北京四中2015届上学期高三年级期中考试数学试卷(文科) 后有答案
北京四中高三上学期文科数学期中考试试卷(附答案)
又 g (1) = 1 − 4 ln 2 < 0，g (2) = 2 > 0，所以存在唯一的 x0 ∈ (1, 2)，使得 g (x0) = 0． 综上，存在唯一的 x0 ∈ (1, 2)，使得曲线 y = f (x) 在点 (x0, f (x0)) 处的切线的斜率为 f (2)−f (1)． (3) f (1.01) > −2.01．
2
[6
即 f (x) 的递减区间为： kπ +
2 π , kπ +
2π ] , k ∈ Z，
[ 由 0,
π
]
∩
[ kπ
+
π , kπ +
2π
6]
=
[
π
,
3 +
π
]
,
k
∈ Z，
所以
f
2 (x)
6
[
的递减区间为：
3 π,
π
]6 ．
2
62
19.
(1) 因为 a2 + 6 是 a1 和 a3 的等差中项，
所以 2 (a2 + 6) = a1 + a3，
答案: 2019-10-29 — 参考答案
12345678
CDCCAABB 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 1 − 3i 10. ∀x ∈ (0, +∞)，都有 lg x ⩽ 0 成立 11. π
6 12. y√= x 13. 5
5 14. ①②
15.
(1) 由 x − 5 ⩽ 0，得 −1 < x ⩽ 5， x+1
3
A. π
2015-2016学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合P={x|x2﹣x≤0}，M={0，1，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y= B．y=lg|x|C．y=（x﹣1）2 D．y=2x3．（5分）在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣4．（5分）数列{a n}的前n项和S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1的值为（）A．0 B．1 C．3 D．55．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）=cos2x B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线x=0对称D．f（x）的值域为[﹣，]6．（5分）“x=0”是“sinx=﹣x”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞18．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域为．10．（5分）若角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=．11．（5分）若等差数列{a n}满足a1=﹣4，a3+a9=a10﹣a8，则a n=．12．（5分）已知向量=（1，0），点A（4，4），点B为直线y=2x上一个动点．若∥，则点B的坐标为．13．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为．14．（5分）对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），均有（t为常数），则称数列{a n}具有性质P（t）（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则t的最大值为（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{a n}的前n项和为S n，求证＜2．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，求a的取值范围．19．（14分）已知数列{a n}的各项均不为0，其前n和为S n，且满足a1=a，2S n=a n a n+1．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a=﹣9，求S n的最小值．20．（14分）已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣1.2]=2，[1]=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合P={x|x2﹣x≤0}，M={0，1，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即P={x|0≤x≤1}，∵M={0，1，3，4}，∴P∩M={0，1}，则集合P∩M中元素的个数为2，故选：B．2．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y= B．y=lg|x|C．y=（x﹣1）2 D．y=2x【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D非奇非偶．故选：B．3．（5分）在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【解答】解：∠A=60°，||=2，||=1，则•=||•||COS60°=2×1×=1故选：A．4．（5分）数列{a n}的前n项和S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1的值为（）A．0 B．1 C．3 D．5=2n﹣1（n≥2），【解答】解：∵S n﹣S n﹣1∴S2﹣S1=22﹣1=3，又S2=3，∴S1=0，则a1=0．故选：A．5．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）=cos2x B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线x=0对称D．f（x）的值域为[﹣，]【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A 正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故B正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故C正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为[﹣1，1]，故D错误；故选：D．6．（5分）“x=0”是“sinx=﹣x”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x=0时：sinx=sin0=0，是充分条件，而由sinx=﹣x，即函数y=sinx和y=﹣x，在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=﹣x的草图，由图得交点（0，0）推出x=0，是必要条件，故选：C．7．（5分）如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1，因为点O为坐标原点，点A（1，1），所以直线OA为y=x，因为y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，又因为log b x（b＞0，且b≠1）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，∴a＜b，∴a＜b＜1故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函数y=f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象如下，，结合选项可知，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴2x﹣2≥0，即2x≥2；解得x≥1，∴f（x）的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．（5分）若角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=．【解答】解：角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=﹣sinα=﹣=，故答案为：．11．（5分）若等差数列{a n}满足a1=﹣4，a3+a9=a10﹣a8，则a n=n﹣5．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a3+a9=a10﹣a8，∴﹣4+2d﹣4+8d=﹣4+9d﹣（﹣4+7d），解得d=1∴a n=﹣4+n﹣1=n﹣5故答案为：n﹣512．（5分）已知向量=（1，0），点A（4，4），点B为直线y=2x上一个动点．若∥，则点B的坐标为（2，4）．【解答】解：设B（x，2x），=（x﹣4，2x﹣4）．∵∥，∴0﹣（2x﹣4）=0，解得x=2，∴B（2，4），故答案为：（2，4）．13．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为6．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），∵把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin （ωx++φ），∴φ=++φ+2kπ．即ω=﹣6k，k∈z，∵ω＞0，∴ω的最小值为：6故答案为：614．（5分）对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），均有（t为常数），则称数列{a n}具有性质P（t）（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则t的最大值为3（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则实数a的取值范围是a≥8．【解答】解：（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则==m+n，由得m+n≥t，∵∀m，n∈N*（m≠n），∴当m+n=1+2时，t≤3，则t的最大值为3．（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则≥7恒成立，即==m+n+≥7，即当m=1，n=2时，=m+n+=1+2+≥7，即≥4则a≥8．故答案为：3，a≥8三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{a n}的前n项和为S n，求证＜2．【解答】（I）解：∵等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．∴4q2=q4，解得q=2．∴a3=4．（II）证明：a n=2n﹣1，S n==2n﹣1，∴﹣2=﹣2=2﹣﹣2＜0，∴＜2．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．所以f（）=sin（2×﹣）+cos（2×﹣）===﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．所以f（x）=2（sin（2x﹣）+cos（2x﹣））=2sin（2x﹣+）=2sin2x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以周期T==π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）令，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）解得，k∈Z．所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）代入AB=8，∠A=．解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f′（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，所以f′（x）=x2+2x﹣3．