2018年浙江省台州市高考数学一模试卷
2018年浙江省台州市高考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合P={0, 1, 2, 3}，Q={x∈R||x|<2}，则P∩Q=()A.{0, 1}B.{1, 2}C.{0, 1, 2}D.{1}【答案】A【考点】交集及其运算【解析】解不等式化简集合Q，根据交集的定义写出P∩Q．【解答】解：集合P={0, 1, 2, 3}，Q={x∈R||x|<2}={x∈R|−2<x<2}，则P∩Q={0, 1}．故选A.2. 若复数z=(1−i)(2+i)（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】z=(1−i)(2+i)=3−i，则z在复平面内对应的点的坐标为：(3, −1)，位于第四象限．3. 设A，B，C为△ABC的内角，则“A<B”是“cosA>cosB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用余弦函数的单调性和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】在三角形中，0<A，B<π．因为y=cosx在(0, π)上为单调减函数，所以若A<B，则cosA>cosB．若cosA>cosB，则A<B．所以，A <B 是cosA >cosB 的充要条件．4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.16 B.13C.1D.3【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是以侧视图为底面的四棱锥，进而得到答案． 【解答】由已知中的三视图可得：该几何体是以侧视图为底面的四棱锥， 其底面面积S =1×1=1， 高ℎ=1，故体积V =13×1×1=13，5. 在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ，则（ ） A.E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y) B.E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y) C.E(X)>E(Y)，D(X)=D(Y) D.E(X)=E(Y)，D(X)=D(Y) 【答案】 C【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】推导出X ∼B(5, 47)，Y ∼B(5, 37)，由此得到E(X)>E(Y)，D(X)=D(Y)．【解答】在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ， 则X ∼B(5, 47)，Y ∼B(5, 37)， E(X)=5×47=207，E(Y)=5×37=157，D(X)=5×47×37=6049，D(Y)=5×37×47=6049，∴ E(X)>E(Y)，D(X)=D(Y)．6. 设数列{a n }，{b n }满足a n +b n =700，a n+1=710a n +25b n ，n ∈N ∗，若a 6=400，则（ ） A.a 4>a 3 B.b 4<b 3 C.a 3>b 3 D.a 4<b 4【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】由题意可得a n+1=310a n +280，可得a n+1−400=310(a n −400)，由a 6=400，可得a n =400，b n =300，即可得到所求结论． 【解答】a n +b n =700，a n+1=710a n +25b n ， 可得b n =700−a n ， 即有a n+1=310a n +280， 可得a n+1−400=310(a n −400)可得a n −400=(a 6−400)⋅(310)n−6=0，即有a n =400，b n =300，则a 4=a 3，b 4=b 3，a 3>b 3，a 4>b 4，7. 在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a 2=b 2+c 2−√3bc ，sinC =2cosB ，则（ ）A.A =π3B.B =π4C.c =√3bD.c =2a 【答案】D【考点】两角和与差的正弦公式 余弦定理 【解析】由已知及余弦定理可得cosA =√32，可得A =π6，利用三角函数恒等变换的应用可求tanB =√3，由B ∈(0, π)，可得B =π3，进而可求C =π2，即可得解c =2a ． 【解答】解：∵ a 2=b 2+c 2−√3bc ， ∴ 由余弦定理可得： cosA =b 2+c 2−a 22bc =√3bc 2bc=√32， 可得A =π6，∴ sinA =12， ∵ sinC =2cosB ，可得：sin(5π6−B)=2cosB ， 可得：12cosB +√32sinB =2cosB ，∴ tanB =√3，由B ∈(0, π)， 可得：B =π3，C =π2， ∴ c =2a ． 故选D .8. 设实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0x +2y −2≥0x −2y −2≤0，若z =2x 2−y −2，则（ ）A.z 的最小值为−258B.z 的最小值为−3C.z 的最大值为33D.z 的最大值为6 【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，由z =2x 2−y −2可得y =2x 2−2−z ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出z =2x 2−y −2过可行域内的点A 时，从而得到z 值即可 【解答】实数x ，y 满足条件 {x −y +1≥0x +2y −2≥0x −2y −2≤0，作可行域如图，由z =2x 2−y −2可得y =2x 2−2−z ，上下平移y =2x 2−2−z ，当经过点A 时，过可行域内的点A 时，z 最小， 设抛物线y =2x 2−2−z 与直线y =x +1相切于点A ，切点为(x 0, y 0) ∴ y′=4x ， ∴ 4x 0=1，解得x 0=14，代入y =x +1，可得y 0=54， ∴ z =2×116−54−2=−258，9. 已知单位向量e 1→,e 2→，且e 1→∗e 2→=−12，若向量a →满足(a →−e 1→)∗(a →−e 2→)=54，则|a →|的取值范围为（ ） A.[√2−√32,√2+√32brackB.[√2−12,√2+12brackC.(0,√2+12brack D.(0,√2+√32brack【答案】 C【考点】平面向量数量积 【解析】根据题意求出|e 1→+e 2→|，把(a →−e 1→)∗(a →−e 2→)=54化为|a →|2−|a →|−74≤0，解不等式求出|a →|的取值范围． 【解答】单位向量e 1→,e 2→，且e 1→∗e 2→=−12，c <e 1→，e 2→>=120∘， ∴ |e 1→+e 2→|=√1+1+2×(−12)=1；若向量a →满足(a →−e 1→)∗(a →−e 2→)=54， 则a →2−a →⋅(e 1→+e 2→)+e 1→⋅e 2→=54， ∴ |a →|2−−a →⋅(e 1→+e 2→)=74 ∴ |a →|2−|a →|⋅cos <a →e 1→+e 2→>=74 解得12−√2≤|a →|≤12+√2；∴ |a →|的取值范围是(√2−12, √2+12]．10. 设f ′(x)为函数f(x)的导函数(x ∈R)，且f(x)<0，2f ′(x)+f(x)>0（e 为自然对数的底数），若x 1<x 2，则（ ） A.f(x 2)<e x 1−x 2⋅f(x 1) B.f(x 1)<e x 2−x 1⋅f(x 2) C.f 2(x 2)>e x 2−x 12⋅f 2(x 1) D.f 2(x 1)>e x 1−x 22⋅f 2(x 2)【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】设g(x)=e x f 2(x)，判断g(x)的单调性，根据单调性得出结论． 【解答】设g(x)=e x f 2(x)，则g′(x)=e x f 2(x)+e x 2f(x)f′(x)=e x f(x)[f(x)+2f′(x)]<0， ∴ g(x)在R 上单调递减，又x 1<x 2，∴ g(x 1)>g(x 2)，即e x 1f 2(x 1)>e x 2f 2(x 2)，∴ f 2(x 1)>e x 2−x 1f 2(x 2)， 又x 2−x 1>x 1−x 22，∴ ex 2−x 1>ex 1−x 22，∴ ex 2−x 1f 2(x 2)>ex 1−x 22f 2(x 2)，∴ f 2(x 1)>ex 1−x 22f 2(x 2)，二、填空题：本大题共7小题，共36分．多空题每小题6分；单空题每小题6分．设实数a 满足2a =3，则a =________，log 312−log 36=________（用a 表示）． 【答案】 log 23,1a【考点】对数的运算性质 【解析】直接由对数的运算性质计算得答案． 【解答】∵ 实数a 满足2a =3， ∴ a =log 23；∴ log 312−log 36=log 3(126)=log 32=1a ．抛物线C:y 2=8x 的焦点F 坐标为________，若点P(√3,m)在抛物线C 上，则线段PF 的长度为________． 【答案】 (2, 0),√3+2 【考点】 抛物线的求解 【解析】根据抛物线的方程得出开口方向和焦点坐标，准线方程，利用抛物线的定义得出PF ． 【解答】抛物线方程为y 2=8x ，∴ 抛物线开口向右， ∴ 2p =8，p =4， ∴ p2=0，∴ 抛物线焦点为(2, 0)，抛物线的准线方程为L:x =−2， ∴ 点P 到准线的距离为√3+2， 由抛物线的定义可知PF =√3+2．若函数f(x)=a −22x −1(a ∈R)是奇函数，则a =________，函数f(x)的值域为________． 【答案】−1,(−∞, −1)∪(1, +∞)【考点】函数奇偶性的性质【解析】由奇函数的定义可得f(−x)+f(x)=0，解方程可得a，再由指数函数的值域，解不等式可得值域．【解答】函数f(x)=a−22x−1(a∈R)是奇函数，可得f(−x)+f(x)=a−22x−1+a−22−x−1=2a−(22−1+2∗2x1−2)=2a+2=0，解得a=−1，则y=f(x)=−1−22x−1，可得1−2x=21+y，即有2x=y−1y+1>0，解得y>1或y<−1，可得值域为(−∞, −1)∪(1, +∞)，若非负实数x，y满足x2+4y2+4xy+4x2y2=32，则x+2y的最小值为________，√7(x+2y)+2xy的最大值为________．【答案】4,16【考点】基本不等式【解析】第一空，不等式配方是关键，因为x2+4y2+4xy+4x2y2=32，所以(x+2y)2+4x2y2=32≤(x+2y)2+116(x+2y)4，从而由(x+2y)4+16(x+2y)2−32×16≥0，解得x+2y的最小值为4，第二空，因为x2+4y2+4xy+4x2y2=32，可以令令√7(x+2y)+2xy=t(t≥0)．整理后关于xy的方程32x2y2−4txy−32×7+t2=0的判别式△≥0，解得t的范围，确定t的最大值为（16）则√7(x+2y)+2xy=t的最大值也为（16）【解答】因为x2+4y2+4xy+4x2y2=32，所以x2+4y2+4xy=(x+2y)2=32−4x2y2(1)，所以由（2）（3）联立可得：7(32−4x2y2)=(t−2xy)2展开得：32x2y2−4txy−32×7+t2=0因为关于xy的方程必须有解，故方程的判别式△=16t2−4×32×(t2−32×7)≥(0)解得t2≤16×16，因为t2≥0，所以0≤t≤16，所以t的最大值为16则t=√7(x+2y)+2xy，故答案为：√7(x+2y)+2xy的最大值为（16）在(2x−1)2+(2x−1)3+...+(2x−1)8的展开式中，含x2项的系数为________．【答案】64【考点】二项式定理的应用【解析】利用二项展开式的通项依次写出每一个二项式中含x2的项，则答案可求．【解答】在(2x−1)2+(2x−1)3+...+(2x−1)8的展开式中，含x2项为C20(2x)2−C31(2x)2+C42(2x)2−C53(2x)2+C64(2x)2−C75(2x)2+C86(2x)2，则含x2项的系数为4(1−3+6−10+15−21+28)=(64)若关于x的不等式(acosx−1)(ax2−x+16a)<0在(0, +∞)上有解，则实数a的取值范围为________．【答案】(−∞, −1)∪(0, +∞)【考点】函数恒成立问题不等式恒成立的问题【解析】根据余弦函数的性质和二次函数的性质，分类讨论即可求出．【解答】①当a=0时，不等式可化为x<0，此时不等式在(0, +∞)无解，②当a>0时，−a−1<acosx−1<a−1，因为−a−1<−1，a−1>−1，因为y=ax2−x+16a，开口向上，此时在(0, +∞)一定有解，故y=acosx−1<0即可，由于y=acosx−1为周期函数，此时y=acosx−1在(0, +∞)有负解，故(acosx−1)(ax2−x+16a)<0在(0, +∞)上有解，③当a<−1时，a−1<acosx−1<−a−1，因为a−1<−1，−a−1>0，而y= ax2−x+16a，开口向下，此时△=1−64a2<0，即ax2−x+16a<0恒成立，故y=acosx−1>0即可，由于y=acosx−1为周期函数，此时y=acosx−1在(0, +∞)有正解，故(acosx−1)(ax2−x+16a)<0在(0, +∞)上有解，④当a=−1时，不等式可化为(cosx+1)(x2+x+16)<0，此时无解，acosx−1<0恒成立，⑤当−1<a<0时，a−1<acosx−1<−a−1，因为−2<a−1<−1，−1<−a−1<0，此时acosx−1<0恒成立<0，与y轴的交点16a<0，此时而y=ax2−x+16a，开口向下，对称轴为x=12ay=ax2−x+16a>0，在(0, +∞)一定有解故原不等式在(0, +∞)有解，综上所述a的取值范围为(−∞, −1)∪(0, +∞)，如图，在直角梯形ABCD中，AB // CD，∠ABC=90∘，AB=1，AC=CD=DA=2，动点M在边DC上（不同于D点），P为边AB上任意一点，沿AM将△ADM翻折成△AD′M，当平面AD′M垂直于平面ABC时，线段PD′长度的最小值为________．【答案】√152【考点】平面与平面垂直【解析】设D′在平面ABCD上的射影为H，根据H到直线AB的最小值及距离公式计算．【解答】解：设D′在平面ABCD上的射影为H，显然当∠AMD最小值时，H到直线AB的距离最小，故折痕为AC时，H为AC的中点，此时D′H=DH=√3，此时，H到直线AB的最小距离为ℎ=12BC=√32，∴PD′的最小距离为√D′H2+ℎ2=√152．故答案为：√152.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期，并写出f(x)图象的对称轴方程；(Ⅱ)若将函数y=f(x)图象向右平行移动π8个单位，得到函数y=g(x)的图象，求满足g(x0)≥1的实数x0的集合．【答案】(Ⅰ)f(x)=sinxcosx+cos2x=12sin2x+12(1+cos2x)=12(sin2x+cos2x)+12=√2 2sin(2x+π4)+12，则函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，由2x+π4=π2+kπ，k∈Z，得x=π8+kπ2，k∈Z，得f(x)图象的对称轴方程为x=π8+kπ2，k∈Z；(Ⅱ)由题意得g(x)=√22sin(2(x−π8)+π4)+12=√22sin2x+12，由g(x0)≥1得√22sin2x0+12≥1，即sin2x0≥√22，∴π4+2kπ≤2x0≤3π4+2kπ，k∈Z得π8+kπ≤x0≤3π8+kπ，k∈Z即所求实数x0的集合为{x0|π8+kπ≤x0≤3π8+kπ, k∈Z}．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】(Ⅰ)利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f(x)的最小正周期，和对称轴方程；(Ⅱ)求出g(x)的解析式，结合不等式进行求解即可．【解答】(Ⅰ)f(x)=sinxcosx+cos2x=12sin2x+12(1+cos2x)=12(sin2x+cos2x)+12=√2 2sin(2x+π4)+12，则函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，由2x+π4=π2+kπ，k∈Z，得x=π8+kπ2，k∈Z，得f(x)图象的对称轴方程为x=π8+kπ2，k∈Z；(Ⅱ)由题意得g(x)=√22sin(2(x−π8)+π4)+12=√22sin2x+12，由g(x0)≥1得√22sin2x0+12≥1，即sin2x0≥√22，∴π4+2kπ≤2x0≤3π4+2kπ，k∈Z得π8+kπ≤x0≤3π8+kπ，k∈Z即所求实数x0的集合为{x0|π8+kπ≤x0≤3π8+kπ, k∈Z}．如图，在三棱锥D−ABC中，CA=CB=√2，DA=DB=√3，AB=2．(Ⅰ)求证：AB⊥CD；(Ⅱ)若顶点D在底面ABC上的射影落在△ABC的内部，当直线AD与底面ABC所成角的正弦值为√216时，求二面角C−AD−B的平面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明：如图，取AB中点E，连接CE，DE，∵CA=CB，DA=DB，∴AB⊥平面DEC，又DC⊂平面DEC，∴AB⊥CD；(Ⅱ)如图，作DO⊥CE于点O，由(Ⅰ)可得平面DEC⊥平面ABC，且交于CE，∴DO⊥平面ABC，∴∠DAO为直线AD与平面ABC所成的角，sin∠DAO=DOAD =√3=√216，即DO=√72，OE=12，∴O为CE的中点．∴DC=DE=√2．过C作CM⊥DE于点M，取AD的中点G，连接CG，GM，同上可得CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD，∵CG⊥AD，∴∠CGM为二面角C−AD−B的平面角，CG=√2−34=√52，在△CDE中，CM=CE∗DODE=1×√72√2=√144．在Rt△CMG中，MG2=CG2−CM2=38，∴MG=√38．则cos∠CGM=GMCG =√38√52=√3010．∴二面角C−AD−B的平面角的余弦值为√3010．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)取AB中点E，连接CE，DE，结合已知条件即可得到AB⊥平面DEC，由此能证明AB⊥CD；(Ⅱ)作DO⊥CE于点O，结合(Ⅰ)可得DO⊥平面ABC，则∠DAO为直线AD与平面ABC所成的角，求出DO，OE的值，再过C作CM⊥DE于点M，取AD的中点G，连接CG，GM，同上可得CM⊥平面ABD，则∠CGM为二面角C−AD−B的平面角，由此可求出二面角C−AD−B的平面角的余弦值．【解答】(Ⅰ)证明：如图，取AB中点E，连接CE，DE，∴AB⊥平面DEC，又DC⊂平面DEC，∴AB⊥CD；(Ⅱ)如图，作DO⊥CE于点O，由(Ⅰ)可得平面DEC⊥平面ABC，且交于CE，∴DO⊥平面ABC，∴∠DAO为直线AD与平面ABC所成的角，sin∠DAO=DOAD =√3=√216，即DO=√72，OE=12，∴O为CE的中点．∴DC=DE=√2．过C作CM⊥DE于点M，取AD的中点G，连接CG，GM，同上可得CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD，∵CG⊥AD，∴∠CGM为二面角C−AD−B的平面角，CG=√2−34=√52，在△CDE中，CM=CE∗DODE=1×√72√2=√144．在Rt△CMG中，MG2=CG2−CM2=38，∴MG=√38．