数字信号处理 第四章资料
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数字信号处理DSP第4章
G[3] 1
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
数字信号处理 第四章
14
4.2利用模拟滤波器理论的设计方法 4.2利用模拟滤波器理论的设计方法: 利用模拟滤波器理论的设计方法:
IIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术完成 IIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术完成 滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术 最先设计的模拟低通滤波器称为原型滤波器 最先设计的模拟低通滤波器称为原型滤波器 常用的模拟滤波器有： 常用的模拟滤波器有： 巴特沃思(Butterworth)滤波器 巴特沃思(Butterworth)滤波器 切比雪夫(Chebyshev)滤波器 切比雪夫(Chebyshev)滤波器 椭圆(Ellipse) (Ellipse)滤波器 椭圆(Ellipse)滤波器 贝塞尔(Bessel) (Bessel)滤波器 贝塞尔(Bessel)滤波器
8
3、数字滤波器的设计方法 、
IIR滤波器的设计方法 IIR滤波器的设计方法
借助模拟滤波器设计 IIR滤波器 IIR滤波器 脉冲响应不变法 双线性变换法 最优化设计法 直接设计数字IIR滤波器 直接设计数字IIR滤波器 IIR
零极点累试法
Notice： IIR滤波器与 ： 滤波器与FIR滤波器的设计方法大不 滤波器与 滤波器的设计方法大不 相同，IIR滤波器设计结果是系统函数 相同， 滤波器设计结果是系统函数H(z)， FIR ， 滤波器设计结果是系统函数 滤波器设计结果是单位脉冲响应h(n)。 滤波器设计结果是单位脉冲响应 。
20
1、巴特沃思Butterworth低通滤波器 巴特沃思Butterworth低通滤波器
----用巴特沃思函数近似滤波器的频响函数 用
Butterworth低通模平方函数
1 | Ha ( jΩ ) | = 1 + (Ω / Ω c ) 2 N
4.2利用模拟滤波器理论的设计方法 4.2利用模拟滤波器理论的设计方法: 利用模拟滤波器理论的设计方法:
IIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术完成 IIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术完成 滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术 最先设计的模拟低通滤波器称为原型滤波器 最先设计的模拟低通滤波器称为原型滤波器 常用的模拟滤波器有： 常用的模拟滤波器有： 巴特沃思(Butterworth)滤波器 巴特沃思(Butterworth)滤波器 切比雪夫(Chebyshev)滤波器 切比雪夫(Chebyshev)滤波器 椭圆(Ellipse) (Ellipse)滤波器 椭圆(Ellipse)滤波器 贝塞尔(Bessel) (Bessel)滤波器 贝塞尔(Bessel)滤波器
8
3、数字滤波器的设计方法 、
IIR滤波器的设计方法 IIR滤波器的设计方法
借助模拟滤波器设计 IIR滤波器 IIR滤波器 脉冲响应不变法 双线性变换法 最优化设计法 直接设计数字IIR滤波器 直接设计数字IIR滤波器 IIR
零极点累试法
Notice： IIR滤波器与 ： 滤波器与FIR滤波器的设计方法大不 滤波器与 滤波器的设计方法大不 相同，IIR滤波器设计结果是系统函数 相同， 滤波器设计结果是系统函数H(z)， FIR ， 滤波器设计结果是系统函数 滤波器设计结果是单位脉冲响应h(n)。 滤波器设计结果是单位脉冲响应 。
20
1、巴特沃思Butterworth低通滤波器 巴特沃思Butterworth低通滤波器
----用巴特沃思函数近似滤波器的频响函数 用
Butterworth低通模平方函数
1 | Ha ( jΩ ) | = 1 + (Ω / Ω c ) 2 N
数字信号处理 第4章 FFT基本思想和2种基本的FFT
= −W
W的对称性
W的可约性
2 rk WN rk = WN / 2
长序列变成短序列 若N → 2个N / 2
2 则N 2次复述乘法 →（N / 2）= N 2 / 2次复数乘法 2
从信号的特殊性上考虑
– 如奇、偶、虚、实性
W 0 X (0) X (1) W 0 = X (2) W 0 0 X (3) W
对 N = 2M ， 共可分 M 次，即 m = 0,1,L , M − 1，
8点FFT时间抽取算法信号流图
每一级有 N/2 个如下的“蝶形”单元：
xm ( p )
xm +1 ( p )
W
r N
xm (q)
−1
