0507转角位移方程(力学)
位移转角推导公式
已知 y θ = TT TRRT RR f m , (1) θ=T*y; (2)T 为转换矩阵因为H=1/（-ω2*M+j*ω*C+K ）,其中M,C,K 都为是对称矩阵，所以H 为对称矩阵，即H=TT TR RT RR =H T TR=RT T (3)将（2）代入（1）得RT*f+RR*m=T*(TT*f+TR*m) (4)由分配律可得RT=T*TT (5)RR=T*TR (6)在一个多自由度系统中TT= TT 11…TT 1n ⋮⋱⋮TT n1…TT nn (7) TR= TR 11…TR 1n ⋮⋱⋮TR n1…TR nn (8) RT= RT 11…RT 1n ⋮⋱⋮RT n1…RT nn(9) RR= RR 11…RR 1n ⋮⋱⋮RR n1…RR nn (10) 且TT=TT T , RR=RR T (11)由（7）得TT ij =E i *TT*E j T (12)E i , E j 分别表示第i 或j 个元素为1，其他元素为0的一维行向量,且1≤i,j ≤n ,以下相同 由(3),（5）,(9)，（11）得TR ij =RT ji = TT 1i …TT ji …TT ni ∗T j T = TT i1…TT ij …TT in *T j T = E i *TT*T j T （13） T i , T j ——第i,j 点的转换矩阵E i , E j ——第i 或j 个元素为1，其他元素为0的一维行向量,且1≤i,j ≤n ,以下相同由（5），（7）得RT ij = RT i1…RT ij …RT in *E j T =T i *TT*E j T (14)由(3),（6），（11）得RR ij =RR ji = TR 1i …TR ji …TR ni *T j T = RT i1…RT i2…RT in *T j T=T i *TT*T j T （15）由（12），（14）得 [TT ij RT ij ]= [E i T i] *TT*E j T (16)由（13）（15）得 [TR ij RR ij ]= [E i T i] *TT*T j T （17） 将（16），（17）联立得H ij = TT ij TR ij RT ij RR ij =[E i T i ] *TT*[E j T T j T ]= [E i T i ] *TT* E j T j T。
等截面直杆的转角位移方程
第八章位移法§8-1 位移法的基本原理对所有汇交于结点B 的杆件求和结点独立角位移=位移未知的刚结点数目n= 6独立结点位移为5 ？n= 2n= 4n= 7n= 4n= 1 n= 7n= 3n= 4 (8)(10)n = 3§8-2等截面直杆的转角位移方程固梁：由于荷载和温度变化引起的杆端弯矩，称为固端弯矩。
F BAM ,∆BAM ,由于支座移动引起的杆端弯矩转角位移方程( 刚度方程)Slope-Deflection (Stiffness) Equationil 22FAB AB A AB M li i M +∆−=33ϕAB1il由位移引起的杆端内力, 称为“形常数(shape constant)⎪⎪⎩⎨=B BA i M 4ϕ1，2，3，4；9，10，11，12；17，18，19，20.基本结构§8-3 位移法的典型方程1=R 02=R 基本体系⎩⎨⎧=++==++=00222212112111P P R R R R R R R R ⎩⎨⎧=++=++0022221211212111P P R Z r Z r R Z r Z r 量位移法典型方程二个未知典型方程的物理意义：原结构静力平衡，即基本结构在各结点位移和荷载等外因的共同作用下，每一个附加联系中的附加反力矩或附加反力都应等于零。
对具有n 个独立结点位移的结构，典型方程为：、副系数和自由项ii r ij r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++00022112222212111212111nP n nn n n P n n P n n R Z r Z r Z r R Z r Z r Z r R Z r Z r Z r552⎩i。
用位移法中“典型方程、转角位移方程”的观点进行弯矩分配的解释
第3卷第10期2017年10月黑龙江水利Heilongjiang Water ResourcesVol.3，No.10Oct. ,2017用位移法中“典型方程、转角位移方程”的观点进行弯矩分配的解释陈百鸣(富裕县水务局，黑龙江富裕161200)摘要：针对结构力学位移法中典型方程与转角位移方程的应用，根据长期的实践经验和体会，分析概括了位移 法解决超静定结构的基本途径、典型方程的物理意义，以及弯矩分配计算等基本概念，最后给出了在位移法典型 方程解释弯矩分配法中的弯矩分配过程和位移法“转角位移方程”弯矩分配中力矩传递过程的解释。
