最新七年级下北师大版认识三角形三角形的中线角平分线高线培优试题
北师大版数学七年级下4.1.3三角形中线、角平分线
初中数学试卷金戈铁骑整理制作三角形的中线、角均分线根基训练1. 假定 AD是△ ABC的中线 , 那么以下结论中错误的选项是()A.AB=BCB.BD=DC均分 BC D.BC=2DC2. 三角形一边上的中线把原三角形必定分红两个()A. 形状同样的三角形B. 面积相等的三角形C. 直角三角形D.周长相等的三角形3.如图, BD是△ ABC的中线 ,AB=5,BC=3,△ABD和△ BCD的周长的差是()D.不可以确立4. 如图, 在△ ABC中,D,E 分别为 BC,AD 的中点 , 且 S△ABC=4, 那么 S 暗影为()C. D.5.三角形的三条中线交于一点 , 那么以下结论 : ①这一点在三角形的内部 ;②这一点有可能在三角形的外面 ; ③这一点是三角形的重心 . 其中正确的结论有.( 填序号 )6.有一质地平均的三角形铁片 , 假定阿龙想用木棒撑住此铁片 , 那么支撑点应设在该三角形的处最适合 .7.以下说法中正确的选项是 ()A.三角形的角均分线和中线都是线段B.三角形的角均分线和中线都是射线C.三角形的角均分线是射线 , 而中线是线段D.三角形的角均分线是线段 , 而中线是射线8. 如图,∠1=∠2,∠ 3=∠4,以下结论错误的选项是()是△ ABC的角均分线是△ BCD的角均分线C. ∠3= ∠ACB是△ ABC的角均分线9. 如图,BD 均分∠ ABC,CD均分∠ ACB,假定∠ A=50°, 那么∠ D等于 ()°°°°提高训练10.如图 ,AD 是∠ CAB的均分线 ,DE∥AB,DF∥AC,EF交 AD于点 O.请问 :(1)DO 是∠ EDF的均分线吗 ?给出结论并说明原因 .(2) 假定将 DO是∠ EDF的均分线与 AD是∠ CAB的均分线 ,DE∥AB,DF∥AC中的任一条件互换 , 所得结论正确吗 ?假定正确 , 请选择一个说明原因 .11.如图 , 网格小正方形的边长都为 1, 在△ ABC 中, 试分别画出三条边上的中线 , 而后研究三条中线的地点及与其相关的线段之间的关系 , 你发现了什么风趣的结论?12. 如图 ,在△ABC中,BC 边上的高是; 在△ BCE中,BE 边上的高.是; 在△ ACD中,AC 边上的高是13. 过△ ABC的极点 A, 作 BC边上的高 , 以下作法正确的选项是 ()14.如图 , △ABC的面积为 16, 点 D是 BC边上一点 ,且 BD=BC,点 G是 AB上一点 , 点 H在△ ABC内部 , 且四边形 BDHG是平行四边形 , 那么图中暗影局部的面积是 ()15.假如一个三角形的三条高的交点正是三角形的一个极点, 那么这个三角形是 ()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D.都有可能16. 不必定在三角形内部的线段是()A. 三角形的角均分线B. 三角形的中线C. 三角形的高D.以上都不对()17. 以下说法中正确的选项是A.三角形的三条高都在三角形内B.直角三角形只有一条高C.锐角三角形的三条高都在三角形内D.三角形每一边上的高都小于其余两边18.以下结论 : ①三角形的角均分线、中线、高都是线段 ; ②直角三角形只有一条高 ; ③三角形的中线可能在三角形外面 ; ④三角形的高都在三角形内部 .此中正确的有 ()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个19. 如图 , 在△ ABC 中 ,AD⊥ BC,BE⊥ AC,垂足分别为 D,E, 假定BC=10,AC=8,BE= , 求 AD的长 .20. AD是△ ABC的高 , ∠BAD=72°, ∠CAD=21°, 求∠ BAC的度数 .21.如图 , 在△ ABC中,AB=AC=4,P 是 BC 边上任一点 ,PD⊥AB,PE⊥AC,D,E为垂足 . 假定△ ABC的面积为 6, 问:PD+PE的值可否确立 ?假定能确立 , 值是多少 ?请说明原因 .参照答案1.【答案】 A2.【答案】 B3.【答案】 A解：依据中线的定义 ,得 AD=CD, 因此两三角形的周长之差就是AB 与BC 之差.4.【答案】 B解：由于 AD 是△ABC 的中线 ,因此 S△ACD = S△ABC =2.又由于 CE 是△ACD的中线 ,因此 S 暗影 = S△ACD =1.应选 B.5.【答案】①③6.【答案】重心7.【答案】 A8.【答案】 D解：射线 CE 是∠BCA 的均分线 ,但线段 CE 不是△ABC 的角均分线 , 它不过△ABC 角均分线的一局部 .9.【答案】 C解：∠°∠CBD-∠° (∠ABC+∠D=180 -BCD=180 -ACB)=180°-°×(180 °-50 °)=115 °.-=180 -10.解:(1)DO 是∠EDF 的均分线 .原因 :由于 AD 是∠CAB 的均分线 ,因此∠EAD= ∠FAD.由于 DE∥AB,DF ∥AC,因此∠EDA= ∠FAD,∠FDA= ∠EAD.因此∠EDA= ∠FDA.因此 DO 是∠EDF 的均分线 .(2)正确 .假定和 DE∥AB 互换 .原因 :由于 DF∥AC,因此∠FDA= ∠EAD.由于 AD 是∠CAB 的均分线 ,因此∠EAD= ∠FAD.因此∠FAD=∠FDA.又由于 DO 是∠EDF 的均分线 ,因此∠EDA= ∠FDA. 因此∠EDA= ∠FAD.因此 DE∥AB.(答案不独一 )11.解:所画中线以下列图.发现的结论为 :①三条中线交于一点;②在同一条中线上 ,中线的交点与边中点所连线段的长度等于它与对应极点所连线段的长度的一半.12.【答案】 AF;CE;CD13.【答案】 A14.【答案】 B解：设△ABC 底边 BC 上的高为 h,△AGH 底边 GH 上的高为 h1,△CGH底边 GH 上的高为 h2,那么有 h=h1+h2.S△ABC= BC·h=16,S 暗影 =S△AGH +S△CGH = GH·h1+ GH·h2= GH·(h1+h2)= GH·h.由于四边形 BDHG 是平行四边形 ,且 BD= BC,因此 GH=BD= BC,因此 S 暗影 = ×= S△ABC =4.应选 B.15.【答案】 C 16.【答案】 C 17.【答案】 C18.【答案】 A19.解 :由于AD ⊥BC,BE ⊥ AC, 因此S△ABC = ·BC·AD=·AC·BE.因此BC·AD=AC· BE. 又由于BC=10,AC=8,BE= , 因此10AD=8×. 因此AD=6.8.20.解:当高 AD 在△ABC 的内部时 ,如图①,∠BAC= ∠BAD+ ∠CAD=93°; 当高 AD 在△ABC 的外面时 ,如图②,∠BAC= ∠BAD- ∠CAD=51 °.21.解:PD+PE 的值能确立 ,且 PD+PE=3.原因 :如图 ,连结 AP.由图可得 S△ABC =S△ABP +S△ACP.由于 PD⊥AB,PE⊥AC,AB=AC=4, △ABC 的面积为 6,因此 6= ×4×PD+ ×4×PE=2(PD+PE).因此 PD+PE=3.。
北师大版七年级数学下册 第四章 三角形4.1.3三角形的中线、角平分线 习题课件
＝4，则 S 阴影＝（ B ）4
*4.如 图 ，CM 是 △ABC的 中 线， △BCM 的 周 长 比
△ACM的周长多3 cm，BC＝8 cm，则AC的长
为
cm.