xm +1 (q )
算法讨论（ “级”的概念、碟形单元、 “组” 的概念、旋转因子的分布、码位倒置）
r =2l ,r =2l +1
A(k ), B(k )
C(k) = D(k) =
N / 4−1 l =0
∑x(4l)W
l =0
lk N/4
, k = 0,1,..., N / 4 −1
N / 4−1
lk x(4l + 2)WN / 4 , k = 0,1,..., N / 4 −1 ∑
k A(k) = C(k) +WN / 2 D(k), k = 0,1,..., N / 4 −1 k A(k + N / 4) = C(k) −WN / 2 D(k), k = 0,1,..., N / 4 −1
x(6)
n N
N n = 0,1,L , 2
由此得到基本 运算单元
g (0) g (1) g (2) g (3)
数字信号处理课件第四章资料
k 0,1,..., N 1 2
5、时间抽取蝶形运算流图符号
X1(k)
X1(k) WNk X 2 (k)
X 2 (k )
WNk
1 X1(k) WNk X 2 (k)
返回DIF 返回例题
设 N 23 8
X1(k)
X 2 (k )
WNk
k 0
W80
1
W81
2
W82
3
W83
X (k)
k 0,1,,7
l0
l 0
X1(k) X 3(k) WNk X 4 (k)
2
X1(k
N 4
)
X 3 (k )
W Nk
2
X
4
(k)
k 0,1,..., N 1 4
x2(r)也进行同样的分解：
x5 (l) x2 (2l)
x6 (l) x2 (2l 1)
l 0,1,..., N 1 4
)
N
/ 21
x1(r)WNrk/ 2
X1(k)
r 0
r 0
X2(k N / 2) X2(k) X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
W (kN N
/
2)
WNkWNN
/
2
WNk
N点X(k)可以表示成前 N点和后 点N 两部分：
2
2
前半部分X(k)：
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
N 1
X (k) x(n)WNnk k = 0, 1, …, N-1
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n = 0, 1, …, N-1
二者的差别只在于WN 的指数符号不同，以及差一 个常数因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算量。
5、时间抽取蝶形运算流图符号
X1(k)
X1(k) WNk X 2 (k)
X 2 (k )
WNk
1 X1(k) WNk X 2 (k)
返回DIF 返回例题
设 N 23 8
X1(k)
X 2 (k )
WNk
k 0
W80
1
W81
2
W82
3
W83
X (k)
k 0,1,,7
l0
l 0
X1(k) X 3(k) WNk X 4 (k)
2
X1(k
N 4
)
X 3 (k )
W Nk
2
X
4
(k)
k 0,1,..., N 1 4
x2(r)也进行同样的分解：
x5 (l) x2 (2l)
x6 (l) x2 (2l 1)
l 0,1,..., N 1 4
)
N
/ 21
x1(r)WNrk/ 2
X1(k)
r 0
r 0
X2(k N / 2) X2(k) X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
W (kN N
/
2)
WNkWNN
/
2
WNk
N点X(k)可以表示成前 N点和后 点N 两部分：
2
2
前半部分X(k)：
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
N 1
X (k) x(n)WNnk k = 0, 1, …, N-1
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n = 0, 1, …, N-1
二者的差别只在于WN 的指数符号不同，以及差一 个常数因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算量。
数字信号处理 第四章
x5(l)WNkl/ 4 x6 (l)WNkl/ 4
= =
DFT[x5(l)] = DFT[x6 (l)] =
DFT [ x2 (2l )] DFT[x2(2l + 1)]
l = 0,1,..., N / 4 − 1 l = 0,1,..., N / 4 − 1
统一系数：
Wk N /2
→ WN2k
第四章 快速傅里叶变换 jingqilu@
N/2仍为整数，进一步分解：N/2→ N/4
将x1
(
r
)按奇偶分解：⎧ ⎨ ⎩
x1 x1
(2l (2l
) = x3(l) + 1) = x4
(l
)
l = 0,1,
, N −1 4
