组合(二)
组合 计算公式(二)
组合计算公式(二)组合计算公式组合计算公式是一种用于计算从n个元素中选取k个元素的方式的数学公式。
在组合问题中，元素之间的顺序不重要，只要选取的元素相同，就视为同一种组合。
组合计算公式可以用于解决排列问题、概率问题等。
计算公式组合计算公式可以表示为C(n,k)，其中n为元素总数，k为选取的元素个数。
组合计算公式的计算方法有多种，最常用的是排列组合公式和递推公式。
排列组合公式排列组合公式即多项式系数，可以用来计算从n个不同元素中选取k个元素的组合数。
排列组合公式可以表示为：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)其中”!“表示阶乘，即将正整数n乘以小于等于n的所有正整数的积。
阶乘可以用递推公式计算。
递推公式递推公式是一种通过已知的组合数计算未知组合数的方法。
递推公式可以表示为：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)递推公式的原理是将组合问题划分为两个子问题：选取第一个元素和不选取第一个元素。
通过递推公式可以逐步计算出所需的组合数。
示例说明下面是一些示例，用于说明组合计算公式的应用：示例1计算从10个不同的元素中选取3个元素的组合数。
利用排列组合公式：C(10,3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = 120 / (6 * 5040) = 120 / 720 =示例2已知C(5,2) = 10，计算C(6,3)。
利用递推公式：C(6,3) = C(5,2) + C(5,3) = 10 + 10 = 20示例3已知C(8,4) = 70，计算C(9,5)。
利用递推公式：C(9,5) = C(8,4) + C(8,5) = 70 + 56 = 126这个示例展示了递推公式的连续应用。
以上是组合计算公式的简单说明和示例，通过这些计算公式，我们可以快速准确地计算组合问题。
在实际应用中，组合计算公式在概率统计、排列组合问题、图论等领域都有重要的作用。
组合2
练习：(1)今有10件不同奖品,从中选6 练习：(1)今有10件不同奖品,从中选6 今有10件不同奖品 件分成三份, 二份各1 另一份4 件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法? 有多少种分法? 今有10件不同奖品,从中选6 10件不同奖品 (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分 给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法? 给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?
解：采用先组后排方法: 采用先组后排方法
C ⋅ C ⋅ C ⋅ A = 1080
3 5 1 3 2 4 3 3
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生 、 体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士 不同的分配方 名护士,不同的分配方 体检 每校分配 法共有多少种? 法共有多少种
解法一：先组队后分校（先分堆后分配） 解法一Байду номын сангаас先组队后分校（先分堆后分配）
5、动点A在原点处，每次可向上或 动点A在原点处， 向右移动一个单位：现在动点A 向右移动一个单位：现在动点A移动 到点（ 到点（3，4）处，问共有多少种移 动方法？ 动方法？
六、多面手问题
例5 、
22页典例 22页典例
变式训练： 变式训练：
七、分类组合,隔板处理 分类组合 隔板处理
个学校中选出30 30名学生 例6、 从6个学校中选出30名学生 参加数学竞赛,每校至少有1 参加数学竞赛,每校至少有1人,这样 有几种选法? 有几种选法?