【点拨】因为CM是△ABC的中线，所以AM＝BM. 因为(BC＋CM＋BM)－(AC＋CM＋AM)＝3 cm， 所以BC－AC＝3 cm. 又因为BC＝8 cm，所以AC＝8－3＝5(cm)．
【点拨】因为CO是△ABC的角平分线，所以∠DCB＝ ∠DCA.因为BD∥AC，所以∠DBA＝∠A＝45°，∠D＝ ∠ACD＝∠DCB.因为∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－ 80°＝100°，所以∠D＝180°－∠DBA－∠BOD＝180° －45°－100°＝35°.所以∠DCB＝35°.所以∠CBD＝ 180°－∠D－∠DCB＝180°－35°－35°＝110°. 【答案】B
9．如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC， EF交AD于点O.
（1）请问：DO是∠EDF的平分线吗？给出结论并说明 理由．
解：DO是∠EDF的平分线． 理由：因为AD是∠CAB的平分线，所以∠EAD＝∠FAD. 因为DE∥AB，DF∥AC， 所以∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD. 所以∠EDA＝∠FDA. 所以DO是∠EDF的平分线．
（2）若将DO是∠EDF的平分线与AD是∠CAB的平分 线，DE∥AB，DF∥AC中的任一条件交换，所得 结论正确吗？若正确，请选择一个说明理由．
解：正确．若和DE∥AB交换． 理由：因为DF∥AC，所以∠FDA＝∠EAD. 因为AD是∠CAB的平分线，所以∠EAD＝∠FAD. 所以∠FAD＝∠FDA.又因为DO是∠EDF的平分线， 所以∠EDA＝∠FDA.所以∠EDA＝∠FAD. 所以DE∥AB.(答案不唯一)
七年级数学下册三角形认识三角形三角形的中线、角平分线练习北师大版(2)
三角形的中线、角平分线1如图所示，在△ ABC中, AD平分/ BAC且与BC相交于点D / B= 40°,/ BAD= 30°,则/C的度数是（）A . 70°B . 80°C . 100 °D . 110 °2.在厶ABC中, AC= 5cm,人。
是厶ABC的中线，若△ ABD的周长比△ ADC勺周长大2cm,则BA= ______ .3•如图，在△ ABC中, E是BC上的一点，EG 2BE点D是AC的中点，设△ ABC △ ADF和△ BEF的面积分别为& ABC, &ADF和& BEF,且S^ABC^—12，则ADF—BEF= _________ .4•任意画一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，然后画出经过每个三角形中最大角的顶点的角平分线、中线. 观察这三个图形，说出所画的角平分线、中线在三角形的内部还是外部.5.如图所示，已知/ XO= 90 °，点A, B分别在射线OX OY上移动.BE是/ABY的平分线,BE 的反向延长线与/ OAB勺平分线相交于点C,则/ ACB的大小是否变化？如果保持不变, 请说明原因；如果随点A，B的移动而发生变化，求出变化范围.6.如图，已知AD>^ ABC的角平分线，/ CEB=0°,Z BAC= 60°, / BCE= 40°,求/ ADB 的度数. 参考答案/ CDB90°, CE是/ ACB的角平分线, 求/ DCE的度数.1.B2.7cm3.4. 两者都在三角形的内部.15. 解：作/ ABO的平分线交AC于点D,则/ BDA= 180° -( / DAB£DBA = 180° -- ( / OAB+2/OBA = 135°，由BD, BE分别是/ OBA和/ YBA的平分线，可知BDLCB所以/ ACB=ZBDA/ DBC= 135° -90 ° = 45°.可见/ ACB的大小始终为45°.6. 解：T 人。
最新七年级下北师大版认识三角形,三角形的中线、角平分线高线培优试题
认识三角形（一） 一．边的大小关系，范围讨论例1 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm ）（1） 1， 3， 3 （ ）（2） 3， 4， 7 （ ）（3） 5， 9， 13 （4） 14， 15， 30 （ ）例2已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是 ；若X是奇数，则X 的值是 ，这样的三角形有 个；若X 是偶数，则X 的值是 ；这样的三角形又有 个。
例3一个等腰三角形的一边是5cm ，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是多少例4如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，求AC 的长．过手变式练习：1 有一个三角形的两边分别为5和12，且周长为奇数，则满足条件的三角形的个数为__________2 已知一个三角形有两边相等，周长为56cm ，两边之比为3：2，则这个三角形各边的长为_______4 若a ，b ，c 是△ABC 的三边，试化简=+-+-++--c b a c b a c b a __________________5 已知在△ABC 中，010616222=++--bc ab c b a ，若a ，b ，c 是三角形的三边，求证b c a 2=+ 二．角的关系例1 AD 是△ABC 的一条高，也是△ABC 的角平分线，若∠B =40°,求∠BAC 的度数.例2如图，△ABC 中，∠ B ＝34°，∠ACB＝104°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠ BAC 的平分线，求∠ DAE的度数．B CD E例3（1）如图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = （ ）A.180°B.260°C.270°D.360°例4.一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于 （ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°过手变式练习：1、如图，已知 ∠E ＋∠F ＝∠H ，求：∠A ＋∠B ＋∠ACD ＋∠CDG 的度数．2、如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．解答下列问题：(1)若∠D ＝40，∠B ＝36，求∠P 的度数；(2)如果图中的∠D 和∠B 为任意角时，其它条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系？（直接写出结论即可）3、如图，BD 是△ABC 中∠ABC 的角平分线，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线，它与BD 的延长线交于点D ，我们将会得到∠A ＝2∠D 这一结论，试想一想为什么？并加以说明．5（1）在△ＡＢＣ中，∠A-∠B=20°，∠B-∠C=20°，求∠A 和∠C 的度数。
北师大版七年级(下)数学4.1.3认识三角形——中线、角平分线同步检测
北师大版七年级（下)数学4.1.3认识三角形——中线、角平分线同步检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的一定是（ ） A ．角平分线 B ．中线 C ．高 D ．一条边的垂直平分线 2．如图AD 是△ABC 的中线，那么BD=（ ）A ．ADB ．AC C ．BCD ．CD 3．如图，△ABC 中，D 、E 分别是 BC 、AD 的中点，若△ABC 的面积是 18，则△ABE 的面积是（ ）A ．9B ．4.5C ．6D ．44．三角形的三条 线交点，叫做三角形的重心（ ）A ．高B ．中C ．角平分D ．无法确定 5．如图，△ABC 中，BD 是 ∠ ABC 的角平分线，DE ∥ BC ，交AB 于 E ，∠A=60º， ∠BDC=95º，则∠BED 的度数是（ ）A ．35°B ．70°C ．110°D ．130° 6．如图，AD 是ABC ∆的中线，CE 是ACD ∆的中线，DF 是CDE ∆的中线，若2DEF S ∆=，则ABC S ∆等于（ ）A ．16B ．14C ．12D ．107．如图，若12∠=∠，34∠=∠，则下列结论中错误的是（ ）A ．AD 是ABC ∆的角平分线B ．CE 是ABC ∆的角平分线 C ．13ACB 2∠=∠ D ．CE 是ACD ∆的角平分线 8．在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△BAC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．59°D ．55°二、填空题9．如图，AD 是ABC V 的边BC 上的中线，点E 在AD 上，2AE DE =，若ABE △的面积是4，则ABC V 的面积是__________．10．如图，在ABC ∆中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且216cm ABC S ∆=，则BEF S ∆=______2cm ．11．在△ABC 中，D 是中点，△ADC 的面积是3，则△ABC 的面积是____．12．如图所示，DE ∥BF ，∠D ＝53°，∠B ＝30°，DC 平分∠BCE ，则∠DCE 的度数为_____．13．