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1）；（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，所以f′（x）≥0对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值大于等于0即可．因为函数f′（x）=x2+2x+a≥0的对称轴为x=﹣1，当﹣2≤a≤﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（a），解f′（a）=a2+3a≥0，得a≥0或a≤﹣3，所以此种情形不成立；当a＞﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（﹣1），解f′（﹣1）=1﹣2+a≥0得a≥1，所以a≥1，综上，实数a的取值范围是a≥1．19．（14分）已知数列{a n}的各项均不为0，其前n和为S n，且满足a1=a，2S n=a n a n+1．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a=﹣9，求S n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=a n a n+1，∴2S1=a1a2，即2a1=a1a2，∵a1=a≠0，∴a2=2．（Ⅱ）∵2S n=a n a n+1，∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1a n，两式相减得到：2a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a n≠0，∴a n+1﹣a n﹣1=2，∴数列{a2k﹣1}，{a2k}都是公差为2的等差数列，当n=2k﹣1时，a n=a1+2（k﹣1）=a+2k﹣2=a+n﹣1，当n=2k时，a n=2+2（k﹣1）=2k=n，∴a n=．（Ⅲ）当a=﹣9时，a n=，∵2S n=a n a n+1，∴S n=，∴当n为奇数时，S n的最小值为S5=﹣15；当n为偶数时，S n的最小值为S4=﹣10，所以当n=5时，S n取得最小值为﹣15．20．（14分）已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣1.2]=2，[1]=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）法一：取k=1，a=∈（1，2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则令[m]=1，m==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）此时f（）=f（[]）=f（1）所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）法二：取k=1，a=∈（0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则令[m]=﹣1，m=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）此时f（﹣）=f（[﹣]）=f（﹣1），所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（说明：这里实际上有两种方案：方案一：设k∈N•，取a∈（k2，k2+k），令[m]=k，m=，则一定有m﹣[m]=﹣k=∈（0，1），且f（m）=f（[m]），所以f（x）是Ω函数．）方案二：设k∈N•，取a∈（k2﹣k，k2），令[m]=﹣k，m=﹣，则一定有m﹣[m]=﹣﹣（﹣k）=﹣∈（0，1），且f（x）=f（[m]），所以f（x）是Ω函数．）（Ⅲ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．假设T＜1，则[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以必有T≥1，而函数l（x）=x﹣[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）。
2015北京四中高三(上)期中数 学(文)
2015北京四中高三（上）期中数学（文）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2．（5分）设a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a3．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．5．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．6．（5分）若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 B．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数7．（5分）已知等差数列{a n}单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是（）A．（2，4）B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．（4，+∞）8．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）C．[0，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a2+a4=6，则该数列前5项和S5= ．10．（5分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60°，则cosB= ．12．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．13．（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= ．14．（5分）已知实数a＞0且a≠1，函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是等差数列，则a= ，b= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．16．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1S n，n∈N*．（Ⅰ）求a1，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．17．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．18．（13分）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．19．（14分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．20．（14分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：；第二组：f1（x）=x2﹣x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2﹣x+1；（Ⅱ）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t ＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）设，取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b 的取值范围．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．【解答】∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．2．【解答】∵a=＞1，b=＜0，0＜c=＜1，∴a＞c＞b．故选：C．3．【解答】当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选A4．【解答】设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A5．【解答】∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3．故选：C．6．【解答】∵f′（x）=2x﹣，故只有当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上才是增函数，因此A、B不对，当a=0时，f（x）=x2是偶函数，因此C对，D不对．答案：C7．【解答】设公差为d，则∵a1+a10=4，∴2a1+9d=4，∴a1=2﹣，∴a8=a1+7d=2+d，∵d＞0，∴a8=2+d＞2．故选：C．8．【解答】由题意可得函数y=f（x）的图象（红线部分）和直线y=k（x﹣1）（蓝线部分）只有一个交点．直线y=k（x﹣1）经过定点（1，0），斜率为k．当 0＜x＜1时，f′（x）=＞1，当x≥1时，f′（x）=﹣∈[﹣1，0），如图所示：故 k∈（﹣∞，﹣1]∪[0，1]，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．【解答】∵在等差数列{a n}中a2+a4=6，∴由等差数列的性质可得a1+a5=a2+a4=6，∴数列前5项和S5===15．故答案为：1510．【解答】作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：111．【解答】∵a=15，b=10，A=60°由正弦定理可得，∴sinB===∵a＞b∴A＞B∴B为锐角∴cosB==故答案为：12．【解答】圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．13．【解答】设=（x，y）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：．14．【解答】∵函数f（x）=，∴a n=，∴a1=a，a2=a2，a3=3a+b，a4=4a+b，a5=5a+b，…，a n=na+b，∵{a n}是等差数列，∴a2﹣a=a，即有a=0（舍去）或2，∴3a+b﹣a2=a，即b=0，故答案为：2，0．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程.15．【解答】==．（Ⅰ）f（x）的最小正周期为．令，解得，所以函数f（x）的单调增区间为．（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以0≤f（x）≤1．当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0．当且仅当，即时最大值．16．【解答】（Ⅰ）∵S1=a1∴n=1时2a1﹣a1=S1•S1a1≠0，a1=1．所以n≥2时，．（Ⅱ）设T n=1•a1+2•a2+3•a3+…+n•a nqT n=1•qa1+2•qa2+3•qa3+…+n•qa nqT n=1•a2+2•a3+3•a4+…+n•a n+1利用错位相减得：．．17．【解答】（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．18．【解答】（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x 0 （0，1） 1 （1，a） a （a，2a）2af′（x）+ 0 ﹣0 +单调递增4a3f（x）0 单调递增极大值3a﹣1 单调递减极小值a2（3﹣a）比较f（0）=0和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a ＜﹣1时，X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a）﹣2a f′x）﹣0 +f（x）0 单调递减极小值3a﹣1 单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．19．【解答】（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．20．【解答】（Ⅰ）①设，即，取，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．（2分）②设a（x2+x）+b（x2+x+1）=x2﹣x+1，即（a+b）x2+（a+b）x+b=x2﹣x+1，则，该方程组无解．所以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．（4分）（Ⅱ）（5分）若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，3h2（x）+2h（x）+t＜0，即t＜﹣3h2（x）﹣2h（x）=﹣3log22x﹣2log2x（7分）设s=log2x，则s∈[1，2]，y=﹣3log22x﹣2log2x=﹣3s2﹣2s，（9分）y max=﹣5，故，t＜﹣5．（10分）（Ⅲ）由题意，得1°若，则h（x）在上递减，在上递增，则，所以，得1≤b≤4（12分）2°若，则h（x）在[1，10]上递增，则h min=h（1）=1+b，所以，得0＜b≤1．（14分）3°若，则h（x）在[1，10]上递减，则，故，无解综上可知，0＜b≤4．（16分）。