关键词：位移法；转角位移方程；超静定结构；弯矩分配中图分类号：TU501; TB301 文献标志码：A文章编号：2096-0506(2017)10-0052-041位移法的基本途径对于力法解决超静定结构需要联立多元一次 方程组，计算之复杂性是显而易见的，特别是用 力法计算较复杂的刚架时尤为繁琐，往往要联立 六元以上方程组。
这样就迫使我们寻求新的途径 解决计算这一新课题，在认识解决一项新课题之 前，总是设法寻求一个解决问题的新途径，在这 里，联想力法的思想方法就是遵循从已知到未知 的过程，就是把新课题经过一系列的假定转化为 老问题，进而解决。
在力法处理超静定结构时，是将复杂的超静定结构去掉多余联系后变为静定 结构来处理，那么对于较复杂的刚架来讲，究竟 采取什么样的途径是仍需要解决的问题，我们知 道超静定刚架是由若干个两端可转动的固定端单 跨超静定梁[1](这与实际工程中单跨超静定是不符 的，为了寻求解决问题的途径做这样的假定)所组 成的，采取各个击破的办法分别计算每个单独杆 件的端内力，再组合起来便为刚架整体结构的内 力值。
那么这个单独杆件的端内力又如何计算呢? 对于超静定结构的内力不仅与外荷载有关，而且 还与其形变有关，整体结构的形变引起整体结构 的内力，经过分析得出关系式（1)、式（2)，即单 独杆件的端内力与其形变存在下列关系：Ma b =—+2i i2Q a+Q i,—3A/L)(1)M ba =—Mia +2i(2Q b+Q a—3A/L)(2)式中：Q为杆件a端轴线的转角；Q为杆件6端 轴线的转角；Ma6、M6a分别是假想的单跨超静定 梁两端的杆端力矩；M^、A C分别假想的单跨超 静定梁在外力作用下两杆端加以约束的约束力矩，也称固端力矩。
转角位移方程
转角位移方程
转角位移方程是一种物理学原理，它能够更有效地描述物体的变动轨迹。
它是由法国物理学家拉瓦锡（LavalVignac）于1776年发明的。
该方程式在曲线求解、向量分析以及机械动作领域服务于科学家。
转角位移公式可以用于描述以点A和B为支点的曲线轨迹，其具体形式是：
V= r [(1-cosα) + (α-sinα)]
其中，V是曲线沿着点A到点B移动的位移量；r是点A到点B 的距离；α是点A和点B之间的夹角，在0~2PI范围内。
转角位移方程有许多应用，其中之一就是在空间的动态研究中。
它可以描述物体从一维运动到二维运动过程中角度的变化。
例如，在一个空间环境中，对于一个物体沿着曲线的行走的情况，转角位移方程可以用来计算该物体沿着曲线行走的总位移量。
另外，转角位移方程也可以用于电机和其他机械产品的运动模拟，以及三维图形处理中的转换计算量的增加。
转角位移方程有其优越性，但存在一些缺点，例如它会复杂化计算量，从而增加程序的运行时间，同时，也会减少程序的效率。
此外，转角位移方程也需要大量的计算量来完成，因此，普通的计算机系统可能无法在短时间内完成。
总之，转角位移方程是一种有用的物理学原理，可以更有效地描述物体的变动轨迹。
虽然它存在一些缺点，但它仍然为科学研究和工程应用提供了重要的依据。
转角位移方程
转角位移方程
其中，x表示物体所在的位置。
v0表示物体的初始速度；t表示时间；a表示加速度。
由于加速度是恒定的，可以将时间划分为固定的区间，通过计算每个时间段的位移，可以得到物体实际运动轨迹。
例如，假设方程中加速度为10m/s^2，初始速度为2m/s，则在
t=1s时，物体的位移为2*1+1/2*10*1^2 = 12m。
转角位移方程也可以用于研究物体的加速度。
可以将时间划分为若干等分，通过记录每个时间点物体的位移，可以得到物体的加速度。
例如，如果位移x1 = 12m，x2 = 18m，t1 = 1s，t2 = 2s，则物体的加速度为(18-12)/(2-1) = 6m/s^2。
除此之外，转角位移方程还可以用于计算物体的动能和势能。
物体的动能与物体的速度和质量有关，而势能则与物体的位置有关。
可以将时间划分为若干等分，通过计算每个时间点物体的位移和速度，可以得到物体的动能和势能。
转角位移方程是一种重要的物理模型，它可以用来计算物体的位移、速度、加速度、动能和势能等，为物理研究提供了重要的理论依据。
它的应用涉及到机械、电子、航空等许多领域，是工程技术人员必须要掌握的基本知识之一。
只有深入理解转角位移方程，才能在实际工程中正确应用它，为工程技术人员提供有效的理论指导。
- 1 -。
结构力学第七章位移法
10
§7-3 位移法基本结构与未知量数目
二 位移法基本结构 1 附加刚臂 控制结点转动 2 附加链杆 控制结点线位移