C C ⋅A
2 2 6 4
3 3
= 540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士 解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
(C C ) ⋅ (C C ) ⋅1 = 540
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.2.4 组 合 (二)
栏 目 链 接
法二(间接法)． 从 100 件产品中任取 3 件的抽法，有 C3100 种，其中抽出的 3 件中至 少有一件是次品的抽法，共有
栏 目 链 接
点评：(1)解简单的组合应用题时，源自先要判断它是不是组合问题，组 合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关， 而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分 类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．
栏 目 链 接
第二步：从 98 件正品中任取 2 件，有
种方法．
根据分步计数原理知，不同的抽取方法共有 · ＝2×4 753＝9 506(种)．
(3)法一(直接分类法)． 抽出的 3 件中至少有一件是次品的这件事，分为两类． 第一类：抽出的 3 件中有 1 件是次品的抽法，有 第二类：抽出的 3 件中有 2 件是次品的抽法，有 根据分类计数原理，不同的抽法共有 · · 种； 种．
自 测 自 评
2．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不
同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
解析：和为偶数共有 3 种情况，取 4 个数均为偶数的取法
2 2 有 C4 ＝ 1 种，取 2 奇数 2 偶数的取法有 C · C 4 4 5＝60 种，取 4 个
栏 目 链 接
分析：由于抽取的产品与次序无关，因此是一个组合问题， 其中： (1)不同的抽法，即为 ； (2)直接分步法； (3)直接分类法或间接法． 解析：(1)所求的不同抽法数，即从 100 个不同元素中任取 3 个元素的组合数，共有 100×99×98 ＝161 700(种)． 3×2×1 (2)抽出的 3 件中恰好有一件是次品的这件事， 可以分两步完 成． ＝ 第一步：从 2 件次品中任取 1 件，有 种方法；
高二数学(选修-人教B版)-组合(2)
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查： (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
有次品
有次品
无次品
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现
在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
不同的分组方法数：C39 C36 C33=1 680
典型例题
例4 (3)甲、乙、丙各得3本.
追问：若只是把这9本不同的书平均分成3组，有多少种不同
的分组方法？
把这9本不同的书平均分成3组，设有x种不同的分组方法.
再将3组书分配给甲、乙、丙三人：A33 种方法.
所以，甲、乙、丙各得3本的分法共有 x A33种.
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
(1)共有多少种不同的抽法？
解：(1) 所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组
合数，共有
C3 100
100 99 98 3 2 1
=
161
700（种）.
排列问题
2A22 2 2 1 = 4 (场)．
典型例题
例2 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
解：(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛
30＋4＋1＝35(场).
小结
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题， 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的 顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； 2.解决组合应用题的基本思路是“化归”，即由实际问题建 立组合模型，再由组合数公式计算结果，从而得出实际问题 的解.
超难奥数题之组合专题：超难组合数学(二)
组合专题：超难组合数学㈡
1．在参观团的任意四个人中，有一个人认识其他三个人。
证明：在任何四个团员中，总可以找到一个人，他认识所有的团员。
2．某个团体有n个成员(n≥5)，并且有n＋1个三人委员会，其中没有两个委员会有完全相同的成员。
证明：有两个委员会恰好有一个成员相同。
3．有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识。
证明在这会中有四人，他们没一人认识四人中的其他人。
4．大厅中聚会了100个客人，他们中每个都与其余客人中至少67人相识。
证明：这些客人中一定可以找到4个客人，他们中任何两人都彼此相识。
测试题
四个人的聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，请你证明，至少有两对人，每对人是互赠过礼品的。
答案与解析
【分析】将四个人看为4个点ABCD
如果某个人赠送另一个礼品，则在这两个点之间了连一条边
(如果互增礼品，则在这两点之间连两条边)
每个人赠送两件礼品
故总边数为4×2＝8