如图，已知AC 是BAE ∠的平分线，40B ∠=︒，70E ∠=︒，则ACE ∠=______°．14．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 的重心，连结BP ，CP ，则△BPC 的面积为_____．15．已知AD 是△ABC 的中线，△ABD 和△ACD 的周长之差为3，AB =6，则AC =____．三、解答题16．如图，已知∠A ＝65°，∠ABD ＝∠DCE ＝30°，且CE 平分∠ACB ．求∠BEC 及∠ABC ．17．如图:在ABC ∆中（AC AB >），2AC BC =，BC 边上的中线AD 把ABC ∆的周长分成60cm 和40cm 两部分，求边AC 和AB 的长.18．如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．（1）∠ABE =15°，∠BED =55°，求∠BAD 的度数；（2）若△ABC 的面积为20，BD =2.5，求△BDE 中BD 边上的高．19．如图所示，在△ABC 中，已知AD ⊥BC ，∠B=64°，∠C=56°，（1）求∠BAD 和∠DAC 的度数；（2）若DE 平分∠ADB ，求∠AED 的度数．20．如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，点F 在CD 上．（1）若∠AED=∠ACB, ∠DEF= ∠B ，求证：EF//AB ；（2）若D 、E 、F 分别是AB 、AC 、CD 的中点，连接BF ，若四边形 BDEF 的面积为6，试求△ABC 的面积．21．如图，AE 平分BAC ∠，BF 平分ABC ∠，（1）若100BAC ABC ∠+∠=︒，则1ABF ∠+∠的度数是_______.（2）填空，完成推理.因为AE 平分BAC ∠，BF 平分ABC ∠，所以112BAC ∠=∠，12ABF ABC ∠=∠. 所以112ABF ∠+∠=（__________+____________）. 因为100BAC ABC ∠+∠=︒,所以1ABF ∠+∠=____________.（3）若α=∠C ，求ADB ∠的度数参考答案1．B【解析】【分析】中线将三角形的面积平分，根据这个性质可得答案【详解】中线将三角形的面积平分，下面进行简单证明，如下图，AD 是△ABC 的中线，过点A 作BC 的垂线，交BC 于点E∵AE ⊥BC，∴AE 是△ABD 和△ADC 分别以BD 、DC 为底的高12ABD S BD AE =⨯⨯V ，12ACD S CD AE =⨯⨯V ∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC∴ABD ACD S S =V V∴△ABC 的中线AD 将△ABC 的面积平分故选：B【点睛】本题考查中线的性质，同时我们也要注意角平分线的性质：角平分线上的点到夹角两边的距离相等.2．D【解析】【分析】根据三角形中线的定义、线段的中点定义即可得．【详解】AD Q 是ABC V 的中线∴点D 是线段BC 的中点BD CD ∴=故选：D．【点睛】本题考查了三角形中线的定义、线段的中点定义，熟记相关定义是解题关键．3．B【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积. 【详解】∵AD是BC上的中线，S△ABC，∴S△ABD=S△ACD=12∵BE是△ABD中AD边上的中线，S△ABD，∴S△ABE=S△BED=12SΔABC，∴S△ABE=14∵△ABC的面积是18，×18=4.5.∴S△ABE=14故选B.【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，三角形一边上的中线把原三角形分成的两个三角形的面积相等.4．B【解析】【分析】根据三角形的重心定义即可得．【详解】三角形的重心是三角形的三条中线的交点故选：B．【点睛】本题考查了三角形的重心定义，熟记定义是解题关键．另外常考点是三角形的内心、外心、垂心的概念，需加以区分．5．C【解析】【分析】由三角形的外角性质得出∠ABD=35°，由角平分线的定义求出∠ABC=2∠ABD=70°，再由平行线的性质得∠BED+∠ABC=180°，即可得出结果．【详解】∵∠BDC=∠A+∠ABD ，∴∠ABD=95°−60°=35°，∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABC=2∠ABD=70°，∵DE ∥BC ，∴∠BED+∠ABC=180°，∴∠BED=180°−70°=110°．故选C ．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，平行线的性质以及角平分线的定义，掌握三角形的外角的性质定理，是解题的关键．6．A【解析】【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形即可解答．【详解】解：∵DF 是CDE ∆的中线，2DEF S ∆=，∴24DEC DEF S S ∆∆==，又∵CE 是ACD ∆的中线，∴28ADC DEC S S ∆∆==，又∵AD 是ABC ∆的中线，∴126ABC ADC S S ∆∆==，故答案为：A ．【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，解题的关键是熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形．7．B【解析】【分析】根据角平分线的定义即可得出答案.【详解】∵∠1=∠2∴AD 是△ABC 的角平分线，故A 正确；∵∠3=∠4∴CE 是△ACD 的角平分线，∠3=12∠ACB ，故B 和C 正确； 故答案选择B.【点睛】本题考查的是角平分线，属于基础题型，需要熟练掌握角平分线的判定与性质.8．A【解析】试题解析：∵∠B=67°，∠C=33°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°， ∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°， 故选A ．9．12【解析】【分析】根据△ABD与△ABE是同高的两个三角形，求出△ABD的面积；再根据三角形的中线平分三角形的面积即可．【详解】解：∵AE＝2DE，∴AD＝3DE，∵△ABD与△ABE是同高的两个三角形，∴S△ABE：S△ABD＝AE：AD＝2DE：3DE＝2：3．又∵△ABE的面积是4，∴S△ABD＝6．∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴S△ADC＝S△ABD＝6，∴S△ABC＝S△ADC＋S△ABD＝6＋6＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形的面积．中线能把三角形的面积平分，利用这个结论就可以求出三角形△ABC的面积．10．4【解析】【分析】利用三角形的中线的性质即可解决问题；【详解】∵点D，E，F，分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=16，∴S△ABD=S△ADC=8，S△BDE=S△DEC=4，∴S△BEC=8，∴S阴=12•S△BEC=4，故答案为4．【点睛】此题考查三角形的中线的性质，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．11．6．【解析】【分析】根据三角形中线的性质，即可求解．【详解】∵在△ABC中，D是中点，△ADC的面积是3，∴△ABC的面积＝2S△ADC＝6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查三角形中线的性质，掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，是解题的关键．12．23°．【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠FAC＝∠D，根据三角形外角的性质可得∠ACB，再根据角平分线定义即可求解．【详解】解：∵DE∥BF，∠D＝53°，∴∠FAC＝∠D＝53°，∵∠B＝30°，∴∠ACB＝23°，∵DC平分∠BCE，∴∠DCE＝23°．故答案为：23°．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质、角平分线定义，熟练掌握相关知识是解题得关键13．75【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAE的度数，再根据AC是△BAE的角平分线，求出∠BAC的度数，即可求出∠ACE的度数．【详解】∵∠B=40°，∠E=70°，∴∠BAE=180°-40°-70°=70°，∵AC为∠BAE角平分线，∴∠BAC=∠EAC=12∠BAE=35°，∠ACE=∠B+∠BAC=40°+35°=75°．∴故答案为：75．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质及角平分线的性质，解答的关键是熟记三角形的内角和定理．14．4【解析】【分析】△ABC的面积S＝12AB×BC＝1642⨯⨯＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝23BE，即可求解．