信号与系统答案(刘卫东)第八章

8－1对连续非周期信号进行抽样获得离散非周期信号，说明离散非周期信号频谱和连续非周期信号频谱的
关系。

解：对非周期信号()a x t 进行冲激抽样，得到的非周期连续信号的傅里叶变换，等于对非周期信号()a x t 进
行数值抽样得到的离散非周期信号的离散时间傅里叶变换。

即()()as d X X ωθ=,而冲激抽样信号的傅里叶变换()as X ω是被抽样的非周期连续信号的傅里叶变换()a X ω的周期延拓，延拓周期为2s s T πω=，如果()a x t 频率有限，且抽样过程满则抽样定理，即22s m s
T πωω=≥，则延拓过程不产生混叠，()as X ω(即()d X θ)中有完整的()a X ω的波形，在此情况下，截取()as X ω的一个周期，它和()a X ω的关系为：
()()(),22
s s a s as s d X T X T X ωωωωθω==−
<<
8－2 已知)()(n u a n x d n d =（1<a ），求)(n x d 的DTFT 。

解：1001()[()]()()()lim 1j k j n n j n n j n j n d d d j k n n n n ae DTFT x n x n e a u n e a e ae ae θθθθθθ
−+∞∞∞∞−−−−−→∞=−∞=−∞==−=====−∑∑∑∑ 由于1<a ，所以11()1lim 11j k j j j j k ae e ae ae e a
θθ
θθθ−+−−→∞−==−−−
8－3 已知非周期矩形方波信号)2(2()(11T t u T t u t g a a a −−+=，以m
T T s 1=的抽样间隔对)(t g a 进行抽样得)(n g d ，计算[])(DTFT )e (n g G d j d =θ，定性画出3=m ，5=m 和7=m 时
[])(DTFT )e (n g G d j d =θ的波形，并和)(t g a 的傅立叶变换波形进行比较。

解：1111()()((22
s d a a a t nT T T T T g n g t u n u n m m ===+−− [],22(e )DTFT ()()j j n j n d d d
m m n n n z G g n g
n e e θ
θθ∞−−=−∞−≤≤∈===∑∑ 所以当3=m 时，11(e )112cos j j n j j d n G e e e θθθθθ−−=−=
=++=+∑ 当5=m 时，2222(e )112cos 2cos 2j j n j j j j d n G e e e e e θθθθθθθθ−−−=−=
=++++=++∑
当7=m 时，
322333(e )112cos 2cos 22cos3j j n j j j j j j d n G e e e e e e e θ
θθθθθθθθθθ−−−−=−==++++++=+++∑
非周期矩形方波信号)2(2()(11T t u T t u t g a a a −−+=的傅里叶变换为 11()(
()22
a T G E Sa T Sa ωωτωτ==，对()a g t 以s T 间隔冲激抽样后，得到信号()as g t 的傅里叶变换为1()()as a s n s G G n T ωωω∞=−∞
=−∑，现在m T T s 1=，所以 1112()()()as a s a n n s m G G n G n m T T T πωωωω∞∞=−∞=−∞=−=−∑∑，由于冲激抽样信号的傅里叶变换应该等于数值抽样信号的离散时间傅里叶变换，所以
[]1112(e )DTFT ()()()()2
s j d d as a T n n s m m m G g n G G n m Sa n m T T T T θ
θωθπθωπ∞∞==−∞=−∞===−=−∑∑
当m 越大，抽样信号的DTFT 的一个周期越接近原来连续信号的傅里叶变换。