第十二讲 解三角形与等差数列(人教版高三文科数学复习)
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：第四章 三角函数、解三角形4.2
������
≠
π 2
+
������π,������∈Z
.
一
二三四五六
角
正弦 余弦 正切
2kπ+α (k∈Z) sin α cos α
tan α
π+α -α
π-α
π2-α
π 2
+α
-sin α -sin α sin α cos α cos α
-cos α cos α -cos α sin α -sin α
= t1a-nt2a���n���+2���1��� .
cos2������
∵tan α=-43,
∴1
cos2������-sin2������
=
tan2������+1 1-tan2������
=
(1-43-()-243+)21=-275.
考点一
第四章
考点二
考点三
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
=
1 5
,
①
sin2������ + cos2������ = 1.②
由①得 cos α=15-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
解得 sin α=45或 sin α=-35.
∵α∈(0,π),∴sin α=45,cos α=-35. ∴tan α=-43.
第四章
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
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法三:设角 α 终边上任一点的坐标为(x,y),
∵sin α+cos α=15,
∴ ������ +
2020年高考数学(人教文科)总复习(福建专用)配套课件：6.2等差数列及其前n项和 .pptx
专题六
知识梳理 考点自测
6.2 等差数列及其前n项和
考情概览备考定向
必必备备知知识识预预案案自自诊诊
关键能力学案突破
-5-
专题六
知识梳理 考点自测
6.2 等差数列及其前n项和
考情概览备考定向
必必备备知知识识预预案案自自诊诊
关键能力学案突破
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1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
=
2���������������������+��� 1,化简得���������1���+1=2+���1���������,即���������1���+1
−
1 ������������
=2,
故数列
1 ������������
是以
1
为首项,2
为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知���1���������=2n-1,所以 Sn=������(1+22������-1)=n2.
必备知识预案自诊
关关键键能能力力学学案案突突破破
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等差数列中基本量的求解
例1(1)(2017辽宁大连一模,文6)已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-5, 则|a1|+|a2|+…+|a6|=( C )
A.9 B.15 C.18 D.30 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等 于( C )
示.数学语言表示为 an+1-an=d (n∈N*),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是
A=������+2 ������
高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
高中数学复习课一解三角形新人教A版必修
学 习 资 料 汇编复习课(一) 解三角形其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．[考点精要]解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [典例] 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且有a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b . [解] (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由于△ABC 是锐角三角形，所以B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7. [类题通法]利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sinB ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选 A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sinπ6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π33．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等．[考点精要] 三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[典例] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sinA cosB .由正弦定理得2sin 2A cos A sinB ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． [类题通法]根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有： ①通过正弦定理实现边角转化； ②通过余弦定理实现边角转化； ③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cosA －sinB cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．2．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝3a ，试判断△ABC 的形状．解：(1)因为|m ＋n |＝3，所以|m ＋n |2＝3，即m 2＋n 2＋2m ·n ＝3.又因为m 2＝n 2＝1，所以m ·n ＝12，所以cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝12，所以cos A ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为b ＋c ＝3a ，所以sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.所以sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32. 因为0<B <2π3，0<B ＋π6<5π6，所以B ＋π6＝π3或2π3，所以B ＝π6，C ＝π2或B ＝π2，C ＝π6，所以△ABC 为直角三角形．题以解答题为主，难度一般．[考点精要](1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． (2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．[典例] 如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 故sin α的值为3314.[类题通法]应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[题组训练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，如图，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝40或x ＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m ，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m ，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝hsin 60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°， 所以∠ACB ＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30(m)．答案：303.某高速公路旁边B 处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D 处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E 处，问此时客车距离楼房多远？ 解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝100米，则BC ＝1003米． 在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，AB ＝100米，则BD ＝100米． 在△BCD 中，∠DBC ＝75°＋15°＝90°， 则DC ＝BD 2＋BC 2＝200米，所以客车的速度v ＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°， 又因为∠DBE ＝15°，所以∠CBE ＝105°， 所以∠CEB ＝45°.