则cos∠CGM=GMCG =√38√52=√3010．∴二面角C−AD−B的平面角的余弦值为√3010．已知函数f(x)=2x3−3(m+1)x2+6mx，m∈R．(Ⅰ)若m=2，写出函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)若对于任意的x∈[−1, 1]，都有f(x)<4，求m的取值范围．【答案】(Ⅰ)若m=2，则f(x)=2x3−9x2+12x，∵f′(x)=6x2−18x+12=6(x2−3x+2)=6(x−1)(x−2)，令f′(x)>0，则x<1或x>2，故函数f(x)的递增区间是(−∞, 1)，(2, +∞)；(Ⅱ)f(x)=2x3−3(m+1)x2+6mx，f′(x)=6(x−1)(x−m)，①当m≥1时，f(x)max=f(1)=3m−1<4，故m<53，∴1≤m<53；②当−1<m<1时，f(x)在(−1, m)递增，在(m, 1)递减，f(x)max=f(m)=−m3+3m2<4，即m3−3m2+4>0，(m+1)(m−2)2>0恒成立，∴−1<m<1；③当m≤−1时，f(x)在(−1, 1)递减，f(x)max=f(−1)=−9m−5<4，综上，m的范围是−1<m<53．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的最大值即可．【解答】(Ⅰ)若m=2，则f(x)=2x3−9x2+12x，∵f′(x)=6x2−18x+12=6(x2−3x+2)=6(x−1)(x−2)，令f′(x)>0，则x<1或x>2，故函数f(x)的递增区间是(−∞, 1)，(2, +∞)；(Ⅱ)f(x)=2x3−3(m+1)x2+6mx，f′(x)=6(x−1)(x−m)，①当m≥1时，f(x)在(−1, 1)递增，f(x)max=f(1)=3m−1<4，故m<53，∴1≤m<53；②当−1<m<1时，f(x)在(−1, m)递增，在(m, 1)递减，f(x)max=f(m)=−m3+3m2<4，即m3−3m2+4>0，(m+1)(m−2)2>0恒成立，∴−1<m<1；③当m≤−1时，f(x)在(−1, 1)递减，f(x)max=f(−1)=−9m−5<4，综上，m的范围是−1<m<53．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(2,√2)，且离心率为√22．(Ⅰ)求a，b的值，并写出椭圆C的方程；PB与直线l:x=m（m为常数）分别交于不同的两点M，N，则当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？【答案】(Ⅰ)由题知：4a2+2b2=1，ca=√22，a2=b2+c2，解得a=2√2，b=2，∴x28+y24=1；(Ⅱ)A(−2√2, 0)，B(2√2, 0)，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，则PA，PB方程分别为y=k1(x+2√2)，y=k2(x−2√2)，∴M（m, k1(m+2√2)），N（（m, k2(m+2√2)），∴圆的方程为(x−m)2+（y−k1(m+2√2)）⋅（y−k2(m+2√2)）=0，即(x−m)2+y2−（k1(m+2√2)）+k2(m+2√2)）y+k1k2(m2−8)=0，设点P(x0, y0)，则x028+y024=1，即y02=4(1−x028)，∴k1k2=0x+2√2x−2√2=y02x02−8=−12，由y=0，得(x−m)2−12(m2−8)=0，∴(x−m)2=12(m2−8)，当m2−8<0时，即−2√2<m<2√2，方程无实数解，该圆不经过原点，当m2−8≥0时，即m≥2√2或m≤−2√2，m±√2m2−162，即定点为Q(m±√2m2−162, 0)．【考点】椭圆的定义椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)由题意可得4a2+2b2=1，ca=√22，a2=b2+c2，解得即可；(Ⅱ)A(−2√2, 0)，B(2√2, 0)，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，分别设出直线方程，即可得到圆的方程，根据斜率的关系即可求出k1k2=−12，即可得到(x−m)2=12(m2−8)，分类讨论即可求出．【解答】(Ⅰ)由题知：4a2+2b2=1，ca=√22，a2=b2+c2，解得a=2√2，b=2，∴x28+y24=1；(Ⅱ)A(−2√2, 0)，B(2√2, 0)，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，则PA，PB方程分别为y=k(x+2√2)，y=k(x−2√2)，∴ 圆的方程为(x −m)2+（y −k 1(m +2√2)）⋅（y −k 2(m +2√2)）=0， 即(x −m)2+y 2−（k 1(m +2√2)）+k 2(m +2√2)）y +k 1k 2(m 2−8)=0， 设点P(x 0, y 0)，则x 028+y 024=1，即y 02=4(1−x 028)，∴ k 1k 2=0x+2√20x−2√2=y 02x 02−8=−12， 由y =0，得(x −m)2−12(m 2−8)=0， ∴ (x −m)2=12(m 2−8)，当m 2−8<0时，即−2√2<m <2√2，方程无实数解，该圆不经过原点， 当m 2−8≥0时，即m ≥2√2或m ≤−2√2，m ±√2m 2−162，即定点为Q(m ±√2m2−162, 0)．在正项数列{a n }中，已知1≤a 1≤11，a n+12=133−12a n ，n ∈N ∗．(Ⅰ)求证：1≤a n ≤11；(Ⅱ)设b n =n(a 2n−1+a 2n )，S n 表示数列{b n }前n 项和，求证：S n ≥6n(n +1)； (Ⅲ)若a 1=8，设c n =a 2n−1−a 2n ，T n 表示数列{c n }前n 项和． (i)比较a n 与7的大小； (ii)求证：T n <13． 【答案】证明：(I)(i)n =1时，1≤a 1≤11； (ii)假设n =k 时，有1≤a k ≤11成立，则n =k +1时，∵ 1≤133−12a k ≤121，∴ 1≤a k+12≤1(21) ∵ a n >0，∴ 1≤a k+1≤11成立． 综上可得：1≤a n ≤(11)(Ⅱ)∵ a 2n−1+a 2n =−112a 2n2+a 2n +13312=−112(a 2n −6)2+16912，∵ 1≤a 2n ≤11，∴ a 2n−1+a 2n ≥12，∴ b n =n(a 2n−1+a 2n )≥12n ，∴ S n =b 1+b 2+……+b n ≥12(1+2+……+n)=12×n(1+n)2=6n(n +1)．∴ S n ≥6n(n +1)．(III)(i)∵ a 1=8，∴ a 22=133−96=37，∴ a 2=√37，∴ a 1>7，a 2<(7)由a n+12−72=133−72−12a n =84−12a n =−12(a n −7)， ∴ (a n+1−7)(a n −7)<0， ∴ a 2n−1>7>a 2n ． a 2n+12=133−12a 2n ，a 2n 2=133−12a 2n−1，∴ a 2n+12−a 2n 2=−12(a 2n −a 2n−1)，即a 2n+12=a 2n 2−12(a 2n −a 2n−1)， ∴ a 2n+12−a 2n−12=a 2n 2−a 2n−12−12(a 2n −a 2n−1)=(a 2n −a 2n−1)(a 2n +a 2n−1−12)<0，同理可得：a 2n 2−a 2n−22=(a 2n−1−a 2n−2)(a 2n−1+a 2n−2−12)>0， 综上可得：数列{a }单调递减，即a >a >(7)=|a 1−7|+|a 2−7|+……+|a 2n −7|， ∵ |a 2n −7||a2n−1−7|=12a 2n+7≤12a 2+7=7+√37<1213，且a 1−7=(1) ∴ T n ≤1+1×1213+……+(1213)2n−1=1−(1213)2n1−1213<11−1213=(13)【考点】 数列的求和数列与不等式的综合 【解析】（I ）利用数学归纳法即可证明．(Ⅱ)由a 2n−1+a 2n =−112a 2n2+a 2n +13312=−112(a 2n −6)2+16912，根据1≤a 2n ≤11，可得a 2n−1+a 2n ≥12，b n =n(a 2n−1+a 2n )≥12n ，利用求和公式等即可证明． (III)(i)由a 1=8，可得a 22=133−96=37，解得a 2，a 1>7，a 2<(7)由a n+12−72=−12(a n −7)，可得(a n+1−7)(a n −7)<0，可得a 2n−1>7>a 2n ．再利用条件可得数列{a 2n−1}与数列{a 2n }的单调性即可得出结论．(ii)T n =c 1+c 2+……+c n =a 1−7+7−a 2+……+a 2n−1−7+7−a 2n =|a 1−7|+|a 2−7|+……+|a 2n −7|，利用|a 2n −7||a2n−1−7|=12a 2n+7≤12a 2+7=7+√37<1213，且a 1−7=(1)再利用求和公式结论得出． 【解答】证明：(I)(i)n =1时，1≤a 1≤11； (ii)假设n =k 时，有1≤a k ≤11成立，则n =k +1时，∵ 1≤133−12a k ≤121，∴ 1≤a k+12≤1(21) ∵ a n >0，∴ 1≤a k+1≤11成立． 综上可得：1≤a n ≤(11)(Ⅱ)∵ a 2n−1+a 2n =−112a 2n2+a 2n +13312=−112(a 2n −6)2+16912，∵ 1≤a 2n ≤11，∴ a 2n−1+a 2n ≥12，∴ b n =n(a 2n−1+a 2n )≥12n ，∴ S n =b 1+b 2+……+b n ≥12(1+2+……+n)=12×n(1+n)2=6n(n +1)．∴ S n ≥6n(n +1)．(III)(i)∵ a 1=8，∴ a 22=133−96=37，∴ a 2=√37，∴ a 1>7，a 2<(7)由a n+12−72=133−72−12a n =84−12a n =−12(a n −7)， ∴ (a n+1−7)(a n −7)<0， ∴ a 2n−1>7>a 2n ． a 2n+12=133−12a 2n ，a 2n 2=133−12a 2n−1，∴ a 2n+12−a 2n 2=−12(a 2n −a 2n−1)，即a 2n+12=a 2n 2−12(a 2n −a 2n−1)， ∴ a 2n+12−a 2n−12=a 2n 2−a 2n−12−12(a 2n −a 2n−1)=(a 2n −a 2n−1)(a 2n +a 2n−1−12)<0，同理可得：a 2n 2−a 2n−22=(a 2n−1−a 2n−2)(a 2n−1+a 2n−2−12)>0， 综上可得：数列{a }单调递减，即a >a >(7)=|a1−7|+|a2−7|+……+|a2n−7|，∵|a2n−7||a2n−1−7|=12a2n+7≤12a2+7=7+√37<1213，且a1−7=(1)∴T n≤1+1×1213+……+(1213)2n−1=1−(1213)2n1−1213<11−1213=(13)。
浙江省台州中学2018届高三上学期第一次统练数学试题
台州中学2017学年第一学期第一次统练试题高三 数学编制： 审核：一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中） 1．已知集合,,若,则a =( ) A ．3B ．4C ．5D ．62. 计算 A ．2B ．3C ．4D ．103. 已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”成立的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4．已知复数z ＝3＋4i ，z 表示复数z 的共轭复数，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i ＝( )A. 5B ．5C. 6D ．65. 设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．36. ABC ∆中，2sin22A c b c-= （a b c 、、分别为角A 、B 、C 的对应边），则ABC ∆的形状为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形7．向量AB →与向量a ＝(－3,4)夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(－7,8)B ．(9，－4)C ．(－5,10)D ．(7，－6) 8. 函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )9. 若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A.6425B.4825C. 1 D .162510．已知函数()2ln f x ax x =-，其中a 为非零实数，12,x x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x =，若102,,x x x 为等差数列，则（ ）A. ()00f x '>B. ()00f x '<C. ()00f x '=D. ()0f x '的正负与a 的正负有关 二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）11．若函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[]1,2a a -，则a ＝____，b ＝_____. 12. 已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，且满足sin 2C C =，其中C 为锐角，1,4a b ==，则角C =_____________，边c = . 13. 已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,||A ϕπ><）的一段图象如右图所示，则函数的解析式为 ，)0(f =14. 设点P 是曲线32y x x =++上的任意一点，则P 点处切线倾斜角α的取值范围为______ ，此曲线关于______成中心对称.15.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．16. 在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点(,)P x y 满足向量OP 在向量P 的轨迹方程是________________．17.已知单位向量,，且0=⋅b a ，若]1,0[∈t ，则|))(1(125||)(|b a t b a a b t --+++-的最小值为________________．三．解答题（本大题共5小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18.（本题满分14分）已知数列11{}1,.21nn n n a a a a a +==+中是等差数列；证明数列}1{)1(na123n1111(2).a a a a +++⋅⋅⋅+求19. （本题满分15分）已知函数(1)求的最小正周期，单调递增区间以及函数()f x 图像的对称轴方程；(2),42x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒有()3f x m -<成立，求实数的取值范围.20. （本题满分15分）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有()()2f x f x +=-，当[]0,2x ∈时，()22f x x x =-.（1）求证：()f x 是周期函数;（2）当[]2,4x ∈时，求()f x 的解析式; （3）计算()()()()0122017.f f f f ++++21．（本题满分15分）如图，O 为总信号源点，A ，B ，C 是三个居民区，已知A ，B 都在O 的正东方向上，OA=10km ，OB=20km ，C 在O 的北偏西45°方向上，CO=5km ．（1）求居民区A 与C 的距离；（2）现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF （E 在直线OA的上方），并从A ，B ，C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF ．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m （m 为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w （元）． ①求w 关于θ的函数表达式； ②求w 的最小值及此时tan θ的值．22. （本题满分15分） 已知函数()ln (0)af x x x a x=+≠32()3g x x x =--.(1) 求()g x 的单调区间(2)如果 存在1x ，[]20,2x ∈，使得12()()g x g x M -≥，求满足上述条件的最大整数M ； （3）若对任意1x ,21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.台州中学2017学年第一学期第一次统练试题高三 数学编制：季剑锋 审核：翟美锁一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11． 13 0 12. 3π 13. 32sin(2)4y x π=+；2 14. 42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，（0，2） 15. 800 16. x ＋2y -5＝0 17.1213 三．解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）(2) 9分2123n1111(2)=1+3+5++21)n n a a a a +++⋅⋅⋅+-= （14分19. （本题满分15分） (1)∵当即即时单调递增，∴的单调递增区间为.对称轴5,212k x k z ππ=+∈ 9分(2)∵∴∴由得∴∴即.20. （本题满分15分）(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4].(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016) ＋f(2 017)＝f(2 016) ＋f(2 017)＝f(0) ＋f(1)＝121．（本题满分15分）解：（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A（10，0），B（20，0），C（﹣5，5），∴AC==5；（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx，k=tanθ，则w=m[++]=m•；直线l的斜率不存在时，w=525m，综上，w=②直线l的斜率不存在时，w=525m；当直线l的斜率存在时，w=m•令t=k﹣10，则t=0时，w=525m；t≠0时，w=525m+m•∵t+≤﹣2，或t+≥2，∴w的最小值为525m+m•=m，此时，t=﹣，tanθ=k=10﹣．，22.(Ⅰ)递减区间递增区间，(Ⅱ)12max max min112[()()]()()27g x g x g x g x-=-= M=4（Ⅲ）m a x()g x=1 任意1x,21,22x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12()()f xg x≥成立等价于ln1ax x x+≥2lna x x x≥-2()ln h x x x x =- ,()12ln h x x x x =-- ,(1)0h =()12ln m x x x x =-- ,()32ln 0m x x =--< ()m x ,()h x当1x <时,()0h x >当12x <≤时,()0h x < max()(1)1h x h == 1a ≥。