⎧⎪ X1(k ) = X 3(k ) + WNk /2 X 4 (k )
⎨ 则有：⎪⎩ X1(k
+
N 4
)
=
X 3 (k )
X
2
(k
)
= =
N / 2−1
x1(r)WNrk/ 2
r=0
N / 2−1
x2 (r)WNrk/ 2
r =0
= =
DFT [x1(r)] DFT [x2 (r)]
第四章 快速傅里叶变换 jingqilu@
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
再利用周期性求X(k)的后半部分
∵ X1 (k ), X 2 (k )是以N / 2为周期的
两个N/2点DFT
N 2/ 2
N (N / 2 –1)
总计
N2/2+N/2≈N2/2 N(N/2-1)+N ≈N2/2
分解前的计算量
精品课件-数字信号处理(第四版)(高西全)-第4章
点DFT和(4.2.10)式或(4.2.11)式所示的N/4个蝶形运算，
如图4.2.3所示。依次类推，经过M次分解，最后将N点DFT
分解成N个1点DFT和M级蝶形运算，而1点DFT就是时域序列
本身。一个完整的8点DIT－FFT运算流图如图4.2.4所示。
图中用到关系式
。W图N中k / m输入W序Nmk列不是顺序排
In Time FFT，简称DIT－FFT )； 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT)。本节介 绍DIT－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。按n 的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r) x(2r)， x2 (r) x(2r 1)，
x1
(2l
1)WNk
( /
2l 2
1)
l 0
l 0
N / 41
N / 41
x3 (l)WNkl/ 4 WNk / 2
x4
(l
)WNk
l /
4
l 0
l 0
X 3 (k ) WNk/ 2 X 4 (k )
k 0， 1， ， N 1 2
(4.2.9)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
式中
N / 41
r0
2
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，
kN
WN 2
WNk
且
，因此X(k)又可表示为
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)，
X
(k
N 2
)
X1(k)
WNk
X
数字信号处理第四章 fft
第四章 快速傅立叶变换（FFT)
基2FFT算法
FFT的基本思想 长为N的序列x(n)的) N
N 1
x ( n )W N
nk
0 k N 1
nk
n0 N 1
X ( k )W N
0 n N 1
x ( n )
n0
N 2
x(
N 2
rn
N 2
1
x1 ( n )W N
2
rn
n0
基2频域抽取FFT(Sande-Tukey算法 ，DIF-FFT)
X ( 2 r 1)
x ( n ) x ( N 2
n0 1
N 2
N 2
1
n ) W N
( 2 r 1) n
nk
将k分成偶和奇数，即将X(k)分解成奇偶两组，在偶数组中k=2r, e 则 ； jk 1 在奇数组中k=2r+1,则 e 1；有：
jk
X (2r )
x ( n )
n0 1
N 2
1
x ( N n ) W N 2 n) N W
2
2 rn
实序列的FFT算法
Z(k)与H(k)、G(k)的关系 一般而言，H(k)，G(k)均是复函数，因此，关键是怎样从Z(k)中分 离出H(k)和G(k)。Z(k)可写作：
WN W
N 2
N 2
k N
e
j
2 N N 2
W N W N
k
k
) X 1 (k
) WN
k
(k
N 2
)
X 2 (k
数字信号处理-第四章(加绪论共八章)精品PPT课件
= 2- (cosω+cos2ω)
21
4.1.2 小结
• 四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。 •幅度特性取决于h(n)。 •设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的 条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。
注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，当H(ω)为 奇对称时，其相频特性中还应加一个固定 相移π。
22
4.1.3 线性相位FIR滤波器的零点特性
h(n) h(N 1 n)
H z zN1H z1
N 1
N 1
H z hnzn hN 1 nzn
N 1 n0
n0
N 1
h(m)z N 1m z N 1 h m z m
m0
m0
zN 1H z1
