计算方法电子教案：第五章 插值型数值微分与数值积分
计算方法插值法.ppt
拉格朗日插值余项
设节点a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差
Rn( x) f ( x) - Ln( x)
n
Rn(x) 至少有 n+1 个根
Rn( x) K(x) ( x - xi )
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j
n=1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1( x) a0 a1 x 使得
P1( x0 ) y0 , P1( x1 ) y1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
li ( x )
i0
y i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
每个 li 有 n 个根 x0 … xi-1， xi+1 … xn
li (x) Ci
(x-
ji
xj )
li (xi ) 1
Ci
ji
( xi
1 - xj)
li ( x)
n ji
(x- xj) (xi - x j )
3!
(x
-
6
)(
x
-
4
)(
x
-
3
)
;
1 2
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
大学精品课【工程计算基础】工程计算5数值积分和数值微分
Rtn
(b a)h2 12
f ()
(a,b)
2020/9/29
18
5.2 梯形公式和Simpson求积公式
如果采用Simpson公式，则须在区间[a，b]内有 2n +1个节点
a =x0< x1<…<x2n=b xk= a + kh k = 0，1，…，2n 其中，h = (ba)/2n
[a，b]分成n个子区间，每个子区间[x2n，x2n+2]
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4
5.2 梯形公式和Simpson求积公式
• 5.2.1 梯形公式和Simpson公式
采用插值原理构造数值求积公式。
对于两点插值{a，f(a)；b，f(b)}，其拉格朗日插值
公式和余项分别为
xb
xa
L1(x)
ab
f (a) ba
f (b)
R1 ( x)
1 2
f
( )(x a)(x b)
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10
5.2 梯形公式和Simpson求积公式
• 5.2.2牛顿-考特斯 (Newton-Cotes)公式
将区间[a，b]划分为n等分，步长h = (ba)/n，
选取等距节点xk=a+kh 构造出的插值性求积公式
n
In ( f ) (b a)
C(n) k
f
(
xk
)
k 0
称为牛顿-考特斯 (Newton-Cotes)公式。
12 其中，h =b a。
(a,b)
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6
5.2 梯形公式和Simpson求积公式
如果在[a，b]内取三个插值节点，{a，f(a)；(a +b)/2， f((a +b)/2)； b，f(b)}，则插值函数为
计算方法 第5章 数值积分与数值微分
第五章 数值积分与数值微分在高等数学中我们学过定积分⎰badx x f )(的计算方法，若找到被积函数)(x f 在],[b a 区间上的一个原函数)(x F ，利用Newton-Leibniz 公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(可以轻易得计算出积分值，但在实际问题中，往往会遇到一些困难。
1) 有些函数虽然能找到原函数, 但表达式过于复杂，例如411)(x x f +=的原函数为 )]12arctan()12[arctan(2211212ln 241)(22-++++-++=x x x x x x x F2) 有些函数找不到初等函数形式的原函数，例如积分⎰⎰-1102,sin dx edx x x x3) 有些情况下，函数值是用表格形式给出的，例如：6.1178.876.651.496.364.275.203.1587654321y x对于以上这些积分问题，解决的方法就是使用数值积分方法。
其实数值积分方法不仅可以解决上述问题，最为重要的优点是对任意被积函数任意积分区间的积分问题都可以采用统一的数值积分公式，非常便于计算机编程实现。
对于微分问题，虽然对每一个初等函数都可以求出其导数，但是不同函数其求导方法依赖于各自不同的求导公式，没有简单、统一的处理方法，而数值微分法却可以对不同的函数使用统一的数值微分公式或数值微分算法。
本章首先介绍一些数值积分公式，最后再简单的介绍数值微分问题。
