m -<<【答案】A【解析】∵方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m 2＞m+2＞0，解得m ＞2或﹣2＜m ＜﹣1． 故选：A ．2．若点A 的坐标为()3,2,F 是抛物线22y x =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使||||MA MF +取得最小值的M 的坐标为 （ ）A ．()0,0B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(D ．()2,2【答案】D【解析】如图所示，过M 作准线的垂线，垂足为B .MF MA MB MA +=+，当M 、B 、A 三点共线时，MB MA +最小，即M运动到'M 时，即()2,2M ，故选D点睛：本题考查的是抛物线的定义在最值问题的运用。
需要灵活运用抛物线的定义，实现抛物线上点到焦点的距离转化成抛物线上点到准线的距离，或者是抛物线上点到准线的距离转化成抛物线上点到焦点的距离，当几个点在一条直线的时候有距离的最小值。
3．将正方体表面正方形的对角线称为面对角线。
若,a b 是同一正方体中两条异面的面对角线，则,a b 所成的角的所有可以取得的值构成的集合是（ ） A.{,}32ππB.{}2πC.{}3πD.2{,,}323πππ【答案】A【解析】可分为两条异面的面对角线分别在两相交平面内、两平行平面内两种情况，然后分别利用图形以及直线平移得到异面直线,a b 的所成角. 【详解】当,a b 两条异面的面对角线在相邻平面内时，如下图所示：此时由直线平移可知：,a b 所成角为3π； 当,a b 两条异面的面对角线在平行平面内时，如下图所示：此时由直线平移可知：,a b 所成角为2π； ,a b 所成的角的可取值为：3π，2π. 故选：A. 【点睛】常规的异面直线所成角的计算：通过将对应的直线平移使其处于同一平面内，然后利用余弦定理求解角的大小.4．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ） （1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆； （2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线； （3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线； （4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5] A.4 B.1C.2D.3【答案】B【解析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断. 【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误. 故选：B. 【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线.二、填空题5．关于,x y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=________。
2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题 (答案+解析)
2018-2019学年高二上学期期末考试一、单选题1．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--= D ．224680x y x y ++-+= 2．下列说法中正确的是（ ） A ．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则” B ．命题“，”的否定“，”C ．若为假命题，则，均为假命题D ．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件 3．已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )A ．B ．C ．D ．4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“”表示除以的余数，若输入的值分别为和，则执行该程序输出的结果为( )A ．B ．C ．D ．5．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( )A ．B ．C ．D ．6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，在1AF B ∆中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ． 9．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )A ．B ．C ．D ．10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ） A ．254+ B ．9 C ．7 D ．252+点，若，则实数的值为（）A．B．C．2 D．312．已知双曲线22221x ya b-=的左、右顶点分别为,A B，P为双曲线左支上一点，ABP∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a，则双曲线的离心率为（）A．155B．154C．153D．152二、填空题13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．14．过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆C的离心率等于______．15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.三、解答题16．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；17．为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5温差（）10 11 13 12 8发芽数（颗）23 25 30 26 16经分析，这组数据具有较强的线性相关关系，因此该小组确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组数据求出线性回归方程，再用没选取的组数据进行检验.（1）若选取的是第组的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）18．在一次商贸交易会上,某商家在柜台前开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有个红球和个白球的袋中无放回地取出个球,当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.(1)求甲乙恰有一人中奖的概率;(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.19．已知圆与圆关于直线+1对称．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程.20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．21．已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题1．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--= D ．224680x y x y ++-+= 【答案】B【解析】试题分析：把原圆的方程写成标准方程为()()222310x y -++=，由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为：()()22223x y r -++=，把1,1x y ==-代入所设方程，得：()()22221213,5r r -+-+=∴=，所以所求的圆的方程为()()22235x y -++=，化简为：22-4680x y x y +++=，故选B.【考点】1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的. 2．下列说法中正确的是（ ） A ．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实B．命题“，”的否定“，”C．若为假命题，则，均为假命题D．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件【答案】A【解析】根据命题的条件、结论及逆否命题的定义判断；根据特称命题的否定是全称命题判断，根据复合命题的真值表判断；根据平行线的性质判断.【详解】否定“若，则方程有实数根”条件与结论，再将否定后的条件与结论互换可得其逆否命题为“若方程无实数根，则”，正确；命题“，”的否定“，”，不正确；若为假命题，则至少有一个是假命题，不正确；“直线：与直线：平行”的充要条件是“或”,不正确，故选A.