1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点
4.1.1 线性相位的条件 线性相位意味着一个系统的相频特性是 频率的线性函数，即 ()
式中为常数，此时通过这一系统的各频率分
量的时延为一相同的常数，系统的群时延为
g
d () d
5
线性相位FIR滤波器的DTFT为
N1
H e j h n e jn H e j () H ()e j
26
截短并移位的脉冲响应
过渡带带宽＝阻带边缘频率－通带边缘频率 设计中用的通带边缘频率=所要求的通带边缘频率+(过渡带带宽/2) 27
20
例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求 幅度函数H (ω)。
解 Ｎ为奇数并且h(n)满足偶
对称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H (ω) = 2 - cosω- cos2ω
21
4.1.2 小结
• 四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。 •幅度特性取决于h(n)。 •设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的 条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。
注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，当H(ω)为 奇对称时，其相频特性中还应加一个固定 相移π。
22
4.1.3 线性相位FIR滤波器的零点特性
h(n) h(N 1 n)
H z zN1H z1
N 1
N 1
H z hnzn hN 1 nzn
N 1 n0
n0
N 1
h(m)z N 1m z N 1 h m z m
m0
m0
zN 1H z1
1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点
4.1.1 线性相位的条件 线性相位意味着一个系统的相频特性是 频率的线性函数，即 ()
式中为常数，此时通过这一系统的各频率分
量的时延为一相同的常数，系统的群时延为
g
d () d
5
线性相位FIR滤波器的DTFT为
N1
H e j h n e jn H e j () H ()e j
26
截短并移位的脉冲响应
过渡带带宽＝阻带边缘频率－通带边缘频率 设计中用的通带边缘频率=所要求的通带边缘频率+(过渡带带宽/2) 27
20
例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求 幅度函数H (ω)。
解 Ｎ为奇数并且h(n)满足偶
对称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H (ω) = 2 - cosω- cos2ω
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例如 10点 DFT 100次 复数乘；
1024点 DFT 1,048,576次 复数乘，即100万次的复数乘运算！
二、DFT的高效计算
j 2π
W
N
W
k N
e
e
N j 2πk
N
N
WN2
•
• WNk
0
2 k N
•WN0
WN•k
周期性 WWN0NkrNWNrNWNk1
对称性:
N WWN2N(k N2)W
n0
n0
k 0,1,....N 1
N次 复数乘 计算一个X(k)工作量： 或4N次 实数乘
( N-1)次 复数加 2N+2(N-1)=4N-2次 实数加
全部计算N个X(k) N²次 复数乘
N( N-1)次 复数加
或 4N ²次 实数乘
N(4N-2)次 实数加
结论：直接计算DFT的计算量和N的平方成正比
用下面的蝶形图也可清楚地说明这种运算。
A
A+BC X1(k)☉ •
C
B
A-BC
X2(k)☉
W
k
N•
蝶形运算符号
运算量：几次乘？几次加？ 一个蝶形运算：一次复数乘、两次复数加
经过一次时域抽取计算量：
X(k)
•☉
N
-1
X(k ) •☉ 2
复数乘： 2 ( N / 2)2 N / 2 N ( N 1) / 2
(2l
1)W
k N
(2l /2
1)
l0
l0
N / 41
N / 41
x3
(l
)W
kl N/
4
WNk
/
2
x4
(l
)W
kl N/
4
l0
l0
于是
X3(k) WNk / 2 X4(k) ,
k 0,1,... N 1 2
X1(k) X 3(k) WNk /2 X4(k)
X1(k
N
/
4)
X3(k)
碟形运算
复数加： 2N / 2( N / 2 1) 2N / 2 N 2 / 2
运算量减少近一半
以N＝8为例
x(0) ☉ x(1) ☉ x(2) ☉
.☉ .☉ .☉
☉
DFT
(N=8)
x(7) ☉
☉ X(0) ☉ X(1) ☉ X(2) ☉. ☉. ☉.
