第6讲 连续型

注2:连续型随机变量取任意指定值的概率为 0. 即： P ( X a ) 0, a为任意给定值。
注3:对连续型 随机变量 X, 有
P (a X b) P (a X b) P (a X b) P ( a X b ).
注4:由P(A)=0, 不能推出 A=Ø； 由 P(B)=1, 不能推出 B=Ω。
1 x2 / 2 ( x) e ， x ， 2 x 1 t 2 / 2 ( x) P( X x) e dt . 2
IV. 标准正态分布表 附表2(P212)，可以N(0, 1)的概率计算问题。
x
( x) P{ X x}
概率论与数理统计 第 六 讲
教师：王大荣 北京工业大学实验学院 基础部数学办公室2-305
§2.3 连续型随机变量
连续型随机变量 X 所有可能取值充满若 干个区间。对这种随机变量，不能象离散型 随机变量那样, 指出其取各个值的概率， 给 出概率分布。而是用“概率密度函数”表示 随机变量的概率分布。
x
( x)
x
1 ( x)
例5 设 X ~ N(0, 1), 求 P(X>1.96) , P(|X|<1.96)
解: P(X>1.96) = 1 (1.96)
= 1(1 (1.96)) = (1.96)
= 0.975 (查表得) P(|X|<1.96) = 2 (1.96)1 = 2 0.9751 = 0.95
严格地说，计算机中产生的U (0,1) 随 机数并非完全随机，但很接近随机，故常 称为伪随机数.
如取n足够大，独立产生n个U(0,1) 随机数，则从用这 n 个数字画出的频率 直方图就可看出，它很接近于( 0, 1)上的 均匀分布U(0,1).
2. 指数分布 定义：若随机变量 X 具有概率密度
e , x 0 , f ( x) 0, x 0.
也许很多人不相信，玩这种赌博 游戏十有八九是要输掉的，不少人 总想碰碰运气，然而中大奖的概率 实在是太低了。
高尔顿钉板试验
高 尔 顿 钉 板 试 验 这条曲线就近似我们将要介 绍的正态分布的密度曲线。
I. 正态分布的定义 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
1 f ( x) e , x 2 其中μ和σ都是常数，μ任意，σ>0，则称X 服从参数为μ和σ的正态分布。
(1.66) = 0.9515,
故 b = 1.66
(1.65) = 0.9505,
故 a = 1.65
V. 一般正态分布的标准化
N(0, 1)的重要性在于，任何一个一般的正态分布 都可以通过线性变换转化为标准正态分布。
定理 设 X ~ N(, 2),
则Y
X

N (0,1),
例2：设连续型 r.v
cx , 0 x 1 X ~ f ( x) 0, 其它
（c为常数） 求：（1）常数 c ；（2）P{ X >0.5}； （3）P{-1< X <1}。 解：（1）由密度函数的性质：



f ( x )dx

0

0dx cxdx
2.3. 2 概率密度函数 定义1：若存在非负函数 f(x), 使随机变量X 取值于任一区间 (a, b] 的概率可表示成
P ( a X b) a f ( x ) dx ,
b
(1)
则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密 度函数，简称概率密度或密度函数。
概率密度函数的性质
P{10 X 15} P{25 X 30} 1 15 1 30 1 1 , 0 x 30 f ( x ) 30 dx dx 10 30 25 30 其它 3 0, 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
区间( 0, 1)上的均匀分布U(0,1)在计 算机模拟中起着重要的作用. 实用中，用计算机程序可以在短时间 内产生大量服从 ( 0, 1)上均匀分布的随机 数. 它是由一种迭代过程产生的.
例3某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来 一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻 有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车 时间少于5 分钟的概率. 解：以7:00为起点0，以分为单位
依题意， X ～ U ( 0, 30 )

1 e 2
u2 2
du
表中给出的是 x >0时，Φ(x)的取值;
( x) P{ X x}
x

1 e 2
u2 2
du
(1)表中给的是x >0时, Φ(x)的值.
( x)
(2) 当-x < 0时,有
( x ) 1 ( x)
（3）当x 5时，Φ( x ) 1
x
( 0)
则称 X 服从参数为λ的指数分布，记为 X ~ E(λ)。 指数分布常用于可靠性统计研究中，如 元件的寿命服从指数分布。
例4：设某电子管的使用寿命X(单位：小时) 服从参数λ=0.0002的指数分布，求电子管使 用寿命超过3000小时的概率。 解：
P{ X 3000} 3000 f ( x) dx 3000 0.0002 e e 0.5488 .
例6
设 X ~ N(0, 1), P(X b) = 0.9515,
P(X a) = 0.04947, 求 a, b.
解: (b) = 0.9515 >1/2,
而 (a) = 0.0495 < 1/2,
所以 b > 0,
反查表得:
所以 a < 0,
(a) = 0.9505, 反查表得:
μ决定了图形的中心位置, σ决定了图形峰
的陡峭程度。
正态分布的密度函数f(x)的图像有如下特征： （1）关于
x 对称；
（2）在 x=μ处取最大值 ， 1 f ( ) . 2 （3）在x = μ σ处有拐点； （4）f (x) 以 x 轴为渐近线。
III. 标准正态分布 称 N(0, 1) 为标准正态分布，其密度函数 和分布函数通常用 ( x ) 和 ( x )来表示。
(4). 以小区间 [ti-1，ti] 为底，yi=fi / d ( i=1, 2, …, m) 为高作一系列小矩形，组成了频 率直方图，简称直方图。
由于概率可以由频率近似， 因此这个直 方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。 当数据越来越多, 分组越来越细时, 直方 图的上方外形轮廓就越来越接近于某一条曲线, 这条曲线称为随机变量X的概率密度曲线，可 用来准确地刻画X的概率分布情况。
0

1


1
c 2
P X 0.5 （ 2）
0.5
0
c 21 c 0dx x 1 0 2 2
2 xdx x
21 0.5
f ( x )dx
1

1
0.5
0.75
（ 3） P 1 X 1 1 0dx 0 2 xdx 1
2.3.3 常见的连续型r.v的概率密度函数
(3). 计算落入各子区间内观测值频数 ni = #{ xj ∈ [ti−1, ti)， j = 1, 2, ···, n}， 频率 fi = ni / n， i = 1, 2, ···, m；
子区间 (127.5, 131.5) (131.5, 135.5) (135.5, 139.5) (139.5, 143.5) (143.5, 147.5) (147.5, 151.5) (151.5, 155.5) 频数 6 12 24 28 18 8 4 频率 0.06 0.12 0.24 0.28 0.18 0.08 0.04
0.6 0.0002x
dx
3. 正态分布 正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布. 德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面. 正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
不知你们是否注意到街头的一种赌博 活动? 用一个钉板作赌具。
2.3.1 频率直方图
例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各 种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测 得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:
129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 155 128 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.
2 X ~ N ( , ) 记作
( x )2 2 2
(Normal)
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线。