2018年浙江省高考全真模拟数学试卷(一)
2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（4分）若数列{a n}满足{a1}=2，{a n+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）A．4 B．C．2 D．8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．（﹣∞，1]9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（）A．B．C．D．10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=；展开式中的常数项为．13．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是．14．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．16．（4分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E （Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．20．已知函数．（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．22．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（2）求a n与a n﹣1（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）参考答案与试题解析一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选C．2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．故选：A．3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），其渐近线方程为y=±x，即x±y=0，则其焦点到渐近线的距离d==1；故选：A．4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设f（x）=x|x|=，由二次函数的单调性可得函数f（x）为增函数，则若a＞b，则f（a）＞f（b），即a|a|＞b|b|，反之也成立，即“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的充要条件，故选：C．5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D6．（4分）若数列{a n}满足{a1}=2，{a n+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．【解答】解：∵数列，∴a2==﹣3，同理可得：a3=，a4=，a5=2，…．=a n，a1a2a3a4=1．∴a n+4∴该数列的前2017项的乘积=1504×a1=2．故选：C．7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：设CG=a，P（x，0，z），则，即z=．又B（2，2，0），G（0，2，a），∴=（2﹣x，2，﹣），=（﹣x，2，a（1﹣）），∴=（x﹣2）x+4+=0，显然x≠0且x≠2，∴a2=，∵x∈（0，2），∴2x﹣x2∈（0，1]，∴当2x﹣x2=1时，a2取得最小值12，∴a的最小值为2．故选D．8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．（﹣∞，1]【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣2x+1）的值域为A，∵f（x）=1﹣在R上的值域为（﹣∞，0]，∴（﹣∞，0]⊆A，∴h（x）=ax2﹣2x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，∴实数a需要满足a≤0或，解得a≤1．∴实数a的范围是（﹣∞，1]，故选：D．9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵ξ服从二项分布，∴E（ξ）=5×=，∴E（﹣ξ）=﹣E（ξ）=﹣．故选D．10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：；∵f（x）在R上存在极值；∴f′（x）=0有两个不同实数根；∴；即，；∴；∴；∴与夹角的取值范围为．故选B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为7+．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，左右两边都是棱长为1的正方体截去一个角，则该几何体的体积为；表面积为=．故答案为：；．12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=6；展开式中的常数项为15．【解答】解：令x=1，则在的展开式中，各项系数之和为2n=64，解得n=6，则其通项公式为C6r x，令6﹣3r=0，解得r=2，则展开式中的常数项为C62=15故答案为：6，1513．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是．【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为×=．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为×=，故答案为：；．14．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：由约束条件作可行域如图联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．由ax+y≤4得y≤﹣ax+4要使ax+y≤4恒成立，则平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，若a=0，则不等式等价为y≤4，此时满足条件，若﹣a＞0，即a＜0，平面区域满足条件，若﹣a＜0，即a＞0时，要使平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，则只要B在直线的下方即可，即2a+1≤4，得0＜a≤．综上a≤∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16．（4分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．【解答】解：对任意的n∈N*，满足a n+2﹣a n≤2n，a n+4﹣a n≥5×2n，∴a n+4﹣a n+2≤2n+2，∴5×2n≤a n+4﹣a n+2+a n+2﹣a n≤2n+2+2n=5×2n，∴a n+4﹣a n=5×2n，∴a2017=（a2017﹣a2013）+（a2013﹣a2009）+...+（a5﹣a1）+a1=5×（22013+22009+ (2)+=5×+=，故答案为：17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是a≥．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=2x+1，f[f（x）]=4x+3，不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，当a＞0时，f（x）≥=1﹣，f[f（x）]≥f（1﹣）=a（1﹣）2+2（1﹣）+1=a﹣+1，解a﹣+1≥0得：a≤，或a≥，故a≥，当a＜0时，f（x）≤=1﹣，不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，综上可得：a≥故答案为：a≥三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．【解答】解：由，…（2分）（1）周期为T=π，…（3分）因为，…（4分）所以，∴函数的单减区间为；…（6分）（2）因为，所以；…（7分）所以，a2+b2﹣ab=3，…（9分）又因为sinB=2sinA，所以b=2a，…（10分）解得：a=1，b=2，∴a，b的值1，2．…（12分）19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E （Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．【解答】（I）证明：连接AE，∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE是公共边，∴△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠CEB，∵CE⊥BD，∴AE⊥BD，又AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，AE∩CE=E，∴BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，∴BD⊥AC．（2）解：过E作EF⊥AD于F，连接CF，∵平面ABD⊥平面BCD，CE⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CE⊥BD，∴CE⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴CE⊥AD，又AD⊥EF，∴AD⊥平面CEF，∴∠CFE为二面角C﹣AD﹣B的平面角，∵AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°，AE⊥BD，CE⊥BD，∴BE=1，AE=CE=，DE=，∴AD==，EF==，CF==，∴cos∠CFE==．∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．20．已知函数．（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a=2时，，∴，∴，f'（1）=0；∴函教f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．（Ⅱ）由题知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），，令f（x）=0，解得x1=1，x2=a﹣1，①当a＞2时，所以a﹣1＞1，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上f（x）＞0；在区间（1，a﹣1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）．②当a=2时，f'（x）＞=0恒成立，故函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．③当1＜a＜2时，a﹣1＜1，在区间（0，a﹣1），和（1，+∞）上f'（x）＞0；在（a﹣1，1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）④当a=1时，f'（x）=x﹣1，x＞1时f'（x）＞0，x＜1时f'（x）＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）⑤当0＜a＜1时，a﹣1＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1），综上，①a＞2时函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）；②a=2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；③当0＜a＜2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）；④当0＜a≤1时，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，可设l：x=my+n，A（x1，y1）¡¢，B（x2，y2）由得：y2﹣4my﹣4n=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4n．∴x1+x2=4m2+2n，x1•x2=n2，∴由•=﹣4可得：x1•x2+y1•y2=n2﹣4n=﹣4．解得：n=2．∴l：x=my+2，∴直线l恒过定点（2，0）．（Ⅱ）∵直线l与曲线C1相切，M（1，0），显然n≥3，∴=2，整理得：4m2=n2﹣2n﹣3．①由（Ⅰ）及①可得：•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1•y2=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2=n2﹣4m2﹣2n+1﹣4n=n2﹣4m2﹣6n+1=4﹣4n∴•≤﹣8，即的取值范围是（﹣∞，﹣8]．22．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（2）求a n与a n﹣1（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）【解答】解：（1）a2=+=2+2=4，a3=++=3+6+6=15，a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，a5=++++=5+20+60+120+120=325；（2）a n=++…+=n+n（n﹣1）+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!=n+n[（n﹣1）+（n﹣1）（n﹣2）+…+（n﹣1）!]=n+na n﹣1；（3）证明：由（2）可知=，所以（1+）（1+）…（1+）=•…==+++…+=+++…+=+++…+≤1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3（n≥2）．所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．。
台州市2018年高三年级第一次调考数学试题 (含解析)
一、选择题1.设集合{0,1,2,3}P =，{|2}Q x R x =∈<，则PQ =（ ）A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{1} 【答案】 A 【解析】由题意得集合{|22}Q x x =-<<-，所以{0,1}PQ =.2.若复数(1)(2)z i i =-+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】 D 【解析】复数(1)(2)3z i i i =-+=-在复平面内对应的点为(3,1)-，位于第四象限. 3.设A ，B ，C 为的内角，则“A B <”是“cos cos A B >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】因为A ，B 是三角形的内角，所以A ，(0,)B π∈，又因为函数cos y x =在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B <⇔>，即“A B <”是“cos cos A B >”的充分必要条件. 4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.16 B.13C.1D.3 【答案】 B 【解析】有三视图得该几何体是一个底面边长为1的正方形，有一条长为1的侧菱垂直于底面的四菱锥，则体积为1111133⨯⨯⨯=. 5.在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ，则（ ） A.()()E X E Y >，()()D X D Y > B.()()E X E Y =，()()D X D Y > C.()()E X E Y >，()()D X D Y = D.()()E X E Y =，()()D X D Y = 【答案】 C 【解析】 由题意得4(5,)7XB ，3(5,)7Y B ，则420()577E X =⨯=，315()577E Y =⨯=，4460()5(1)7749D X =⨯⨯-=，3360()5(1)7749D Y =⨯⨯-=，所以()()E X E Y >，()()D X D Y =.6.设数列{}n a ，{}n b 满足700n n a b +=，172105n n n a a b +=+，*n N ∈，若6400a =，则（ ）A.43a a >B.43b b <C.33a b >D.44a b < 【答案】 C 【解析】本题考察数列的概念.由700n n a b +=得700n n b a =-， 则172723(700)28010510510n n n n n n a a b a a a +=+=+-=+，则13400(400)10n n a a +-=-，又因为6400a =，所以400n a =，*n N ∈，则700300n n b a =-=，*n N ∈，所以33a b >. 7.在ABC ∆中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C，若222a b c =+，sin 2cos C B =，则（ ）A.3A π=B.4B π=C.c =D.2c a = 【答案】 D 解析：在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，又222a b c =+，所以cos A =(0,)A π∈，所以6A π=，则555sin 2cos 2cos()2(cos cos sin sin )sin 666C B C C C C C πππ==-=+=+， 则cos 0C =，又(0,)C π∈，所以2C π=，所以3B π=，在ABC ∆中，正弦定理得sinsinsin632a b c πππ==，化简得23c a ==.综上所述，只有D 选项正确. 8.设实数x ，y 满足条件10220220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若222z x y =--，则（ ）A.z 的最小值为258-B.z 的最小值为3-C.z 的最大值为33D.z 的最大值为6 【答案】 A 【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式所表示的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示，由图易得当目标函数222z x y =--与平面区域内的边界10(0)x y x -+=≥相切时，222z x y =--取得最小值，联立22210z x y x y ⎧=--⎨-+=⎩，消去y 化简得2230x y z ---=，因为曲线222z x y =--与10(0)x y x -+=≥相切，所以关于x 的一元二次方程2230x x z ---=有两个相同的实数根，则2(1)42(3)0z --⨯⨯--=，解得258z =-，即目标函数222z x y =--的最小值为258-，由于不等式组所表示的平面区域右侧为开放区域，所以目标函数无最大值.9.已知单位向量1e ，2e ，且1212e e ⋅=-，若向量a 满足125()()4a e a e -⋅-=，则a 的取值范围为（ ）A. B.121]2C.1]2D. 