ΔC C θC
ΔD θD
D
基本结构
将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体
11
三 位移法基本结构与未知量数目
ΔC
ΔD
Z1
θD
C θC
D
Z2 Z3
基本结构
结点角位移的数目=刚结点的数目=附加刚臂的数目 独立结点线位移的数目=附加链杆的数目
B
15i 16
6
0(2)
位移法方程实质上平衡方程 33
2i
3i/2Z2=1
A
D
2i
k 21
FQ BA
FQ CD
3i 2
B
C k22
FQBA
FQCD
3i
i2
3i/2
k 22
i
3i 4
3i 16
15i 16
B i
0
FQ BA
3i 4
C FQCD i
3i 2
M1
3i 4
A
FQ CD
3i 16
3i/2
D 3i/4 26
4
B
C F2P
3kN/m 3kN/m
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
▪ 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
▪ 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
第8章 位移法1
A
EI
EI
B
l/2 P
l/2
C
2. AB杆：相当于一端固定一 端铰支梁在支座A处发生转 角 。 MAB=3i
3. AC杆：相当于两端固 定梁在支座A处发生转角 及荷载共同作用。
MAC=4i+Pl/8 MCA=2i-Pl/8
由上述分析可知，如果能求出 ，则各杆 的内力就可求出。所以可把转角 作为基 本未知量。 4. 如何求 ？
2
基本体系
r11 4i 6i R1P
2i
M1
q
ql 2 / 8 ql 2 / 8
MP
2 ql / 20 位移法求解过程 :
Z1 ql 2 / 80i
M M 1 Z1 M P
q 1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 ql2 / 40 M 5)解方程 6)作弯矩图
M AB
3i F 3i A AB M AB l
（三）一端固定一端定向杆的转角位移方程
A
B A
P
B
F M BA
A
A
M AB i A M BA －i A
B i
M
F AB
M AB i A M
F AB F BA
M BA i A M
二.单跨超静定梁的形常数与载常数
ql2/8
q D A
C 4i B 3i A 2i
D
C
B
M1图
3) 画出单位弯矩图和荷载弯矩图 4) 求各系数
MP图
5) 画出弯矩图
2 r11 8i R1P ql / 8 R1P ql2 Z1 r11 64i
结构力学(6.8.1)--位移法08
jB
M BA
/
SBA
40kN ﾴm 2ﾴ104 kN ﾴm
2 ﾴ103
m
m
b
例例例例例例例
EI
m/2
a
转 动 刚 度 是 施 力 端 没 有 线 位 移=M情=况4i下 使
角所需施加的力矩，是对转动的抵抗能力。施
端，另一端称为远端。
SAB A 1i
B
SAB A
B
1
i
SAB 1A
B i
3i 1 A i
B
1A
B
i
i
0 1A
i
B
SAB =3i
SAB =i
SAB =0
转动刚度除了与线刚度有关，还与远端 利用转动刚度可将杆端弯矩用杆端转角
§6-6 平衡方程法建立位移法方程
一 . 转角位移方程
杆端力符号规定 : 杆端弯矩 --- 绕杆端顺时针为正 杆端剪力 --- 同前 杆端转角 --- 顺时针为正 杆端相对线位移 --- 使杆轴顺时针转为正4iA
A
FP t1
θ A EI t2
l θA
B
θ B Δ AB
2i A
M AB
4i A
§6-8 力矩分配法
力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解 单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结
本节中规定所有杆端弯矩均以绕杆端顺时针 一 . 基本概念
1 ．转动刚度、传递系数
使 AB 杆的 A 端产生单位转角，在 A 端所
力矩称为 AB
MA
i
1
杆A
B
端
4i
的1
A
转
动刚
i
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4i
M AB 4i M BA 2i
A B
1
6i/l
FQ 6i / l
6i/l
A
B A
12i/l2
B
6i/l
M AB 6i / l M BA 6i / l
FQ 12i / l 2
载常数