若四个人两两之间至多连一条边，至多连(4×3)÷2＝6
又因为两个点之间至多连两条边
所以必定又两组点之间连8－6＝2条边
所以命题成立。
青春魅力健身操组合2教案
第周课次授课时间：年月日
本
课
教
材
内
容
青春魅力健身操组合（二）
教
学
重
难
点
重点：掌握本节操的动作路线、动作方法、动作节奏。
难点：各节动作速度、力度和幅度的控制
本
课
教
学
目
标
认知目标：感知健美操所具有的美感和运动价值，并能经常锻炼。
技能目标：学生掌握青春魅力第一个组合，初步掌握组合二。
情感目标：提高对健美操的欣赏能力与表现能力，养对健美操的兴趣；树立自信心，对生活充满自信。
本
课
重
点
方面
运动参与
√
1.积极活泼的参与体育活动，培养运动兴趣。
2.发展学生速度、灵敏、力量、协调和柔韧等身体素质；达到锻炼的功效
运动技能
身体素质
√
心理健康
社会适应
流程
教学内容与要求
教与学方法、措施
次
数
预计问题与处理方法
组织形式与布置场地
开始部分
2至
4分钟
一、课堂常规：
1、整队集合，清点人数
2、师生问好
3、讲解本课内容以及重难点安全问题
4、安排见习生，检查服装
要求：
教师：穿着整洁，精神饱满，集合背光、避沙、防干扰
学生：集合快、静、齐
二、准备活动
1、热身跑(1圈)
要求：学生队伍整齐、安静
教法：教师带领学生跑。
学法：学生在教师带领下跑。
1次
1次
预计问题：学生集合速度慢
处理方法：用口哨提示
预计问题：学生队伍不整齐，不安静。
负
荷
预
1.3(2)组合
例3 在歌手大赛的文化素质测试中，选 手需从5个试题中任意选答3题，问：
（1）有几种不同的选题方法？ （2）若有一道题是必答题，有几种不 同的选题方法？
组合数性质
c
m n
cn
m
nm
cn cn c n 1
m
m 1
例4 在100件产品中有98件合格品，2 件次品。产品检验时,从100件产品中任 意抽出3件。
1.3 组合(2)
一、组合的定义 二、组合数公式
C
m n
A A
m n m m
n(n 1)( n 2) (n m 1) m!
n! C m !(n m) !
m n
学习目标
1 掌握组合数的两个重要性质。
2 能解决简单的组合实际问题。 自学指导 1 由P22例3你有什么发现？ 2 P23例4中，若“抽出的3件中至多有一件是不 合格品”，应如何求解？ 3 比较例5中的两种解法，你能推出什么结论？ 自学检测 P24 1
作业
P25
4，
6
Hale Waihona Puke 结1。组合问题中的至多至少问题处理方法； 2。特殊元素特殊位置优先安排；
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法 有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法 有多少种?
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求
思考：
在例中，若“抽出的3件中至多有一件是不 合格品”，应如何求解？
变式
按下列条件，从12人中选出5人，有多少 种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
小升初数学高频考点——组合专题(二)统筹规划
小升初数学高频考点——组合专题（二）统筹规划一、高频类型：1、合理安排；2、最短路线；3、合理调运和布线★高频考题例一：（合理安排：①用时最短→别闲着；②等候最短→快的先上）（1）早晨，妈妈起来准备早饭．她烧开水需要 8 分钟，灌开水需要 1 分钟，擦桌子需要 5 分钟，下楼拿牛奶需要 6 分钟，煮牛奶需要 6 分钟．如果灶台上只有一个灶头，请问妈妈准备早饭最少需要多少分钟？（2）煎芝麻饼需要煎两面，煎第一面要 2 分钟，煎第二面时间只要 1 分钟就行了。
一口煎锅一次能放入 2 个芝麻饼，如果要煎 3 个芝麻饼，需要多少时间？（3）理发店里只有一位理发师，但同时来了三位顾客，理发师一次只能给一位顾客理发．由于顾客要求的发型不同，理发师给这三位顾客理发分别需要 12 、10 、16 分钟．合理安排他们理发的顺序，排队等候所用时间的总和最少是多少分钟？（4）有甲、乙两个水龙头，6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满 6 个人的水桶所需时间分别是 5 分钟、4 分钟、3 分钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟．优化安排这 6 个人打水，使他们等候的总时间最短，最短时间是多少分钟？例二：（最短路线问题）①单人复杂路线→擦线法②多人设点：投票法③物品搬运：小往大处靠，过半就设点（1）下图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小杨走这段路所需要的时间( 单位：分)．小杨从 A 到 B 最快要几分钟？（2）如图，在街道上有 A、B、C、D、E 五栋居民楼，每个楼里的居民一样多，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应设在哪一点处？（3）在一条公路上每隔 100 千米有一个仓库(如图)，共有 5 个仓库，一号仓库存有 10 吨货物，二号仓库有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需要 1 元运输费，那么最少要多少元运费?。
高中数学 组合与组合数公式(二)
（ 1 ）可以有多少个不同的组合？
（2）在这些组合里有多少个是含有a1的？
（3）在这些组合里有多少个是不含有a1的？
（4）从上面的结果可以得到一个怎样的公式？
a1 , a2 ,an1 这n+1个不同 的元素中，取出m个元素的组合数 c ，这些组合 可以分成两类：一类含a ，一类不含 a 。含 a 的组 a a a 合是从 这n个不同元素中取出m-1个 a a a a 元素的组合数为 c ；不含 的组合是从 m
C 2C C C m1 C ) (C C n ) C C . .