【答案】 B 【解析】因为向量1e ，2e 为单位向量，且1212e e ⋅=-，所以向量1e ，2e 的夹角为23π，则不妨设11(,22e =，21(,22e =-，设(,)a OA x y ==，则221211135()()(,(,()22244a e a e x y x y x y --=-⋅-=-+-=，即221()22x y -+=，所以点A 在以1(,0)2为半径的圆上.又因为2a x =+A 到原点的距离，由图易得圆与x 轴正半轴的交点到原点的距离最大，12，圆与x轴负半轴的交点到原点的距离最小，12，所以a的取值范围为121]2.10.设()f x'为函数()f x的导函数()x R∈，且()0f x<，2()()0f x f x'+>（e为自然对数的底数），若12x x<，则（）A.1221()()x xf x e f x-<⋅ B.2112()()x xf x e f x-<⋅C.2122221()()x xf x e f x->⋅ D.1222212()()x xf x e f x->⋅【答案】D解析：设2()()xg x e f x=⋅，则2()()2()()()(2()())x x xg x e f x e f x f x e f x f x f x'''=⋅+⋅=⋅+，因为()0f x<，0xe>，2()()0f x f x'+>，所以()()(2()())0xg x e f x f x f x''=⋅+<在R上恒成立，所以函数2()()xg x e f x=⋅在R上单调递减，则当12x x<时，有12()()g x g x>，即122212()()x xf x e f x e>，即212212()()x xf x e f x->⋅，因为12x x<，所以1221210x xx xe e-->>>，所以12212222122()()()x xx xf x e f x e f x-->⋅>⋅.二、填空题11.设实数a满足23a=，则a=，33log12log6-=（用a表示）.【答案】2log31a【解析】由23a=得2log3a=，则3333333211log12log6log(26)log6log2log6log6log3a-=⨯-=+-==.12.抛物线2:8C y x=的焦点F的坐标为，若点)P m在抛物线C上，则线段PF 的长度为 .【答案】(2,0)2【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的准线方程为2x =-，因为点)P m 在抛物线上，所以PF 的长度等于点)P m 到抛物线的准线的距离，即2PF =. 13.若函数2()()21x f x a a R =-∈-是奇函数，则a = ，函数()f x 的值域为 . 【答案】1-(,1)(1,)-∞-+∞【解析】易得函数2()21x f x a =--的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，则由函数2()21xf x a =--为奇函数得(1)(1)f f =--，即1122()2121a a --=----，解得1a =-，则2()121x f x =---，当0x >时，21(0,)x-∈+∞，所以2(,0)21x -∈-∞-，则21(,1)21x --∈-∞--，所以函数2()121x f x =---在(0,)+∞上的值域为(,1)-∞-，又因为函数2()121x f x =---为奇函数，所以函数2()121x f x =---在(,0)-∞上的值域为(1,)+∞.综上所述，函数2()121xf x =---的值域为(,1)(1,)-∞-+∞. 14.若实数x ，y 满足222244432x y xy x y +++=，则2x y +的最小值为 ，2)2x y xy ++的最大值为 .【答案】-16【解析】因为222244432x y xy x y +++=，所以222(2)432x y x y ++=，则2(2)32x y +≤，2x y -≤+≤2x y +的最小值为-.由222(2)432x y x y ++=，不妨设22x y xy θθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩2)2cos )16sin()x y xy θθθϕ++=+=+，其中tan ϕ=，所以当sin()1θϕ+=2)2x y xy ++取得最大值为16. 15.在238(21)(21)(21)x x x -+-++-的展开式中，含2x 项的系数为 .【答案】64【解析】238(21)(21)(21)x x x -+-++-的展开中，含2x 项的系数为0212222626234822(1)2(1)2(1)C C C C ⨯+⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-22(136********)64=⨯-+-+-+=.16.若关于x 的不等式2(cos 1)(16)0a x ax x a --+<在(0,)+∞上有解，则实数a 的取值范围为 . 【答案】(,1)(0,)-∞-+∞【解析】设()cos 1f x a x =-，2()16g x ax x a =-+，则关于x 的不等式2(cos 1)(16)0a x ax x a --+<在(0,)+∞上有解，等价于存在0(0,)x ∈+∞，使得00()()0f x g x ⋅<成立.当1a >时，函数()cos 1f x a x =-在(0,)+∞上存在零点，即存在0(0,)x ∈+∞使得0()0f x <，函数2()160g x ax x a =-+>在(0,)+∞上恒成立，所以此时存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当118a ≤≤时，函数()cos 10f x a x =-≤在(0,)+∞上恒成立，函数2()160g x ax x a =-+≥在(0,)+∞上恒成立，所以此时存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当108a <<时，函数()cos 10f x a x =-<在(0,)+∞上恒成立，函数2()160g x ax x a =-+=存在两个不同的零点1x ，212()x x x <，且12121016160x x aa x x a ⎧+=>⎪⎪⎨⎪⋅==>⎪⎩，所以12,(0,)x x ∈+∞，所以存在012(0,)(,)x x x ∈+∞使得0()0g x >，所以此时存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当0a =时，显然不等式不成立；当108a -<<时，函数()cos 10f x a x =-<在(0,)+∞上恒成立，函数2()160g x ax x a =-+=存在两个不同的零点1x ，2x ，且12121016160x x aa x x a ⎧+=<⎪⎪⎨⎪⋅==>⎪⎩，所以12,(,0)x x ∈-∞，所以函数2()160g x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，所以此时不存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当118a -≤≤-时，函数()cos 10f x a x =-≤在(0,)+∞上恒成立，函数2()160g x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，所以此时不存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立；当1a <-时，函数()cos 1f x a x =-在(0,)+∞上存在零点，即存在0(0,)x ∈+∞使得0()0f x >，函数2()160g x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，所以此时存在0(0,)x ∈+∞使得00()()0f x g x ⋅<成立.综上所述，实数a 的取值范围为(,1)(0,)-∞-+∞.17.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=︒，1AB =，2AC CD DA ===，动点M 在边DC 上（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿着AM 将ADM ∆翻折成AD M '∆，当平面AD M '垂直于平面ABC 时，线段PD '长度的最小值为 .【答案】【解析】设点D '在平面ABCD 内投影为点F ，DAM θ∠=，则易得(0,60]θ∈︒，当(0,30)θ︒时，点F 在ADC ∆外，过点F 作AB 的垂线，垂足在线段BA 的延长线上，所以此时当点P 与点A 重合时，PD '取得的最小值等于2AD AD '==；当[30,60]θ∈︒︒时，点F 在ADC ∆内（包括边界），过点F 作AB 的垂线FG ，垂足G 在线段BA 上，所以当点P 与垂足G 重合时，PD '取得的最小值，此时有PD AB '⊥.在Rt D AP '∆中，因为2AD AD '==，所以当PD '取得最小值时，cos D AP '∠取得最大值.由最小定理得211cos cos cos(120)cos (cos sin )cos 222D AP θθθθθθ'∠=⋅︒-=⋅-+=-1111cos cos 22cos(2120)4424θθθθθ=-+-=-︒-，易得当60θ=︒时，cos D AP '∠取得最大值14，所以此时12AP =，PD '==.综上所述，PD '. 三、解答题18.已知函数2()sin cos cos f x x x x =+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期，并写出()f x 图象的对称轴方程； （Ⅱ）若将函数()y f x =的图象向右平行移动8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求满足0()1g x ≥的实数0x 的集合. 【解析】（Ⅰ）2()sin cos cos f x x x x =+11sin 2(1cos 2)22x x =++ 11(sin 2cos 2)22x x =++1)42x π=++，∴()f x 的最小周期T π=， 令242x k πππ+=+，k Z ∈，得82k x ππ=+，k Z ∈，∴()f x 图象的对称轴方程为82k x ππ=+，k Z ∈.（Ⅱ）由题意得1())842g x x ππ=-++122x =+0()1g x ≥，即01sin 2122x +≥，0sin 22x ≥，∴0322244k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈. ∴0388k x k ππππ+≤≤+k Z ∈，即所求0x 的集合为003{,}88x k x k k Z ππππ+≤≤+∈.19.如图，在三棱锥D ABC -中，CA CB ==DA DB ==2AB =.（Ⅰ）求证：AB CD ⊥；（Ⅱ）若顶点D 在底面ABC 上的射影落在ABC ∆的内部，当直线AD 与底面ABC 所成角的正弦值为6时，求二面角C AD B --的平面角的余弦值.【解析】（Ⅰ）证明：如图，取AB 的中点E ，连接CE ，DE ， ∵CA CB =，DA DB =，∴CE AB ⊥，DE AB ⊥， 又DECE E =，∴AB ⊥平面DEC ，又CD ⊂平面DEC ，∴AB CD ⊥.（Ⅱ）如图，作DO CE ⊥于点O ，由（Ⅰ）易得平面DEC ⊥平面ABC ，且交于CE .∴DO ⊥平面ABC ，∴DAO ∠为直线AD 与平面ABC 所成的角，sin DO DAO AD ∠==6=，∴DO =DE = ∴在Rt DOE ∆中，12OE ==，又易知1CE =，∴O 为CE 的中点.∵DO CE ⊥，O 为CE的中点，∴DC DE ==，过点C 作CM DE ⊥于点M ，取AD 的中点G ，连接CG ，GM .同上可得CM ⊥平面ABD .∴CM AD ⊥，∵AC =DC AC =，∴CG AD ⊥，CGM ∠为二角面C AD B --的平面角，CG ==， 在CDE ∆中，14CE DO CM DE ⨯===. 在Rt CMG ∆中，22238MG CG CM =-=.∴MG =∴cos MG CGM CG ∠===，∴二角面C AD B --的平面角的余弦值为10. 20.已知函数32()23(1)6f x x m x mx =-++，m R ∈.（Ⅰ）若2m =，写出函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若对于任意的[1,1]x ∈-，都有()4f x <，求m 的取值范围.【解析】（Ⅰ）若2m =，则32()2912f x x x x =-+，∵22()618126(32)6(1)(2)f x x x x x x x '=-+=-+=--，令()0f x '>，得1x <或2x >， ∴函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞，(2,)+∞.（Ⅱ）∵32()23(1)6f x x m x mx =-++，∴2()66(1)66(1)()f x x m x m x x m '=-++=--. ①当1m ≥时，()f x 在(1,1)-上单调递增，max ()(1)314f x f m ==-<，解得53m <， ∴513m ≤<； ②当11m -<<时，()f x 在(1,)m -上单调递增，在(,1)m 上单调递减.∴32max ()()34f x f m m m ==-+<，即32340m m -+>，2(1)(2)0m m +->恒成立， 所以11m -<<.③当1m ≤-时，()f x 在(1,1)-上单调递减，max ()(1)954f x f m =-=--<，解得1m >-，舍去，综上所述，m 的取值范围为5(1,)3-.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点M ，且离心率为2. （Ⅰ）求a ，b 的值，并写出椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，在椭圆C 上有异于A ，B 的动点P ，若直线PA ，PB 与直线l ：x m =（m 为常数）分别交于不同的两点M ，N ，则当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过定点？【解析】（Ⅰ）由题知，22421a b+=，c a =，222a b c =+，解得a =2b =， ∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(A -，B ，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则直线PA ，PB 的方程分别为1(y k x =+，2(y k x =-，∴1(,(M m k m +，2(,(N m k m -，∴根据射影定理知，以MN 为直径的圆的方程为212()[((0x m y k m y k m -+-+--=，即2221212()[(((8)0x m y k m k m y k k m -+-++-+⋅-=， 设点00(,)P x y ，则2200184x y +=，22004(1)8x y =-，∴201220182y k k x ===--，∴222121()[(((8)02x m y k m k m y m -+-++---=， 由0y =，得221()(8)02x m m ---=，∴221()(8)2x m m -=-. 当280m -<，即m -<. 当280m -≥，即m ≥或m ≤-x m =±即定点为(m ±. 22.在正项数列{}n a 中，已知1111a ≤≤，2113312n n a a +=-，*n N ∈.（Ⅰ）求证：111n a ≤≤；（Ⅱ）设212()n n n b n a a -=+，n S 表示数列{}n b 的前n 项和，求证：6(1)n S n n ≥+； （Ⅲ）若18a =，设212n n n c a a -=-，n T 表示数列{}n c 的前n 项和.（ⅰ）比较n a 与7的大小；（ⅱ）求证：13n T <.【解析】（Ⅰ）证明：①当1n =，命题成立.②假设当n k =时，有111k a ≤≤成立，则当1n k =+时，∵113312121k a ≤-≤，∴211121k a +≤≤.∵0n a >，∴1111k a +≤≤成立.综上所述，111n a ≤≤. （Ⅱ）证明：∵2221222211331169(6)12121212n n n n n a a a a a -+=-++=--+， 由（Ⅰ）知，2111n a ≤≤，∴21212n n a a -+≥，∴12n b n ≥， ∴12(1)12(12)126(1)2n n n n S b b b n n n +=+++≥+++=⨯=+得证. （Ⅲ）（ⅰ）∵18a =，∴221339637a =-=，∴2a 17a >，27a <，又由已知得222+17133712841212(7)n n n n a a a a -=--=-=--， ∴11(7)(7)12(7)n n n a a a ++-+=--，∴11712077n n n a a a ++-=-<-+，即1(7)(7)0n n a a +--<， ∴2127n n a a ->>，∵221213312n n a a +=-，222113312n n a a -=-，∴2221222112()n n n n a a a a +--=--，即2221222112()n n n n a a a a +-=--，又由（Ⅱ）知，21212n n a a -+≥，∴2222212122122122122112()()(12)0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +------=---=-+-≤.同理，2222221222122()(12)0n n n n n n a a a a a a ------=-=+-≥.综上所述，数列21{}n a -单调递减，21217n n a a -+>>.数列2{}n a 单调递增，2227n n a a +<<.（ⅱ）：因为222212122212213312(13312)12()n n n n n n a a a a a a ------=---=-⋅-， ∴221212222112n n n n n n a a a a a a ------=-+，同理，21222223212212n n n n n n a a a a a a --------=-+， ∴22122232212122144()()n n n n n n n n a a a a a a a a -------=-++，即12212122144()()nn n n n n c c a a a a ----=++.∵2a =17n n a a -+>，∴11447217085n n c c -<=<=，且1128c a a =-=，∴11111172[1()]727285()137213858518585n n n c c T c c c --⋅<+++⋅=<=<-.。
2018年浙江高考模拟试卷数学卷(最新整理)
∴ ACO 为等边三角形，从而 CD AO -------（3 分）
∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D ，
∴ PD 平面 ABC ，又 CD 平面 ABC ，
A
∴ PD CD ，
---------（5 分）
DO
B
由 PD AO D 得， CD 平面 PAB ． ---------（6 分）
B 、 D 三点不重合． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）求证：直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值． （Ⅲ） ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由？