2015北京四中高三(上)期中数 学(理)
2015北京四中高三（上）期中数学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2．（5分）设a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a3．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B． C．D．107．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）C．[0，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]8．（5分）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）①f（）=0；②既不是奇函数也不是偶函数；③f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；④存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．A．①② B．①③ C．②③ D．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= ．10．（5分）如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60°，则cosB= ．12．（5分）已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是．13．（5分）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围．14．（5分）设集X是实数集R上的子集，如果x0∈R满足：对∀a＞0，都∃x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：①{|n∈Z，n≥0}；②{x|x∈R，x≠0}；③{|n∈Z，n≠0}；④整数集Z其中以0为聚点的集合的序号有（写出所有正确集合的序号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2（cosx﹣sinx）sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．16．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，2a n+1=2a n+1，n∈N+．数列{b n}的前n项和为S n，S n=9﹣，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N+．求数列{c n}的前n项和T n．17．（13分）已知函数f（x）=（1+x）2﹣2aln（1+x）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，x∈[0，1]，求函数y=f（x）图象上任意一点处切线斜率k的取值范围．18．（13分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．20．（14分）已知S n={A|A=（a1，a2，a3，…a n）}，a i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈S n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…a n），若V∈S n，求所有d（U，V）之和．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．【解答】∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．2．【解答】∵a=＞1，b=＜0，0＜c=＜1，∴a＞c＞b．故选：C．3．【解答】当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选A4．【解答】∵函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+）=sin3（x+），∴将函数y=sin3x的图象向左平移个单位可得函数y=sin3x+cos3x的图象，故选：D．5．【解答】令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．6．【解答】∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得 x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．7．【解答】由题意可得函数y=f（x）的图象（红线部分）和直线y=k（x﹣1）（蓝线部分）只有一个交点．直线y=k（x﹣1）经过定点（1，0），斜率为k．当 0＜x＜1时，f′（x）=＞1，当x≥1时，f′（x）=﹣∈[﹣1，0），如图所示：故 k∈（﹣∞，﹣1]∪[0，1]，故选：D．8．【解答】∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），又∵f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，∴f（）是f（x）的最大值或最小值，f（x）的周期为π，①∵﹣=为个周期，∴f（）=0；②由f（）=sin（+θ）=0，则θ≠（k∈Z），则既不是奇函数也不是偶函数；③若f（）是f（x）的最大值，则[kπ+，kπ+]（k∈Z）是f（x）的单调减区间；④∵﹣≤a≤，﹣≤b≤，∴不存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．故选A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】等差数列{a n}中，∵a4+a8=16，∴S11=（a1+a11）===88．故答案为：88．10．【解答】由题意，阴影区域的面积是S=﹣=﹣sinx=2．故答案为：2．11．【解答】∵a=15，b=10，A=60°由正弦定理可得，∴sinB===∵a＞b∴A＞B∴B为锐角∴cosB==故答案为：12．【解答】∵实数x，y满足2x+2y=1，∴=2，化为x+y≤﹣2．当且仅当x=y=﹣1时取等号．则x+y的最大值是﹣2．故答案为：﹣2．13．【解答】由题意，由，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1则实数m的取值范围（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．14．【解答】①中，集合{|n∈Z，n≥0}中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合{|n∈Z，n≥0}的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合{|n∈Z，n≠0}中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合{|n∈Z，n≠0}的聚点④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故答案为：②③．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．【解答】由题意得，f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x===，（Ⅰ）f（x）的最小正周期为：T=，令得，，所以函数f（x）的单调增区间是；（Ⅱ）因为，所以，所以，即，所以0≤f（x）≤1，当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0，当且仅当时，即时最大值．16．【解答】（Ⅰ）由2a n+1=2a n+1得a n+1﹣a n=，又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，为公差的等差数列，于是a n=a1+（n﹣1）d=，当n=1时，b1=S1=9﹣=9﹣3=6，当n≥2时，S n﹣1=，则b n=S n﹣S n﹣1=9﹣﹣[]=，又n=1时，=6=b1，所以b n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=，b n=，所以c n=a n•b n=（n+1），所以T n=2×（）﹣1+3×（）0+4×（）1+...+（n+1）×（）n﹣2 (1)等式两边同乘以得T n=2×（）0+3×（）1+4×（）2+...+（n+1）×（）n﹣1 (2)（1）﹣（2）得T n=2×（）﹣1+（）0+（）1+…+×（）n﹣2﹣（n+1）×（）n﹣1=6+﹣（n+1）×（）n﹣1，所以T n =﹣（）n﹣2．17．【解答】（Ⅰ）函数的定义域为（﹣1，+∞）．f′（x）=2（x+1）﹣=，当a≤0时，f′（x）≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，于是f（x）在定义域内单调递增．当a＞0时，f′（x）=0得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣＜﹣1（舍），当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下x （﹣1，﹣1+）﹣1+（﹣1+，+∞）f′（x）﹣+f（x）递减极小值递增所以f （x）的单调递增区间是（﹣1+，+∞），单调递减区间是（﹣1，﹣1+）．综上，当a≤0时，f（x）单调递增区间是（﹣1，+∞），当a＞0时，f（x）的单调递增区间是（﹣1+，+∞），单调递减区间是（﹣1，﹣1+）．（Ⅱ）当a=1时，f（x ）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（，令h（x）=f′（x）=2（1+x）﹣（x≠﹣1），则h′（x）=2+＞0，故h（x）为区间[0，1）上增函数，所以h（x）=f′（x）∈[0，3]，根据导数的几何意义可知k∈[0，3]．18．【解答】（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为 v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．19．【解答】（1）=．∵x=2为f（x）的极值点，∴f′（2）=0，即，解得a=0．又当a=0时，f′（x）=x（x﹣2），可知：x=2为f（x）的极值点成立．（2）∵y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，∴f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．①当a=0时，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，∴2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0在区间[3，+∞）上恒成立．