m 1 n m m n 1 n m m n n 1 m n m1 n 1m n
练习:
3 ⑴ 计算： C 7 C 74 C85 C 96 n n n 1 ＝ + ⑵ 求证： C m 2 2C m m
组合与组合数公式 （二）
计算：
2 2 2 3 2 4 2 10
（ 1 ）C C C C (2)C
98 100
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
n(n 1)( n 2) (n m 1) P C m m! Pm
m n m n
n! C m !( n m) !
C
nm n
n！ n！ (n m) ![n （n m） ] ! m !( n m) !
C C
m n
n m n
.
3、性质1的应用 的计算简化
n (1)当m> 2时，利用这个公式，可使
c
m n
c c
9
98
7Leabharlann 97 92100 99 c100 c100 1 2 4950
组合2
§1.2.1 组合学案（第二课时）主备人：杨素玲 定稿：高二数学备课组 班级 姓名 课题：组合的简单应用及组合数的两个性质目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．过程：一、复习回顾：1强调：排列——次序性；组合——无序性．2．练习一：练习1：求证：11--=m n m n C mn C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ）练习2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ； ③ 511411C C +3．练习二：⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？答案：⑴45210=C （组合问题） ⑵90210=A （排列问题）二、新授：1．组合数的 性质1：m n n m n C C -=．注：1︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．2︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化． 例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002．3︒ y n x n C C =y x =⇒或n y x =+2．例1：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？组合数的 性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ．注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．3．例2：⑴ 计算：69584737C C C C +++⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C⑶ 解方程：3213113-+=x x C C⑷ 解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C例3．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？例4．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？。
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组合
g3.1091 组合
一、知识梳理
1.组合的概念：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C表示.
2.组合数公式C=.
3.组合数的两个性质：
（1）C=C；（2）C=C+C.
二、基础训练
1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是
A.140
B.84
C.70
D.35
特别提示
先从甲型、乙型中各抽1台，有C・C种，再从余下的中选1台，有C种，
故有C・C・C=140（种）.解法不正确.
2.（04北京，理17）从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于
A. B. C. D.
3.已知{1，2}X{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合X 共有______个.
A.2
B.6
C.4
D.8
4.（05北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) （A）（B）（C）（D）
5.（05福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）
A．300种 B．240种C．144种D．96种
6.（2003年东北三校模拟题）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为_____________.
7.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有
_____________种.
三、例题分析
例1. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各
一人，有多少种不同的选法?
例2. 设集合A={1，2，3，...，10}，
（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；
（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，...，an，求a1+a2+a3+...+an的值.
例3. 从1，2，...，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？
思考讨论
讨论下面的问题：
用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字的能被25整除的四位数多少个？
提示：能被25整除的数的后两位是25或50，后两位是50的数有A个，后两位是25的数有3×3=9个，所以能被25整除的四位数的个数为A+9=21.
例4. 如图，从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条？
深化拓展
1.某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？
解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走（n+m－2）段，而这些段中，必须有东西方向的（n－1）
段，其余的为南北方向的（m－1）段，所以共有C=C种走法.
2.从一楼到二楼楼梯一共10级，上楼可以一步上一级，也
可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是
_____________.
解：设一步一级x步，一步两级y步，则
故走完楼梯的方法有C=28种.
四、同步练习 g3.1091 组合。