22、（衢州市 2017 年 4 月高三教学质量检测理科改编）（本题满分 15 分）已知数列an 满足
a1
1 2
C
（注：证明 CD 平面 PAB 时，也可以由平面 PAB 平面 ACB 得到，酌情给分．）
（Ⅱ）法 1：
过 D 作 DH 平面 PBC 交平面于点 H ，连接 PH ，则 DPH 即为所求的线面角。-----
（8 分）
由（Ⅰ）可知 CD 3 ， PD DB 3 ，
∴ VP BDC
1 3
2 3
1
． log2.5 6.25 ln e (0.064) 3
．
12、（原创）已知离散型随机变量 的分布列为
0
1
2
则变量 的数学期望
_________，方差
____________.
13、（原创）函数
f
(x)
2
x
,
x
2
则 f f 2 =
x2 2x 1, x 2
；方程 f f x 2 解是
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
精品解析：浙江2018年高考全真模拟数学试题(一)(解析版)
2018年浙江高考全真模拟高三数学试题卷一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合，∴集合，集合∴∵集合∴故选C2.设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，故选A.3.双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】根据双曲线的方程得到焦点为，渐近线为：，根据点到直线的距离得到焦点到渐近线的距离为故答案为：A。
4.设，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵∴当，时，满足，则当，时，，则当，时，，则当，时，无解∴可推出∵∴当时，，满足当时，满足当时，，满足∴可推出综上，“”是“”的充要条件故选C5.函数在的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵函数，∴函数为偶函数∴当时，，故排除A和B当时，，则有解，即函数在上不是单调的，故排除C故选D点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6.若数列满足，，则该数列的前2017项的乘积是（）A. -2B. -3C. 2D.【答案】C【解析】∵数列{a n}满足a1=2,(n∈N∗)，∴,同理可得：.∴a n+4=a n,a1a2a3a4=1.∴该数列的前2017项的乘积=1504×a1=2.本题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．7.如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且，若线段DE上存在点P使得，则边CG长度的最小值为A. 4B.C. 2D.【答案】D【解析】以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：设，则,即.又，所以.显然且.所以.因为，所以.所以当，取得最小值12.所以的最小值为.故选D.点睛：集合问题代数化是空间向量法解决问题的一般思路，通过向量将几何关系建立代数式，例如两直线垂直时即可转为向量的数量积为0，利用向量的坐标表示即可.8.设函数，，若对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设函数的值域为A，函数的值域为，由已知有，又，所以或，所以，选D.点睛：本题主要考查如何求实数的范围，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的运用。
2018年浙江省高考全真模拟数学试卷(一)及答案
2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（4分）若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）A．4 B．C．2 D．8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．（﹣∞，1]9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（）A．B．C．D．10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=；展开式中的常数项为．13．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是．14．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．16．（4分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E （Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．20．已知函数．（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．22．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（2）求a n与a n﹣1（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）参考答案与试题解析一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选：C．2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．故选：A．3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），其渐近线方程为y=±x，即x±y=0，则其焦点到渐近线的距离d==1；故选：A．4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设f（x）=x|x|=，由二次函数的单调性可得函数f（x）为增函数，则若a＞b，则f（a）＞f（b），即a|a|＞b|b|，反之也成立，即“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的充要条件，故选：C．5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．6．（4分）若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．【解答】解：∵数列，∴a2==﹣3，同理可得：a3=，a4=，a5=2，…．=a n，a1a2a3a4=1．∴a n+4∴该数列的前2017项的乘积=1504×a1=2．故选：C．7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：设CG=a，P（x，0，z），则，即z=．又B（2，2，0），G（0，2，a），∴=（2﹣x，2，﹣），=（﹣x，2，a（1﹣）），∴=（x﹣2）x+4+=0，显然x≠0且x≠2，∴a2=，∵x∈（0，2），∴2x﹣x2∈（0，1]，∴当2x﹣x2=1时，a2取得最小值12，∴a的最小值为2．故选：D．8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．（﹣∞，1]【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣2x+1）的值域为A，∵f（x）=1﹣在R上的值域为（﹣∞，0]，∴（﹣∞，0]⊆A，∴h（x）=ax2﹣2x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，∴实数a需要满足a≤0或，解得a≤1．∴实数a的范围是（﹣∞，1]，故选：D．9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵ξ服从二项分布，∴E（ξ）=5×=，∴E（﹣ξ）=﹣E（ξ）=﹣．故选：D．10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：；∵f（x）在R上存在极值；∴f′（x）=0有两个不同实数根；∴；即，；∴；∴；∴与夹角的取值范围为．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为7+．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，左右两边都是棱长为1的正方体截去一个角，则该几何体的体积为；表面积为=．故答案为：；．12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=6；展开式中的常数项为15．【解答】解：令x=1，则在的展开式中，各项系数之和为2n=64，解得n=6，则其通项公式为C6r x，令6﹣3r=0，解得r=2，则展开式中的常数项为C62=15故答案为：6，1513．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是．【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为×=．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为×=，故答案为：；．14．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：由约束条件作可行域如图联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．由ax+y≤4得y≤﹣ax+4要使ax+y≤4恒成立，则平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，若a=0，则不等式等价为y≤4，此时满足条件，若﹣a＞0，即a＜0，平面区域满足条件，若﹣a＜0，即a＞0时，要使平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，则只要B在直线的下方即可，即2a+1≤4，得0＜a≤．综上a≤∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16．（4分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．【解答】解：对任意的n∈N*，满足a n+2﹣a n≤2n，a n+4﹣a n≥5×2n，∴a n+4﹣a n+2≤2n+2，∴5×2n≤a n+4﹣a n+2+a n+2﹣a n≤2n+2+2n=5×2n，∴a n+4﹣a n=5×2n，∴a2017=（a2017﹣a2013）+（a2013﹣a2009）+...+（a5﹣a1）+a1=5×（22013+22009+ (2)+=5×+=，故答案为：17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是a≥．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=2x+1，f[f（x）]=4x+3，不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，当a＞0时，f（x）≥=1﹣，f[f（x）]≥f（1﹣）=a（1﹣）2+2（1﹣）+1=a﹣+1，解a﹣+1≥0得：a≤，或a≥，故a≥，当a＜0时，f（x）≤=1﹣，不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，综上可得：a≥故答案为：a≥三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．【解答】解：由，…（2分）（1）周期为T=π，…（3分）因为，…（4分）所以，∴函数的单减区间为；…（6分）（2）因为，所以；…（7分）所以，a2+b2﹣ab=3，…（9分）又因为sinB=2sinA，所以b=2a，…（10分）解得：a=1，b=2，∴a，b的值1，2．…（12分）19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E （Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．【解答】（I）证明：连接AE，∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE是公共边，∴△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠CEB，∵CE⊥BD，∴AE⊥BD，又AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，AE∩CE=E，∴BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，∴BD⊥AC．（2）解：过E作EF⊥AD于F，连接CF，∵平面ABD⊥平面BCD，CE⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CE⊥BD，∴CE⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴CE⊥AD，又AD⊥EF，∴AD⊥平面CEF，∴∠CFE为二面角C﹣AD﹣B的平面角，∵AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°，AE⊥BD，CE⊥BD，∴BE=1，AE=CE=，DE=，∴AD==，EF==，CF==，∴cos∠CFE==．∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．20．已知函数．（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a=2时，，∴，∴，f'（1）=0；∴函教f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．（Ⅱ）由题知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），，令f（x）=0，解得x1=1，x2=a﹣1，①当a＞2时，所以a﹣1＞1，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上f（x）＞0；在区间（1，a﹣1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）．②当a=2时，f'（x）＞=0恒成立，故函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．③当1＜a＜2时，a﹣1＜1，在区间（0，a﹣1），和（1，+∞）上f'（x）＞0；在（a﹣1，1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）④当a=1时，f'（x）=x﹣1，x＞1时f'（x）＞0，x＜1时f'（x）＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）⑤当0＜a＜1时，a﹣1＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1），综上，①a＞2时函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）；②a=2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；③当0＜a＜2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）；④当0＜a≤1时，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，可设l：x=my+n，A（x1，y1）¡¢，B（x2，y2）由得：y2﹣4my﹣4n=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4n．∴x1+x2=4m2+2n，x1•x2=n2，∴由•=﹣4可得：x1•x2+y1•y2=n2﹣4n=﹣4．解得：n=2．∴l：x=my+2，∴直线l恒过定点（2，0）．（Ⅱ）∵直线l与曲线C1相切，M（1，0），显然n≥3，∴=2，整理得：4m2=n2﹣2n﹣3．①由（Ⅰ）及①可得：•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1•y2=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2=n2﹣4m2﹣2n+1﹣4n=n2﹣4m2﹣6n+1=4﹣4n∴•≤﹣8，即的取值范围是（﹣∞，﹣8]．22．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（2）求a n与a n﹣1（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）【解答】解：（1）a2=+=2+2=4，a3=++=3+6+6=15，a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，a5=++++=5+20+60+120+120=325；（2）a n=++…+=n+n（n﹣1）+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!=n+n[（n﹣1）+（n﹣1）（n﹣2）+…+（n﹣1）!]=n+na n﹣1；（3）证明：由（2）可知=，所以（1+）（1+）…（1+）=•…==+++…+=+++…+=+++…+≤1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3（n≥2）．所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．。
浙江省台州市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年浙江省台州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量=（1，2），=（x，y）．则“x=﹣2且y=﹣4”是“∥”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a=，b=2，B=，则A的值为（）A．B．C．D．3．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．16 B．32 C．48 D．964．现定义a n=5n+（）n，其中n∈{，，，1}，则a n取最小值时，n的值为（）A．B．C．D．15．若函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 26．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则abc=（）A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣87．设实数x，y满足则的取值范围为（）A．[，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．[﹣1，]8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，若E，F为BD1的两个三等分点，G为长方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，则∠EGF的最大值是（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空题（本大题共7小题，共36分.其中9～12题，每小题6分，13～15题，每小题6分）9．设集合P={x∈R|x2＜16}，M={x∈R|2x＜8}，S={x∈R|log5x＜1}，则P∪M=；P∩S=；C R M=．10．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，那么双曲线C的方程为；离心率为．11．已知圆C：x2+y2=25和两点A（3，4），B（﹣1，2），则直线AB与圆C的位置关系为，若点P在圆C上，且S△ABP=，则满足条件的P点共有个．12．已知{|a n|}是首项和公差均为1的等差数列，S3=a1+a2+a3，则a3=，S3的所有可能值的集合为．13．有三家工厂分别位于A、B、C三点，经测量，AB=BC=5km，AC=6km，为方便处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AP、BP、CP．则AP+BP+CP的最小值为km．14．已知f（x）=则不等式f（x2﹣x）＞﹣5的解集为．15．如图，C、D在半径为1的圆O上，线段AB是圆O的直径，则的取值范围为．三、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．设△ABC的三内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，函数f（x）=cosx+sin（x﹣），且f（A）=1．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=1，求的最小值．17．如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥BC∥FD，F为AB的中点，AB=FD=2BC=2AE，现把此五边形ABCDE沿FD折成一个60°的二面角．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣F的平面角的余弦值．18．如图，已知椭圆C：+y2=1，过点P（1，0）作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆C交于两个不同的点M、N．（Ⅰ）设点A（0，2），k=1．求△AMN的面积；（Ⅱ）设点B（t，0），记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k．（k1+k2）•k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由．19．设数列{a n}的前n项和S n，S n=2a n+λn﹣4（n∈N+，λ∈R），且数列{a n﹣1}为等比数列．（Ⅰ）求实数λ的值，并写出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（i）判断数列{}（n∈N+）的单调性；（ii）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T2n＜．20．已知函数f（x）=ax2+x|x﹣b|．（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立．求实数a的最小值；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程|f（x）﹣m|=在[﹣3，3]上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围．2015年浙江省台州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量=（1，2），=（x，y）．则“x=﹣2且y=﹣4”是“∥”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量平行的性质及判定得到y=2x，进而判断“y=2x”和“x=﹣2，y=﹣4”的关系即可．解答：解：若“∥”，则满足y=2x，由x=﹣2，y=﹣4能推出y=2x，是充分条件，由y=2x推不出x=﹣2，y=﹣4，不是必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查了平行向量问题，是一道基础题．2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a=，b=2，B=，则A的值为（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及正弦定理可解得sinA==，结合A的范围，利用三角形中大边对大角即可求得A的值．解答：解：由已知及正弦定理可得：sinA===，由于：0＜A＜π，可解得：A=或，因为：a=＜b=2，利用三角形中大边对大角可知，A＜B，所以：A=．故选：D．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角知识的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．