☉
☉ X(7)
直接计算需要8×8次复数乘、8×7次复数加
r0
r0
其中X1 (k)和X2 (k)分别为 x(2r)和x(2r＋1) 的N/2点DFT：
N 1 2
X1(k) x(2r)WNkr/2 DFT[x(2r)] r0
, k 0,1,... N 1 2
N 1 2
X2(k) x(2r 1)WNkr/2 DFT[x(2r 1)] r0
0 N
1
WNk
可约性:
WWNnNnkk
WmmNnk
W
nk N/
/m m
利用WN 因子的周期性和对称性，可导出一个高效的快速算法
1965年 Cooley & Tukey 奠定FFT，把长序列短分解，
使得乘法计算量由N 2 次降为
N 2 log2 N
次。
以1024点为例，计算量降为5120 次，仅为原来的4.88%。
x(0) ☉
X1(0)
x(2) ☉ DFT X1(1)
x(4) ☉ (N=4) X1(2)
•
x(6) ☉ x(1) ☉ x(3) ☉
DFT
X1(3) W80
X2(0) X2(1)
W81
•
x(5) ☉ (N=4) X2(2)
x(7) ☉
X2(3)
☉ X(0) ☉ X(1) ☉ X(2) ☉ X(3) ☉ X(4) ☉ X(5) ☉ X(6) ☉ X(7)
36次复数乘 32次复数加
3、第二次抽取
将 x1(r) 按奇偶分解成两个N/4长的子序列x3(l ) 和 x4(l )
x3 (l )
x1(2l )
,
x4 (l ) x1(2l 1)
l 0,1,... N 1 4
N / 41
N / 41
X1(k)
x1 (2l
)W
2kl N /2
x1
6
(k
)
X2(k
N
/
4)
X5(k)
W
k N
/
2
X
6
(
k
)
k 0,1,... N 1 4
经过第二次分解，将N/2点的DFT分解成两个N/4点的DFT和N/4个蝶形运算。
数字信号处理
第四章 快速傅立叶变换(FFT)
§4.1 引言 § 4.2 按时间抽取(DIT)的FFT算法 § 4.3 按频率抽取(DIF)的FFT算法 § 4.4 离散傅立叶反变换(IDFT)的快速计算方法 § 4.5 进一步减少运算量的措施
§4.1 引言
一、DFT直接计算工作量很大
N 1
N 1
X (k) x(n)WNkn {(Re x(n) ReW Im x(n) Im W ) j(Re x(n) Im W Im x(n) ReW )}
r 0,1,... N 1 2
x(n)的DFT为：
N 1
N 1
2
2
X (k)
x(n)WNkn
x(n)WNkn＝ x(2r )WN2kr x(2r 1)WNk(2r1)
n偶 数
n奇 数
r0
r0
N 1
N 1
2
2
x1
(r
)W
kr N/
2
W
k N
x2(r)WNkr/ 2 X1(k) WNk X 2(k) , k 0,1,...N 1
, k 0,1,... N 1 2
由于X1 (k)和X2 (k)都是N/2点DFT，而X (k)有N点，所以得计算后N/2点.
由于它们均以N/2为周期，且
X1(k
N) 2
N 1 2
(k N )r
x1(r )WN / 2 2
r0
X1
(k
WN
(k)
N 2
)
W 同理
k N
，因此
N X2(k 2
)
本章以基2 的FFT算法为重点
§4.2 按时间抽取(DIT)的FFT算法(库利-图基算法)
一、算法原理（时域奇偶分，频域前后分）
设x(n)长度N， N=2M， M为自然数
1、第一次抽取：
将x(n)按偶、奇分成两组，可得两各自长度为N/2的奇偶序列
x1(r) = x(2r)
x2(r) = x(2r+1)
பைடு நூலகம்
W
k N
/
2
X4(k)
k 0,1,... N 1 4
同样，将 x2 (r ) 按奇偶分解成两个N/4长的子序列 x5 (l ) 和 x6 (l )
x5 (l )
x2 (2l )
,
x6 (l ) x2 (2l 1)
l 0,1,... N 1 4
X 2 (k )
X
5
(
k
)
W
k N
/
2
X
X2(k)
X (k) X1(k) WNk X2(k),
k 0,1,... N 1 2
X1(k)☉ •
X(k
N 2
)
X1(k)
WNk
X2(k),
k 0,1,... N 1 2
X2(k)☉
W
k
N•
-1
X(k)
•☉
N X(k ) •☉ 2
这样，将一个N点DFT分解成两个N/2点 DFT。
2、蝶形运算