5.1 数值积分公式1. 数值积分的基本思想我们知道定积分⎰badx x f )(的几何意义就是{})(,0,,x f y y b x a x ====所围成的曲边形面积，而数值积分的基本思想是利用函数)(x f y =在区间],[b a 上某些点处函数值的线性组合来计算其定积分的近似值，把计算定积分这一复杂问题转换为仅仅涉及到函数值的计算问题，而无需考虑函数本身的结构以及函数值的真实来源，这样就很便于计算机编程实现。
数值计算方法教案数值积分(有添加哦
数值积分教案教案内容：一、教学目标1. 使学生理解数值积分的概念和意义。
2. 培养学生掌握数值积分的基本方法和技巧。
3. 训练学生运用数值积分解决实际问题。
二、教学内容1. 数值积分的概念和意义。
2. 牛顿-莱布尼茨公式及其应用。
3. 数值积分的方法：梯形法、辛普森法、柯特斯法等。
4. 数值积分的误差分析。
5. 数值积分在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数值积分的基本方法及其应用。
2. 教学难点：数值积分的误差分析及改进方法。
四、教学方法与手段1. 采用讲授与讨论相结合的方式，让学生深入理解数值积分的原理和应用。
2. 使用多媒体课件，直观展示数值积分的计算过程和应用实例。
3. 布置课后习题，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第1-2课时：介绍数值积分的概念和意义，讲解牛顿-莱布尼茨公式。
2. 第3-4课时：讲解数值积分的基本方法（梯形法、辛普森法、柯特斯法等）。
3. 第5-6课时：介绍数值积分的误差分析，讨论改进方法。
4. 第7-8课时：举例讲解数值积分在实际问题中的应用。
5. 第9-10课时：布置课后习题，进行知识巩固。
六、教学活动1. 课堂讲解：通过讲解数值积分的概念和意义，让学生理解数值积分的基本原理。
2. 案例分析：通过分析实际问题，让学生学会将数值积分应用于解决实际问题。
3. 小组讨论：分组让学生讨论数值积分的误差分析和改进方法，促进学生思考和交流。
七、教学评价1. 课后习题：布置相关的课后习题，检验学生对数值积分的理解和掌握程度。
2. 小组项目：让学生分组完成一个数值积分相关的项目，培养学生的实际应用能力。
3. 课堂表现：评价学生在课堂上的参与程度和表现，包括提问、讨论等。
八、教学资源1. 教材：选用合适的数值积分教材，为学生提供系统的学习资料。
2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，直观展示数值积分的计算过程和应用实例。
3. 网络资源：提供相关的网络资源，如学术论文、教学视频等，供学生自主学习和深入研究。
计算方法课件-第5章-数值微分与数值积分讲解
h2 R2 ( x0 ) 3
f (1 )—左端
h2 R2 ( x1 ) - 6
f (2 )
—中
R2 ( x2 )
h2 3
f (3 )
—右端
例1：已知列表
X 2.5
2.55 2.60 2.65 2.70
Y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317
求f (2.50), f (2.6), f (2.7)的近似值。
h 2!
f ''( ) O(h)
因此，有误差
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
''( ), x0
x0 h
4
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
中心差商
f '( x0 )
f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
由Taylor展开
f ( x0
因此，有误差
R( x)
f
'( x0 )
f ( x0 h) h
f ( x0 )
h 2!
f
''( ) O(h)
3
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
向后差商
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
由Taylor展开
R( x)
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
f ( )的近似值，这样导出的求积公式
ab
f
( x)dx
b
2
a
数值分析第五章插值法精品PPT课件
故 R n ( x ) K ( x ) x x ( 0 ) x x ( 1 ) ( x x n ).
其中 K (x)是与 x有关的待定函数.
如何求 K (x) ?
8
现把x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数
x22
x2n
a2
f
(x2
)
1 xn xn2 xnnan f (xn)
系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式，其值为
n
deA t() (xj xi)
i,j0,ij
当插值节点xi (i=0, 1, 2, …, n)互不相同时，此行列
式不为0, 即系数矩阵A可逆. 因此ai (i=0, 1, 2, …, n),
11 2181.031 3 03.