3．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．16 B．32 C．48 D．96考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积．解答：解：由三视图可知该几何体的直观图是正视图为底的四棱锥，AB=2，CD=4，AD=4，棱锥的高为VD=4，则该四棱锥的体积V==16，故选：A点评：本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键．4．现定义a n=5n+（）n，其中n∈{，，，1}，则a n取最小值时，n的值为（）A．B．C．D．1考点：数列递推式．分析：对数列函数f（n）=5n+（）n求导数，由导函数的符号判断数列a n=5n+（）n为递增数列，由此可得a n取最小值时n的值．解答：解：∵a n=5n+（）n，令f（n）=5n+（）n，∴（n＞0），∴数列a n=5n+（）n为递增数列，则当n∈{，，，1}，且a n取最小值时，n的值为．故选：A．点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了利用导数研究函数的单调性，属中档题．5．若函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 2考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点可化为方程|x|+log2（x2+2）=﹣a 有且只有一个根，令F（x）=|x|+log2（x2+2），可判断F（x）是偶函数，F（x）≥F（0）=1，从而可得a=﹣1．解答：解：函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点可化为方程|x|+log2（x2+2）=﹣a有且只有一个根，令F（x）=|x|+log2（x2+2），则F（x）是偶函数，且F（x）在[0，+∞）上是增函数，故F（x）≥F（0）=1；故方程|x|+log2（x2+2）=﹣a有且只有一个根时，﹣a=1；故a=﹣1．故选B．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的联系与应用，同时考查了函数的性质的判断，属于基础题．6．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则abc=（）A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=的部分图象知，1与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且二次函数的顶点纵坐标为﹣1，利用韦达定理求出abc的值．解答：解：由函数f（x）=的部分图象知，1与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且二次函数的顶点纵坐标为﹣1，故1+3=，1×3=，=﹣1，即b=﹣4a、c=3a，代入=﹣1得a=1，∴b=﹣4，c=3，∴abc=﹣12，故选：B．点评：本题主要考查函数图象的应用，重点考查识图的能力．关键是从图象的特点入手，找出函数所要满足的性质．7．设实数x，y满足则的取值范围为（）A．[，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．[﹣1，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：利用方式函数的性质将目标函数进行化简，利用数形结合即可得到结论．解答：解：====，设k=，则k的几何意义为区域内的点到D（2，2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则AD的斜率最大，由，解得，即A（4，3），此时AD的斜率最大，为k=，即k≤，则≥2或＜0，则﹣1≥1或﹣1＜﹣1，0＜≤1或﹣1＜＜0，即0＜≤1或﹣1＜＜0，当y=2时，=0，当x=2，y=0，对应的=，综上﹣1≤≤1，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，根据分式函数的性质将目标函数进行分解是解决本题的关键．难度较大．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，若E，F为BD1的两个三等分点，G为长方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，则∠EGF的最大值是（）A．30° B．45° C．60° D．90°考点：棱柱的结构特征．专题：数形结合；空间角．分析：根据题意，画出图形，结合图形得出当动点G为长方体的上下两个面的中心时，∠EFG 最大，最大值为90°．解答：解：根据题意，画出图形，如图所示；长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，所以长方体的体对角线BD1=3；设BD1的中点为O，因为E，F是BD1的三等分点，所以OE=OF=，且长方体的高为1；现以EF为直径作一个球，这个球与长方体的上下两个面相切于面的中心（即该球与长方体的表面仅此两个公共点）；因此，当G位于这两个公共点处时，∠EFG最大，此时EF为直径，所以∠EFG=90°；若G在长方体表面的其它位置时，则G必在该球的外部，∠EFG必小于90°；所以∠EFG的最大值为90°．故选：D．点评：本题考查了空间中的位置关系的应用问题，也考查了求空间角的应用问题，解题时应画出图形，利用数形结合的方法，是综合性题目．二、填空题（本大题共7小题，共36分.其中9～12题，每小题6分，13～15题，每小题6分）9．设集合P={x∈R|x2＜16}，M={x∈R|2x＜8}，S={x∈R|log5x＜1}，则P∪M={x|﹣4＜x＜4}；P∩S={x|0＜x＜5}；C R M={x|x≥4}．考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵P={x∈R|x2＜16}={x|﹣4＜x＜4}，M={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，S={x∈R|log5x＜1}={x|0＜x＜5}，则P∪M={x|x＜4}，P∩S={x|0＜x＜4}，C R M={x|x≥4}，故答案为：{x|﹣4＜x＜4}，{x|0＜x＜5}，{x|x≥4}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．10．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，那么双曲线C的方程为3；离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出a，然后求解离心率即可．解答：解：F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，可得a=3，双曲线方程为：=1，则b=4，c=5，双曲线的离心率为：e=．故答案为：3；．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11．已知圆C：x2+y2=25和两点A（3，4），B（﹣1，2），则直线AB与圆C的位置关系为相交，若点P在圆C上，且S△ABP=，则满足条件的P点共有4个．考点：直线和圆的方程的应用．专题：解三角形；直线与圆．分析：求出直线AB的斜率和点斜式方程，求得圆心到直线AB的距离，与半径比较即可判断AB与圆C的关系；求出AB的长，运用三角形的面积公式，求得P到直线AB的距离，即可判断P的个数．解答：解：直线AB的斜率为k==，即有AB：y﹣4=（x﹣3），即为x﹣2y+5=0，圆心C（0，0）到直线AB的距离为=＜5，则直线AB和圆C相交；由于|AB|==2，S△ABP=，则×d=，即有d=，即P到直线AB的距离为，而C到直线AB的距离为＞，且5﹣＞，即有在直线AB的两侧均有两点到直线AB的距离为，则满足条件的P点共有4个．故答案为：相交；4．点评：本题考查直线和圆的位置关系的判断，同时考查点到直线的距离公式和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．12．已知{|a n|}是首项和公差均为1的等差数列，S3=a1+a2+a3，则a3=±3，S3的所有可能值的集合为{﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6}．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，|a3|=3，所以a3=±3，由a1=±1，a2=±2，S3=a1+a2+a3，可得S3的所有可能值．解答：解：由题意，|a3|=3，所以a3=±3，因为a1=±1，a2=±2，S3=a1+a2+a3，所以S3的所有可能值为﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6，故答案为：±3；{﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6}．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．13．有三家工厂分别位于A、B、C三点，经测量，AB=BC=5km，AC=6km，为方便处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AP、BP、CP．则AP+BP+CP的最小值为km km．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：由题意，AB=BC=5km，AC=6km，所以AC上的高为4km，AB，AC上的高都为km，即可求出AP+BP+CP的最小值．解答：解：由题意，AB=BC=5km，AC=6km，所以AC上的高为4km，AB，AC上的高都为km，∵4+6＞5+，∴AP+BP+CP的最小值为km．故答案为：km．点评：本题考查AP+BP+CP的最小值，考查学生的计算能力，比较基础．14．已知f（x）=则不等式f（x2﹣x）＞﹣5的解集为（﹣1，2）．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：讨论分段函数的单调性，可得f（x）在R上连续，且为递减函数，又f（2）=﹣5，不等式f（x2﹣x）＞﹣5即为f（x2﹣x）＞f（2），由单调性可去掉f，解二次不等式即可得到解集．解答：解：当x≤0时，f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1为递减函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4为递减函数，且x=0时，f（0）=3，则f（x）在R上连续，且为递减函数，又f（2）=﹣5，不等式f（x2﹣x）＞﹣5即为f（x2﹣x）＞f（2），由f（x）为R上的单调递减函数，可得x2﹣x＜2，解得﹣1＜x＜2．则解集为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性和运用：解不等式，同时考查二次不等式的解法，属于中档题．15．如图，C、D在半径为1的圆O上，线段AB是圆O的直径，则的取值范围为[﹣4，]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立直角坐标系，设出C的坐标，求出，，然后化简，即可求解它的范围．解答：解：如图建立平面直角坐标系：设D（cosθ，sinθ），﹣π≤θ≤π，∠CAB=α，=（a，b），﹣＜α＜，则tanα=，a=2cos2α，b=2cosαsinα，•=（a，b）•（cosθ﹣1，sinθ）=acosθ+bsinθ﹣a=sin（θ+φ）﹣a，其中tanφ==，∴α+φ=，﹣＜φ＜，从而﹣＜θ+φ＜，∴•=sin（θ+φ）﹣a的最大值是：﹣a，最小值是：﹣﹣a，最大值为：﹣a=﹣2cos2α=2cosα﹣2cos2α=﹣2+，当α=时，取最大值；最小值是：﹣﹣a=﹣2cosα﹣2cos2α=﹣+，当α=0时，取最小值﹣4；故答案为：[﹣4，]．点评：本题考查向量数量积的应用，考查转化思想计算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算是解答本题的关键．三、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．设△ABC的三内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，函数f（x）=cosx+sin（x﹣），且f（A）=1．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=1，求的最小值．考点：基本不等式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：（I）令两角和差的正弦公式可得函数f（x）=，f（A）==1，且A∈（0，π），即可得出．（II）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，再利用基本不等式即可得出．解答：解：（I）函数f（x）=cosx+sin（x﹣）=cosx+sinx﹣=sinx+=，∵f（A）==1，且A∈（0，π），∴，解得A=．（II）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，∴1==b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当b=c时取等号．≥2，∴的最小值为2．点评：本题考查了两角和差的正弦公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥BC∥FD，F为AB的中点，AB=FD=2BC=2AE，现把此五边形ABCDE沿FD折成一个60°的二面角．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣F的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）先证明四边形ABCE为平行四边形得到CE∥AB，从而直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）取FD得中点G，如图作辅助线．先证明DF⊥平面ABF，从而DF⊥平面ECG，所以DF⊥EH，又EH⊥CD，所以EH⊥CD，又HI⊥CD，所以CD⊥平面EHI，从而CD⊥EI，从而∠EIH为二面角E﹣CD﹣F的平面角．代入数据计算即可．解答：（Ⅰ）证明：∵AE∥DF，BC∥FD，∴AE∥BC，又∵BC=AE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE∥AB．又CE⊄平面ABF，AB⊂平面ABF，所以直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）解：如图，取FD得中点G，连接EG、CG，在△CEG中，作EH⊥CG，垂足为H，在平面BCDF中，作HI⊥CD，垂足为I，连接EI．∵AE=FG=BC，AE∥FG∥BC，∴AF∥EG，BF∥CG．又DF⊥AF，DF⊥BF，故DF⊥平面ABF，所以DF⊥平面ECG，∵EH⊥CG，DF⊥EH，∴EH⊥平面CGD，∴EH⊥CD，又∵HI⊥CD，∴CD⊥平面EHI，所以CD⊥EI，从而∠EIH为二面角E﹣CD﹣F的平面角．设BC=AE=1，则FG=GD=CG=GE=1，由于∠EGC为二面角C﹣FD﹣E的平面角，即∠EGC=60°，所以在△CEG中，HG=CH=，EH=，HI=CHsin45°=，所以EI=，所以cos∠EIH=．点评：本题考查空间角、空间中直线与平面的位置关系，属中档题．18．如图，已知椭圆C：+y2=1，过点P（1，0）作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆C交于两个不同的点M、N．（Ⅰ）设点A（0，2），k=1．求△AMN的面积；（Ⅱ）设点B（t，0），记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k．（k1+k2）•k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）当k=1时，写成直线l的方程，再结合椭圆方程即得点N（0，﹣1），M（，），从而可得S△AMN=；（Ⅱ）设直线AN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），结合椭圆方程可得关于x的一元二次方程得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，根据根的判别式△及韦达定理及直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，可得（k1+k2）•k=，分2t﹣8=0与2t﹣8≠0两种情况讨论即可．解答：解：（Ⅰ）当k=1时，直线l的方程为y=x﹣1，由得x1=0，即点N（0，﹣1），M（，），所以|AM|=3，S△AMN==；（Ⅱ）设直线AN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，则△=16（3k2+1）＞0，及，，由，得（k1+k2）•k=k（+）=k2（+）===若2t﹣8=0，则t=4，（k1+k2）•k=0为定值；当2t﹣8≠0，则t2﹣4=0，（k1+k2）•k=为定值；所以，当t=4时，（k1+k2）•k=0；当t=2时，（k1+k2）•k=﹣1；当t=﹣2时，（k1+k2）•k=﹣．点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，利用一元二次方程中的韦达定理是解题的关键，属难题．19．设数列{a n}的前n项和S n，S n=2a n+λn﹣4（n∈N+，λ∈R），且数列{a n﹣1}为等比数列．（Ⅰ）求实数λ的值，并写出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（i）判断数列{}（n∈N+）的单调性；（ii）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T2n＜．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）由S n+1﹣S n易得a n+1=2a n﹣λ，所以a n+1﹣1=2a n﹣λ﹣1=，又数列{a n﹣1}为等比数列，得λ=1．从而a n﹣1=2n，则a n=1+2n；（Ⅱ）（i）作差==即得结论；（ii）由b n==，可知T2n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣），利用﹣＜﹣==，将其放缩即可．解答：解：（Ⅰ）由S n=2a n+λn﹣4，得S n+1=2a n+1+λ（n+1）﹣4，两式相减得a n+1=2a n+1﹣2a n+λ，即a n+1=2a n﹣λ，所以a n+1﹣1=2a n﹣λ﹣1=，又数列{a n﹣1}为等比数列，所以，即λ=1．所以a1=3，a1﹣1=2，所以a n﹣1=2n，故数列{a n}的通项公式为：a n=1+2n；（Ⅱ）（i）∵==，又2n，2n+1单调递增，∴数列{}（n∈N+）为单调递减数列；（ii）∵b n==，∴T2n=b1+b2+…+b2n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣），由（i）得﹣＞﹣，即﹣＞﹣，所以﹣＜﹣==，所以T2n＜（﹣）+（++…+）=（﹣）+＜﹣+=＜．点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”以及放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知函数f（x）=ax2+x|x﹣b|．（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立．求实数a的最小值；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程|f（x）﹣m|=在[﹣3，3]上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；二次函数的性质．专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得ax2≥﹣x|x+1|﹣2x﹣1恒成立，讨论x=0，x≠0时，运用参数分离，求得右边函数的最大值即可；（Ⅱ）对a讨论，（1）当a＜﹣1时，（2）当a=﹣1时，（3）﹣1＜a＜0时，①当＜b，即﹣，②当＞b，即﹣1＜a＜﹣，运用二次函数的单调性和最值的求法，讨论对称轴和区间的关系，解不等式，求交集即可．解答：解：（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立，即为ax2≥﹣x|x+1|﹣2x﹣1，当x=0时，0＞﹣1成立；当x≠0时，a≥，令g（x）=，即有g（x）=，当x≥﹣1，x≠0时，x=﹣时，g（x）取得最大值；当x＜﹣1时，x=﹣2时，g（x）取得最大值．则有g（x）的最大值为．即有a≥，则a的最小值为；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程f（x）=m±在[﹣3，3]上有6个互不相同的解．而f（x）=，（1）当a＜﹣1时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减．方程f（x）=m±在[﹣3，3]上不可能有6个互不相同的解；（2）当a=﹣1时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，方程f（x）=m±在[﹣3，3]上不可能有6个互不相同的解；（3）﹣1＜a＜0时，①当＜b，即﹣，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，b）递减，在（b，+∞）递增．又1≤b≤2，﹣，2[]﹣b＞﹣3，要使方程f（x）=m±在[﹣3，3]上有6个互不相同的解．则f（）﹣f（b）＞，∀b∈[1，2]，都有a（9﹣b2）＞3b﹣，b2[﹣a]＞．当a（9﹣b2）＞3b﹣，即a＞，令6b﹣17=t∈[﹣11，﹣5]，g（b）==，当t=﹣5即b=2时，g（x）max=﹣，即有a＞﹣，当b2[﹣a]＞．则4a2﹣2a﹣1＞0，解得a＞（舍去）或a＜．即有﹣＜a＜；②当＞b，即﹣1＜a＜﹣，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增．∀b∈[1，2]，＜3，f（3）﹣f（）=9（a+1）﹣3b+＞，当＜3，∀b∈[1，2]恒成立，解得a＞﹣，当9（a+1）﹣3b+＞，∀b∈[1，2]恒成立，取b=2代入得a＞﹣或a＜﹣．所以无解．综上可得，a的取值范围为（﹣，）．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。
浙江省台州市高考数学一模试卷
