盐城中学数学竞赛试题

一、选择题（每小题4分，共24分，将正确答案填在答题表内，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的）
1．已知,x y R ∈，则“1xy ≤”是“221x y +≤”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知Z 为整数集，集合{}3,A x x x Z π=-<∈，{}21150,B x x x x Z =-+<∈，
{}22111032,C x x x x x Z
=-+≥-∈，则A B ⋂⋂(C
Z
C )的真子集的个数为
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16 3．方程2x +2=|x +3|-|x -1|的解的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无穷多 4．正整数按如下的规律排列：
1－2 5 10 17 4－3 6 11 18 9－8－ 7 12 19 16－15－1413 20
25－24－23－22 21
则上起第2002行，左起第2003列的数是
A ．22002
B ．22003
C ．2002+2003
D ．2002×2003 5．对给定的正整数n ，n 6+3a 为正整数的立方，a 为正整数，则这样的a A ．有无数个 B ．只有有限个 C ．只有1个 D ．不存在 6．函数()2f x ax bx c =++的图象如图所示．记：2M a b c a b =-+++，
2N a b c a b =+++-．则 A ．M N > B ．M N =
C ．M N <
D ．,M N 的大小关系不确定
二、填空题（每小题4分，共24分，将正确答案填在题中横线上） 7．设x 1, x 2是方程22242320x mx m m -++-=的两个实根， 则x 12+x 22的最小值是 ．
8．如图，等腰△ABC 的顶角为100°，AB =AC =2，E 为BC 上一点，连AE 并延长至点D ，使∠BDC 为130°，则AD = ．
9．设二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c Z =++∈，有4个学生计算函数值，甲得到：f (7)= -1；乙得到：f (1)=3；丙得到：f (4)= -4；丁得到：f (2)=4。

其中有且仅有一位学生计算错误，则计算
C
错误的学生是 。

10．某游泳池装有编号为1，2，3，4，5的五个进出口水管，有的只进水，有的只出水，已知所开的水管号与游泳池灌满水所需的时间如下表所示：
则五个水管一齐开，灌满游泳池需 小时．
11．设!123(1)n n n =⨯⨯⨯⨯-⨯ ，n ∈N *．已知31!的最后10位数字为28ab000000，则a 、b 的值分别为 、 ．
12．满足方程5()4xy yz zx xyz ++=，且x y z ≤≤的所有正整数解
(,,)x y z 为 .
三、解答题（本大题计4小题，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（本小题满分12分 ）把关于x 的多项式1234++++x x x x 表示为两个次数不同的实系数多项式的平方差的形式．
14．（本小题满分14分 ）
对a >b >c >0，作二次方程x 2-(a +b +c )x +(ab +bc +ca )=0．
（1）若方程有实数根，求证：a 、b 、c 不能成为一个三角形三条边长； （2）若方程有实根x 0，求证：b +c <x 0<a ；
（3）当方程有两实根6和9时，求正整数a 、b 、c 的值． 15
．（本小题满分12分 ）
在过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间，弦CD 上取一点Q ，使DAQ PBC ∠=∠，求证：DBQ PAC ∠=∠． 16．（本小题满分14分 ）
P
求满足下列条件的所有三元实数组（u ，v ，w ）：(1)38(2)202(3)01,14u v w u v w u w ++=
=
<≤≥
7．89
8．2 9．乙 10．2 11．a =8，b =0 12．（2，5，10），（2，4，20） 三、解答题：
13．设432221[()][()]x x x x f x g x ++++=-，由题意，()f x 为二次多项式，()g x 的次数低于2次，故可设21
()2f x x x a =++，243221[()](2)4
f x x x a x ax a =+++++，
2243222
3
[()][()]1(2)(1)(1)4g x f x x x x x a x a x a =-----=-+-+-，上式为完全平方式，0∆=得，
23204(1)(421)0
a a a a ⎧
->⎪
⎨
⎪-+-=⎩得1a =
，故可得：43222211[1]]2x x x x x x
++++=++-． 14
．（1）△=(a +b +
c )2-4(ab
+bc +ca )
≥0，可化为(a -b -c )2≥4bc ，|a
-b -c |
≥
； 假设有a <b +c ，则(*)可化为b +
c -a ≥
2，即b +
c
-2≥a
，即22≥
，∴
①，又
a >
b >0<a ≥b +
c ，因此a ,
b ,c
不能构成三角形．
（2）0x =||2a b c a b c ++--->()2
a b c a b c b c ++---==+；
0x =||2a b c a b c +++--<()
2a b c a b c a +++--==；∴b +c <x 0<a ．
（3）由题意，15
54
a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=⎩，∵a >b >c ，a +b +c =15，∴1≤c ≤4，a >5,又∵a ,b ,c
为正整数，①若c =1，则14
40a b ab +=⎧⎨=⎩，解得
104
a b =⎧⎨
=⎩；
c =2，则13
28
a b ab +=⎧⎨
=⎩，无正整
数解；③若c =3，则12
18a b ab +=⎧⎨
=⎩，无正整数解；④若
c =4，则11
10a b ab +=⎧⎨
=⎩
，解得
10
1a b =⎧⎨=⎩
，又b >c ，此解不合题意，舍去．综上所述，a =10，b =4，c =1． 15．∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴ADC ABC ∠=∠，由已知DAQ PBC ∠=∠， ∴ADC DAQ ABC PBC PBA ∠+∠=∠+∠=∠，而PQA ∠是△ADQ 的一个外角，
PQA ADC DAQ ∠=∠+∠，∴PQA PBA ∠=∠．故P 、A 、Q 、B 四点共圆，从而ABQ APQ ∠=∠．
所以QBD CBD ABQ ABC ∠=∠-∠-∠(180)CAD APQ ADC =︒-∠-∠-∠
(180)APQ ADC CAD =︒-∠-∠-∠PAD CAD =∠-∠PAC =∠．命题得证．
16．设p (x )=(x -11)(x -13)(x -14)=x 3-38x 2+479x -2002，q (x )=(x -u )(x -v )(x -w )，则
q (x )=x 3-3x 2+kx -2002，其中k =uv +vw +uw ，设d (x )=p (x )-q (x )=(479-k )x ．∵q (u )=0，∴d (u )=p (u )=(u -11)(u -13)(u -14)，由条件（3）知，d (u )≤0，于是d (u )=(479-k )u ≤0，∴479-k ≤0①，同理可得：d (w )=p (w )=(w -11)(w -13)(w -14)≥0，由条件（3）可得：d (w )=(479-k )w ≥0，∴479-k ≥0②，由①、②可得479-k =0，因此k =479，
∴p (x )=q (x )，因此(u ,v ,w )=(11,13,14)．(也可从二次方程、二次函数的角度考虑．)。