令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为．∵a＞0，，从而g（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．由g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．∵a＞0，∴．综上所述，a的取值范围为．20．【解答】（Ⅰ）∵V∈S5，d（U，V）=2，∴C52=10，即m=10；（Ⅱ）证明：令U=（a1，a2，a3，…a n），V=（b1，b2，b3，…b n）∵a i=0或1，b i=0或1；当a i=0，b i=0时，|a i|+|b i|=0=|a i﹣b i|当a i=0，b i=1时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|当a i=1，b i=0时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|当a i=1，b i=1时，|a i|+|b i|=2≥|a i﹣b i|=0故，|a i|+|b i|≥|a i﹣b i|∴d（U，W）+d（V，W）=（a1+a2+a3+…+a n）+（b1+b2+b3+…+b n）=（|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|）+（|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|）≥|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+…+|a n﹣b n|=d（U，V）；（Ⅲ）解：易知S n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…b n）∵b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个．∴d（U，V）=2n﹣1（|a1﹣0|+|a1﹣1|+|a2﹣0|+a2﹣1|+|a3﹣0|+|a3﹣1|+…+|a n﹣0|+|a n﹣1|=n2n﹣1∴d（U，V）=n2n﹣1．11 / 11。
北京四中高三第一学期期中考试数学(文科)试题(解析版)【全国百强校高考预测真题】
2019届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．设函数的定义域为，函数的值域为，则A ．B ．C ．D ．2．在下列函数中，是偶函数,且在内单调递减的是A ．B ．C ．D ．3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是A ．? B ．? C ．? D ．?4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝3，A ＝，则C 为A ．B ．C ．D ．5．函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．B ．C ．D ．6．设m,n 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设，定义符合函数，则下列等式正确的是A ．B ．C ．D ．二、填空题9．i 为虚数单位，计算_______________。
10．命题“，使得成立”的否定是____________。
11．已知向量，则a 与b 夹角的大小为_________.12．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为___________．13．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有点，且，则___________．14．对于函数，若存在一个区间，使得，则称A 为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是_____________。
北京师大附中2015届上学期高三年级期中考试数学试卷(文科) 后有答案
北京师大附中2015届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）试卷说明：本试卷满分150分，考试时间为120分钟。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知}1,0,1,2{},01|{--=>+=B x x A ，则B A C R )(＝（ ） A. }1,2{--B. }2{-C. }1,0,1{-D. }1,0{2. 已知向量),3(),1,1(m b a =-=，a ∥（b a +），则=m （ ） A. 2B. －2C. －3D. 33. 数列}{n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，已知21,577==S a ，则10S ＝（ ） A. 40B. 35C. 30D. 284. 已知)23,(ππα∈，且54cos -=α，则)4tan(απ-等于（ ） A. 7B.71C. 71-D. －75. “2<x ”是“0232<+-x x ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 曲线23++=x e y x 在点0P 处的切线方程为054=+-y x ，则点0P 的坐标是（ ） A. （0，1）B. )1,1(-C. （1，3）D. （0，5）7. )(x f 是定义在R 上的奇函数，函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称。
若)0,1(-∈x 时，512)(+=xx f ，则)20(log 2f ＝（ ） A. 1B.54 C. －1D. 54-8. 设|2|)(2x x f -=，若0<<b a ，且)()(b f a f =，则ab 的取值范围是（ ）A. )2,0(B. ]2,0(C. )2,0(D. ]4,0(二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为23，则AC ＝________；BC ＝________。
北京四中2015-2016学年上学期高一年级期中考试数学试卷 后有答案
北京四中2015－2016学年上学期高一年级期中考试数学试卷 有答案试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分 考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知集合}3,2,1{=A ，则 A. A ∈1B. A ∈0C. A ∈∅D. A ⊆}2,1,0{2. 式子214-的值为A. －2B.2C.22 D.21 3. 下列函数中，在区间),0(+∞上为减函数的是 A. x x y 22-= B. x y 2=C. x y lg =D. x y -=4. 已知集合}02|{2>-=x x x A ，集合)3,1(=B ，则 A. A B ⊆B. B A ⊆C. ∅≠B AD. R B A =5. 下列函数是偶函数的为 A. xy 1=B. x y ln =C. 2||1+=x yD. xx y 1-= 6. 若)(x f 是奇函数，且0>x 时，1)(+=x x f ，则0<x 时，)(x f ＝ A. 1+-xB. 1--xC. 1-xD. 1+x7. 函数x x f x32)(+=的零点所在的一个区间是 A. )1,2(--B. )0,1(-C. )1,0(D. )2,1(8. 设3.0231)21(,3log ,2log ===c b a ，则A. c b a <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<9. 若函数)(x f 是偶函数，且在区间]2,0[上单调递减，则 A. )2(lg )2()1(f f f >>- B. )2()1()2(lg f f f >-> C. )2(lg )1()2(f f f >->D. )1()2()2(lg ->>f f f10. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=,0,,0,1)21()(21x x x x f x若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是A. )1,1(-B. ),1(+∞-C. ),1()1,(+∞--∞D. ),0()2,(+∞--∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 函数21)(-=x x f 的定义域是__________。
北京四中高三年级第一学期期中测验(文)
2007-2008年北京四中高三年级第一学期期中测验数学试卷（文科）（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合====N M N M N x M 则若},1{},2,1{},,0{ （ ）A ．{0,x,1,2}B ．{1,2,0,1}C ．{0,1,2}D ．无法确定 2．方程1cos 2=x 的解集为（ ） A ．},32|{Z k k x x ∈+=ππ B ．},352|{Z k k x x ∈+=ππC ．},32|{Z k k x x ∈±=ππD ．},3)1(|{Z k k x x k ∈-+=ππ3．函数]2,1[3--=在x x y 的最小值为（ ）A ．2B ．0C ．－4D ．－24．若等比数列的公比为2，但前4项和为1，则这个等比数列的前8项和等于 （ ）A ．21B ．19C ．17D ．155．下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3π=x 对称的一个函数是（ ）A ．)6sin(π-=x y B ．)6sin(π+=x yC ．)3sin(π+=x yD ．)32sin(π-=x y6．等差数列}{n a 中，a 3、a 8是方程0532=--x x 的两个根，则S 10是 （ ）A ．15B ．25C ．30D ．507．函数)(x f 的定义域为R ，)2()2(x f x f -=+，xx f x )21()(,21=≤≤-时又，则有（ ）A ．)4()1(21f f f <<⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<21)1()4(f f fC ．)4(21)1(f f f <⎪⎭⎫⎝⎛-< D ．⎪⎭⎫⎝⎛-<<21)4()1(f f f 8．命题p ：函数)10)(2(log ≠>+=a a a ax y a 且的图象必过定点（－1，1）；命题q ：如果函数)(x f y =的图象关于（3，0）对称，那么函数)3(-=x f y 的图象关于原点对称，则有（ ）A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真二、填空题（每小题5分共30分）9．函数x y 2cos 3=的最小正周期为 . 10．曲线在153123=+-=x x x y 在处的切线的倾斜角为 . 11．已知数列}{n a 的前n 项和,92n n S n -=则其通项=n a ；若它的第k 项满足85<<k a ，则k = .12．函数)(x f y =在定义域（0,∞-）内存在反函数，若,2)1(2x x x f -=-)3(f 则= ，则=-)3(1f.13．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5……的第100项是 . 14．给出下列命题：①函数)10(≠>=a a a y x且与函数)10(log ≠>=a a a y x a 且 的定义域相同；②函数xy x y 33==与函数值域相同； ③使函数),2(21+∞-++=在区间x ax y 上为增函数的a 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21，其中错误命题的序号为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题13分）已知：a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对. （1）若△ABC 面积为,60,2,23︒==A c 求a 、b 的值； （2）若,cos cos B b A a =试判断△ABC 的形状，证明你的结论.16．（本小题13分）已知：)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，,1)(2--=x x x f （1）求函数)(x f 在R 上的解析式； （2）解不等式.1)(<x f17．（本小题13分）已知：函数).(2sin 3cos 2)(2R a a x x x f ∈++=（1）若)(:,x f R x 求∈的单调递增区间； （2）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为4，求：a 的值，并指出这时x 的值.18．（本小题满分13分）已知： 13)(223-=+++=x a bx ax x x f 在时有极值0. （1）求：常数a 、b 的值； （2）求：)(x f 的单调区间.19．（本小题13分）已知：数列}{n a 满足+-∈=++++N a na a a a n n ,333313221 . （1）求数列}{n a 的通项； （2）设,nn a nb =求数列}{n b 的前n 项和S n . 20．（本小题14分）已知：函数),,(1)(2R c b a cbx ax x f ∈++=是奇函数，又3)2(,2)1(==f f .（1）求：a 、b 、c 的值；（2）当,),0(时+∞∈x 讨论函数)(x f 的单调性，并写出证明过程.。