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查逆否命题的定义、特称命题的否定、复合命题的真值表、平行线的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.3．已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据焦点坐标求得、双曲线的渐近线方程，结合，利用待定系数法进行求解即可.【详解】对应的双曲线方程为，双曲线的一个焦点是，且，则，则，则，则，即双曲线的方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，属于基础题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“”表示除以的余数，若输入的值分别为和，则执行该程序输出的结果为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输.【详解】若输入的值分别为,则,不满足条件，循环；，余数为13 ,即，不满足条件，循环；，余数为0 ,即，满足条件，输出，故选A.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 5．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据抛物线的定义可求出的横坐标，代入抛物线方程解出的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，代入抛物线方程解得，，故选A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，利用对立事件概率计算公式，结合古典概型概率公式能求出向上的点数之和小于10的概率.【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：共6个,出现向上的点数之和小于10的概率为，故选D.【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用以及对立事件概率计算公式的应用，属于中档题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.1AF B ∆中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D【解析】由椭圆的定义得12128{8AF AF BF BF +=+=两式相加得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=16，又因为在△AF 1B 中，有两边之和是10， 所以第三边的长度为：16-10=6 故选D ． 8．在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【详解】延长到点,使得,连接,则是平行四边形，可得,根据异面直线所成角的概念可知，所成的锐角即为所求的异面直线所成的角， 设三棱柱的棱长为1，则，在中，根据余弦定理可得，所以异面直线与所成角的余弦值为,故选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.9．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离 .【详解】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，点到平面的距离为，故选D.【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ） A ．254+ B ．9 C ．7 D ．252+ 【答案】B【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心1(1)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心5(4)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+;5(4)F ，关于x 轴的对称点)5(4F '-，，2241515()()PF PE PF PE EF -='-≤'=-+-+=，故4PF PE -+ 的最大值为549+= ，故选：B ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值． 11．已知抛物线的焦点为，直线与C 交于A 、B （A 在轴上方）两点，若，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．3【答案】D【解析】试题分析：由得或，即，，又，所以，，显然，即．故选D ．【考点】直线与抛物线的位置关系，向量的数乘．【名师点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． （3）直线与抛物线相交问题，如果含有参数，一般采用“设而不求”方法，但象本题则是直接把直线方程与抛物线方程联立方程组解得交点坐标，再进行相减的运算．12．已知双曲线22221x y a b-=的左、右顶点分别为,A B ， P 为双曲线左支上一点，ABP ∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为（ ）A ．155 B ．154 C ．153 D ．152【答案】C【解析】由题意知等腰ABP ∆中， ||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角．∵ABP ∆外接圆的半径为5a ， ∴225sin aa θ=， ∴5sin 5θ=， 25cos 5θ=， ∴25254253sin22,cos22155555θθ⎛⎫=⨯⨯==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭． 设点P 的坐标为(),x y ，则118cos2,sin255a ax a AP y AP θθ=+===， 故点P 的坐标为118,55a a ⎛⎫⎪⎝⎭．由点P在椭圆上得2222118551a aa b⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理得2223ba=，∴221513c bea a==+=．选C ．点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P的坐标是解题的突破口．在得到点P的坐标后根据点在椭圆上可得,a b间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．二、填空题13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．【答案】30【解析】由频率分布直方图得,分数在内的频率为：，分数在内的人数为：，故答案为.14．过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆C的离心率等于______．【答案】【解析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为,可得，结合即可求出椭圆的离心率.【详解】设，则①，②，是线段的中点，，直线的斜率是，所以，①②两式相减可得，即，，，故答案为.【点睛】本题考查椭圆的离心率，以及“点差法”的应用，属于中档题. 对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.【答案】2或【解析】设是的中点，连接，在平面内作，则，可证明平面，连接，则是与平面所成的角，设，利用平面所成的角的正弦值为，列方程求解即可.【详解】设是的中点，连接，平面，，为正三角形，，平面，在平面内作，则，平面，连接，则是与平面所成的角，设，在直角三角形中，，求得，，平面所成的角的正弦值为，,解得或，即的长为2或，故答案为2或.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及直线与平面所成的角，属于难题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.三、解答题16．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】（1）利用的判别式小于零即可得结果；（2）化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.【详解】（1）命题是真命题，则若，，的取值范．（2）若命题是真命题，设，令，，当时取最大值，，又因为“”为真命题，“”为假命题，所以一真一假.①若真假，，且，则得；②若假真，则得，且，得．综上，实数的取值范围为或.【点睛】本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查函数的定义域、值域以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.17．