浅谈不定积分的解法

1x dx 2
2
x
2
x2 1 x2 x2 1 x2 2 x2 1 1 1 dx 2 2 dx [ 2 2 ]dx ( 2 2 ) dx x ( x 1) x ( x 1) x 2 ( x 2 1) x x 1 ( x 2 1)
解：先考虑容易计算的积分
3sin x 4 cos xdx
3sin x 4 cos x
和
（3） Pn ( x) cos(ax b)dx取u Pn ( x), dv cos(ax b)dx 5） Pn ( x) arcsin( ax b)取u arcsin(ax b), dv Pn ( x) dx （6） Pn ( x) arccos(ax b)取u arccos(ax b), dv Pn ( x)dx （7） Pn ( x) arctan(ax b)取u arctan(ax b), dv Pn ( x)dx （8） e sin axdx, u , v可任取 ； e cos axdx, u , v可任取 上式中 Pn ( x) 为 n 多项式。k，a，b 均为常数
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浅谈不定积分的解法
■ 王晗宁 南京晓庄学院数学与信息技术学院
中图分类号：O175 文献标识：A 文章编号：1006-7833(2010) 02-341-02
积函数中含有根式时， 而通过代换可以消除根式的情况下， 可采用第二类换元积分法 常用的有以下几种代换： （ 1 ） 简 单 的 根 式 变 换 例 如 R ( x, n ax b )dx , 可 令 n ax b =t ； 求 x x 6dx ， 可 令 x 6 =t x x 6 dx =
解法 4.用根式代换 令
1 x2 t, x2 t 1, x x2 1, dx
tdt t 2 1
2．换元积分法

x3 1 x
2
dx
(t 2 1) t 2 1 1 1 tdt (t 2 1)dt t 3 t c ( x 2 2) 1 x 2 c 3 3 t t 2 1
1 2 积是 2 a arcsin a ，直角三角形的面积是 2 x
x
ln x 2.求 x 2 dx
解：设 u=lnx，dv=
dx 1 1 ，有 du= x dx，v= x x2
1
x
a 2 x2
，所以
ln x ln v dx ln x 1 1 dx = 2 C (ln x 1) C x x x x x x2 二、特殊解法 1．方程法 在不定积分运算中，会遇到部分积分很难直接计算出 结果，或者利用分部积分后还原为被积项，如果得到系数 不是 1 的所求积分项，这时将等式看作关于所求积分的方 程，通过解此方程可间接得到其结果，这种方法称为方程 法。下面举例说明这种方法的作用。 x 例 1.求 e sin xdx 解：设
x
x4 x4 1 1 x4 1 1 1 dx 2 dx ( 2 )dx ( x 2 1 2 ) 1 x 1 x 1 x2 1 x 1
解法 2.第二类换元积分法 令1 x
2
t , x 2 t 1, x t 1, dx