2015年北京四中期中
2015北京四中高三（上）期中数学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2．（5分）设a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a3．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B． C．D．107．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）C．[0，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]8．（5分）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）①f（）=0；②既不是奇函数也不是偶函数；③f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；④存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．A．①② B．①③ C．②③ D．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= ．10．（5分）如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60°，则cosB= ．12．（5分）已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是．13．（5分）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围．14．（5分）设集X是实数集R上的子集，如果x0∈R满足：对∀a＞0，都∃x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：①{|n∈Z，n≥0}；②{x|x∈R，x≠0}；③{|n∈Z，n≠0}；④整数集Z其中以0为聚点的集合的序号有（写出所有正确集合的序号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2（cosx﹣sinx）sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．16．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，2a n+1=2a n+1，n∈N+．数列{b n}的前n项和为S n，S n=9﹣，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N+．求数列{c n}的前n项和T n．17．（13分）已知函数f（x）=（1+x）2﹣2aln（1+x）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，x∈[0，1]，求函数y=f（x）图象上任意一点处切线斜率k的取值范围．18．（13分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．20．（14分）已知S n={A|A=（a1，a2，a3，…a n）}，a i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈S n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…a n），若V∈S n，求所有d（U，V）之和．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．【解答】∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．2．【解答】∵a=＞1，b=＜0，0＜c=＜1，∴a＞c＞b．故选：C．3．【解答】当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选A4．【解答】∵函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+）=sin3（x+），∴将函数y=sin3x的图象向左平移个单位可得函数y=sin3x+cos3x的图象，故选：D．5．【解答】令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．6．【解答】∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得 x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．7．【解答】由题意可得函数y=f（x）的图象（红线部分）和直线y=k（x﹣1）（蓝线部分）只有一个交点．直线y=k（x﹣1）经过定点（1，0），斜率为k．当 0＜x＜1时，f′（x）=＞1，当x≥1时，f′（x）=﹣∈[﹣1，0），如图所示：故 k∈（﹣∞，﹣1]∪[0，1]，故选：D．8．【解答】∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），又∵f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，∴f（）是f（x）的最大值或最小值，f（x）的周期为π，①∵﹣=为个周期，∴f（）=0；②由f（）=sin（+θ）=0，则θ≠（k∈Z），则既不是奇函数也不是偶函数；③若f（）是f（x）的最大值，则[kπ+，kπ+]（k∈Z）是f（x）的单调减区间；④∵﹣≤a≤，﹣≤b≤，∴不存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．故选A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】等差数列{a n}中，∵a4+a8=16，∴S11=（a1+a11）===88．故答案为：88．10．【解答】由题意，阴影区域的面积是S=﹣=﹣sinx=2．故答案为：2．11．【解答】∵a=15，b=10，A=60°由正弦定理可得，∴sinB===∵a＞b∴A＞B∴B为锐角∴cosB==故答案为：12．【解答】∵实数x，y满足2x+2y=1，∴=2，化为x+y≤﹣2．当且仅当x=y=﹣1时取等号．则x+y的最大值是﹣2．故答案为：﹣2．13．【解答】由题意，由，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1则实数m的取值范围（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．14．【解答】①中，集合{|n∈Z，n≥0}中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合{|n∈Z，n≥0}的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合{|n∈Z，n≠0}中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合{|n∈Z，n≠0}的聚点④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故答案为：②③．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．【解答】由题意得，f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x===，（Ⅰ）f（x）的最小正周期为：T=，令得，，所以函数f（x）的单调增区间是；（Ⅱ）因为，所以，所以，即，所以0≤f（x）≤1，当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0，当且仅当时，即时最大值．16．【解答】（Ⅰ）由2a n+1=2a n+1得a n+1﹣a n=，又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，为公差的等差数列，于是a n=a1+（n﹣1）d=，当n=1时，b1=S1=9﹣=9﹣3=6，当n≥2时，S n﹣1=，则b n=S n﹣S n﹣1=9﹣﹣[]=，又n=1时，=6=b1，所以b n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=，b n=，所以c n=a n•b n=（n+1），所以T n=2×（）﹣1+3×（）0+4×（）1+...+（n+1）×（）n﹣2 (1)等式两边同乘以得T n=2×（）0+3×（）1+4×（）2+...+（n+1）×（）n﹣1 (2)（1）﹣（2）得T n=2×（）﹣1+（）0+（）1+…+×（）n﹣2﹣（n+1）×（）n﹣1=6+﹣（n+1）×（）n﹣1，所以T n =﹣（）n﹣2．17．【解答】（Ⅰ）函数的定义域为（﹣1，+∞）．f′（x）=2（x+1）﹣=，当a≤0时，f′（x）≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，于是f（x）在定义域内单调递增．当a＞0时，f′（x）=0得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣＜﹣1（舍），当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下x （﹣1，﹣1+）﹣1+（﹣1+，+∞）f′（x）﹣+f（x）递减极小值递增所以f（x）的单调递增区间是（﹣1+，+∞），单调递减区间是（﹣1，﹣1+）．综上，当a≤0时，f（x）单调递增区间是（﹣1，+∞），当a＞0时，f（x）的单调递增区间是（﹣1+，+∞），单调递减区间是（﹣1，﹣1+）．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=（1+x）2﹣2ln （1+x）（，令h（x）=f′（x）=2（1+x）﹣（x≠﹣1），则h′（x）=2+＞0，故h（x）为区间[0，1）上增函数，所以h（x）=f′（x）∈[0，3]，根据导数的几何意义可知k∈[0，3]．18．【解答】（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为 v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．19．【解答】（1）=．∵x=2为f（x）的极值点，∴f′（2）=0，即，解得a=0．又当a=0时，f′（x）=x（x﹣2），可知：x=2为f（x）的极值点成立．（2）∵y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，∴f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．