为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5温差（）10 11 13 12 8发芽数（颗）23 25 30 26 16经分析，这组数据具有较强的线性相关关系，因此该小组确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组数据求出线性回归方程，再用没选取的组数据进行检验.（1）若选取的是第组的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）【答案】（1）（2）可靠【解析】(1)根据所给的数据,先做出的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程；(2)根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的.【详解】（1）由题意：，,．，故回归直线方程为：．(2)当时，，当时，，所以（1）中所得的回归直线方程是可靠的. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.18．在一次商贸交易会上,某商家在柜台前开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有个红球和个白球的袋中无放回地取出个球,当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.(1)求甲乙恰有一人中奖的概率;(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.【答案】（1）（2）【解析】(1)利用古典概型概率公式分别求出甲中奖与乙中奖的概率，利用对立事件的概率公式求出甲不中奖与乙不中奖的概率，然后利用独立事件概率公式、互斥事件的概率公式求解即可；(2)设甲乙到达时间分别为9:00起第小时,则.甲乙到达时间为正方形区域,甲比乙先到则需满足，利用线性规划以及几何概型概率公式可得结果.【详解】(1)记“甲取得三个球同色”为事件A,“乙取得三个球同色”为事件B,“甲乙恰有一人中奖”为事件C.所以A与B相互独立，记两红球为1,2号,四个白球分别为3,4,5,6号,从6个球中抽取3个的所有可能情况有个基本事件.其中事件A包括个基本事件故，所以所以.(2)设甲乙到达时间分别为9:00起第x,y小时,则0≤x≤,≤y≤1.甲乙到达时间(x,y)为图中正方形区域,甲比乙先到则需满足x<y,为图中阴影部分区域.设甲比乙先到为事件B,则P(B)=1-=.【点睛】本题主要考查古典概型、“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.19．已知圆与圆关于直线+1对称．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程.【答案】（1）;（2）或.【解析】（1）将圆化为标准方程，求出其圆心和半径，并求出圆心关于直线+1对称点的坐标，从而可得结果；（2）先验证斜率不存在时，直线符合题意；斜率存在时，由可求得的夹角，可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列方程可得到直线的斜率，由点斜式可得结果.【详解】（1）圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，圆心C1（2，0），半径r1=2，设圆的标准方程为，∵圆C1与圆C2关于直线y=x+1对称，所以，解得．故圆的方程为.（2），所以易得点到直线的距离为,当的斜率不存在时，的方程为，符合要求；当的斜率存在时，设的方程为，由得,故的方程为；综上，的方程为或.【点睛】本题主要圆的方程，直线的点斜式方程的应用，属于中档题.在解题过程中需要用“点斜式”、“斜截式”设直线方程时，一定不要忘记讨论直线斜率不存在的情况，这是解析几何解题过程中容易出错的地方.20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)先证明平面FBC∥平面EAD，即证明FC∥平面EAD.(2)利用向量法求二面角A－FC－B的余弦值．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，∴AD∥BC，DE∥BF．∵AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，又AD∩DE＝D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，∴平面FBC∥平面EAD，又FC⊂平面FBC，∴FC∥平面EAD．(2)连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF为等边三角形，∵O为BD中点．所以FO⊥BD，O为AC中点，且F A＝FC，∴AC⊥FO，又AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD，∴OA、OB、OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，则BD＝2，OB＝1，OA＝OF＝，∴O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，F(0,0，)，∴＝(，0，)，＝(，1,0)，设平面BFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有∴令x＝1，则n＝(1，－，－1)，∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为＝(0,1,0)．∵二面角A－FC－B为锐二面角，设二面角的平面角为θ，∴cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，∴二面角A－FC－B的余弦值为．【点睛】（1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理计算能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）21．已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由题意可求得b=1，a =，则椭圆方程为；(2)假设直线存在，设出直线的斜截式方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意和韦达定理可得满足题意的直线存在，直线方程为.试题解析：（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a =故椭圆方程为（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心设P（,）,Q（,）因为M（0,1），F（1,0），故，故直线l的斜率于是设直线l的方程为由得由题意知△＞0，即＜3，且由题意应有，又故解得或经检验，当时，△PQM不存在，故舍去；当时，所求直线满足题意综上，存在直线l，且直线l的方程为点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
2018-2019学年上海市进才中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市进才中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A.2,21m m >-<<-B.2,1m m ><-C.2m >-D.12m -<<【答案】A【解析】∵方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m 2＞m+2＞0，解得m ＞2或﹣2＜m ＜﹣1． 故选：A ．2．若点A 的坐标为()3,2,F 是抛物线22y x =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使||||MA MF +取得最小值的M 的坐标为 （ ）A ．()0,0B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(D ．()2,2【答案】D【解析】如图所示，过M 作准线的垂线，垂足为B .MF MA MB MA +=+，当M 、B 、A 三点共线时，MB MA +最小，即M运动到'M 时，即()2,2M ，故选D点睛：本题考查的是抛物线的定义在最值问题的运用。
需要灵活运用抛物线的定义，实现抛物线上点到焦点的距离转化成抛物线上点到准线的距离，或者是抛物线上点到准线的距离转化成抛物线上点到焦点的距离，当几个点在一条直线的时候有距离的最小值。
3．将正方体表面正方形的对角线称为面对角线。