抛物线插值. 取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多项式为
L2(x)2.39((1 7x 1 91 1))2 21 x (( 111)3 )32.48((1 4x 2 91 1))1 11 x (( 211)3 )3 2.56(4x 91)1x (1)2 (1 31)11 ( 31)2
xx0xx11y0xx1xx00y1
x0
x1
l0 ( x)
xi x0 x1
1次多项式
10
l0 (x )y 0 l1 (x )y 1
l1( x)
xi x0 x1
1次多项式
01
13
➢ 二次插值多项式
已知
xi
x0 x1 x2
yi f(xi) y 0 y 1 y 2
求 L2(x)
(1) 至多2次多项式; (2) L 2 ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 ).
newch5插值型数值微分与数值积分
f ( 2 ) — 右端点
2.两点公式(n=2) 给定三点 x i 1 , x i , x i 1及其对应的函数值 y i 1 , y i , y i 1 即
x i 1 y i 1 xi yi x i 1 y i 1
y i 1 y i 1 ( x x i 1 )( x x i 1 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) yi
步长 h x i 1 x i
x xi x i 1 x i
1 h
yi
y i 1
1 h 1 h
y i 1
( y i 1 y i )
f ( x i ) P1( x i )
( y i 1 y i ) — 左端点公式 1 h ( y i 1 y i ) — 右端点公式
5.2 插值型数值积分
插值型数值积分的思想是：
若已知 f ( xi ) (i 0,1, , n ), a x 0 x1 x n 日插值多项式建立近似计算公式
b,
则利用拉格朗
这里
b a
L n ( x ) dx
n i0 n
b a
f ( x ) dx
b
b a
L n ( x ) dx
n
(i n )
b a ( 1) n
i! ( n i )!
(n )
t ( t 1) ( t i 1)( t i 1) ( t n ) dt
0
( b a )C i
C
(n ) i
ni ! ( n i )! ( 1)
f ( x i 1 )
《数值计算方法》电子教案
《数值计算方法》电子教案一、教学目标1.了解数值计算方法的基本概念和应用领域；2.掌握常用的数值计算方法，包括数值插值、数值积分、数值微分等；3.培养分析和解决实际问题的能力。
二、教学内容1.数值计算方法的基本概念和应用领域；2.数值插值方法及其应用；3.数值积分方法及其应用；4.数值微分方法及其应用。
三、教学过程1.引入：通过举例引入数值计算方法的基本概念和应用领域。
例如，让学生思考如何确定一个未知函数的近似值，或者如何计算一个无法求解的积分。
2.数值插值方法及其应用2.1数值插值的基本概念介绍数值插值的基本概念和思想。
讲解插值多项式的定义，并给出一个具体的例子进行讲解。
2.2常见的插值方法介绍常见的插值方法，包括拉格朗日插值法、分段线性插值法、牛顿插值法等。
详细讲解其中一个方法，并给出实际的应用例子进行讲解。
2.3数值插值的误差估计3.数值积分方法及其应用3.1数值积分的基本概念介绍数值积分的基本概念和思想。
讲解积分的几何意义和数值积分的定义，并给出一个具体的例子进行讲解。
3.2常见的数值积分方法介绍常见的数值积分方法，包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
详细讲解其中一个方法，并给出实际的应用例子进行讲解。
3.3数值积分的误差估计4.数值微分方法及其应用4.1数值微分的基本概念介绍数值微分的基本概念和思想。
讲解导数的几何意义和数值微分的定义，并给出一个具体的例子进行讲解。
4.2常见的数值微分方法介绍常见的数值微分方法，包括中心差分法、前向差分法、后向差分法等。
详细讲解其中一个方法，并给出实际的应用例子进行讲解。
4.3数值微分的误差估计四、教学方法1.授课结合实例，通过实际问题引导学生思考；2.通过讨论和演示，培养学生的分析和解决问题的能力；3.在教学过程中引入多媒体技术和计算工具，提高学生的学习兴趣和动手能力。
五、教学评价1.课堂小测验，检查学生对基本概念的掌握情况；2.课后作业，巩固和扩展学生的知识；3.课堂讨论和演示，考察学生的应用能力和解决问题的能力。
第五章 数值积分与微分1
b−a T( f ) = [ f ( a ) + f ( b )] 2
b−a a+b S( f ) = f (a ) + 4 f ( 2 ) + f (b) 6
b−a C( f ) = [ 7 f (a ) + 32 f (a + h) + 12 f (a + 2h) 90
+32 f (a + 3h) + 7 f (b )]
( f ( x)dx ≈ (b − a)∑Ckn) f (a + kh) = In ( f ) k=0
n
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