①当a=0时，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，∴2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0在区间[3，+∞）上恒成立．令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为．∵a＞0，，从而g（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．由g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．∵a＞0，∴．综上所述，a的取值范围为．20．【解答】（Ⅰ）∵V∈S5，d（U，V）=2，∴C52=10，即m=10；（Ⅱ）证明：令U=（a1，a2，a3，…a n），V=（b1，b2，b3，…b n）∵a i=0或1，b i=0或1；当a i=0，b i=0时，|a i|+|b i|=0=|a i﹣b i|当a i=0，b i=1时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|当a i=1，b i=0时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|当a i=1，b i=1时，|a i|+|b i|=2≥|a i﹣b i|=0故，|a i|+|b i|≥|a i﹣b i|∴d（U，W）+d（V，W）=（a1+a2+a3+…+a n）+（b1+b2+b3+…+b n）=（|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|）+（|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|）≥|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+…+|a n﹣b n|=d（U，V）；（Ⅲ）解：易知S n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…b n）∵b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个．∴d（U，V）=2n﹣1（|a1﹣0|+|a1﹣1|+|a2﹣0|+a2﹣1|+|a3﹣0|+|a3﹣1|+…+|a n﹣0|+|a n﹣1|=n2n﹣1∴d（U，V）=n2n﹣1．11 / 11。
北京四中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)含解析
北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2．（5分）设a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a3．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．107．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．[0，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]8．（5分）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）①f（）=0；②既不是奇函数也不是偶函数；③f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；④存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=．10．（5分）如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a=15，b=10，A=60°，则cosB=．12．（5分）已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是．13．（5分）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围．14．（5分）设集X是实数集R上的子集，如果x0∈R满足：对∀a＞0，都∃x∈X，使得0＜|x ﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：①{|n∈Z，n≥0}；②{x|x∈R，x≠0}；③{|n∈Z，n≠0}；④整数集Z其中以0为聚点的集合的序号有（写出所有正确集合的序号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2（cosx﹣sinx）sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．16．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，2a n+1=2a n+1，n∈N+．数列{b n}的前n项和为S n，S n=9﹣，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N+．求数列{c n}的前n项和T n．17．（13分）已知函数f（x）=（1+x）2﹣2aln（1+x）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，x∈[0，1]，求函数y=f（x）图象上任意一点处切线斜率k的取值范围．18．（13分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．20．（14分）已知S n={A|A=（a1，a2，a3，…a n）}，a i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈S n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…a n），若V∈S n，求所有d（U，V）之和．北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=＞1，b=＜0，0＜c=＜1，∴a＞c＞b．故选：C．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．3．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数相等的充要条件；充要条件．专题：简易逻辑．分析：利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．解答：解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选A点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=sin3x+cos3x=sin3（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：∵函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+）=sin3（x+），∴将函数y=sin3x的图象向左平移个单位可得函数y=sin3x+cos3x的图象，故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．考点：余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D．解答：解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．10考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．解答：解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．7．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．[0，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）只有一个交点，数形结合求得k 的范围．解答：解：由题意可得函数y=f（x）的图象（红线部分）和直线y=k（x﹣1）（蓝线部分）只有一个交点．直线y=k（x﹣1）经过定点（1，0），斜率为k．当0＜x＜1时，f′（x）=＞1，当x≥1时，f′（x）=﹣∈[﹣1，0），如图所示：故k∈（﹣∞，﹣1]∪[0，1]，故选：D．点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．8．（5分）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）①f（）=0；②既不是奇函数也不是偶函数；③f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；④存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．A．①②B．①③C．②③D．②④考点：两角和与差的正弦函数；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由题意知，f（）是f（x）的最大值或最小值，且f（x）的周期为π；①∵﹣=为个周期，∴f（）=0；②由f（）=sin（+θ）=0可得θ≠（k∈Z），则既不是奇函数也不是偶函数；③若f（）是f（x）的最大值，则[kπ+，kπ+]（k∈Z）是f（x）的单调减区间；④由﹣≤a≤，﹣≤b≤，结合三角函数的图象可得，不存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），又∵f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，∴f（）是f（x）的最大值或最小值，f（x）的周期为π，①∵﹣=为个周期，∴f（）=0；②由f（）=sin（+θ）=0，则θ≠（k∈Z），则既不是奇函数也不是偶函数；③若f（）是f（x）的最大值，则[kπ+，kπ+]（k∈Z）是f（x）的单调减区间；④∵﹣≤a≤，﹣≤b≤，∴不存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．故选A．点评：本题考查了三角函数的图象及由图象可得到的性质，用到了数形结合的思想，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=88．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质知S11=（a1+a11）=，由此能够求出结果．解答：解：等差数列{a n}中，∵a4+a8=16，∴S11=（a1+a11）===88．故答案为：88．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．10．（5分）如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是2．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：由题意，利用定积分的几何意义，所求阴影区域的面积是S=﹣，即可得出结论．解答：解：由题意，阴影区域的面积是S=﹣=﹣sinx=2．故答案为：2．点评：本题考查了运用定积分求曲边梯形的面积，属于基础题．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a=15，b=10，A=60°，则cosB=．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由正弦定理可得，可求sinB，然后结合大边对大角及同角平方关系即可求解解答：解：∵a=15，b=10，A=60°由正弦定理可得，∴sinB===∵a＞b∴A＞B∴B为锐角∴cosB==故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理及同角平方关系的简单应用，属于基础试题12．（5分）已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是﹣2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：实数x，y满足2x+2y=1，利用基本不等式可得，化简即可得出．