第六章信号的矢量空间分析

§6.2 信号矢量空间的基本概念
•线性空间 线性空间 •范数 范数 •内积 内积 •柯西－施瓦茨不等式 柯西－ 柯西
第
一．线性空间
定义：是这样一种集合， 定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（ 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实 数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。 数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。 例:
为完备的正交函数集， 设{gr (t)}为完备的正交函数集，即 误差函数 即
t2 1 f (t ) = ∫t1 f (t) − ∑cr gr (t) dt = 0 t2 − t1 r =1 2 e ∞ 2
32 页
∫
t2
t1
f (t )d t − 2∑cr ∫ gr (t ) f (t )d t + ∑c
[
]
(1)
(2)
(3)
第 20 页
先微分
再积分
d (1) f12 (t ) = 0 (因为 1(t )不含 12 ) f c dc12 d (2) [− 2c12 f1 (t ) ⋅ f2 (t )] = −2 f1 (t ) ⋅ f2 (t ) dc12 d 2 (3) c12 f 22 (t ) = 2c12 f 22 (t ) dc12
第
总结
• 两周期信号在同一周期内(同区间内 正交的条件是 两周期信号在同一周期内 同区间内 同一周期内 同区间内)正交的条件是 c12=0，即： ，
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• 对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定 对一般信号在给定区间正交， 满足正交。 足正交。 • 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一 两个信号不正交，就有相关关系， 信号。 信号。
15 页
第
一．矢量的正交分解
方式不是惟一的： 方式不是惟一的：
V1
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Ve1
Ve2 Ve
V2
怎样分解，能得到最小的误差分量？ 怎样分解，能得到最小的误差分量？ 误差矢量
c2V2
c12V2 c1V2
系数 两矢量正交
第
正交分解
•平面中任一矢量可分解为 二方向矢量。 平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量 平面中任一矢量可分解为 二方向矢量。 •空间中任一矢量可分解为 空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。 三方向矢量。 空间中任一矢量可分解为 三方向矢量 •一个三维空间矢量 V = xi + yj + zh，必须用三个正交 一个三维空间矢量 的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差： 的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：
6.6
§6.6 相关
•能量信号与功率信号 能量信号与功率信号 •相关系数与相关函数 相关系数与相关函数 •相关与卷积的比较 相关与卷积的比较 •相关定理 相关定理
第
一．能量信号和功率信号
为流过电阻R的电流 设i(t)为流过电阻 的电流，v(t)为R 上的电压 为流过电阻 的电流， 为 瞬时功率为 在一个周期内， 消耗的能量 在一个周期内，R消耗的能量
O
3
t
第
三．正交函数集
任意信号f(t)可表示为 维正交函数之和 任意信号 可表示为n维正交函数之和： 可表示为 维正交函数之和：
原函数 近似函数
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基底函数 r =0,1,2,...n
第
分解原则是误差函数方均值最小
26 页
第
理解
27 页
•此公式是个通式，适合于任何正交函数集。 此公式是个通式，适合于任何正交函数集。 此公式是个通式 • 是相互独立的，互不影响， 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 •正交函数集规定： 正交函数集规定： 正交函数集规定 所有函数应两两正交。 所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该 函数集是正交函数。 函数集是正交函数。
4 页
第
二．范数
x 表示， 线性空间中元素的范数以符号x 表示，满足以下公理 正定性 x x (1) 正定性 ≥ 0,当且仅当 = 0时 x = 0；
正齐性 对所有数 , 有 αx x (2) 正齐性 对所有数 α = α ； 量 三角形不等式 x+ x y (3) 三角形不等式 y ≤ + 。
2
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t2Βιβλιοθήκη ∫t12 f 2 (t ) d t = ∑Cr2 ∫ gr (t ) d t = ∑∫ [Cr gr (t )] d t 2 r =1 t1 r =1 t1
∞
t2
∞ t2
信号的 能量
基底信号的 能量
各信号分量的 能量
物理意义： 物理意义： 一个信号所含有的能量（功率） 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在 完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。 完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。 数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。 数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。
推广 三维 多维
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信号空间 内的两连续信号的内积