a k =0
n
求积公式的代数精度（/*Algebraic Precision */） 求积公式的代数精度（/* 代数精度
Def 1如果求积公式 I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
次的多项式都恒成立 对一切不高于m次的多项式都恒成立， 对一切不高于 次的多项式都恒成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有 次多项式不能精确成立 次多项式不能精确成立， m次代数精度。 次代数精度。 次代数精度
分别利用梯形公式、 梯形公式 公式、 例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式 公式 公式
1 解： a = 0, b = 1, f ( x ) = 1+ x 1− 0 1 T( f ) = [ f (0) + f (1)] = [1 + 0.5] = 0.75 2 2 1− 0 1 S( f ) = f (0) + 4 f ( 2 ) + f (1) ≈ 0.69444444 6 1 1 1 3 C( f ) = 7 f (0) + 32 f ( ) +12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1) 90 4 2 4
数值微分 计算方法讲解
（1）称为x0点的向前差商公式， (2) 称为x1点的向后差商公式。
i 0,1
(1) (2)
数值分析
数值分析
例1 设f(x)=lnx，x0=1.8，用2点公式计算f’(x0)。
解：计算f '( x0 )的误差为
hf "( ) h 2 2 2 ,
这里 1.8 1.8 h 或 1.8 h 1.8
k0
lk
(x)
(x x0 ) ( xk x0 )
( x xk1 )( x xk1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 )
(x xn ) (xk xn )
称为n+1点求导公式。
数值分析
数值分析
常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式.
当n=1时,有
f R1 ( xi ) f ( xi ) L'1( xi )
f (n1)
注意到在插值节点处
n1
(
xi
)
d dx
( x ) 0,此时的余项为
(n 1)!
(n1)
(n1)
f f Rn( xi ) f ( xi ) L'n( xi )
(
n
(i
1)!
)
n 1
(
xi
)
(n
(i
1)!
)
n k0
( xi
xk
)
ki
因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值
n
f ( xi ) L'n( xi ) f ( xk )l 'k ( xi ) i 0,1, ..., n
f
'( xi )h
1 2
f
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y2 y0 2h
y2 x2
y0 x0
f
(x2 )
L2 (x2 )
y0
4 y1 3y2 2h
5 4a
(5 4b) (5 4c)
这称为三点公式，其中（5—4b）又称为中点公式。
进一步由 L2(x)
y2
2 y1 h2
y0
可得计算公式
f
(xi )
y2
2 y1 h2
y0
i 0,1, 2
2 y1
h2
f
(
x1
)
h4 12
f
4
从而得到误差估计式
(x0 x2 )
f (x1)
y2 2 y1 y0 h2
h2 12
f 4
(5 8)
5.2 插值型数值积分
插值型数值积分的思想是： 若已知 f (xi ) (i 0,1,, n), a x0 x1 xn b , 则利用拉格朗 日插值多项式建立近似计算公式
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
x x1 x x0 x1x0
x2 x2
y0
x x0 x x2 x1 x0 x1 x2
y1
x x0 x x2 x0 x2
x1 x1
y2
f
(x0 )
L2 (x0 )
3y0
4 y1 2h
y2
得:
f
( x1
)
L2 (x1 )
5.1.2 数值微分公式的误差分析
两点公式的截断误差为
f (xi )
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f
(
2
x)
(
x
x0
)
(
x
x1
)x
xi
f 1 h
2
f 2 h
2
i 0 i 1
这里 1,2 (x0 , x1)
(5-6)
三点公式的截断误差为
f (xi ) L2 (xi )
f (x1) f (x0 ) x1 x0
(5 3a) (5 3b)
这称为两点公式。
若给定三点上的函数值 yi f (xi ), xi x0 ih, i 0,1,2, 则由
L2
x
x x0
x1 x1
x x2 x0 x2
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
y1
f
( x1 )
h3 3!
f
( x1
)
h4 4!