【详解】解：△ABC的面积S＝12AB×BC＝1642⨯⨯＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝23BE，（证明见备注）△BEC的面积＝12S＝6，BP＝23 BE，则△BPC的面积＝23△BEC的面积＝4，故答案为：4．备注：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点．EC、FB交于G．求证：EG＝12CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H．∵AE＝BE，EH∥BF，∴AH＝HF＝12 AF，又∵AF＝CF，∴HF＝12 CF，∴HF：CF＝12，∵EH∥BF，∴EG：CG＝HF：CF＝12，∴EG＝12 CG．【点睛】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．15．3或9【解析】【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算求出两三角形周长的差等于AB AC，分类讨论AB和AC的大小，即可得到AC的值；【详解】解：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∵△ABD 与△ACD 的周长之差=()()AB AD BD AC AD BD ++-++=AB AC -， ∵△ABD 和△ACD 的周长之差为3，∴AB 与AC 的差为3cm ，若AB ＞AC ，则AC=AB-3=6-3=3；若AB ＜AC ，则AC=AB+3=6+3=9；故答案为：3或9.【点睛】 本题考查了三角形的中线，求出两三角形周长的差等于AB AC -是解题的关键. 16．∠ABC =55°，∠BEC =125°【解析】【分析】由∠BDC=∠A+∠ABD 可以得到∠BDC ，又知∠BEC=∠BDC+∠DCE ，故得到∠BEC 的度数，要求∠ABC ，则要求∠ACB ，利∠ABC=180°-∠A-∠ACB 得到答案． 【详解】∵∠BDC=∠A+∠ABD ，∴∠BDC=65°+30°=95° ∵∠BEC=∠BDC+∠DCE ，∴∠BEC=95°+30°=125° 又∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠DCE=60°∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-65°-60°=55°．故答案为125°、55°．【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握其定义．17．48AC cm =，28AB cm =【解析】【分析】先根据AD 是BC 边上的中线得出BD=CD ，设BD=CD=x ，AB=y ，则AC=4x ，再根据AC+CD=60，AB+BD=40，即可得出x 和y 的值．【详解】∵AD 是BC 边上的中线，2AC BC =，∴BD CD =，设BD CD x ==，AB y =，则4AC x =，∵AC AB >，∴60AC CD +=，40AB BD +=，即460x x +=，40x y +=，解得：12x =，28y =，即448AC x cm ==，28AB cm =．【点睛】本题考查了三角形的中线，利用数形结合的方法，用列方程求线段的长度是常用的方法，需要掌握好．18．（1）40︒；（2）4【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质即可求得；（2）三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求出BDE ∆的面积，即可求得BD 边上的高．【详解】（1）∵15BED ABE BAD ABE ∠=∠+∠∠=︒，，55BED ∠=︒，∴551540BAD BED ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）如下图所示，过E 点作EF ⊥BC 于F ，∵AD 为ABC ∆的中线， ∴12ABD ACD ABC S S S ∆∆∆==， ∵BE 为ABD ∆的中线， ∴12ABE BED ABD S S S ∆∆∆==， ∵20ABC S ∆=， ∴152BED S BD EF ∆=⋅=， ∵BD =2.5，∴EF =4，∴BDE ∆中BD 边上的高为4.【点睛】本题主要考查了三角形外角以及三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解决本题的关键.19．（1）34°（2）109°【解析】【分析】（1）在Rt △BAD 和Rt △BAD 中，根据直角三角形的两个锐角互余分别求解即可得； （2）由DE 平分∠ADB ，AD ⊥BC 求得∠BDE=45°，再根据三角形外角的性质求解即可.【详解】（1）∵AD ⊥BC ，∴在Rt △BAD 中，∠BAD+∠B=90°， 又∵∠B=64°，∴∠BAD=26°； ∴在Rt △BAD 中，∠DAC+∠C=90°， 又∵∠C=56°，∴∠DAC=34°； （2）∵AD ⊥BC ，DE 平分∠ADB ，∴∠BDE=45°，在△BED 中，∠B=64°，∴∠B+∠BDE=109°，∵∠AED=∠B+∠BDE，∴∠AED=109°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余以及三角形外角的性质是解题的关键.20．（1）详见解析；（2）16【解析】【分析】（1）根据平行线性质证出∠ADE＝∠DEF，可得EF∥AB；（2）根据三角形中线把三角形面积平分性质求解.【详解】（1）证明：∵∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC．∴∠ADE＝∠B．又∵∠DEF＝∠B，∴∠ADE＝∠DEF，∴EF∥AB．（2）解：∵点F 是DC的中点，∴设S△DEF＝S△CEF＝x，∵点E是AC的中点，∴S△ADE＝S△CDE＝2x，∵点D是AB的中点，∴S△BDC＝4x，S△BDF＝2x，∴S四边形BDEF＝3x．∵S 四边形BDEF＝6，∴3x＝6，∴x＝2，∴S△ABC＝8x＝16．【点睛】考核知识点：平行线判定和性质；三角形中线.理解定理内容是关键.21．（1）见解析；（2）50°；（3）BAC∠，ABC∠，50︒【解析】【分析】（1）根据题意画出角平分线即可；（2）根据角平分线的性质可得112ABF∠+∠=（∠BAC+∠ABC），即可求出结果；（3）根据推理步骤，补全所缺内容即可. 【详解】（1）如图.（2）50°. （3）因为AE 平分BAC ∠，BF 平分ABC ∠，所以112BAC ∠=∠，12ABF ABC ∠=∠. 所以112ABF ∠+∠=（____BAC ∠______+______ABC ∠______）. 因为100BAC ABC ∠+∠=︒,所以1ABF ∠+∠=_____50︒_______.【点睛】 本题主要考查角平分线的性质，角的度数的计算，关键在于运用数形结合的思想推出112ABF ∠+∠=（∠BAC+∠ABC ）.。
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案解析(北师大版)
七年级数学下册《认识三角形》练习题及答案解析(北师大版) 一、单选题1．如图在△ABC中AD是△ABC的角平分线则（）A．△1=12△BAC B．△1=12△ABC C．△1=△BAC D．△1=△ABC2．两根长度分别为2 10的木棒若想钉一个三角形木架第三根木棒的长度可以是（）A．13B．10C．7D．63．如图给出的三角形有一部分被遮挡则这个三角形可能是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．如图从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子绳子底端恰好在地面P处若旗杆的高度为13.2米则绳子AP的长度不可能是（）A．13米B．13.3米C．14米D．15米5．利用直角三角板作△ABC的高线下列作法正确的是（）A．B．C．D．6．若一个直角三角形其中一个锐角为40° 则该直角三角形的另一个锐角是（）A．60°B．50°C．40°D．30°7．如图AD BE CF是△ABC的三条中线则下列结论正确的是（）A．BC=2AD B．AB=2AF C．AD=CD D．BE=CF8．如图用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限）不计螺丝大小其中相邻两螺丝的距离依次为3 4 5 7 且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．9B．8C．7D．69．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形这两个三角形不可能()A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形10．如图若△ABC的三条内角平分线相交于点I 过I作DE△AI分别交AB AC于点D E 则图中与△ICE一定相等的角（不包括它本身）有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题11．如图AD AE分别是△ABC的角平分线和高∠B=50°∠C=70°则∠BAD=度∠EAD=度.12．已知三角形三边长分别为2 x 13 若x为正整数则这样的三角形有个．