若,a b 是同一正方体中两条异面的面对角线，则,a b 所成的角的所有可以取得的值构成的集合是（ ） A.{,}32ππB.{}2πC.{}3πD.2{,,}323πππ【答案】A【解析】可分为两条异面的面对角线分别在两相交平面内、两平行平面内两种情况，然后分别利用图形以及直线平移得到异面直线,a b 的所成角. 【详解】当,a b 两条异面的面对角线在相邻平面内时，如下图所示：此时由直线平移可知：,a b 所成角为3π； 当,a b 两条异面的面对角线在平行平面内时，如下图所示：此时由直线平移可知：,a b 所成角为2π； ,a b 所成的角的可取值为：3π，2π. 故选：A. 【点睛】常规的异面直线所成角的计算：通过将对应的直线平移使其处于同一平面内，然后利用余弦定理求解角的大小.4．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ） （1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆； （2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线； （3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线； （4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5] A.4 B.1C.2D.3【答案】B【解析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断. 【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误. 故选：B. 【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线.二、填空题5．关于,x y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=________。
上海市2019年高二上学期期末数学试卷-Word版含解析
上海市2019年高二上学期期末数学试卷-Word版含解析___高二（上）期末数学试卷一、填空题（共48分，每空4分）1.抛物线C的方程为y = 3 - x^2；2.实数k的取值范围为k ≤ 1；3.参数方程为x = a cosθ，y = b sinθ；4.普通方程为(x^2/4) + (y^2/9) = 1；5.实数a的取值范围为2/3 ≤ a ≤ 3/2；6.动圆圆心的轨迹方程为(x-2)^2 + y^2 = 1；7.焦点坐标为(√(k+2),0)和(-√(k+2),0)；8.2x+3y的最大值为3√2；9.直线的方程为y = x - 1；10.实数a的取值范围为0 < a < √2；11.y = x^2/4；12.椭圆C的最小值为2；13.2个；14.充分必要条件；15.2条；16.双曲线的一部分。
二、选择题（共20分，每题5分）13.B；14.A；15.B；16.B。
三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．1）证明：l与C必有两交点。
解：将直线l代入抛物线C的方程中，得到2x^2 - kx - 1 + 2 = 0.由于k不为0，所以该方程必有两个实根，因此直线l与抛物线C必有两个交点。
2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值。
解：由于A和B在抛物线C上，所以它们的纵坐标分别为2x_A^2和2x_B^2，横坐标分别为x_A和x_B。
根据题意，有(x_A + x_B)/2 = 1，即x_A + x_B = 2.又根据直线OA和OB斜率之和为1，有(x_A +x_B)/(2x_Ax_B) = 1，即x_Ax_B = (x_A + x_B)/2 = 1.将x_A和x_B代入x_Ax_B = 1，得到x_A = √2，x_B = 1/√2.将x_A和x_B代入2x^2 - kx - 1 + 2 = 0，得到k = 2√2 - 1.18．斜率为1的动直线L与椭圆(x^2/4) + (y^2/9) = 1相交于A、B两点，过点A作椭圆的切线，交椭圆于点M，求点M的轨迹方程。
2018-2019学年上海市金山区高二(上)期末数学试卷
2018-2019 学年上海市金山区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分54 分，第 1～ 6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 .1．（ 4 分）若线性方程组的增广矩阵为 ，则其对应的线性方程组是．2．（ 4 分）已知关于 x 、 y 的方程组有唯一解，则实数 m 的取值范围是．3．（ 4 分）若直线 x ＝1 的倾斜角为 θ，则 θ＝．4．（ 4 分）若行列式 ，则 m 的值是 ．5．（ 4 分）过点（ 1， 0）且与直线 x ﹣ 2y ﹣2＝ 0 垂直的直线方程是 ．6．（ 4 分）已知 F 1、F 2 是椭圆 的两个焦点，过点 F 1 的直线与椭圆交于 A 、B 两点．则△ ABF 2 的周长为 ．7．（ 5 分）已知点 A （ 1，﹣ 1）、 B （ 3， 3）两点，点 C （ 5， a ）在直线 AB 上，则实数 a 的值为 ．8．（ 5 分）满足约束条件 的目标函数 f ＝x+y 的最小值为 ．9．（ 5 分）已知圆 C 一条直径的两个端点分别是A （﹣ 1， 2），B （ 1， 4），则圆C 的标准方程为．10．（ 5分）设抛物线 y 2＝ 8x 的焦点为 F ，P 在此抛物线上且 |PF|＝5，则点 P 的坐标为 ．11．（ 5 分）对于两条平行直线与圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切” ；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离” ；否则称为“平行相交” ，已知直线 l 1： mx+3y+m+3＝ 0，直线 l 2： x+（ m ﹣2） y+2＝ 0 与圆x 2﹣ 2x+y 2＝b 2﹣ 1（ b ＞ 0）的位置关系是“平行相交” ，则实数 b 的取值范围是．12．（ 5 分）已知实数 x 、 y 满足 x 2+（ y ﹣ 2）2＝ 1，则的取值范围是 ．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生13．（ 5 分）若直线的参数方程为（t 为参数），则直线的斜率为（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣14．（ 5 分）对任意实数θ，则方程 x 2+y 2sin θ＝4 所表示的曲线不可能是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆15．（ 5分）设 0＜ k ＜a 2，那么双曲线 与双曲线有（ ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点16．（ 5 分）设 P 为双曲线 右支上一点， F 1、 F 2 分别为双曲线的左右焦点， 若，直线 PF 2 交 y 轴于点 A ，则△ AF 1P 的内切圆半径是 （ ）A ．aB ．bC ．D ．三、解答题（本大题共有 5 题本大题满分 76 分），解答下列各题必须写出必要的步骤，17．（ 14 分）已知直线 l ：y ＝ ax+4．（ 1）若直线 l 与直线 的夹角为，求实数 a 的值；（ 2）若直线 l 被圆（ θ为参数）截得的线段长为，求实数 a 的值．18．（ 14 分）设双曲线 C ：2x 2﹣ y 2＝ 2 的右顶点为 M ．（ 1）若倾斜角为锐角的直线l 过点 M 且平行于双曲线的一条渐近线，求直线 l 的一般式方程；（ 2）设 O 为坐标原点，直线与双曲线 C 相交于 A 、B 两点，求△ OAB 的面积， 19．（ 14 分）如图，我区新城公园将在长34 米、宽 30 米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆和组成，其中 a ＞ b＞ 9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）．（ 1）求“挞圆”的方程；（ 2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为 y ＝t （ t ∈（0.15），求该网箱所占水面面积的最大值．220．（ 16 分）设抛物线 C：y＝ 4x 的焦点为 F ．（ 1）若抛物线 C 与直线 l ： y＝ kx﹣ 1 有且只有一个公共点．求实数k 的值：（ 2））若点 A、 P 满足，当点 A 在抛物线 C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；（ 3）在 x 轴上是否存在点Q，使得点 Q 关于直线 y＝ 2x 的对称点在抛物线 C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标：如果不存在．请说明理由．．21．（ 18 分）如图，设O 为坐标原点，点 F （ 1， 0）是椭圆的右焦点，Γ上任意一点到该椭圆的两个焦点的距离之和为．分别过 O、F 的两条直线AB 与 CD 相交于点E（异于 A、C 两点）．（ 1）求椭圆Γ的方程：（ 2）若分别为直线AC 与 BD 的斜率，求k AC+k BD的值：（3）若 |OE |＝|EF |求证：直线 AC 与 BD 的斜率之和为定值，并将此命题加以推广．