x3 1 x
2
dx
1 (t 1) t 1 1 1 1 1 1 dt tdt dt t 2 t c ( x 2 2) 1 x 2 c 2 2 2 3 3 t t 1 t
sin cos sin xcos x dx (sin xcos x sin xcos x)dx (cos x sin x)dx
tan
cos x sin xdx
2
cos 2 x
xdx (sec2 x 1)dx sec x(sec x tan x)dx sec2 xdx sec x tan xdx 等
cos 2 x sin 2 x dx (cos x sin x)dx cos x sin x
摘 要 不定积分是考试中常考的内容之一，是学 习以后知识和其他课程的基础，牢固掌握不定积分的解 法是非常必要的。 关键词 不定积分 直接积分 换元 方程 方 程组 图形
不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积 分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌 握不定积分的理论和运算方法，不仅能使学生进一步巩固 所学的导数和微分概念，而且也将为学习定积分，微分方 程和多元函数的积分学以及其他课程打好基础，因此切实 掌握求不定积分的方法非常重要。求不定积分的方法有很 多，可用直接积分法求解，可用第一类换元积分法，也可 以用第二类换元积分法等方法求解。下面将分别介绍几种 常用的解法。 一、基本方法 1．直接积分法 在一些简单的积分中， 若不能直接按基本公式 法则进 行积分，则需对被积函数进行简单的代数的或三角的恒等 变换，就能求出结果。其主要类型有下面几种： （1） M ( x) N ( x)dx ，其中 M（x） ，N（x）是 x 的一些 幂的代数和，这种类型的积分，首先将 M ( x) N ( x) 乘开化为 x 的某些幂的代数和，然后再积分。 2 3 2 例如： (2 x 5)(2 x x 5)dx = (4 x 12 x 5 x 25)dx （2） 折 （添） 项法， 化一个有理分式的积分为简单的积分。 例如：
kx
kx
令 J= 则
cos x dx 3sin x 4 cos x
3sin x 4 cos x dx =3I+4J=x+ C1 3sin x 4 cos x 3cos x 4sin x 3sin x 4 cos x dx = 4I+3J= lm 3sin x 4 cos x C2
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2
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一般被积函数是两种类型函数乘积的积分时可考虑分部积 分法。 下面将适用于分部积分法的积分进行一些归类： kx kx （1） Pn ( x)e dx取u Pn ( x), dv e dx （2） Pn ( x ) sin( ax b ) dx取 u Pn ( x ), dv sin(ax b ) dx
(t
2
6)t 2tdt = (2t 4 12t 2 )dt
（2）三角代换 R( x, a 2 x 2 )dx 令 x=asint 或 x=acost
R(x,
x2 a2 )dx 令 x=asecx 或 x=acscx； R( x, x2 a 2 )dx 令
x=atanx 或 x=acotx （3）双曲代换 x=asht 或 x=acht x 例如 a 2 x 2 dx ，可设 x=asht； a x
2
2
dx
可设 x=acht 比用
x
三角代换简便
（ sinx,cosx） dx （ 4） R 一般采用万能代换，设 tan 2 =t，
当然，对具体的问题也要采用灵活的方法处理 例如：
x3 1 x2 dx
解：分析：因被积函数分母中含有根式，常用第二类 换元积分法， 但因分子上含有变量 x， 因此也可用第一类换 元积分法 解法 1.应用第一类换元积分法
f [ (t )] (t )dt ，且容易套用公式积分出 F（x）+C，最后用

x3 1 x
2
dx
sh3t 1 1 1 chtdt sh3tdt ch3t cht c cht(ch2t 3) c (x2 2) 1 x2 c cht 3 3 3
1
解此方程组，得 I= x ln 3sin x 4cos x C(C
3 5
4 5
3C1 4C2 ) 5
ln xdx =xlnx- x xdx =xlnx-x+C
1
3．图形面积法 通常我们都是通过定积分求图形的面积，反过来，我 们也可以那我易记忆的图形面积求一些常见但是很难记忆 的不定积分公式 例如：求 a 2 x 2 dx 解：由定积分的几何意义可知， 0 a 2 x 2 dx 可表示的面 积如图 1， 等于一个扇形加上一个直角三角形， 易知扇形面
2
x3
1 1 1 x2d(x2 1) 1 x2 1 2 1 d(x2 1) 1 2 2 1 1 d(x 1) (x 1) d(x2 1) (x2 1) 2 d(x2 1) (x2 2) 1x2 c 2 1x2 2 2 3 1x2 2 1x2

f ( x)dx 不能直接套用公式计算，作代换
，
与第一类换元发正好相反，第二类换元法的积分是 x= (t ) 使积分变成
解法 5.用双曲代换 令 x=sht dx=chtdt
反函数 t= 1 ( x) 代回+得出原函数 F[ 1 ( x) ]+C 运算形式如 下： ， 1 （x= (t ) ） f ( x)dx f [ (t )] (t )dt F (t ) C F[ ( x)] C 在使用第二类换元积分法时，应满足的条件是（ 1 ） (t ) 连续且 ， (t ) 0（2）x= (t ) 存在反函数 x= (t ) 可导， ， 1 t= ( x ) 第二类换元积分法的关键是寻找一个恰当的变量代 换，以达到积分的目的，此法没有一般的规律可循，但被
k k （4） Pn ( x) ln xdx取u ln xdx, du Pn ( x)dx
和 J 的二元一次方程组，从而得到 I，这种方法称为方程组 法，下面举例说明这种方法在不定积分计算中的作用 例：计算
3cos x 4 sin x 3sin x 4 cos xdx