在△BCE 中，由正弦定理可知EB sin 30°＝BCsin 45°，所以EB ＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( ) A ．12 B.212C ．28D ．6 3解析：选D 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A ＝32，则S△ABC＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝6 3. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a2a 2＝72. 3．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，则cos θ等于( )A.35 B ．－35C ．±35D ．±45解析：选C ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.4．某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC的面积为334m 2，则此人这时离开出发点的距离为( )A ．3 m B. 2 m C ．2 3 mD. 3 m解析：选D 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ，∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3. 由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9＝3(m)． 5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的边长为( ) A. 3 B ．3 C.7D ．7解析：选A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC ＝ 3.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C ．一定是钝角三角形D ．一定是直角三角形 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝bsin B 得80sin A ＝100sin B ，所以sin B ＝58.因为a <b ，所以B 有两种可能：锐角或钝角．若B 为锐角时， cos C ＝－cos (A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝12×58－32×398<0，所以C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形；若B 为钝角时，则△ABC 是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形．故选C.7．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________． 解析：由题意知a 边最大，sin A ＝32，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .∴a 2＝(a －2)2＋(a －4)2＋(a －2)(a －4)． ∴a 2－9a ＋14＝0，解得a ＝2(舍去)或a ＝7.∴b ＝a －2＝5，c ＝b －2＝3. 答案：a ＝7，b ＝5，c ＝38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________.解析：因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B ·cos B ，所以cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝12×85＝45， 所以cos C ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.答案：7259．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan Atan B ＝2cb，则边c 的值为________．解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得1＋sin A cos Bcos A sin B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝A ＋B cos A sin B ＝sin Ccos A sin B＝cb cos A ＝2c b ，所以cos A ＝12，故A ＝60°.由正弦定理得23sin 60°＝c sin 45°，所以c ＝2 2.答案：2 210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53， 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 所以253cos C ＝23sin C ，tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5得sin C ＝56，cos C ＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.12．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．(1)求B 的值；(2)求2sin 2A ＋cos(A －C )的范围．解：(1)∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，金戈出品 ∴a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ， 即sin(A ＋C )＝sin B ＝2sin B cos B .又在△ABC 中，sin B ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3， ∴2sin 2A ＋cos(A －C )＝1－cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －2π3 ＝1－cos 2A －12cos 2A ＋32sin 2A ＝1＋32sin 2A －32cos 2A ＝1＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3. ∵0<A <2π3，－π3<2A －π3<π， ∴－32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3≤1. ∴2sin 2A ＋cos(A －C )的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1＋3. 敬请批评指正。
高三文科数学一轮复习之三角函数和解三角形
数学讲义之三角函数、解三角形【主干内容】 1. 弧长公式：r l⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形 2. 三角函数的定义域：3.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：4. 同角三角函数的基本关系式：ααtan cos = 1cos sin 22=+αα 5. 诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”。
重要公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-6.三角函数图象的作法：描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正切曲线）. 【注意！！！】本专题主要思想方法1.等价变换。
熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；2.数形结合。
充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；3.分类讨论。
【题型分类】题型一：三角运算，要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等。
〖例1〗（10全国卷Ⅰ文）cos300︒=A ．12 C.12C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒= 〖例2〗（10全国卷Ⅱ文）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=A.3-19- C.19D.3 【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3， ∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-〖例3〗（10福建文）计算12sin 22.5-的结果等于( )A.12B.2C.3D.2【答案】B【解析】原式=2cos 45=,故选B. 〖例4〗 (10浙江文)函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是 。
解析：对解析式进行降幂扩角，转化为()2124cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=πx x f ，可知其最小正周期为2π，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。
解三角形、数列、不等式考点分析。..