13．已知△ABC中△A=12△B=13△C 则△ABC是三角形．14．同一平面内有A B C三点A B两点之间的距离为5cm点C到直线AB 的距离为2cm且△ABC为直角三角形则满足上述条件的点C有个.三、作图题15．用圆规和直尺作图：已知△AOB（如图）求作：△AOB的平分线OC．（要求保留作图痕迹不写作法和证明过程）．四解答题16．如图AD是△BAC的平分线CE是△ADC边AD上的高若△BAC＝80° △ECD＝25° 求△ACB的度数．17．已知a b c是△ABC的三边长若b=2a−1c=a+5且△ABC的周长不超过20cm 求a范围．18．如图在△ABC中AD△BC 垂直为D △1=△B △C=67° 求△BAC的度数19．如图所示图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．20．如图在△ABC中CE BF是两条高若△A＝70° △BCE＝30° 求△EBF与△FBC的度数．21．如图求△A+△B+△C+△D+△E的大小．22．如图1 AB与CD相交于点O 若△D=38° △B=28° △DAB和△BCD的平分线AP和CP 相交于点P 并且与CD AB分别相交于M N．试求：（1）△P 的度数；（2）设△D=α △B=β △DAP= 13 △DAB △DCP= 13 △DCB 其他条件不变 如图2 试问△P 与△D △B 之间存在着怎样的数量关系（用α β表示△P ） 直接写出结论．参考答案1．【答案】A【解析】【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线 ∴△1=12△BAC故答案为：A.【分析】根据角平分线的定义求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：设第三边的长度为x则10−2<x <10+2 即8<x <12 则x =10符合题意 故答案为：B.【分析】设第三边的长度为x 根据三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 列出不等式组 求解可得x 的取值范围 从而一一判断即可得出答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：由图形可得：该三角形为锐角三角形.故答案为：B.【分析】观察图形可知：图中的三角形有两个锐角 且第三个角也小于90° 据此可判断出三角形的形状.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵旗杆的高度为AB =13.2米又∵AP ＞AB∴绳子AP 的长度不可能是：13米. 故答案为：A.【分析】直角三角形的性质：斜边大于直角边 据此解答即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：由三角形的高线的定义可知：A 作法不符合题意 不符合题意；B 作法不符合题意 不符合题意；C 作法符合题意 符合题意；D 作法不符合题意 不符合题意； 故答案为：C ．【分析】根据高线的定义逐项判断即可。
七年级数学三角形的三线(中线、角平分线、高线)(北师版)(基础)(含答案)
三角形的三线（中线、角平分线、高线）（北师版）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( )A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC，BE=ECD.DE是△ABC的中线答案：D解题思路：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．D选项中，DE不是连接△ABC的顶点与它对边中点的线段，因此D选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的中线2.如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为( )A.4B.3C.4.5D.3.5答案：A解题思路：如图，∵△ABO和△BOM的面积分别为4和2∴S△ABM =6∵AM，BN是△ABC的两条中线∴S△ABM=S△BCN=S△ABC∴S△BCN=6∴S四边形MCNO=S△BCN-S△BOM =4故选A．试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠BDC=75°，则∠A的度数为( )A.25°B.30°C.40°D.20°答案：C解题思路：如图，题中有角平分线，因此可以考虑设元，设∠ABD=α，则∠C=∠ABC=2α．在△BCD中，由三角形内角和定理可知α+2α+75°=180°，解得α=35°，因此∠C=∠ABC=70°，所以∠A=180°-70°-70°=40°．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，设∠DCB=α，∠DBC=β，若∠A=40°，则下列说法错误的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，在△BCD中，∠DCB=α，∠DBC=β，则∠D=180°-α-β，因此A选项正确；因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，则∠ABC=2β，∠ACB=2α，则∠A=180°-2α-2β，因此B选项正确；由∠D=180°-α-β可得α+β=180°-∠D，由∠A=180°-2α-2β，可得α+β=90°-∠A，因此180°-∠D=90°-∠A，整理得∠D=90°+∠A，因此C选项正确；把∠A=40°代入∠D=90°+∠A，得∠D=110°，因此D选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理5.如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=40°，∠AEC=35°，则∠ABC 的度数为( )A.30°B.35°C.37.5°D.40°答案：A解题思路：如图，由AD与CE交于点M，得∠ADC+α=∠AEC+β，变形得2∠ADC+2α=2∠AEC+2β，由AD与BC交于点G，得∠ADC+2α=∠ABC+2β，将上述两式消去α和β，可得∠ABC=2∠AEC-∠ADC因为∠ADC=40°，∠AEC=35°，则∠ABC=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理6.下列说法正确的是( )A.三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外B.三角形三条高都在三角形内C.三角形的三条高交于一点D.三角形三条中线相交于一点答案：D解题思路：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，A选项错误；锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形两条高在直角边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部，B选项错误；三角形的三条高所在的直线交于一点，C选项错误；D选项正确，故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的中线7.如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D，BE⊥AC交AC的延长线于E，过点C作CF⊥BC交AB于F，下列说法错误的是( )A.FC是△ABC中BC边上的高B.FC是△BCF中BC边上的高C.BE是△ABC中AC边上的高D.BE是△ABE中AE边上的高答案：A解题思路：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．在△ABC中，过点A向它的对边BC所在直线作垂线，得到高为AD，A选项错误；在△BCF中，过点F向它的对边BC所在直线作垂线，得到高为CF，B选项正确；在△ABC中，过点B向它的对边AC所在直线作垂线，得到高为BE，C选项正确；在△ABE中，过点B向它的对边AE所在直线作垂线，得到高为BE，D选项正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形的高8.如图，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C，AC与BD交于点E，若AE=5，DE=3，CD=，则AB=( )A.6B.C.3D.答案：C解题思路：如图，因为AB⊥BD，AC⊥CD，所以AB是△ADE的边DE上的高，CD是△ADE的边AE上的高，，把AE=5，DE=3，CD=代入，得到AB=3．故选C．试题难度：三颗星知识点：等积公式9.如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点D在BC边上，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若DE=5cm，△ABC的面积为122cm2，则DF的长为( )A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm答案：D解题思路：如图，连接AD，则△ABC被分成△ABD和△ACD两部分，cm故选D．试题难度：三颗星知识点：等积公式10.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=6，BC=10，则AC：AD=( )A.5：4B.4：5C.5：3D.3：5答案：C解题思路：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，所以AB可以看作是AC边上的高，因为AD⊥BC，所以AD可以看作是BC边上的高，所以，把AB=6，BC=10代入，得到AC:AD=5:3．故选C．试题难度：三颗星知识点：等积公式。