写出更一般的结论（不用证明）．2018-2019 学年上海市金山区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 1～ 6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4 分）若线性方程组的增广矩阵为，则其对应的线性方程组是．【分析】本题可根据线性方程组对应的增广矩阵的定义得出．【解答】解：由题意，可知：增广矩阵为对应的线性方程组为：．故答案为：．【点评】本题主要考查线性方程组对应的增广矩阵的定义，本题属基础题．2．（ 4 分）已知关于x、y 的方程组有唯一解，则实数m 的取值范围是m≠ 4．【分析】把给出的方程组中的两个方程看作两条直线，化为斜截式，由斜率不等即可解得答案．【解答】解：方程组的两个方程对应两条直线，方程组的解就是两直线的交点，由 mx+4y﹣ 2＝0，得 y＝，此直线的斜率为．由 x+y﹣ 1＝ 0，得 y＝﹣ x+1，此直线的斜率为﹣1．若方程组有唯一解，则两直线的斜率不等，即，∴m≠ 4．故答案为： m≠ 4．【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，考查了数形结合的解题思想，二元一次方程组的解实质是两个方程对应的直线的交点的坐标，是基础题．3．（ 4 分）若直线 x＝1 的倾斜角为θ，则θ＝90°．【解答】解：直线 x＝ 1 与 x 垂直，所以直线 x＝ 1 的倾斜角为θ＝ 90°，故答案为： 90°．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查计算能力．4．（ 4 分）若行列式，则m的值是0.5．【分析】利用行列式展开法则直接求解．【解答】解；∵行列式，∴2﹣ 1﹣ 2m＝ 0，解得 m＝ 0.5．∴m 的值为 0.5．故答案为： 0.5．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（ 4 分）过点（ 1， 0）且与直线 x﹣ 2y﹣2＝ 0 垂直的直线方程是2x+y﹣ 2＝ 0．【分析】设与直线 x﹣ 2y﹣2＝ 0 垂直的直线方程是 2x+y+m＝ 0，把点（ 1， 0）代入解出即可得出．【解答】解：设与直线 x﹣2y﹣ 2＝ 0 垂直的直线方程是 2x+y+m＝ 0，把点（ 1， 0）代入可得： 2+0+ m＝ 0，解得 m＝﹣ 2．∴要求的直线方程为：2x+y﹣ 2＝ 0．故答案为： 2x+y﹣ 2＝ 0．【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（ 4 分）已知 F 1、F2是椭圆的两个焦点，过点 F 1的直线与椭圆交于A、 B 两点．则△ ABF 2的周长为20．【分析】△ AF 2B 为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△ AF2B 的周长【解答】解：∵ F 1， F2为椭圆的两个焦点，∴ |AF 1|+|AF 2|＝ 10， |BF 1|+|BF 2|＝ 10，△ AF 2B 的周长为 |AB|+|AF 2|+|BF 2|＝ |AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|＝ 10+10＝ 20；故答案为 20【点评】 本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化．7．（ 5 分）已知点 A （ 1，﹣ 1）、 B （ 3， 3）两点，点C （ 5， a ）在直线 AB 上，则实数 a 的值为a ＝ 7 ．【分析】 可以求出 AB 的斜率，再求 BC 的斜率，二者相等即可确定a 的值．【解答】 解：两点 A （ 1，﹣ 1）、B （ 3，3），点 C （ 5， a ）在直线AB 上，∴ k AB ＝ k BC 即：故选 A ＝7【点评】 本题考查三点共线问题，可以用斜率解答，点在直线上解答，还可以用点到直线的距离为 0 解答，是基础题．8．（ 5 分）满足约束条件 的目标函数 f ＝x+y 的最小值为 ．【分析】 作出不等式对应的平面区域，即可求出平面区域的面积．利用f 的几何意义求 f的最小值．【解答】 解：由 f ＝ x+y ，则 y ＝﹣ x+f ，平移直线 y ＝﹣ x+f ，由图象可知当直线y ＝﹣ x+f 经过点 A 时，直线的截距最小，此时 f 最小．由，解得 ，即 A （），代入 f ＝ x+y 得 f ＝．故答案为：；【点评】 本题主要考查简单的线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结 合是解决此类问题的基本方法．9．（ 5 分）已知圆 C 一条直径的两个端点分别是A （﹣ 1， 2），B （ 1， 4），则圆C 的标准方程为 x 2+（ y ﹣ 3）2＝ 2 ．【分析】 求出圆心坐标与半径，即可求圆 C 的方程．【解答】 解：∵ A （﹣ 1， 2）， B （ 1， 4）是圆 C 的直径的两端点， ∴圆心 C 是 AB 的中点，其坐标为（ 0， 3），圆 C 半径 |AC |＝．∴圆 C 的方程是： x 2+（ y ﹣ 3） 2＝ 2． 故答案为： x 2+（ y ﹣3） 2＝ 2．【点评】 本题考查圆的方程的求法，解题时要注意求圆心坐标和圆半径的长，是基础题．10．（ 5 分）设抛物线 y 2＝8x 的焦点为 F ，P 在此抛物线上且 |PF|＝ 5，则点 P 的坐标为 （ 3，2 ）或（ 3，﹣ 2） ．【分析】 根据抛物线的标准方程，确定准线方程，利用点 P 在抛物线上， |PF|＝ 5，可确定点 P 的横坐标，从而可求点P 的坐标．【解答】 解：设点 P 的横坐标为 x抛物线 y 2＝ 8x 的准线方程为 x ＝﹣ 2∵点 P 在抛物线上， |PF|＝ 5， ∴ x+2 ＝5 ∴ x ＝ 3∵点 P 在抛物线上∴ y 2＝ 24∴ y ＝± 2∴点 P 的坐标（ 3， 2）或（ 3，﹣ 2 ）故答案为：（ 3，2）或者（ 3，﹣ 2）．【点评】 本题重点考查抛物线的定义，考查抛物线方程的运用，解题的关键是利用抛物线的定义．11．（ 5 分）对于两条平行直线与圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切” ；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交” ，已知直线 l 1： mx+3y+m+3＝ 0，直线 l 2： x+（ m ﹣2） y+2＝ 0 与圆2 2 2﹣ 1（ b ＞ 0）的位置关系是“平行相交” ，则实数 b 的取值范围是（，x ﹣ 2x+y ＝b）∪（ ，+∞） ．【分析】 根据直线平行的等价条件求出 m 的值以及直线的解析式，求出圆心和半径，求出当直线和圆相切时 b 的值，结合“平行相交” ，的定义进行求解即可．【解答】 解：当 m ＝ 2 时，两直线方程为 2x+3 y+3＝ 0，和 x+2 ＝ 0，两直线相交，不满足直线平行，当 m ≠ 2 时，若两直线平行，则＝ ≠ ，由 ＝得 m 2﹣ 2m ﹣ 3＝0 得 m ＝﹣ 1 或 m ＝3，当 m ＝﹣ 1 时， ≠＝1成立，当 m ＝ 3 时， ≠不成立，即 m ＝﹣ 1，此时两条直线方程为l 1：﹣ x+3y+2＝ 0，即 x ﹣3y ﹣ 2＝ 0， l 2：x ﹣ 3y+2 ＝0，圆的标准方程为（22 2x ﹣ 1） +y ＝ b ，（ b ＞0），圆心坐标为（ 1， 0），半径 r ＝ b ，若圆与 l 1 相切，则圆心到直线 l 1 的距离 d ＝ b ＝ ＝ ＝ ，若圆与 l 2 相切，则圆心到直线l 2 的距离 d ＝ b ＝＝＝，若两条直线位置关系是“平行相交”，则满足，即 b ＞ ，且 b ≠ ，即实数 b 的取值范围是（， ）∪（，+∞），故答案为：（，）∪（， +∞）【点评】 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线平行的条件求出m 的值，以及利用直线和圆相切，求出b 的值是解决本题的关键．12．（5 分）已知实数 22＝ 1，则的取值范围是 [0，]．x 、y 满足 x +（ y ﹣2） 【分析】 构造直线 x+ ＝0，过圆上一点 P 作直线的垂线 PM ，则 ＝ ＝sin ∠ POM ，求出∠ POM 的范围即可得到答案．【解答】 解： P （ x ， y ）为圆 x 2 +（ y ﹣ 2）2＝1 上的任意一点，则 P 到直线x+ y ＝ 0的距离 PM ＝＝ x+ ，∴＝＝sin ∠ POM ，设圆 x 2+（ y ﹣ 2） 2＝1 与直线 y ＝ kx 相切，则＝ 1，解得 k ＝± ，∴∠ POM 的最小值为 0°，最大值为 60°，∴ 0≤ sin ∠ POM ≤，故答案为： [0，]．【点评】 本题考查了直线与圆的位置关系，属难题．二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（ 5 分）若直线的参数方程为（t 为参数），则直线的斜率为（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【分析】 把直线的参数方程消去参数化为普通方程可得y ＝﹣x+ ，从而得到直线的斜率．