浙江省台州市高考数学一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高三上·泰安期中) 已知集合 0，，，则等于A .B .C .D . 0，2. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 复数 (为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） "为方程的解"是为函数极值点"的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）己知命题“使”是假命题，则实数a的取值范围是（）A .B . (−1,3)C .D . (−3,1)5. （2分）设随机变量X的概率分布列为X123P则E（X+2）的值为（）A .B . 9C .D .6. （2分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝x－y的最小值为（）A . －2B . 5C . 6D . 77. （2分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A .B .C . 3D . 28. （2分）(2017·江西模拟) 已知点O为△ABC的外心，且，则 =（）A . ﹣32B . ﹣16C . 32D . 169. （2分） (2019高一上·鹤壁期中) 已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）如图，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）(2017·海淀模拟) 双曲线的实轴长为________．12. （1分） (2017高一下·红桥期末) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为________．13. （1分）(2017·天心模拟) 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚，________天后两只老鼠打穿城墙．14. （1分） (2015高三上·承德期末) 在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos = ，且acosB+bcosA=2，则△ABC的面积的最大值为________．15. （1分）(2014·北京理) 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．16. （1分） (2016高三上·浙江期中) 已知x，y∈R+ ，且满足x+2y=2xy，那么3x+4y的最小值为________．17. （1分）已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，则当取得最小值时，的值为________．三、解答题 (共5题；共35分)18. （10分） (2016高二下·大庆期末) 已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）cos（x﹣）．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程．（2）求函数f（x）在区间[﹣， ]上的值域．20. （5分）已知函数f（x）=lnx+ ﹣1，a∈R．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，求函数的极值；（II）设函数g（x）=x+ ．当a=﹣1时，若区间[1，e]上存在x0 ，使得g（x0）＜m[f（x0）+1]，求实数 m 的取值范围．（e为自然对数底数）21. （5分） (2017高二下·临川期末) 已知椭圆经过点，其离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与椭圆相切，切点为，且与直线相交于点．试问：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．22. （5分）已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，且nan+1=2Sn（n∈N*），数列{bn}满足b1= ，b2=，对任意n∈N+ ，都有bn+12=bn•bn+2（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；（II）设{anbn}的前n项和为Tn ，若Tn＞对任意的n∈N+恒成立，求λ得取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共35分) 18-1、18-2、21-1、22-1、第11 页共11 页。
浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题
绝密★启用前【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设全集U 是实数集R ，M = x x <−2 或x >2 ，N = x x 2−4x +3<0 ，则(C U M )∩N =（ ）A. x −2≤x <1B. x −2≤x ≤2C. x 1<x ≤2D. x x <2 2．复数(a 2−3a +2)+(a −1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. −2 D. 1或23．已知实数x ,y 满足 y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4，则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）A. 12B. 32C. 2D. 34．设a ,b ∈R ，则使a >b 成立的一个充分不必要条件是（ ） A. a 3>b 3 B. 1a <1b C. a 2>b 2 D. a >b + b 5．设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若 PF 1 + PF 2 =6a ，且ΔPF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为（ ） A. 6 B. 6 C. 3 D. 36．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积，则c =（ ）………订…………※线※※内※※答※※题※………订…………7．当0<x <1时，f (x )=ln xx，则下列大小关系正确的是（ ）A. f 2(x )<f (x 2)<f (x )B. f (x 2)<f 2(x )<f (x )C. f (x )<f (x 2)<f 2(x )D. f (x 2)<f (x )<f 2(x )8．已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的期望记为E (X )，方差记为D (X )，则（ ）A. E (X )=5,D (X )>3B. E (X )=5,D (X )<3C. E (X )<5,D (X )>3D. E (X )<5,D (X )<39．已知正方体A B C D −A 1B 1C 1D 1的边长为1，E ,F 为边B 1D 1上两动点，且 E F = 22，则下列结论中错误的是（ ）A. A C ⊥B EB. 三棱锥A −B E F 的体积为定值C. 二面角F −A B −E 的大小为定值D. 二面角A −E F −B 的大小为定值10．f (x )=x 2+b x +c ，若方程f (x )=x 无实根，则方程f (f (x ))=x （ ） A. 有四个相异实根 B. 有两个相异实根 C. 有一个实根 D. 无实数根…………○……考号：___________…………○……第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．二项式( x +1x )5的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________． 12．一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的俯视图的面积为__________．该三棱锥的体积为__________．13．已知数列 a n 为等差数列，S n 为 a n 的前n 项和，n ∈N ∗，若a 2=18，S 18=54，则a 17=__________．S n =__________．14．若圆C :x 2+y 2+2x −4y +3=0关于直线2a x +b y +6=0对称，则a b 的最小值为__________．由点P (a ,b )向圆所作两条切线，切点记为A ,B ，当 A B 取最小值时，ΔA B P 外接圆的半径为__________．15．由1,1,2,2,3,3,4,4可组成不同的四位数的个数为__________．16．已知a ，b 是两个单位向量，而 c = 13，a ⋅b =12，c ⋅a =1，c ⋅b=2，则对于任意实数t 1,t 2， c−t 1a −t 2b 的最小值是__________． 17．已知函数f (x )，g (x )， (x )均为一次函数，若实数x 满足 f (x ) − g (x ) + (x )= 2x −1(x ≤−2)4x +3(−2<x <0)3(x ≥0) ，则 (1)=__________．三、解答题18．已知向量a =(cos 2x ,cos (x +π4))，b =( 3,2sin (x −π4))，函数f (x )=a ⋅b +1 （1）求f (x )图象的对称中心；（2）求f (x )在区间 0,π2 上的最大值和最小值，并求出相应x 的值. 19．已知函数f (x )=x 2e 2x −2，（1）求曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；…………○………○…………线………※※在※※装※※订※※线※※…………○………○…………线………（2）当x ∈ 0,2 时，求证：f (x )≥−2x 2+8x −5.20．如图，四棱锥P −A B C D 的底面A B C D 是边长为2的菱形，∠A B C =60∘，点M 是棱P C 的中点，P A ⊥平面A B C D .（1）证明：P A //平面B M D ；（2）当P A 长度为多少时，直线A M 与平面P B C 所成角的正弦值为 427. 21．已知曲线C :x 24+y 2=1，点P (0,1)在曲线C 上，直线y =k x +b 与曲线C 相交于A ,B 两点，若满足 P A = P B .（1）求线段A B 中点的轨迹方程；（2）当A ,B 两点在y 轴的同一侧时，求线段A B 长度的取值范围.22．已知正项数列 a n 满足a 1=12，且3a n 2≥2a n +1+2a n 3，设b n =(2a n −a n +1)a n +1（1）求证：a n +1<a n ； （2）求证：lnb 1a 1+lnb 2a 2+...+ln b n a n>2ln (2a n +1)；（3）设S n 为数列 b n 的前n 项和，求证：S n <14.参考答案1．C【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：首先解一元二次不等式，求得集合N，应用补集的定义求得集合M，再结合交集定义求得(C U M)∩N=x|1<x≤2，从而求得结果.详解：由于M=x|x<−2或x>2，所以C U M=x|−2≤x≤2，N=x|1<x<3，所以(C U M)∩N=x|1<x≤2，故选C.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，注意对应集合中元素的特征，从而求得结果.2．A【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：首先根据复数纯虚数的概念，得到实数a所满足的关系式，从而求得结果.详解：因为复数(a2−3a+2)+(a−1)i为纯虚数，所以a2−3a+2=0a−1≠0，解得a=2，则实数a的值为2，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的概念的问题，涉及到的知识点是有关纯虚数的特征，把握纯虚数的实部为零且虚部不为零时解题的关键.3．B【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：首先根据题中所给的不等式组，作出可行域，应用三角形面积公式求得结果.详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示：其为阴影部分的三角区，解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为(1,0),(2,1),(4,0)，根据三角形的面积公式可以求得S=12×(4−1)×1=32，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式组表示的平面区域的问题，在解题的过程中，首先需要利用题中所给的条件，将区域画出来，分析得到其为三角区，联立方程组求得三角形的顶点坐标，最后应用三角形的面积公式求得结果.4．D【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：首先利用相关的知识点，对选项逐一分析，结合不等式的性质，可以断定A 项是充要条件，B,C是既不充分也不必要条件，只有D项满足是充分不必要条件，从而选出正确结果.详解：对于A，根据函数y=x3的单调性可知，a3>b3⇔a>b，是充要条件；对于B，1a <1b时，可以得到a−ba b>0，对应的结果为当a b>0时，a>b；当a b<0时，a<b，所以其为既不充分也不必要条件；对于C，由a2>b2，可以得到a>b，对于a,b的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件；故排除A,B,C，经分析，当a>b+b时，得到a>b+b≥b∴a>b,充分性成立，当a>b时，a>b+b不一定成立，如2>1,但2=1+1，必要性不成立，故选D.点睛：该题主要考查必要、充分条件的判定问题，其中涉及到不等式的性质的有关问题，属于综合性问题，对概念的理解要求比较高.5．D【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：利用双曲线的定义和已知条件，即可求得PF1=4a,PF2=2a，进而确定三角形的最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可求得结果.详解：不妨设PF1>PF2，则PF1−PF2=2a，又PF1+PF2=6a，解得PF1=4a,PF2=2a，则∠PF1F是ΔPF1F2的最小内角为30°，所以PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2cos30°，所以(2a)2=(4a)2+(2c)2−2×4a×2c×32，化简得e2−23e+3=0，解得e=3，故选D.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有双曲线的定义，需要利用三角形中大边对大角的结论确定出最小内角，之后利用余弦定理得到对应的等量关系式，结合离心率的式子求得结果. 6．B【来源】【全国市级联考】辽宁省凌源市2018届高三上学期期末考试数学（文）试题 【解析】 ，所以tan 2C =，由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以B . 7．D【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：由0<x <1得到x 2<x ，要比较f (x )与f (x 2)的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出f ′(x )利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出f (x )与f (x 2)的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到f (x )与f 2(x )的大小，从而求得最后的结果.详解：根据0<x <1得到0<x 2<x <1，而f ′(x )=1−ln xx ，所以根据对数函数的单调性可知0<x <1时，1−ln x >0，从而可得f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以f (x 2)<f (x )<f (1)=0， 而f 2(x )=(ln xx )2>0，所以有f (x 2)<f (x )<f 2(x )，故选D.点睛：该题考查的是有关函数值比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，从而比较得到f (x 2)<f (x )，利用函数值的符号，从而可已得到f 2(x )=(ln xx )2>0，结合f (x 2)<f (x )<0，得到最后的结果.8．B【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得E (X ),D (X )的值，进而得到正确的选项. 详解：根据题意可知，E （X ）=5×8+59=5，D (X )=3×8+(5−5)29=83<3，故选B.点睛：该题考查的是离散型随机变量的期望和方程的有关问题，在解题的过程中，注意正确理解离散型随机变量的期望和方差的意义，正确使用其运算公式，从而得到确切的值，得到正确的答案.9．C【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：首先利用题的条件，结合正方体的特征，对选项逐一分析，判断对应的命题是否正确，从而选出正确的结果.详解：根据正方体得出A C⊥面B1D1D B，而B E⊂面B1D1D B,所以有A C⊥B E，故A正确；因为V A−B E F=13d A−B E F SΔB E F=13d A−B D D1B1SΔB E F=13A C212B B1⋅E F为定值，故B正确；二面角A−E F−B就是二面角A−B1D1−B，所以其为定值，故D正确；因为F=B1与E=D1时二面角F−A B−E的大小不同，故C不正确；故选C.点睛：该题考查的是有关正方体的特征，涉及到的知识点有线线垂直的判定，二面角的大小，棱锥的体积问题，要对知识点正确理解和熟练掌握，再者就是需要注意该题要选的是不正确的选项.10．D【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：将函数f(x)=x2+b x+c看成抛物线的方程，由于抛物线f(x)=x2+b x+c的开口向上，由方程f(x)=x无实数根可知，对任意的x∈R，f(x)>x⇒f(f(x))>f(x)>x，从而得出f(f(x))=x没有实根.详解：因为抛物线f(x)=x2+b x+c开口向上，由方程f(x)=x无实数根可知，抛物线f(x)=x2+b x+c必在直线y=x上方，即对任意的x∈R，f(x)>x⇒f(f(x))>f(x)>x，所以方程f(f(x))=x没有实根，故选D.点睛：该题考查的是有关方程根的个数问题，在解题的过程中，需要根据题意，利用二次函数的有关性质，以及所给的不等式，可以断定函数图像之间的关系，从而得到对应的结果，从而得到选项.11．532【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出(x+1x)5展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项求出展开式的常数项，令x=1，得到所有项的系数和.详解：展开式的通项为T r+1=C5r(x)5−r(1x2)r=C5r x52−52r，令52−52r=0，解得r=1，所以展开式中的常数项为T2=C51=5，令x=1，得到所有项的系数和为25=32，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.12．11【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：首先根据题中所给的三棱锥的正视图和侧视图，可以断定该三棱锥的底面三角形的底和高的值，从而应用三角形面积公式求得结果，之后根据正视图和侧视图可以断定三棱锥的高，从而应用棱锥的体积公式求得结果.详解：根据题中所给的三棱锥的正视图和侧视图，可以断定其底面三角形是底和高分别等于2和1的三角形，从而可以得到其俯视图的面积为S=12×2×1=1，而该三棱锥的高为3，所以其体积V=13S =13×1×3=1，故答案是1；1.点睛：该题考查的是根据几何体的正视图和侧视图研究几何体，需要从题中所给的正视图和侧视图中读出相关的信息，从而判断得出该三棱锥对应的几何体的特征以及相关的量的大小，之后应用相关的公式求得结果.13．-122ln−n2【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：首先根据题中的条件，结合等差数列的通项公式和求和公式，建立关于其首项与公差所满足的等量关系式，解方程组，求得其值，之后再借助于等差数列的通项公式和求和公式求得相应的结果.详解：设等差数列a n的公差为d，则由已知得：a1+d=1818a1+18×172d=54，即a1+d=182a1+17d=6，解得a1=20d=−2，所以a17=a1+16d=20−32=−12，S n=na1+n(n−1)2d=−n2+21n.点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式和求和公式，在解题的过程中，需要对相应的公式熟练应用即可求得结果，属于基础题目.14．−9432 2【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：首先根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心坐标，代入直线方程，求得a−b=3，之后将其转化为关于b的关系式，配方求得最小值，通过分析图形的特征，求得什么情况下是该题所要的结果，从而得到圆心到直线的距离即为外接圆的直径，进一步求得其半径.详解：由x2+y2+2x−4y+3=0可得(x+1)2+(y−2)2=2，因为圆关于直线对称，所以圆心(−1,2)在直线2a x+b y+6=0上，即−2a+2b+6=0，化简得a−b=3，则有a b=b(3+b)=b2+3b=(b+32)2−94，所以有a b的最小值为−94；根据图形的特征，可知PC最短时，对应的A B最小，而PC最短时，即为C到直线x−y−3=0的距离，即P C min=1+1=32，此时A,B,P,C四点共圆，此时PC即为外接圆的直径，所以其半径就是322.点睛：该题考查的是有关直线与圆的问题，在解题的过程中，注意圆关于直线对称的条件，之后应用代换，转化为关于b的二次式，利用配方法求得最小值，再者就是分析图形，得到什么情况下满足取最值，归纳出外接圆的直径，从而求得半径.15．204【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：此问题可以分为以下三种情况：i）选取的4个数字是1,2,3,4；ii）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取两组；iii）从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一组，再从剩下的3组中的不同的三个数字中任取2个不同的数字，利用排列与组合的计算公式及其乘法原理即可得出.详解：i）选取的四个数字是1,2,3,4，则可组成A44个不同的四位数；ii)从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取两组有C42种取法，其中每一种取法可组成C42个不同的四位数，所以此时共有C42C42个不同的四位数；iii)从四组(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一组有C41种取法，再从剩下的三组中的不同的三个数中任取2个不同的数字有C32种取法，把这两个不同的数字安排到四个数位上共有A42种方法，而剩下的两个相同数字只有一种方法，由乘法原理可得此时共有C41⋅C32⋅A42⋅C22个不同的四位数；综上可知，用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是A44+C42⋅C42+C41⋅C32⋅A42⋅C22=204，故答案是204.点睛：该题考查的是有关排列组合的综合题，注意应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，分析对应的条件，从而求得结果，属于常规题目.16．3【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：首先对模平方，根据向量数量积化简，对t1,t2配方，根据实数平方为非负数求最小值.详解：|c−t1a−t2b|2=c2+t12a2+t22b2−2t1a⋅c−2t2b⋅c+2t1t2a⋅b=13+t12+t22−2t1−4t2+t1t2=(t1+t2−22)2+34(t2−2)2+9≥9当且仅当t2=2，t1=0时取等号，即c−t1a−t2b的最小值是3.点睛：该题考查的是有关向量模的最小值问题，应用向量的平方与向量模的平方是相等的，得到关于t1,t2的关系式，配方求得最小值.17．2【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：首先根据一次式的绝对值的特点，以及分段函数解析式中对应的分界点，可以确定f(x),g(x)的零点分别是−2,0，结合一次函数解析式的特征，先设出三个函数解析式中的一次项系数，结合特征，得到对应的等量关系式，最后求得函数解析式，进一步求得函数值.详解：设三个函数的一次项系数都是大于零的，结合题中所给的函数解析式，并且f(x),g(x)的零点分别是−2,0，再进一步分析，可知 −k 1+k 2+k 3=2k 1+k 2+k 3=4k 1−k 2+k 3=0 ，解得 k 1=1k 2=2k 3=1 ，结合零点以及题中所给的函数解析式， 可求得f (x )=x +2,g (x )=2x , (x )=x +1， 所以可以求得 (1)=1+1=2，故答案是2.点睛：该题考查的是有关一次函数对应绝对值的问题，在解题的过程中，需要先明确一次式的绝对值的式子的特征，结合分段函数解析式中的分界点，从而可以确定两个一次函数的零点，从而进一步求得三个一次函数的解析式，代入求得函数值. 