解答：解：∵实数x，y满足2x+2y=1，∴=2，化为x+y≤﹣2．当且仅当x=y=﹣1时取等号．则x+y的最大值是﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题．13．（5分）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围（﹣∞，1]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m≤1，由此可得结论．解答：解：由题意，由，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1则实数m的取值范围（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．点评：本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题．14．（5分）设集X是实数集R上的子集，如果x0∈R满足：对∀a＞0，都∃x∈X，使得0＜|x ﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：①{|n∈Z，n≥0}；②{x|x∈R，x≠0}；③{|n∈Z，n≠0}；④整数集Z其中以0为聚点的集合的序号有②③（写出所有正确集合的序号）考点：元素与集合关系的判断．专题：新定义．分析：由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．解答：解：①中，集合{|n∈Z，n≥0}中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合{|n∈Z，n≥0}的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合{|n∈Z，n≠0}中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合{|n∈Z，n≠0}的聚点④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故答案为：②③．点评：本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2（cosx﹣sinx）sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简f（x），（Ⅰ）由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间；（Ⅱ）由x的范围求出求出的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值．解答：解：由题意得，f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x===，（Ⅰ）f（x）的最小正周期为：T=，令得，，所以函数f（x）的单调增区间是；（Ⅱ）因为，所以，所以，即，所以0≤f（x）≤1，当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0，当且仅当时，即时最大值．点评：本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用．16．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，2a n+1=2a n+1，n∈N+．数列{b n}的前n项和为S n，S n=9﹣，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N+．求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项公式，利用错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由2a n+1=2a n+1得a n+1﹣a n=，又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，为公差的等差数列，于是a n=a1+（n﹣1）d=，当n=1时，b1=S1=9﹣=9﹣3=6，当n≥2时，S n﹣1=，则b n=S n﹣S n﹣1=9﹣﹣[]=，又n=1时，=6=b1，所以b n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=，b n=，所以c n=a n•b n=（n+1），所以T n=2×（）﹣1+3×（）0+4×（）1+...+（n+1）×（）n﹣2 (1)等式两边同乘以得T n=2×（）0+3×（）1+4×（）2+...+（n+1）×（）n﹣1 (2)（1）﹣（2）得T n=2×（）﹣1+（）0+（）1+…+×（）n﹣2﹣（n+1）×（）n﹣1=6+﹣（n+1）×（）n﹣1，所以T n=﹣（）n﹣2．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列的求和，利用错位相减法是解决本题的关键．17．（13分）已知函数f（x）=（1+x）2﹣2aln（1+x）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，x∈[0，1]，求函数y=f（x）图象上任意一点处切线斜率k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求导函数，令导数等于0，判定导数符号从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）求切线斜率的取值范围即先求h（x）=f′（x）=2（1+x）﹣（x≠﹣1），的取值范围，可利用导数研究h（x）的范围，即可求出k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣1，+∞）．f′（x）=2（x+1）﹣=，当a≤0时，f′（x）≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，于是f（x）在定义域内单调递增．当a＞0时，f′（x）=0得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣＜﹣1（舍），当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下x （﹣1，﹣1+）﹣1+（﹣1+，+∞）f′（x）﹣+f（x）递减极小值递增所以f（x）的单调递增区间是（﹣1+，+∞），单调递减区间是（﹣1，﹣1+）．综上，当a≤0时，f（x）单调递增区间是（﹣1，+∞），当a＞0时，f（x）的单调递增区间是（﹣1+，+∞），单调递减区间是（﹣1，﹣1+）．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（，令h（x）=f′（x）=2（1+x）﹣（x≠﹣1），则h′（x）=2+＞0，故h（x）为区间[0，1）上增函数，所以h（x）=f′（x）∈[0，3]，根据导数的几何意义可知k∈[0，3]．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及导数的几何意义，同时考查了计算能力，属于中档题．18．（13分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A 处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为v m/min，从而求出v的取值范围．解答：解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A 处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙不行的速度应控制在[]范围内．点评：此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．19．（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0解得a，再验证是否满足取得极值的条件即可．（2）由y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，可得f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．对a分类讨论即可得出．解答：解：（1）=．∵x=2为f（x）的极值点，∴f′（2）=0，即，解得a=0．又当a=0时，f′（x）=x（x﹣2），可知：x=2为f（x）的极值点成立．（2）∵y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，∴f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．①当a=0时，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，∴2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0在区间[3，+∞）上恒成立．令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为．∵a＞0，，从而g（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．由g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．∵a＞0，∴．综上所述，a的取值范围为．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．20．（14分）已知S n={A|A=（a1，a2，a3，…a n）}，a i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈S n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…a n），若V∈S n，求所有d（U，V）之和．考点：计数原理的应用．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；新定义．分析：（Ⅰ）根据d（U，V）可知m=C52；（Ⅱ）根据a i=0或1，i=1，2，••，n，分类讨论a i=0，b i=0时，|a i|+|b i|=0=|a i﹣b i|；当a i=0，b i=1时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|；当a i=1，b i=0时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|；当a i=1，b i=1时，|a i|+|b i|=2≥|a i﹣b i|=0，可证，|a i|+|b i|≥|a i﹣b i|，再相加即可证明结论；（Ⅲ）易知S n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…b n）b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个然后求和即可．解答：解：（Ⅰ）∵V∈S5，d（U，V）=2，∴C52=10，即m=10；（Ⅱ）证明：令U=（a1，a2，a3，…a n），V=（b1，b2，b3，…b n）∵a i=0或1，b i=0或1；当a i=0，b i=0时，|a i|+|b i|=0=|a i﹣b i|当a i=0，b i=1时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|当a i=1，b i=0时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|当a i=1，b i=1时，|a i|+|b i|=2≥|a i﹣b i|=0故，|a i|+|b i|≥|a i﹣b i|∴d（U，W）+d（V，W）=（a1+a2+a3+…+a n）+（b1+b2+b3+…+b n）=（|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|）+（|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|）≥|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+…+|a n﹣b n|=d（U，V）；（Ⅲ）解：易知S n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…b n）∵b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个．∴d（U，V）=2n﹣1（|a1﹣0|+|a1﹣1|+|a2﹣0|+a2﹣1|+|a3﹣0|+|a3﹣1|+…+|a n﹣0|+|a n﹣1|=n2n﹣1∴d（U，V）=n2n﹣1．点评：此题是个难题．本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S n的，其实S n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义d（U，V）．。