【解答】 解：∵直线的参数方程为（ t 为参数），消去参数化为普通方程可得 y＝﹣x+ ．故直线的斜率等于﹣．故选： D ．【点评】 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，根据直线的方程求直线的斜率，属于基础题．14．（ 5 分）对任意实数 θ，则方程 x 2+y 2sin θ＝4 所表示的曲线不可能是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【分析】 根据 sin θ的范围，可判断方程可表示圆，直线，双曲线，椭圆，故可得结论．【解答】 解：由题意， sin θ∈[﹣ 1， 1]∴ sin θ＝ 1 时，方程表示圆； sin θ＝ 0 时，方程表示两条直线；sin θ∈[﹣ 1， 0）时，方程表示双曲线； sin θ∈（0， 1），方程表示椭圆．即方程 x 2+y 2sin θ＝ 4 不表示抛物线故选： C ．【点评】 本题以方程为载体，考查方程与曲线的关系，解题的关键是根据sin θ的范围，进行分类讨论，属于中档题．15．（ 5 分）设 0＜ k ＜a 2，那么双曲线与双曲线 有（ ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点【分析】由已知可得双曲线的焦点均在x 轴，且它们的 c 值相等，故焦点相同．【解答】解：∵ 0＜ k＜ a 2，∴ a2﹣ k＞ 0，对于双曲线可知，焦点在x 轴，且 c 2＝ a2﹣k+b2+k＝ a2+b2，同理双曲线焦点也在x 轴上，2 2 2且 c′＝a +b故它们由共同的焦点故选： D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及焦点的定义，属中档题．16．（ 5 分）设 P 为双曲线右支上一点， F 、 F2分别为双曲线的1左右焦点，若，直线PF2交y轴于点A，则△ AF1P的内切圆半径是（）A ．a B ．b C．D．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得 a 的值，设△ APF 1的内切圆半径为r，由直角三角形的性质分析可得|PF11|＝ 2r ，由双曲线的几何性质分析21||+|PA|﹣ |AF|AF |﹣ |AF ＝ 2r﹣ 2a，由图形的对称性知2r ﹣ 2a＝0，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线，设△ APF1的内切圆半径为r ，∵，∴PF1⊥ PF2，在直角三角形ABC 中，设∠ C 为直角，三边 a， b， c 的关系是a2+b2＝ c2，内切圆的半径设为r ，可得r（ a+b+c）＝ab，即有 r＝＝，∴|PF 1|+|PA|﹣ |AF1|＝ 2r，∴|PF 2|+2a+|PA|﹣ |AF 1|＝2r ，∴|AF 2|﹣ |AF 1|＝2r ﹣ 2a，∵由图形的对称性知： |AF2|＝ |AF1|，即 2r﹣ 2a＝ 0，解可得 r ＝ a，故选： A．【点评】本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的定义，注意直角三角形的内切圆半径公式．三、解答题（本大题共有 5 题本大题满分76 分），解答下列各题必须写出必要的步骤，17．（ 14 分）已知直线l ：y＝ ax+4．（ 1）若直线 l 与直线的夹角为，求实数 a 的值；（ 2）若直线 l 被圆（θ为参数）截得的线段长为，求实数 a 的值．【分析】（ 1）利用夹角公式tanθ＝ ||可得；（2）先将圆的参数方程化成普通方程，再求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求出弦长联立可得 a 的解．【解答】解：（ 1）利用夹角公式可得：tan＝||，解得 a＝0 或 a＝；（ 2）由消去θ得x2+y2＝4，圆心（ 0， 0）到直线 ax﹣y+4＝ 0 的距离 d＝，∴ 2＝ 2，∴ d 2＝ 2，∴＝ 2，解得 a ＝±【点评】 本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．18．（ 14 分）设双曲线 C ：2x 2﹣ y 2＝ 2 的右顶点为 M ．（ 1）若倾斜角为锐角的直线l 过点 M 且平行于双曲线的一条渐近线，求直线 l 的一般式方程；（ 2）设 O 为坐标原点，直线与双曲线 C 相交于 A 、B 两点，求△ OAB 的面积，【分析】（ 1）根据双曲线的性质和点斜式即可求出直线l 的方程，（ 2）设 A （ x 1，y 1）， B （ x 2， y 2）由，消 y 可得 x 2﹣ 2 x ﹣ 4＝ 0，根据韦达定理和三角形的面积公式即可求出．【解答】 解：（ 1）双曲线 C ： 2x 2﹣ y 2＝ 2，即为 x 2﹣＝1，∴ a ＝ 1， b ＝，渐近线方程 y ＝± x ，∴ M （ 1，0），∵倾斜角为锐角的直线l 过点 M 且平行于双曲线的一条渐近线，∴直线的斜率为，∴直线方程为 y ＝（ x ﹣1），即x ﹣ y ﹣＝ 0，（ 2）设 A （ x 1 ，y 1）， B （ x 2， y 2）由，消 y 可得 x 2﹣ 2x ﹣ 4＝ 0，∴ x 1+x 2＝ 2 ， x 1x 2＝﹣ 4，∴ |x 1 2＝＝ 2 ，﹣ x |＝对直线 y ＝ x+，令 x ＝ 0，则 y ＝，即 D （ 0， ），∴ S △OAB ＝ |OD |?||x 1﹣ x 2|＝ ×× 2 ＝ 2 ．【点评】本题考查了双曲线的简单性质，直线和双曲线的位置关系，韦达定理，三角形的面积等基础知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．19．（ 14 分）如图，我区新城公园将在长34 米、宽 30 米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆和组成，其中a＞ b ＞ 9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）．（1）求“挞圆”的方程；（2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为 y＝t（ t∈（0.15），求该网箱所占水面面积的最大值．【分析】（ 1）利用已知条件求出椭圆的a， b， c，得到椭圆方程．（2）设 P（ x0，t）为矩形在第一象限内的顶点， Q（x1， t）为矩形在第二象限内顶点，求出内接矩形的面积的表达式，利用基本不等式求解最大值即可．【解答】解：（ 1）由题意知 b＝ 15，a+9 ＝ 34解得 a＝ 25， b＝15所以“挞圆”方程为：（ x≤ 0）和（x≥ 0）．（ 2）设 P （ x 0 ，t ）为矩形在第一象限内的顶点，Q （x 1， t ）为矩形在第二象限内顶点，，． ?所以内接矩形的面积 S ＝15× 34×2≤ 15× 34（ ）＝ 510，当且仅当 时 S 取最大值 510．∴网箱水面面积最大 510m 2．【点评】 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法以及椭圆的简单 性质的应用，考查发现问题解决问题的能力．20．（ 16 分）设抛物线C ：y 2＝ 4x 的焦点为 F ．（ 1）若抛物线 C 与直线 l ： y ＝ kx ﹣ 1 有且只有一个公共点．求实数 k 的值：（ 2））若点 A 、 P 满足，当点 A 在抛物线 C 上运动时，求动点 P 的轨迹方程； （ 3）在 x 轴上是否存在点 Q ，使得点 Q 关于直线 y ＝ 2x 的对称点在抛物线 C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标：如果不存在．请说明理由． ．【分析】（ 1）求得抛物线的对称轴，考虑直线的斜率存在，结合题意可得所求k ；（ 2）设 A （ m ， n ）， P （ x ， y ），且 F （ 1， 0），运用向量共线的坐标表示，可得 m ， n 的关系式，代入抛物线方程可得所求轨迹方程；（ 3）x 轴上假设存在点 Q ，使得点 Q 关于直线 y ＝ 2x 的对称点在抛物线C 上，设出 Q ，和对称点的坐标，由两直线垂直的条件和中点坐标公式，解方程可得对称点的坐标，代入抛物线方程，计算可得所求定点．【解答】 解：（ 1）抛物线 C ： y 2＝4x 的对称轴为 x 轴，抛物线 C 与直线 l ： y ＝ kx ﹣ 1 有且只有一个公共点，可得直线恒过定点（ 0，﹣ 1），且斜率存在，可得 k ＝0 时，满足条件；（ 2）设 A （m ， n ）， P （ x ，y ），且 F （ 1， 0），点A 、P 满足，可得（ x ﹣ m ，y ﹣ n ）＝﹣ 2（ m ﹣ 1， n ），可得 x ﹣m ＝﹣ 2m+2， y ﹣ n ＝﹣ 2n ，即 x ＝﹣ m+2， y ＝﹣ n ，即 m ＝2﹣ x ， n ＝﹣ y ，由 n 2＝ 4m ，则 y 2＝ 4（ 2﹣ x ），可得 P 的轨迹方程为y 2＝8﹣ 4x ；（ 3）x 轴上假设存在点 Q ，使得点 Q 关于直线 y ＝ 2x 的对称点在抛物线 C 上，设 Q （ t ， 0），对称点设为（ s ， u ）， 可得＝﹣ ， ＝ 2?