f 4 1
y0
f (x1 h)
f
(
x1 )
hf
( x1 )
h2 2
f
(
x1
)
h3 3!
f
( x1
)
h4 4!
f 4(2 )
这里 x1 1 x2 , x0 2 x1
相加得
y2
y0
2 y1
h2
f
( x1 )
h4 4!
f 41 f 42
b a
Ln
(
x)dx
b a
f
(x)dx
这里
n
n
记为
b a
Ln
(
x)dx
f (xi )
b a
li
(
x)dx
Ai f (xi ) In
i0
i0
(5 9)
称为插值型求积公式， x0, x1,, xn 称为求积节点，
def
Ai
b a
li
(x)dx
(i 0,1,, n)
称为求积系数，其和
n
n
Ai
b a
li (x)dx
b a
dx
b
a
i0
i0
5.2.1 牛顿柯特斯公式
由
xi
a
ih
h
b
n
a
;i
0,1,, n,
x
a
th
得
Ai
b
a li (x)dx
b a
n ji
x x j dx xi x j
nn 0
ji
t j hdt i j
j0
j0
b a (1)ni
当计算保留四位小数时，得到计算结果如表5-1(书103页）。 而精确值为 f (2) 0.353553，可见当 h=0.1时近似结果最 好，步长太大或太小计算效果均不好。
为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设 f (x) 四阶连续
可微，故得
y2
f (x1 h)
f
( x1 )
hf
( x1 )
h2 2
当 x 为插值节点 xi 时，上式简化为
f (xi ) Ln (xi )
f n1 (x)
(n 1)!
n 1 ( x)
x xi
i 0,1,, n
(5 2)
故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数
值进行近似计算，以便估计误差。
一般地 Lnk (xi ) f k (xi ) i 0,1,, n; k 1,2,
这类公式称为插值型数值微分公式。
5.1.1 常用的数值微分公式
给定两点上的函数值 f (x0 ), f (x1),
L1(
x)
x x0
x1 x1
f
(x0 )
x x0 x1 x0
f (x1)
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f
f
(x0 ) (x1)
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f
(
3!
x)
(
x
x0
)
(
x
x1
)
(
x
x2
)
x
xi
f 1 h2
3
f 2 h2
6
f 3 h2
3
i 0 i 1 i 2
这里 1,2 , 3 x0 , x2
(5-7)
例 5.1 为计算 f (x) x 在 x=2 处的一阶导数值，我们可 选用中点公式
G(h) 2 h 2 h 2h
nn
(t j)dt
n i!(n i)! 0 ji
j0
记
Cin
(1)ni i!(n i)!n
n 0
n
(t j)dt
ji
j0
Cotes系数
则 Ai (b a) Cin ，N-C求积公式表示为
n
In (b a) Cin f (xi ) i0
(5 10)
特别地
n 1时, 有
I1
b
a 2
第五章 插值型数值微分与数值积分
5.1 插值型数值微分公式 5.2 插值型数值积分
5.1 插值型数值微分公式
由
f (x) Ln (x)
f
n1 (x)
(n 1)!
n
1
(x)
(5 1)
得
f (x) Ln (x)
f
n1 (x) n 1!
n 1
(x)
(n
1 1)!
df
n1
dx
n1
(x)
i0
注意到 n 7 时，Cin 均同号（见表 5 2），所以 Nhomakorabeaf
(a)
f
记为
(b) T
这称为梯形公式；
n 2时, 有
I2
ba 6
f
(a)
4
f
a
b 2
f
记为 (b) S
这称为Simpson公式；
n 4 时, 有
I4
ba 90
7
f0
32
f1
12
f2
32
f3
7
记为
f4 C
这称为Cotes公式。
对应于 n 8 情形的Cotes系数见表5-2 (书106页)。
5.2.2 复合求积公式
求积公式的稳定性分析：
设
f
(xi ) 的近似值为 ~f (xi )
i
0,1,, n, 误差为ei
f
(xi )
~ f (xi ) ,
记 I~n
n
~ Ai f (xi ).
i0
则 In I~n
n
n
Ai f (xi )
~ Ai f (xi )
n
Aiei
i0
i0