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北京四中2015届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科） 后有答案（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.）1．设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则M N ＝（ ） （A ）{1} （B ）{2} （C ）{0，1} （D ）{1，2} 2．设11533114,log ,73a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） （A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >>（D ）b c a >>3．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（ ）（A ）0x y += （B ）10x y ++=（C ）10x y +-=（D ）0x y +=5．已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ） （A ）92-（B ）152（C ）3（D ）06．若函数2()()af x x a R x=+∈，则下列结论正确的是（ ） （A ）a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是增函数 （B ）a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是减函数 （C ）a R ∀∈，()f x 是偶函数 （D ）a R ∀∈，()f x 是奇函数7.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是 （A ）(2,4) （B ）(2,)+∞ （C ）(,2)-∞ （D ）(4,)+∞8．已知11, 1,()ln , 01,x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，则k 的取值范围是（A ）(,1)(1,)-∞-+∞U （B ）(1,1)-（C ）[0,1]（D ）(,1][0,1]-∞-U二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）9．在等差数列{}n a 中，已知246a a +=，则该数列前5项和5S ＝ .10．若变量x ，y 满足约束条件10,280,0,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值为_______.11．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .15a =，10b =，60A = ，则cos B = .12．若圆C 的半径为1，其圆心与点（1,0）关于直线y x =对称，则圆C 的标准方程为_________。
13．已知向量,a b 满足1,(2,1)a b ==，且0()a b R λλ+=∈，则λ=_________.14．已知实数0a >且1a ≠，函数,3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且{}n a 是等差数列，则a =________,b =_______。
三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15．（本题满分13分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-,x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.16．（本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10a ≠，112,n n a a S S n N *-=∈. （Ⅰ）求1a ，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和.17．（本题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c cos cos CA =。
（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若6B π=，BC 边上的中线AM ABC 的面积.18．（本题满分13分）已知：a R ∈，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++，（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若1a >，求()f x 在闭区间0,2a ⎡⎤⎣⎦上的最小值。
19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，短轴的两个端点分别为1B 、2B 。
（Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相较于P 、Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程。
20．(本小题满分14分)对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =+ ，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数。
（Ⅰ）下面给出两组函数，()h x 是否分别为1()f x ，2()f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+；第二组：22212(),()1,()1f x x x f x x x h x x x =-=++=-+；（Ⅱ）设12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x 。
若不等式23()2()0h x h x t ++<在[]2,4x ∈上有解，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）设121(),()(110)f x x f x x x==≤≤，取1,0a b =>，生成函数()h x 使()h x b ≥恒成立，求b 的取值范围。
参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分三、解答题：本大题共6小题，共80分 15.解：()cos21f x x x +-12cos 2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. （Ⅰ）()f x 的最小正周期为2ππ.2T == 令222,262k x k k πππππ-++≤+≤+∈Z ，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以函数()f x 的单调增区间为[,],36k k k ππππ-+∈Z . （Ⅱ）因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以1sin(2x )126π≤+≤ ，于是 12sin(2)26x π≤+≤ ，所以0()1f x ≤≤.当且仅当0x =时 ()f x 取最小值min ()(0)0f x f == 当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==.16．解: （Ⅰ）∵11S a =，∴1n =时11111120,1a a S S a a -=⇒≠= 。
所以2n ≥时，{}1111111122222n n n n n n n n n n a a a a a S S a a a a a S S ------=-=-=-⇒=⇒是首项为11a =公比为2q =的等比数列，12,n n a n N -=∈*。
（Ⅱ）设123123123123n n n n T a a a n a qT qa qa qa n qa =++++⇒=++++2341123n n qT a a a n a +⇒=++++错位相减得：1231111(1)2121nn n n n n n q q T a a a a na a na n q++--=++++-=-=---(1)21,n n T n n N ⇒=-+∈*17.解：（Ⅰ）因为(2)cos cos b A C =，由正弦定理得(2sin )cos cos B C A A C ，即2sin cos cos cos )B A A C C A A C +。
因为B A C π=--，所以sin sin()B A C =+，所以2sin cos B A B =。
因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以cos A =0A π<<，所以6A π=。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知6A B π==，所以AC=BC ，23C π=。
设AC x =，则12MC x =，又AM =在△AMC 中，由余弦定理得2222cos AC MC AC MC C AM +-= ，即2222()2cos 223xx x x π+-=，解得2x =。
故212sin 23ABC S x π∆== 18．解: 定义域：R ，2'()66(1)66(1)()f x x a x a x x a =-++=--（Ⅰ）当1a =时，32()266f x x x x =-+，则(2)1624124f =-+=2'()6126,f x x x =-+则'(2)242466f =-+=∴()y f x =在(2,(2))f 处切线方程是：46(2)y x -=-，即680x y --= （Ⅱ）'()6(1)()f x x x a =--，令'()0f x =，得到1,x x a == ①当1a >时，1,[0,2]a a ∈，则有则最小值应该由(0)0f =与23()3f a a a =-中产生， 当13a <≤时，()(0)f a f ≥，此时min ()(0)0f x f ==； 当3a >时，(0)()f f a >，此时23min ()()3f x f a a a ==-， ②当1a <-时，1[0,2]a ∈，则有则min ()()(1)31f x f x f a ===-极小值，综上所述：当1a >时，()f x 在区间[0,2]a 上的最小值min233 1 -1()()0 133 3a a f x g a a a a a ⎧-<⎪==<≤⎨⎪->⎩19. （Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩，解得2241,33a b == 故椭圆C 的方程为2214133x y +=。
（Ⅱ）容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=。
当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为(1)y k x =-。
由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=。