18．(1)(−π6+k π2,0)k ∈Z ；(2)x =π2时，最小值为− 3，x =π12时，最大值2.【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：(1)首先利用向量的数量积坐标公式求得函数f (x )的解析式，并应用差角公式和辅助角公式对其进行化简，得到f (x )=2sin (2x +π3)，之后借助于正弦曲线的对称中心求得结果.(2)根据题中所给的x ∈[0,π2]，可以得到2x +π3∈[π3,4π3]，结合正弦函数的性质，求得函数在给定区间上的最值，并求出相对应的自变量的值. 详解：（1）f (x )= 3cos 2x +2cos (x +π4)sin (x −π4)+1= 3cos 2x +sin 2x =2sin (2x +π3)令2x +π3=k π，得x =−π6+k π2，k ∈Z ， 所以对称中心为(−π6+k π2,0)k ∈Z（2）当x ∈ 0,π2 时，2x +π3∈ π3,4π3 ，sin (2x +π3)∈ − 32,1 ，f (x )∈ − 3,2且x =π2时，最小值为− 3，x =π12时，最大值2点睛：该题考查的是有关正弦型函数的有关性质，涉及到的知识点有向量的数量积坐标公式，正弦函数的对称中心，正弦函数在给定区间上的最值问题，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，保证公式的正确使用，注意对整体角思维的运用，再者就是不要忘记k ∈Z . 19．(1)y =4x −3；(2)证明见解析.【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：(1)求出原函数的导函数，求出函数f ′(x )，再求出f ′(1),f (1)的值，由直线方程的点斜式写出切线方程并化简，即可得结果.(2)将不等式进行化简，移项，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，最后证得结果.详解：（1）f′(x)=2e2x−2(x2+x)，f′(1)=4f(x)在点(1,1)处的切线方程为y=4x−3，（2）当x∈0,2时，令g(x)=x2e2x−2+2x2−8x+5，g′(x)=2e2x−2(x2+x)+4x−8，g′(x)=2e2x−2(2x2+4x+1)+4>0，所以g(x)在0,2上单调递增，且g(1)=0，所以g(x)在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)=0，所以f(x)≥−2x2+8x−5.点睛：该题考查的是有关导数的定义和应用导数证明不等式的问题，在解题的过程中，注意曲线在某个点处的切线方程的求解步骤，以及应用导数证明不等式恒成立的解题思路，利用导数研究函数的最值，通过最值所满足的条件，求得结果.20．(1)证明见解析；(2)P A=2或3.【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：（1）首先连接相应的点，利用三角形的中位线，得到对应的平行线，结合线面平行的判定定理，证得线面平行；（2）利用线面角的平面角的定义，先找出线面角的平面角，之后放入三角形中，解三角形即可求得结果.详解：解法一：（1）连接A C交B D于O点，连接M O，因为M,O分别为中点，所以P A//M O，P A⊄平面M B D，M O⊆平面M B D，所以P A//平面M B D（2）过A 做A H 垂直于B C 交B C 于点H ，连接P H ，B C ⊥A H ，B C ⊥P A ，P A ∩A H =A ，∴B C ⊥平面P H A ， ∴面P H A ⊥面P B C过A 作A G 垂直于P H 交P H 于G 点，连接G M ， ∴A G ⊥面P B C ，∴∠A M G 即直线A M 与平面P B C 所成角设 P A =x ，则 M A= x24+1， A G = 3x，sin ∠A M G = A G M A = 3xx +3 x 4+1= 427解得x =2或者x = 3， ∴ P A =2或 3点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，有关线面角的求解问题，在解题的过程中，需要铭记线面平行的判定定理的内容，找到平行线，即可证得结果，关于线面角的问题关键是找到对应的平面角. 21．(1)x =0(−1<y <1)或y =−13(−4 23<x <4 23)；(2)(0,4 33).【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：（1）分直线的斜率为0和不为0两种情况说明，将直线的方程与椭圆的方程联立，应用韦达定理，结合题的条件，求得结果；（2）应用弦长公式，结合变量的范围，应用函数的单调性，最后求得结果. 详解：（1）当直线A B 的斜率为0时，中点的轨迹为x =0（−1<y <1） 当直线A B 斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y =k x +b ，设M 为弦A B 的中点设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x M ,y M )， y =k x +mx 24+y 2=1 ⇒ (4k 2+1)x 2+8k b x +4b 2−4=0 ⇒Δ=16(4k 2+1−b 2)x 1+x 2=−8k b4k 2+1x 1x 2=4b 2−44k +1x M =x 1+x 22=−4k b4k +1，y M =k−4k b 4k +1+b =b4k +1由 P A = P B ，A B ⊥M P ，得b 4k 2+1−1−4k b 4k 2+1=−1k得4k 2+1+3b =0，所以y M =b 4k +1=−13，则中点的轨迹方程为y =−13(−4 23<x <4 23)综上，中点的轨迹方程为x =0(−1<y <1)或y =−13(−4 23<x <4 23)（2）由⇒Δ=16(4k 2+1−b 2)>0x 1x 2=4b 2−44k 2+1>0以及4k 2+1+3b =0消b 可得−12<k 2<2b =−13(4k 2+1)∈(−3,−1)A B = 1+k216(4k 2+1−b 2)4k 2+1 =2 33b −3b+2(−3<b <−1)，解得 A B ∈(0,4 33)点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在解题的过程中，注意直线方程与椭圆方程联立，应用韦达定理，得到根的关系，需要对直线的斜率为0和不为0来讨论，再者就是应用弦长公式，从函数的角度来处理，注意对应的变量的范围. 22．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【来源】【全国百强校】浙江省台州中学2018届高三模拟考试数学试题【解析】分析：(1)应用作差比较法，结合题中所给的条件，进行相应的代换，将差式的符号进行判断，最后求得结果； (2)先应用分析法证得bn a n>a n +12a n，之后累乘，结合对数的运算性质证得结果； (3)结合第一问的结论，将式子变形，证得结果. 详解：（1）∵a n >0，a n +1≤32a n 2−a n 3，∴a n +1−a n ≤−a n 3+32a n 2−a n =−a n (a n 2−32a n +1)<0，∴a n +1<a n（2）猜想bna n>a n +12a n2 要证bn a n>a n +12a n2，只需证b n >a n +12a n2， ∵b n =(2a n −a n +1)a n +1，只需证2a n −a n +1>a n +1a n， 只需证a n +1<2a n 2a n+1，又∵a n +1≤32a n 2−a n 3，且32a n 2−a n 3<2a n2a n+1，∴a n +1<2a n2a n+1， ∴b na n>a n +12a n2 累乘法可得b 1⋅b 2...bna 1⋅a 2...a n>a n +12a 1=4a n +12，∴ln b 1⋅b 2...bn a 1⋅a 2...a n>a n +12a 12=ln (4a n +12)∴ln b 1a 1+ln b2a 2+...+ln bn a n>2ln (2a n +1)（3）∵a n +1<a n ≤12，a n +1a n≤32a n −a n 2≤12∴a n +1≤12a nb n =f (a n +1)=−a n +12+2a n a n +1≤34a n 2，而a n +12a n ≤14∴S n =b 1+b 2+...+b n ≤34(a 12+a 22+...+a n 2) ≤34a 12(1−(14)n )1−14<14.点睛：该题考查的是有关数列与函数和不等式的综合题，涉及到的知识点有数列单调性的证明，分析法证明结论，应用不等式的传递性将问题转化等，在解题的过程中，需要时刻注意公式的正确使用以及结论的相关条件.。
2018届浙江省台州中学高三模拟考试数学试题(解析版)
2018届浙江省台州中学高三模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集是实数集，或，，则（ ）A. B.C.D.【答案】C【解析】分析：首先解一元二次不等式，求得集合N ，应用补集的定义求得集合M ，再结合交集定义求得，从而求得结果.详解：由于，所以，，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，注意对应集合中元素的特征，从而求得结果. 2. 复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】分析：首先根据复数纯虚数的概念，得到实数所满足的关系式，从而求得结果. 详解：因为复数为纯虚数，所以，解得，则实数的值为2，故选A. 点睛：该题考查的是有关复数的概念的问题，涉及到的知识点是有关纯虚数的特征，把握纯虚数的实部为零且虚部不为零时解题的关键. 3. 已知实数满足，则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的不等式组，作出可行域，应用三角形面积公式求得结果. 详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示：其为阴影部分的三角区，解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为，根据三角形的面积公式可以求得，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式组表示的平面区域的问题，在解题的过程中，首先需要利用题中所给的条件，将区域画出来，分析得到其为三角区，联立方程组求得三角形的顶点坐标，最后应用三角形的面积公式求得结果.4. 设，则使成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先利用相关的知识点，对选项逐一分析，结合不等式的性质，可以断定A项是充要条件，B,C是既不充分也不必要条件，只有D项满足是充分不必要条件，从而选出正确结果.详解：对于A，根据函数的单调性可知，，是充要条件；对于B，时，可以得到，对应的结果为当时，；当时，，所以其为既不充分也不必要条件；对于C，由，可以得到，对于的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件；故排除A,B,C，经分析，当时，得到,充分性成立，当时，不一定成立，如2>1,但2=1+1，必要性不成立，故选D.点睛：该题主要考查必要、充分条件的判定问题，其中涉及到不等式的性质的有关问题，属于综合性问题，对概念的理解要求比较高.5. 设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用双曲线的定义和已知条件，即可求得，进而确定三角形的最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可求得结果.详解：不妨设，则，又，解得，则是的最小内角为，所以，所以，化简得，解得，故选D.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有双曲线的定义，需要利用三角形中大边对大角的结论确定出最小内角，之后利用余弦定理得到对应的等量关系式，结合离心率的式子求得结果.6. 在中，角的对应边分别为，且的面积，且，，则边的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，三角形的面积，所以，所以，由余弦定理得，所以，故选B.7. 当时，，则下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】D... ... ... ... ... ... ... ...详解：根据得到，而， 所以根据对数函数的单调性可知时，，从而可得，函数单调递增，所以，而，所以有，故选D.点睛：该题考查的是有关函数值比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，从而比较得到，利用函数值的符号，从而可已得到，结合，得到最后的结果.8. 已知某个数的期望为，方差为，现又加入一个新数据，此时这个数的期望记为，方差记为，则（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得的值，进而得到正确的选项.详解：根据题意可知，，，故选B.点睛：该题考查的是离散型随机变量的期望和方程的有关问题，在解题的过程中，注意正确理解离散型随机变量的期望和方差的意义，正确使用其运算公式，从而得到确切的值，得到正确的答案. 9. 已知正方体的边长为，为边上两动点，且，则下列结论中错误的是（ ）A.B. 三棱锥的体积为定值C. 二面角的大小为定值D. 二面角的大小为定值【答案】C【解析】分析：首先利用题的条件，结合正方体的特征，对选项逐一分析，判断对应的命题是否正确，从而选出正确的结果.详解：根据正方体得出，而,所以有，故A正确；因为为定值，故B正确；二面角就是二面角，所以其为定值，故D正确；因为F=B1与E=D1时二面角的大小不同，故C不正确；故选C.点睛：该题考查的是有关正方体的特征，涉及到的知识点有线线垂直的判定，二面角的大小，棱锥的体积问题，要对知识点正确理解和熟练掌握，再者就是需要注意该题要选的是不正确的选项.10. ，若方程无实根，则方程（）A. 有四个相异实根B. 有两个相异实根C. 有一个实根D. 无实数根【答案】D【解析】分析：将函数看成抛物线的方程，由于抛物线的开口向上，由方程无实数根可知，对任意的，，从而得出没有实根.详解：因为抛物线开口向上，由方程无实数根可知，抛物线必在直线上方，即对任意的，，所以方程没有实根，故选D.点睛：该题考查的是有关方程根的个数问题，在解题的过程中，需要根据题意，利用二次函数的有关性质，以及所给的不等式，可以断定函数图像之间的关系，从而得到对应的结果，从而得到选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11. 二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________．【答案】(1). (2). 32【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为0，求出的值，将的值代入通项求出展开式的常数项，令，得到所有项的系数和.详解：展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的常数项为，令，得到所有项的系数和为，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的俯视图的面积为__________．该三棱锥的体积为__________．【答案】(1). 1(2). 1【解析】分析：首先根据题中所给的三棱锥的正视图和侧视图，可以断定该三棱锥的底面三角形的底和高的值，从而应用三角形面积公式求得结果，之后根据正视图和侧视图可以断定三棱锥的高，从而应用棱锥的体积公式求得结果.详解：根据题中所给的三棱锥的正视图和侧视图，可以断定其底面三角形是底和高分别等于2和1的三角形，从而可以得到其俯视图的面积为，而该三棱锥的高为3，所以其体积，故答案是1；1.点睛：该题考查的是根据几何体的正视图和侧视图研究几何体，需要从题中所给的正视图和侧视图中读出相关的信息，从而判断得出该三棱锥对应的几何体的特征以及相关的量的大小，之后应用相关的公式求得结果.13. 已知数列为等差数列，为的前项和，，若，，则__________．__________．【答案】(1). -12(2).【解析】分析：首先根据题中的条件，结合等差数列的通项公式和求和公式，建立关于其首项与公差所满足的等量关系式，解方程组，求得其值，之后再借助于等差数列的通项公式和求和公式求得相应的结果.详解：设等差数列的公差为，则由已知得：，即，解得，所以，.点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式和求和公式，在解题的过程中，需要对相应的公式熟练应用即可求得结果，属于基础题目.14. 若圆关于直线对称，则的最小值为__________．由点向圆所作两条切线，切点记为，当取最小值时，外接圆的半径为__________．【答案】(1). (2).【解析】分析：首先根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心坐标，代入直线方程，求得，之后将其转化为关于b的关系式，配方求得最小值，通过分析图形的特征，求得什么情况下是该题所要的结果，从而得到圆心到直线的距离即为外接圆的直径，进一步求得其半径.详解：由可得，因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，即，化简得，则有，所以有的最小值为；根据图形的特征，可知PC最短时，对应的最小，而PC最短时，即为C到直线的距离，即，此时A,B,P,C四点共圆，此时PC即为外接圆的直径，所以其半径就是.点睛：该题考查的是有关直线与圆的问题，在解题的过程中，注意圆关于直线对称的条件，之后应用代换，转化为关于b的二次式，利用配方法求得最小值，再者就是分析图形，得到什么情况下满足取最值，归纳出外接圆的直径，从而求得半径.15. 由可组成不同的四位数的个数为__________．【答案】【解析】分析：此问题可以分为以下三种情况：i）选取的4个数字是1,2,3,4；ii）从四组中任取两组；iii）从四组中任取一组，再从剩下的3组中的不同的三个数字中任取2个不同的数字，利用排列与组合的计算公式及其乘法原理即可得出.详解：i）选取的四个数字是1,2,3,4，则可组成个不同的四位数；ii)从四组中任取两组有种取法，其中每一种取法可组成个不同的四位数，所以此时共有个不同的四位数；iii)从四组中任取一组有种取法，再从剩下的三组中的不同的三个数中任取2个不同的数字有种取法，把这两个不同的数字安排到四个数位上共有种方法，而剩下的两个相同数字只有一种方法，由乘法原理可得此时共有个不同的四位数；综上可知，用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是，故答案是204.点睛：该题考查的是有关排列组合的综合题，注意应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，分析对应的条件，从而求得结果，属于常规题目.16. 已知，是两个单位向量，而，，，，则对于任意实数，的最小值是__________．【答案】【解析】分析：首先对模平方，根据向量数量积化简，对配方，根据实数平方为非负数求最小值.详解：当且仅当时取等号，即的最小值是3.点睛：该题考查的是有关向量模的最小值问题，应用向量的平方与向量模的平方是相等的，得到关于的关系式，配方求得最小值.17. 已知函数，，均为一次函数，若实数满足，则__________．【答案】【解析】分析：首先根据一次式的绝对值的特点，以及分段函数解析式中对应的分界点，可以确定的零点分别是，结合一次函数解析式的特征，先设出三个函数解析式中的一次项系数，结合特征，得到对应的等量关系式，最后求得函数解析式，进一步求得函数值.详解：设三个函数的一次项系数都是大于零的，结合题中所给的函数解析式，并且的零点分别是，再进一步分析，可知，解得，结合零点以及题中所给的函数解析式，可求得，所以可以求得，故答案是2.点睛：该题考查的是有关一次函数对应绝对值的问题，在解题的过程中，需要先明确一次式的绝对值的式子的特征，结合分段函数解析式中的分界点，从而可以确定两个一次函数的零点，从而进一步求得三个一次函数的解析式，代入求得函数值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知向量，，函数（1）求图象的对称中心；（2）求在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值.【答案】(1)；(2)时，最小值为，时，最大值.【解析】分析：(1)首先利用向量的数量积坐标公式求得函数的解析式，并应用差角公式和辅助角公式对其进行化简，得到，之后借助于正弦曲线的对称中心求得结果.(2)根据题中所给的，可以得到，结合正弦函数的性质，求得函数在给定区间上的最值，并求出相对应的自变量的值.详解：（1）令，得，，所以对称中心为（2）当时，，，且时，最小值为，时，最大值点睛：该题考查的是有关正弦型函数的有关性质，涉及到的知识点有向量的数量积坐标公式，正弦函数的对称中心，正弦函数在给定区间上的最值问题，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，保证公式的正确使用，注意对整体角思维的运用，再者就是不要忘记.19. 已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)求出原函数的导函数，求出函数，再求出的值，由直线方程的点斜式写出切线方程并化简，即可得结果.(2)将不等式进行化简，移项，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，最后证得结果.详解：（1），在点处的切线方程为，（2）当时，令，，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以.点睛：该题考查的是有关导数的定义和应用导数证明不等式的问题，在解题的过程中，注意曲线在某个点处的切线方程的求解步骤，以及应用导数证明不等式恒成立的解题思路，利用导数研究函数的最值，通过最值所满足的条件，求得结果.20. 如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，点是棱的中点，平面.（1）证明：平面；（2）当长度为多少时，直线与平面所成角的正弦值为.【答案】(1)证明见解析；(2)或.【解析】分析：（1）首先连接相应的点，利用三角形的中位线，得到对应的平行线，结合线面平行的判定定理，证得线面平行；（2）利用线面角的平面角的定义，先找出线面角的平面角，之后放入三角形中，解三角形即可求得结果. 详解：解法一：（1）连接交于点，连接，因为分别为中点，所以，平面，平面，所以平面（2）过做垂直于交于点，连接，，，，∴平面，∴面面过作垂直于交于点，连接，∴面，∴即直线与平面所成角设，则，，解得或者，∴或点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，有关线面角的求解问题，在解题的过程中，需要铭记线面平行的判定定理的内容，找到平行线，即可证得结果，关于线面角的问题关键是找到对应的平面角.21. 已知曲线，点在曲线上，直线与曲线相交于两点，若满足.（1）求线段中点的轨迹方程；（2）当两点在轴的同一侧时，求线段长度的取值范围.【答案】(1)或；(2).【解析】分析：（1）分直线的斜率为0和不为0两种情况说明，将直线的方程与椭圆的方程联立，应用韦达定理，结合题的条件，求得结果；（2）应用弦长公式，结合变量的范围，应用函数的单调性，最后求得结果.详解：（1）当直线的斜率为时，中点的轨迹为（）当直线斜率存在且不为时，设直线的方程为，设为弦的中点设，，，，由，，得得，所以，则中点的轨迹方程为综上，中点的轨迹方程为或（2）由以及消可得， 解得点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在解题的过程中，注意直线方程与椭圆方程联立，应用韦达定理，得到根的关系，需要对直线的斜率为0和不为0来讨论，再者就是应用弦长公式，从函数的角度来处理，注意对应的变量的范围.22. 已知正项数列满足，且，设（1）求证：； （2）求证：； （3）设为数列的前项和，求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】分析：(1)应用作差比较法，结合题中所给的条件，进行相应的代换，将差式的符号进行判断，最后求得结果；(2)先应用分析法证得，之后累乘，结合对数的运算性质证得结果；(3)结合第一问的结论，将式子变形，证得结果.详解：（1）∵，，∴ ， ∴（2）猜想 要证，只需证，∵，只需证，只需证，又∵，且，∴，∴累乘法可得，∴∴（3）∵，∴，而∴.。