北师大版七年级(下)数学4.1.4认识三角形——高线同步检测
北师大版七年级（下)数学4.1.4认识三角形——高线同步检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．画△ABC 的BC 边上的高，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．三角形的重心是（ ）A ．三角形三条边上中线的交点B ．三角形三条边上高线的交点C ．三角形三条边垂直平分线的交点D ．三角形三条内角平行线的交点3．如图，AE 是△ABC 的角平分线，AD ⊥BC 于点D .若∠BAC ＝128°，∠C ＝36°，则∠DAE 的度数是( )A ．10°B ．12°C ．15°D ．18° 4．如果一个三角形的一个顶点是它的三条高的交点，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 5．如图ABC V 中，AE BC ，则图中以线段AE 为高的三角形有（ ）6．下列说法中，正确的个数是（）①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．A．1B．2C．3D．47．能够把三角形的面积分成相等的两部分的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的高C．三角形的中线D．三角形的中位线8．如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．5条二、填空题9．如图，△ABC中，∠ACB>90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，△ABC边AC上的高是______.10．如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段________.11．如图，在△ABC 中，AD、AE 分别是边BC 上中线和高，AE＝2cm，S△ABD ＝1.5cm2，则DC 的长是______cm．12．如图，H 若是ABC ∆三条高AD ，BE ，CF 的交点，则BHA ∆中边BH 上的高是__________________.（用已知的字母表示）13．如图，在△ABC 中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，∠EHF 的度数是_____．14．如图，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，那么∠DAE =______度．三、解答题15．方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A B C ，，在小正方形的顶点上．（1）画出ABC V 中边BC 上的高AD ；（2）画出ABC V 中边AC 上的中线BE ；（3）求出ABE △的面积．16．在△ABC 中，已知∠ABC =60°，∠ACB =50°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点．求∠ABE 、∠ACF 和∠BHC 的度数．17．如图，AD 为△ABC 的高，BE 为△ABC 的角平分线，若∠EBA=30°，∠AEB=80°．求∠CAD 的度数．18．如图，已知，AD、AE分别为△ABC的中线和高，AB=13，AC=5．（1）△ABD和△ACD的周长相差多少？（2）△ABD和△ACD的面积有什么关系，请说明理由．19．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD．20．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB=15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒．（1）当t=时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；=. （2）当t=5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S:SV VAPC BPC（3）若△BPC的面积为18，试求t的值.参考答案1．C【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据三角形高的定义即可判断．【详解】解：根据高的定义，△ABC的BC边上的高过点A并且与BC边垂直．∴正确的画法是C．故选：C．【点睛】本题考查三角形的高的概念，关键是能够正确作三角形一边上的高．2．A【解析】【详解】三角形的重心是三条中线的交点，故选A．3．A【解析】【分析】根据角平分线定义求出∠EAC=64°,根据垂线定义求出∠CAD=54°,相减即可求解.【详解】解：∵AE平分∠BAC, ∠BAC＝128°，∴∠EAC=64°,∵AD⊥BC,∠C＝36°，∴∠CAD=54°,∴∠DAE=∠EAC-∠DAC =64°-54°=10°,故选A.【点睛】本题考查了角平分线的定义,垂线的定义,属于简单题,表示出∠EAD=∠EAC-∠DAC是解题关键.4．B【解析】【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．【详解】解：A 、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；B 、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；C 、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；D 、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故错误．故选B ．【点睛】主要考查学生对直角三角形的性质的理解及掌握．5．D【解析】【分析】由三角形高的定义可知：线段BC 上有几条线段就有几个以AE 为高的三角形．【详解】解：以AE 为高的三角形有：ABD ∆，ABE ∆，ABC ∆，ADE ∆，ADC ∆，AEC ∆共六个．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形高的定义，按照顺序去找三角形是解题关键．6．A【解析】【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部； 三角形的三条角平分线都在三角形内部； 三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．【详解】①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有1 个．故选：A．【点睛】本题考查了对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，解题的关键是熟练掌握这些性质. 7．C【解析】【分析】根据三角形中线的定义判断即可.【详解】解：因为三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，此时两三角形等底同高故选：C．【点睛】此题考查的是三角形的中线，掌握三角形的中线的定义是解决此题的关键.8．D【解析】【分析】根据三角形的高的定义：三角形的顶点到对边的垂直距离．得到可以作为三角形的高的条数．【详解】解：可以作为△ACD的高的有AD，CD共2条，可以作为△ABC的高的有AC，CD，BC共3条，可以作为△BCD的高的有BD，CD共2条，故可以作为三角形“高”的线段有5条故选：D．【点睛】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键．9．BE【解析】【分析】根据三角形的高线的定义解答即可．【详解】根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故答案为：BE【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．10．AF【解析】【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．【详解】∵AF⊥BC于F，∴AF是△ABC的高线，故答案为：AF．【点睛】本题主要考查了三角形的高线，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．11．1.5【解析】【分析】根据三角形面积公式求出BD，然后根据中线定义得到CD的长．【详解】∵S△ABD=1.5，∴12BD•AE=1.5，即12BD×2=1.5，∴BD=1.5，∵AD为中线，∴CD=BD=1.5（cm）．故答案为1.5．