，解得 s ＝﹣ t ， u ＝t ，即有（t ） 2＝ 4?（﹣ t ），可得 t ＝﹣，可得存在点 Q （﹣ ， 0），使得点 Q 关于直线 y ＝ 2x 的对称点在抛物线 C 上．【点评】 本题考查抛物线的方程和运用，考查坐标转移法，以及点关于直线的对称问题 和直线与抛物线的位置关系，考查化简运算能力，属于中档题．21．（ 18 分）如图，设 O 为坐标原点，点 F （ 1， 0）是椭圆 的右焦点，Γ上任意一点到该椭圆的两个焦点的距离之和为 ．分别过 O 、F 的两条直线 AB 与 CD相交于点 E （异于 A 、C 两点）． （ 1）求椭圆Γ的方程：（ 2）若分别为直线 AC 与 BD 的斜率，求 k ACBD+k 的值：（ 3）若 |OE |＝|EF |求证：直线 AC 与 BD 的斜率之和为定值，并将此命题加以推广．写出更一般的结论（不用证明） ．【分析】（1）由点 F （1，0）是椭圆的右焦点，得到 c ＝ 1，由Γ上任意一点到该椭圆的两个焦点的距离之和为，得到 2a ＝ 2 ，由此能求出椭圆Γ的方程．（ 2）求出直线 CD 的方程为 y ＝﹣ x+1，由，得 C （ 0， 1）， D （ ，﹣ ），直线 AB 的方程为y＝ x，由，得A（，），B（﹣，﹣），由此能求出 k AC BD．+k（ 3）设直线 AB 的方程为 y＝ kx，与椭圆方程联解可得 A 和 B 的横坐标，同理得到点C、D 的横坐标关于k 的式子，由此结合直线的斜率公式化简整理，即可算出直线AC， BD 的斜率之和为 0，从而证出所求证的命题是真命题．再将此命题加以推广得到：设O 为坐标原点，点F（ 1，0）是椭圆的右焦点，分别过O、F 的两条直线AB 与 CD 相交于点E（异于 A、 C 两点）．当 |OE|＝ |EF|时，直线AC 与 BD 的斜率之和为0．【解答】解：（ 1）点 F（ 1， 0）是椭圆的右焦点，则c＝ 1，Γ上任意一点到该椭圆的两个焦点的距离之和为，则 2a＝ 2，即a＝，∴b 2＝ a2﹣ c2＝ 1，∴椭圆Γ的方程为+y2＝ 1．（ 2）E（，），F（ 1，0），∴直线 CD 的方程为 y＝﹣ x+1，由，解得或，即 C（ 0， 1），D （，﹣），∵直线 AB 的方程为 y＝ x，由，解得，或，∴A（，），B（﹣，﹣），∴ k AC+k BD＝+＝0．由，得点 A 的横坐标为，点B的横坐标为﹣，同理，由，得点 C 的横坐标为，D的横坐标为，记 A（ x1， kx1）， B（ x2， kx2），C（ x3，k（ 1﹣ x3）），D （ x4， k（ 1﹣ x4）），∴直线 AC ，BD 的斜率之和为：+＝＝＝＝0．即直线 AC ，BD 的斜率之和为0（定值）．将此命题加以推广得到：设 O 为坐标原点，点F（ 1，0）是椭圆的右焦点，分别过O、 F 的两条直线 AB 与 CD 相交于点E（异于 A、C 两点）．当 |OE|＝ |EF|时，直线 AC 与 BD 的斜率之和为 0．【点评】本题考查椭圆方程、两直线的斜率之和的求法，考查求证分别经过O、 F 的两条直线 AB、CD 在满足倾角互补的情况下，直线AC、 BD 斜率之和为定值的证明．着重考查了椭圆的简单几何性质和直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．。
上海市2019年数学高二年级上学期期末考试试题
上海市2019年数学高二年级上学期期末考试试题一、选择题 1．设随机变量16,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)P X =等于（ ） A.516 B.316C.58D.382．秦九韶算法是将求次多项式的值转化为求个一次多项式的值。
已知，求，那么（ ）A ．0B ．5C ．4D ．33．执行如图所示的程序框图，若输出n 的值为9，则判断框中可填入( )A.55?S ≥B.36?S ≥C.45?S >D.45?S ≥4．已知向量(1,2)a =，(2,)b x =-，若a b +与a b -垂直，则x =（ ） A.-1B.1C.土1D.05．命题“若a>0，则a 2>0”的否定是( )A.若a>0，则a 2≤0B.若a 2>0，则a>0C.若a≤0，则a 2>0D.若a≤0，则a 2≤06．一个频数分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50[)50,60内的数据个数共为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．197．若函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数()xe f x x=的图象大致为( )A. B.C. D.9．若集合{0,1,2,3},{1,2,4},A B C A B ===⋂，则C 的子集共有（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个10．函数21()xx f x e -=的图象大致为（ ）A. B.C. D.11．已知向量()2,a m =,()3,1b =，若//a b ，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．1212．函数()2()2(xf x x tx e t =-为常数且0t >）的图象大致为（ ）A. B. C. D.二、填空题13．设123,,e e e 为单位向量，且3121(0)2e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________．14．若61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为160-，则展开式中4x 的系数为__________.15．九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”中，，若“阳马”的体积为，则“堑堵”的体积为______．16．给出下列不等式:111123++> 111312372+++⋯+>111122315+++⋯+> ………则按此规律可猜想第n 个不等式为____________ 三、解答题 17．已知，且满足，(1)求证:是等差数列。
上海市进才中学高二数学上学期期末考试试题沪教版
上海市进才中学2013学年第一学期期终考试高二数学试卷一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1．计算： 22lim ()1000n n n n →∞+-=+ 。
2. 已经抛物线方程24y x =，则其准线方程为 。
3. 若2331A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1104B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB = 。
4.已知( 2 1)a =-r ，，( 1 2)b =-r ，， 则a r 在b r上的投影为 。
5．若111111111123456a b c a A b B c C =++，则1B 化简后的最后结果等于______________。
6．已知向量(2,2)a =-r ，(5,)b k =r ，若||a b +r r 不超过5，则k 的取值范围是 。
7．若点(2,1)P -平分椭圆221128x y +=的一条弦，则该弦所在的直线方程为 。
（结果写成一般式） 8．在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()2AB AC AB +⋅=u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆面积等于 。
9．已知R θ∈，则直线sin 10x θ+=的倾斜角的取值范围是 。
10．直线m x y +-=与曲线21x y --=有两个不同的交点，则m 的取值范围为 。
11．如图，O 为直线02013A A 外一点，若0123452013,,,,,,,A A A A A A A L 中任意相邻两点的距离相等，设0OA a =u u u u r r ，2013OA b =u u u u u u u r r ，用,a b r r 表示0122013OA OA OA OA ++++u u u u r u u u r u u u u r u u u u u u u r L ，其结果为 。
12．在xOy 平面上有一系列的点111222(,),(,),,(,),n n n P x y P x y P x y L L ，对于数n ，点n P 位于函数2(0)y x x =≥的图像上，以点n P 为圆心的圆n P 与x 轴相切，且圆n PA 1O A 2A 2013与圆1n P +又彼此外切，且1n n x x +<。
进才中学高二期末(2018.06)