对于L空间或 空间 信号x与其自身的内积运算为 对于 空间或l空间，信号 与其自身的内积运算为 空间或 空间，
第
四．柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式 不等式
12 页
第
证明柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式 x, y 不等式 证明: 证明
V ≈ xi + yj , Ve = zh ≠ 0
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第
二．正交函数
误差
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系数
第
相关系数
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分解的原则： 的方均值最小， 分解的原则：fe(t)的方均值最小，即误差信号功率(能量) 的方均值最小 即误差信号功率(能量) 最小。 最小。 求系数c 求系数 12 t2 1 2 2 fe2 (t )d t，求 2 最小时的 12 , c 令 = fe (t ) = ε ε ∫t1 t2 − t1 dε 2 c 即求出 = 0时的 12 ,即 dc12 2 d t2 [ f1(t) − c12 f2(t)] dt = 0 ∫t 1 dc12 交换微积分次序 t2 d 2 f12 (t ) − 2c12 f2 (t ) f1(t ) + f22 (t )c12 d t = 0 ∫t1 dc12
可见，一阶范数表示信号作用的强度。 可见，一阶范数表示信号作用的强度。
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二阶范数
物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。 物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。
第
三．内积
直角坐标平面内两矢量相对位置关系
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利用范数符号，将矢量长度分别写作 利用范数符号，
于是
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上式表明：给定的矢量长度， 上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量 之间相对位置的“校准”情况。 之间相对位置的“校准”情况。即
§6.1 引言
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信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似， 信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似， 信号用多维矢量描述便于对信号的性能、 信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处 理进行更深入的研究。 理进行更深入的研究。 本章主要内容 •利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念； 利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念； 利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念 •信号的正交函数分解； 信号的正交函数分解； 信号的正交函数分解 •相关函数； 相关函数； 相关函数 •能量谱和功率谱； 能量谱和功率谱； 能量谱和功率谱 •相关、正交概念的应用：匹配滤波器，码分复用 相关、 相关 正交概念的应用：匹配滤波器， 技术。 技术。
第
例6-3-2
sin ( 试用正弦函数 t在区间0,2π)之间内来近似表示余弦 cos 函数 t。
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显然， 显然，由于
∫
所以
2π
0
cos t sint d t = 0
c12 = 0
, cos sin 分量， 即 余弦函数 t不包含正弦信号 t分量， cos 两函数正交。 或者说 t与sint两函数正交。
§6.3 信号的正交函数分解
•矢量的正交分解 矢量的正交分解 •正交函数 正交函数 •正交函数集 正交函数集 •复变函数的正交特性 复变函数的正交特性
第
信号分解的目的
将任意信号分解为单元信号之和， 将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号 的特性。 的特性。 简化系统分析与运算， 总响应=单元响应之和 单元响应之和。 简化系统分析与运算， 总响应 单元响应之和。
2
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≤ x, x y, y
对于二维矢量空间， 对于二维矢量空间，已知有如下关系 x1 y1 + x2 y2 = x 2 y 2 cos(φ1 −φ2 ) 即
x, y x2 y2 = cos(φ1 −φ2 )
则有
2
−1 ≤
x,y ,y
x2 y2
≤1
x, y
x, x y, y
≤1
所以
x, y
2
≤ x, x y, y
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1 N p x p ∑ i x p def i =1 ax mi≤N xi 1≤
1 对于 ≤ p ≤ ∞ p 对于 → ∞
第
常用范数
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这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 这里 表示信号的最小上界， 表示信号的最小上界 信号， 表示其幅度值。 信号，sup表示其幅度值。 表示其幅度值 (3)常用的范数 (3)常用的范数 一阶范数
例6-3-1
f 设矩形脉冲 (t )有如下定义