【点睛】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，本题中正确的计算是解题的关键．12．AE【解析】【分析】根据三角形高的定义，即可得到答案.【详解】∆三条高AD，BE，CF的交点，∵H若是ABC∴BE⊥AE，∆中，边BH上的高是AE.∴在BHA故答案是：AE.【点睛】本题主要考查三角形各边上的高的定义，理解三角形某条边上的高是“过这条边的对角顶点并垂直这条边的垂线段”，是解题的关键.13．120°．【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据CF是AB上的高得出∠ACF的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=60°，∵CF是AB上的高，∴在△ACF中，∠ACF=180°﹣∠AFC﹣∠A=30°，在△CEH中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°．故答案为:120°．【点睛】考查三角形的内角和定理、三角形的高以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键.14．10【解析】【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分的定义，根据三角形内角和是180°，角平分线平分角的度数解答即可【详解】因为，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE 平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10°【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和是180度15．（1）见解析；（2）见解析；（3）4．【解析】【分析】（1）根据三角形高线的定义画出图形即可；（2）根据三角形中线的定义画出图形即可；（3）根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）如图所示，线段AD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求；（3）S△ABC=12BC•AD=12×4×4=8．∴△ABE的面积=12S△ABC=4，故答案为：4．【点睛】此题考查基本作图，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题关键．16．∠ABE=20°；∠ACF=20°；∠BHC=110°．【解析】【分析】先利用三角形内角和求得∠A的度数，则在直角△ABE和直角△ACF中利用三角形内角和即可求得∠ABE和∠ACF的度数；再根据角的和差关系求出∠EBC和∠BCH的度数，然后在△BCH中利用三角形内角和即可求出∠BHC的度数.【详解】解：∵BE是AC上的高，∴∠AEB=90°．∵∠ABC=60°，∠ACB=50°，∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°．∵CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°．∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°．∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，∴∠BCH=30°，∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°．【点睛】本题考查了三角形的高和三角形的内角和定理，解题的关键是理清图中角之间的关系，熟练掌握三角形的内角和定理.17．40°【解析】【分析】根据角平分线定义求出∠CBE=∠EBA=30°，根据三角形外角性质求出∠C，即可求出答案．【详解】∵BE为△ABC的角平分线，∴∠CBE=∠EBA=30°，∵∠AEB=∠CBE+∠C，∴∠C=80°-30°=50°，∵AD为△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=40°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，能灵活运用三角形内角和定理求出角的度数是解此题的关键．18．（1）△ABD和△ACD的周长相差是8；（2）△ABD和△ACD的面积相等．理由见解析．【解析】【分析】（1）分别表示出△ABD与△ACD的周长，由AD是BC的中线，可得它们的差＝AB−AC；（2）三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，据此答题即可．【详解】（1）△ABD的周长是AB、BD、AD三边的和△ACD的周长是AC、CD、AD三边的和因为AD为△ABC的中线∴BD=DC所以△ABD和△ACD的周长差就是AB与AC的差故△ABD和△ACD的周长相差是8；（2）因为AD为△ABC的中线∴BD=DC所以△ABD和△ACD是等底同高的三角形故△ABD和△ACD的面积相等．【点睛】本题主要考查了三角形的中线，高的概念和性质，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答此题的关键．19．（1）35︒，（2）1122βα-． 【解析】【分析】 （1）根据垂直的定义得到∠D ＝90°，根据邻补角的定义得到∠ACD 18010080=︒-︒=︒，根据三角形的内角和得到∠BAC ＝50°，根据角平分线的定义得到∠CAE 12=∠BAC ＝25°，于是得到结论； （2）根据垂直的定义得到∠D ＝90°，得到∠ACD ＝180β︒-，求得∠BAC 180αβ=︒--，根据角平分线的定义得到∠CAE 12=∠BAC 190()2αβ=︒-+，根据角的和差即可得到结论．【详解】解：（1）∵AD ⊥BC ， ∴∠D ＝90°，∵∠ACB ＝100°， ∴∠ACD 18010080=︒-︒=︒，∴∠CAD ＝908010︒-︒=︒， ∵∠B ＝30°，∴∠BAD 903060=︒-︒=︒， ∴∠BAC ＝50°，∵AE 平分∠BAC ， ∴∠CAE 12=∠BAC ＝25°， ∴∠EAD ＝∠CAE+∠CAD ＝35°；（2）∵AD ⊥BC ， ∴∠D ＝90°，∵∠ACB ＝β， ∴∠ACD ＝180β︒-，∴∠CAD 9090ACD β=︒-∠=-︒，∵∠B ＝α， ∴∠BAD ＝90α︒-，∴∠BAC 90(90)180αβαβ=︒---︒=︒--，∵AE 平分∠BAC ， ∴∠CAE 12=∠BAC 190()2αβ=︒-+， ∴∠EAD ＝∠CAE+∠CAD ＝11190()90222αβββα︒-++-︒=-． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．20．（1）6.5秒；（2）1：4；（3）t ＝43秒或223秒. 【解析】【分析】（1）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，列出方程求解即可；（2）求出当t＝5时，AP与BP的长，再根据等高的三角形面积比等于底边的比求解即可；（3）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上，分别根据三角形面积公式建立关于t的方程，求解可得.【详解】解：（1）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA＋AP＝12＋7.5＝19.5，∴3t＝19.5，解得t＝6.5，故当t＝6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；（2）∵5×3＝15，∴AP＝15−12＝3，BP＝15−3＝12，则S△APC：S△BPC＝3：12＝1：4；（3）分两种情况：①当P在AC上时，∵△BPC的面积为18，∴12×9×CP＝18，∴CP＝4，∴3t＝4，t＝43；②当P在AB上时，∵△BPC的面积为18，△ABC的面积为191254 2创=，∴△BPC的面积是△ABC面积的13，∴3t＝12＋15×23，解得：t＝223，故t＝43秒或223秒时，△BPC的面积为18．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，三角形中线的性质，三角形的周长与面积等知识，难度适中．运用数形结合思想与分类讨论的思想是解题的关键．。
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认识三角形（一）一．边的大小关系，范围讨论例1 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm ）（1） 1， 3， 3 （ ）（2） 3， 4， 7 （ ）（3） 5， 9， 13 （4） 14， 15， 30 （ ） 例2已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是 ；若X 是奇数，则X 的值是 ，这样的三角形有 个；若X 是偶数，则X 的值是 ；这样的三角形又有 个。