进才中学高二期末数学试卷2018.06一. 填空题1. 若23266x C C +=()x ∈R ，则x =2.某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为3. 某小组共8人，若生物等级考成绩如下：2人70分、2人67分、3人64分、1人61分， 则该小组生物等级考成绩的中位数为4. 正方体1111ABCD A B C D -中异面直线1AD 与1DC 所成角的大小为5. 多项式5(2)x +的展开式中，含2x 的系数是6. 某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校 平均开销在[50,60]元的学生人数为7. 已知x 、y 满足约束条件1022010x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，若目标函数(2)z a x y =++(0)a >的最大值为13，则实数a =8. 某棱锥的三视图如图所示（单位：cm ），体积为 3cm9. 边长为2的等边三角形ABC 绕着BC 旋转一周，所得到的几何体体积为10. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或 正方体的表面上，且EF ∥平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是11. 盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球（取出不放回），取完为止，则共有 种不同的取法12. 如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且2AB =1，四面体 ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方，如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的取值范围为 二. 选择题13. 下列参数方程可以用来表示直线的是（ ）A. lg 2lg 1x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数） B. 2221x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数） C. cos 2cos 1x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数） D.cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） 14. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是（ ）A. 12B. 13C. 14D. 310 15. 在2012(1)n n n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+中，若2520n a a -+=，则自然数n 的值是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 1016. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角 的取值范围是（ ）A. [,]42ππB. [,]43ππC. [,]62ππD. [,]63ππ三. 解答题17. 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A 、B 、C 、1A 、1B 、1C 上各装一个灯泡.（1）共有多少种安装方法？（2）要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？18. 已知3()n a a -的展开式的各项系数之和等于53(4)5b b-的展开式中的常数项， 求：（1）展开式的二项式系数和；（2）展开式中1a -项的二项式系数.19. 已知球O 的内接正四棱锥P -ABCD ，2AB =，22PA =.（1）求正四棱锥P -ABCD 的体积；（2）求P 、A 两点间的球面距离.20. 如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ∥EF ，AB ⊥AD ，2CD DA AF FE ====，4AB =.（1）求证：DF ∥平面BCE ；（2）求二面角C -BF -A 的余弦值；（3）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？。
2019-2020年上海市进才中学高二上期末教师版
进才中学高二期末数学试卷2020.01一. 填空题1. 若12i z =+（i 是虚数单位），则||z = 52. 直线210x y -+=的倾斜角为 1arctan 23. 已知抛物线22y x =，则它的焦点坐标为 1(,0)24. 双曲线221916x y -=的右焦点F 到一条渐近线的距离为 4 5. 已知4251λλ-=-，则λ= 3 6. 已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足12||2||PF PF =， 则1||PF = 47. 若直线30x my -+=与圆22(3)4x y -+=相离，则实数m 的取值范围是 (22,22)-8. 设实数x 、y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为 29. 已知||1a =，||2b =，()0a b a -⋅=，则向量a 与b 的夹角为 4π 10. 已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，且0OA OB ⋅=，其中O 为原点，则实数a 的值为 2或2-11. 设m ∈R ，过定点A 的动直线1:0l x my -=与过定点B 的动直线2:230l mx y m +--=的交点为P ，则||||PA PB ⋅的最大值为 13212. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；③ 曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3；其中，所有正确结论的序号是 ①②二. 选择题13. 已知z ∈C ，“z z =”是“z 为实数”的（ C ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要14. 已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上，焦距为4，则m 等于（ D ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 815. 若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ D ）A. [1-+B. [1C. [1,1-+D. [1-16. 已知圆22(2)9x y ++=的圆心为C ，过点(2,0)M 且与x 轴不重合的直线l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间，过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是（ C ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分三. 解答题17. 已知2i z =+是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p 、q 的值及方程的另一个根.4p =-，5q =，另一个根2i -18. 已知圆22:220C x y x ay a ++-+=.（1）若点(1,1)在圆的内部，求a 的取值范围；（2）当0a =时，求经过点(0,2)的圆的切线方程.（1）4a >；（2）0x =或3480x y -+=19. 已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的一个焦点F ，且经过点(3,2A . （1）求该双曲线的标准方程；（2）若经过点(1,0)的直线l 与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程.（1）2214x y -=；（2）1(1)2y x =±-或1)y x =-20. 已知曲线C 上任意一点P 到直线:4l x =的距离等于它到定点(1,0)F 的距离的2倍，过点F 的直线1l 与曲线C 交于A 、B 两点，直线BH 与直线l 垂直，垂足为H .（1）求曲线C 的方程；（2）若15||4AB =，求直线1l 的斜率； （3）证明：直线AH 经过x 轴上的定点. （1）22143x y +=；（2）12±；（3）5(,0)2.21. 设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，经过x 轴正半轴上(,0)M m 点的直线l 交于不同的 两点A 和B .（1）若||3FA =，求点A 的坐标；（2）若2m =，求证：AOB ∠为钝角；（3）若||||FA FM =，且直线1l ∥l ，1l 与Γ有且只有一个公共点E ，问：△OAE 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M 点的坐标，若不存在，请说明理由.（1）(2,±；（2）证明略；（3）存在，最小值为2，(3,0)M .。