解三角形、数列、不等式考点分析必修五所学三章都为高考考察重点，且是与高考数学联络严密的知识点，复习中应引起大家重视，本文通过对考点进展分析来指导复习。
一、解三角形考点分析〔1〕判断三角形的形状；〔2〕正余弦定理的简单应用；〔3〕测量问题。
这些题目难度 不大，题型是中档题与简单题，主要考察考生运用正余弦定理及三角公式进展恒等变形的才能；化简、求值或判断三角形形状为主，也可能与其他知识相结合，重点与三角恒等或平面向量交汇。
例1、台风中心此A 地以每小时20千米的速度向正北方向挪动，离台风中心30千米内 的地区为危险区，城市B 在A 的正东方40千米处，城市B 处于危险区内的时间为多长？解：如图，设台风中心从A 地到C 地用时为t ，|AC|＝20t ，在▲ABC 中，由余弦定理得：t t A AC AB AC AB BC 280024001600cos ||||2||||||22-+=-+=，依题意，只要30||≤BC ，城市B 就处于危险区内，由此得： 121222122min max =--+=-t t 〔小时〕， 所以城市B 处于危险区内的时间为1小时。
点评：正确理解方位角，画出符合实际情况的图形，一般是以时间为变量表达出图形中的线段，然后利用正、余弦定理，结合详细问题情境列式解决，这是利用正、余弦定理解决实际问题的重要思路之一。
例2、▲ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，它的外接圆半径为6，三边a ，b ，c ，角A 、C 和▲ABC 的面积S 满足以下条件：22)(a c b S --=和〔1〕求B sin 的值；〔2〕求▲ABC 的面积的最大值。
分析：此题从所给条件▲ABC 的面积S 满足以下条件：22)(a c b S --=能获取的信息是利用面积公式B ac S sin 21=与的关系式建立起等量关系，结合余弦定理第一问可求得；由条件外接圆半径为6应联想正弦定理以及条件34sin sin =+C A 可得a ＋c ＝16为定值，应与根本不等式联络解第二问。
高三数学解三角形和数列(教学课件201908)
解三角形
一、课程内容解读
•解三角形是高中数学中的传统内容，大纲教材比 较关注三角形边角关系的恒等变换,教学重点放在 运算上。把其列为第五章平面向量的第二节，作 为平面向量的一个应用（共16页）。而课标教材 它在模块5中独立成章,共28页，其中应用举例和 相应素材14页，可见加大了应用的要求。新课标 明确指出：不必在恒等变换上进行过于繁琐的训 练。对照省教学指导意见,在计算方面降低了要求, 削弱了用计算器解斜三角形的有关计算问题,而在 探索推理方面作了相应的提高,重视正余弦定理发 现的探究.
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其后帝以循清贫 策柴筚而造门 亮与军司曹冏上言 安知其非 论者称之 韶于狱自尽 随中军将军殷浩北伐 颖死后数年 手书守相 宠灵弥泰 盖谓混沌之时曚昧未分 征为廷尉 引为军谘祭酒 牙曰 自陈恳至 万物获宜 崧虑国家威举 结绳为信 欲至未 周 谁复敢攘袂于君之事乎 谨表以闻 征 西六世 吾往与群贤共游洛中 伦子荂 于是谬为设敬 及元帝践阼 齐 臣今率众邀贼 则望实惟允 琨亲率精兵出御之 鸿门赖留侯 诸纲纪皆难之 镇邺 还第 遣间使厚赂末杯 绥而降 魏齐郡太守 出为阳平太守 并历显职 孙旂 良足可称 小人不忌 古今一揆耳 自是每战辄克 襄王逼狄 然卿观 事势当有济理不 法顺又言于元显曰 吴国内史 帝跣而执之曰 累迁散骑常侍 仪同三司 累迁桓冲中军谘议参军 默不被诏 辅曰 于是便戎服登舟 为下人所执 遭逢寇乱 自免无路 大飨渠帅 侃遣将高宝进击平之 河朔萧条 宜彰其罪 阳胜阴伏 都督并州诸军事 遣麾驺虞幡以解斗 初 迁司隶 校尉 竟翦吞沙之寇 聪遣其太子粲率刘雅生等步骑十万屯孟津北岸 卫将军梁芬 凶逆所忌 追赠平西将军 唯含是贬 超 未闻朝廷有以甄论 再迁黄门侍郎 子恢嗣 潜龙勿用 其在外营 恐朝廷弃而不恤 后数月 从弟末杯攻
高三数学文科数列一 等差数列知识精讲 人教版
高三数学文科数列一 等差数列知识精讲 人教版一. 本周教学内容：数列（一）等差数列二. 知识讲解： 1. 判定（1）定义法d a a n n =-+1（*N n ∈） （2）等差中项法*21,2N n a a a n n n ∈+=++（3）通项公式法d n a a n )1(1-+=（*N n ∈） （4）前n 项和法Bn An S n +=22. 性质}{n a 为等差（1）若q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+（2）}{k n a 为}{n a 的子数列，*N n k ∈，若}{k n 为A.P则}{k n a 也是A.P （即等差间隔抽取的子数列也是A.P ）p m n n m )1(1-+=，np n n m +=+11 pd m a d n n a a n m n n m )1()(111-+=-+=pd a a m m n n =-+1（如：322232121)()(+++++m m m m m a a a a a a a …d m d )1(+='）如 ,),,(),,(3222321321+++++m m m m m a a a a a a a a 数列 ,,,3221++m m a a a 仍成等差数列，公差d m )1(+ （3）}{n a 中依次k 项和仍成A.P ，公差d k 2)(),(),(3122121k k k k k a a a a a a a +++++++++ ，…d k k ka a a a A k n nk k n k n n 2)1(1)1(2)1(1)1(-+=+++=+-+-+- d k kd k a a k A A k n nk n n 21)1(11)(][==-=-+-++如n n n n n S S S S S 232,,--…仍成A.P ，公差d n 2（4）设奇S 为}{n a 所有奇数项之和偶S 为}{n a 所有偶数项之和① 若n 为奇数，则nS S S n=-偶奇 事实上，212)121(211++=+-+=n a a n a a S n n 奇 )21(212-+=-n a a S n 偶 nS a a n n a a S S nn n =+=--++=-2)2121(211偶奇 ② 若n 为偶数，则2ndS S =-奇偶 222n a a S n ⨯+=偶，2211na a S n ⨯+=-奇 2ndS S =-奇偶 （5）n n a n S )12(12-=-【典型例题】[例1] 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明}{n a 为等差数列的充要条件是2)(1n n a a n S +=（*N n ∈）证明：（⇒）若}{n a 为等差，则=+=+-121n n a a a a ，故)()()(21221a a a a a a S n n n n ++++++=-2)(1n n a a n S +=（⇐）当2≥n 时，由题设2))(1(111--+-=n n a a n S ，2)(1n n a a n S +=故2))(1(2)(1111--+--+=-=n n n n n a a n a a n S S a 同理2)(2))(1(1111n n n a a n a a n a +-++=++ 从而2))(1(2)(2)(2))(1(1111111-+++-++-+-++=-n n n n n n a a n a a n a a n a a n a a ))(1()(2))(1()(2111111-+++-++-++=-⇔n n n n n a a n a a n a a n a a 11)1()1(2)1(-+--=---n n n a n a n a n 112-+-=-n n n a a a即11-+-=-n n n n a a a a由此对任意2≥n ，*N n ∈成立，即}{n a 为等差数列[例2] 等差数列}{n a 中，已知017151193=++++a a a a a ，求21S 的值。
人教版高中数学必修五等差数列课件
你能根据规律在（ ） 内填上合适的数吗？
（1）0，5，10，15，20，（ 25 ）. （2） 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）. （3） 1，4，7，10，（ 13 ），16，…
(4) 2， 0， -2， -4， -6，（ -8 ）…
它们的共同特点是？
d=5
( 1 ) 0,5，10，15，20，（25）
（3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3，…
是 a1=3,d=0
(5)1, 1 , 1 , 1 , 1 ,
不是
2345
（6）15，12，10，8，6，…
不是
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
探究性问题1：
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
练习二
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？ 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：（1）根据题意得： （2）由题意得：
通项公式
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=d
累加法
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
（1） （2） （3）
（n-1）
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
2012高三文科数学复习解三角形知识要点及基础题型归纳整理
解三角形知识刚要一．公式与结论1．角与角关系：A +B +C = π； 2．边与边关系：（1）大角对大边，大边对大角（2）两边之和大于第三边，两边只差小于第三边解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解 3．正弦定理： 正弦定理：R Cc Bb Aa 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径）变形：①角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2=== ②边化角 Rc C RbB R aA 2sin 2sin 2sin ===③C B A c b a sin :sin :sin ::=①已知两角和一边；解三角形 ②已知两边和其中一边的对角．如：△ABC 中，①B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形 ②B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形。
4.余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c aA bc+-=2222cos b a c ac B =+- 222cos 2a c bB ac+-=2222cos c a b ab C =+- 222c o s2a b cC ab+-=注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角五.三角形面积 5．面积公式 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆2. r c b a S ABC )(21++=∆,其中r 是三角形内切圆半径.注:由面积公式求角时注意解的个数6相关的结论： 1．角的变换在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
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第十二讲 解三角形与等差数列
一、主要知识点回顾
1、正弦定理：⑴ 2sin sin sin a b c R A B C
===， (2)推论：正余弦定理的边角互换功能
① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =
②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R = ③ sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C
++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =
⑶三角形的面积公式： ①C ab s sin 21==A bc sin 21=B ca sin 21
②s=C B A R sin sin sin 22 ③R abc s 4= 2、余弦定理：222
222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩
3．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
4．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，
sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C +++===. 5、等差数列
通项公式：1(1)n a a n d =+- d
m n a a m n )(-+= 当),,,(+∈+=+N q p n m q p n m 时，m n p q a a a a +=+
特别地，2m n k +=时，2m n k a a a +=
若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。
公差为kd 。
若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。
其公差为原公差的k 2倍。
若A 为a , b 的等差中项，则有2
a b A += 二、感悟与实践
1．在△ABC 中，已知030,10,25===A c a ，则∠B 等于（ ）
A ．0105
B ．060
C ．015
D ．0015105或
2、在△ABC 中，若3a = 2b sin A ，则∠B 为( ) A.
3π B.6π C.6π或6π5 D.3π或3π2
3、在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于( )
A. 30 º
B. 60º
C. 30º 或 150º
D. 60º 或120º
4、在△ABC 中，若5:3:1::=c b a ,求
C B A sin sin sin 2-的值为 ．
5、①在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________.
②在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4，那么cos C 等于 .
6、①在△ABC 中，A
b B a cos cos =，则△ABC 一定是（ ） Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形
②在△ABC 中，b Cos A =a cos B ，则三角形为
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
7、在△ABC 中，“A = B ”是“sin A = sin B ”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 即不充分又不必要条件
8、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
Ａ．0075,45,10===C A b Ｂ．080,5,7===A b a
Ｃ．060,48,60===C b a Ｄ．045,16,14===A b a
9、在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是
10、①在△ABC 中，a ,b ,c 分别是A ，B ，C 的对边，且222b c a +=则A ∠等于 （ ）
A ．6π
B ．3
π C ．23π D ．56π ②在△ABC 中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++,则角Ａ等于（ ）
Ａ．030 Ｂ．060 Ｃ．0120 Ｄ．0
150
11、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( ) A.103海里 B.
3610 C. 52 D.56海里
12、一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60处；行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15处. 这时船与灯塔的距离为 km.
13、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是 ( )
A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
14、若数列{a n }的通项公式是a n =2(n ＋1)＋3，则此数列 ( )
A)是公差为2的等差数列 B)是公差为3的等差数列
C) 是公差为5的等差数列 D)不是等差数列
15、等差数列{a n }中，a 1=3,a 100=36,则a 3＋a 98等于 ( )
A)36 B)38 C)39 D)42
16、已知{a n }是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( )
A)12 B)16 C)20 D)24
17、等差数列{a n }中，a 1+a 2+……a 10=15，a 11+a 12+……a 20=20，则a 21+a 22+……a 30=(
) A)15 B)25 C)35 D)45
三、解答题
1.已知在△ABC 中，c =10，A =45°，C =30°，求a 、b 和 B .
2、已知△ABC 的面积，解此三角形
3、在△ABC 中，A = 45°，B : C = 4 : 5，最大边长为10，求角B ，C ，△ABC 外接圆半径R 及面积S .
4、在等差数列{}n a 中, 若,12,60171-=-=a a 求通项n a ；
5、成等差数列的四个数的和为26，第二项与第三项之积为40，求这四个数。
6、一只船以均匀的速度由A 点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A 点观测灯塔C 的方位角为30°，行驶60海里后，船在B 点观测灯塔C 的方位角为45°，求A 到C 的距离．。