例3一个等腰三角形的一边是5cm ，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是多少例4如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，求AC 的长．过手变式练习：1 有一个三角形的两边分别为5和12，且周长为奇数，则满足条件的三角形的个数为__________2 已知一个三角形有两边相等，周长为56cm ，两边之比为3：2，则这个三角形各边的长为_______4 若a ，b ，c 是△ABC 的三边，试化简=+-+-++--c b a c b a c b a __________________5 已知在△ABC 中，010616222=++--bc ab c b a ，若a ，b ，c 是三角形的三边，求证b c a 2=+ 二．角的关系例1 AD 是△ABC 的一条高，也是△ABC 的角平分线，若∠B =40°,求∠BAC 的度数.例2如图，△ABC 中，∠ B ＝34°，∠ACB＝104°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠ BAC 的平分线，求∠ DAE 的度数．B CD E例3（1）如图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = （ ）A.180°B.260°C.270°D.360°例4.一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于 （ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°过手变式练习：1、如图，已知 ∠E ＋∠F ＝∠H ，求：∠A ＋∠B ＋∠ACD ＋∠CDG 的度数．2、如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．解答下列问题：(1)若∠D ＝40，∠B ＝36，求∠P 的度数；(2)如果图中的∠D 和∠B 为任意角时，其它条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系？（直接写出结论即可）3、如图，BD 是△ABC 中∠ABC 的角平分线，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线，它与BD 的延长线交于点D ，我们将会得到∠A ＝2∠D 这一结论，试想一想为什么？并加以说明．5（1）在△ＡＢＣ中，∠A-∠B=20°，∠B-∠C=20°，求∠A 和∠C 的度数。
（2）在△ＡＢＣ中，C B A ∠=∠=∠3121，试判断△ABC 的形状。
（3）在△ＡＢＣ中，C B A ∠=∠=∠32，试判断△ABC 的形状。
三．角平分线和中线注意： 例1 已知D 是△ABC 的边BC 的中点，且ADC S ∆=10，求ABC S ∆例2 如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件，求∠BIC的度数．（1）若∠ABC=60°，∠ACB=70°，则∠BIC=（2）若∠ABC+∠ACB=130°，则∠BIC=（3）若∠A=50°，则∠BIC=（4）若∠A=110°则∠BIC=（5）从上述计算中，我们能发现已知∠A，求∠BIC的公式是：∠BIC=（6）如图，若BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，交于点P，若已知∠A，则求∠BPC的公式是：∠BPC=．过手变式练习：2 在△ABC中，已知∠C=90°，∠BAD=1/3∠BAE, ∠ABD=1/3∠ABF,则∠D3 在△ABC中，已知∠C=90°，AD平分∠BAC，且∠B=3∠ＢＡＤ，求∠ＡＤＣ的度数4 ４在△ABC中，已知CE⊥AB于E点，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证EDF与＝∠BDF过手变式练习：２ 在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ）试研究（1）∠EAD 与∠C ，∠B 的关系；（2）若F 是AE 上一动点，①若F 移动到AE 之间的位置时，FD ⊥BD ，此时∠EAD 与∠C ，∠B 的关系如何②若F 继续移动到AE 的延长线上时，FD ⊥BD ，①中的结论是否还成立？说明理由4 在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，AE=2CE ，BD=2CD ，AD 、BE 交于点F ，若S △ABC=3，则四边形DCEF 的面积为5.O 是等边三角形ABC 内任意一点,OD ⊥AB,OE ⊥BC,OF ⊥AC 高AM ⊥BC,求证OD+OE+OF=AM课后练习：1.在△ABC 中，∠C =90°，∠A =40°，则∠B =________.2.两根木棒的长分别是7cm 和9 cm ，现要你选择第3根木棒，将它们钉成一个三角形，若选择的木棒长度是7的倍数，则你选择的木棒的长为________cm.3.有三个三角形,它们的两个内角的度数分别是：①30°和50°②70°和20°；③82°和23°,其中属于锐角三角形的是________.4.在△ABC 中，若∠C =21∠B =31∠A ，则△ABC 是________三角形(按角分类). 5.如图1所示，CD 是△ABC 的高，且CD ＝5，S △ABC ＝25，则AB ＝________.6.如图2所示, BE 、CD 是角平分线，∠A ＝80°,则∠1＋∠2＝________.7.如图3所示,在△ABC 中，CD ⊥AB ，∠AC B ＝86°,∠B =20°,则∠ACD ＝______.A B CD A B C DE 12 A BC图1 图2 图38.如图所示，其中∠1＝________. 65o100 o 19．一定在△ABC 内部的线段是 （ ）A ．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B ．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C ．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D ．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线10．下列说法中，正确的是 （ ）A ．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B ．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C ．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D ．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形11．下列说法正确的个数为 （ ）（1）用一张像底片冲出来的10张一寸照片是全等形（2）我国国旗商店四颗小五角星是全等形（3）所有的正六边形是全等形（4）面积相等的两个正方形是全等形A.1个B.2个C.3个D.4个12.在三角形的角平分线、中线、高线中，属于直线的有(每种线只有一条)A.0条B.1条C.2条D.3条13.现有两根木棒分别长40 cm 和50 cm ，要从下列长度的木棒中选出一条，与前面两根木棒钉成一个三角架(木棒不能余)，则可选出 ( )①5 cm ②10 cm ③40 cm ④45 cm ⑤80 cm ⑥90 cmA.3条B.4条C.5条D.6条14.在一个三角形的三个内角中，说法正确的是 ( )A.至少有一个直角B.至少有一个钝角C.至多有两个锐角D.至少有两个锐角15.锐角三角形中，任意两个内角之和必大于 ( )A.120°B.100°C.90°D.60°16.如图所示，∠1=∠2=∠3=∠4，则AD 是△ABC 的 ( ) 1 2 3 4ABC D A.高 B.角平分线 C.中线 D.以上都不是18.一个三角形中最小角不能大于 ( )A.50°B.60°C.80°D.90°19.小明说：有这样一个三角形，它两条边上的高的交点正好是该三角形的一个顶点.你认为小明说的这个三角形一定 ( )A.是钝角三角形B.是直角三角形C.是锐角三角形D.不存在20.在△ABC 中，∠A ＝31∠B ＝51∠C ，则△ABC 是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不对21.如图所示，虚线部分是小刚作的辅助线，则你认为线段CD 为 ( )A.边AC 上的高B.边BC 上的高C.边AB 上的高D.不是△ABC 的高22.如图所示，CE 平分∠ACD ,F 为CA 延长线上一点，FG ∥CE 交AB 于点G ，∠ACD ＝100°,∠AGF =20°,你能求出∠B 的度数吗？若能求，请写出求解过程；若不能求，请说明理由. ABC D EFG 23 如图，直线a ∥b ，直线AC 分别交a 、b 于点B 、C ，直线AD 交a 于点D ．若∠1=20°，∠2=65°，则∠3度数等于（ ），24 如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2=（ ）25 如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，BE 、CD 是△ABC 的中线，下列结论不正确的有 （ ）A.S △ADC =S △BDCB.S △ABE =S △CBEC.S △BDF =S △CEFD.S △ADE =S △BDCEF AB C D。