q A
ql2/12
ql2/12 B
ql/2 A
B
A
B
ql/2
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
1
A
B
B
A
i
M AB i
i
M BA i
A
B
FQ 0
载常数
q A l B ql2/3 A ql2/6
F M AB ql 2 / 3 F M BA ql 2 / 6
ql
B A B
F FQ AB ql F FQ BA 0
载常数
A
FP B l/2
l/2
3FPl/8 A FP l/8
第五章 力 法 5.7 转角位移方程
Slope-Deflection Equations
1. 基本概念
基本构件
形常数 三类基本构件由于杆端单位位移所引起的杆端弯矩和剪力。 载常数 三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力。
2. 等截面直杆转角位移方程
MAB FP A EI l
B
B MBA FQBA
A
B
A
B
A
B
F M AB EI t1 t 2 / h F M BA EI t1 t 2 / h
F FQ 0
要求：熟记形常数和载常数，并能正确画出相 应的弯矩图和剪力图。
1 A B A B 1
1
A B
B
A
1
1 A
B
q
A B A l/2
FP B A
q B
l/2
FQAB A
EI i l
杆端力和端位移的正负规定：
① 杆端转角θA、θB ，顺时针为正，杆端横向相对线位移Δ使杆 件顺时针转动为正。 ② 杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正， 剪力使杆件顺时针转动为正。
（1）两端固定等截面直杆
F M AB 4i A 2i B 6i M AB l F M BA 2i A 4i B 6i M AB l
载常数
A
t1 t2 l
B
A
B
A
B
F M AB EI t1 t 2 / h F M BA EI t1 t 2 / h
F FQ 0
（2）一端固定另一端铰支等截面直杆
MAB FQAB FP A
FQBA l
A
B EI
3i F M AB 3i A M AB l 3i 3i F FQAB A 2 FQAB l l 3i 3i F FQBA A 2 FQBA l l
形常数
1 A
B
A
B
A
B
3i
M AB 3i
3i/l
FQ 3i / l
A
B
1 A
3i/l
B
3i/l2
A
B
M AB 3i / l
FQ 3i / l 2
载常数
q A B
ql2/8 A B
5ql/8 A
B 3ql/8
M
F AB
ql / 8
2
F FQ AB 5ql / 8 F FQ BA 3ql / 8
载常数
FP
A B
3FP l/16
11FP/16
B
A
A
5FP/16
B
l/2
l/2
M
F AB
3FP l / 16
F FQ AB 11FP l / 16 F FQ BA 5 FP l / 16
载常数
t1 t2 l
A
B
A
B
A
B
M
F AB
3 EI t1 t 2 2h 3 EI t1 t 2 2h
F
F Q
3 EI t1 t 2 2hl
F M BA
（3）一端固定另一端滑动支座等截面直杆
MAB FQAB FP A B EI
A
l
MBA
M AB i A M
F M BA i A M BA F FQAB FQAB
F AB
形常数
MAB
FP
A
EI
l
B
B MBA
FQAB A
FQBA F 6i 6i 12i F F QAB A B QAB 2
FQBA
l l l 6i 6i 12i F A B 2 FQBA l l l
形常数
1 A
2i
B A
l
q A B A l/2
FP
FP
B l/2
A l
B
讨论：新单元的形常数和载常数
两端固定、跨中铰接的超静定梁。
q A l/2
EI
B l/2
作业
理解记忆常用等截面直杆的 形常数和载常数。 下次上课提问！
谢 谢!
2006.8
F M AB 3FP l / 8 F M BA FP l / 8
FP
B
A
B
F FQ AB FP F FQ BA 0
载常数
FP A l B
FPl/2 A FPl/2
F M AB FP l / 2 F M BA FP l / 2
FP B
A
B
F FQ FP
载常数
t1 t2 l
F FQ AB ql / 2 F FQ BA ql / 2
载常数
FP A l/2 l/2 B
FP l/8 A
FP/2 FP l/8 B A
B FP/2
M
F AB
FP l / 8
F FQ AB FP / 2 F FQ BA FP / 2
F M BA FP l / 8