函数中的极值与最值计算
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数是数学中常见的概念，它描述了一种输入与输出之间的关系。
在数学的研究中，我们经常需要探讨函数的极值与最值，这些信息对于理解函数性质以及解决实际问题非常重要。
一、极值的概念及求解方法极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
函数的极大值对应于其图像的局部最高点，而极小值对应于其图像的局部最低点。
要找到一个函数在定义域内的极值，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 找到函数的导数，导数可以帮助我们找到函数的增减性以及临界点。
2. 求解导数为零的点，这些点即为函数的可能的极值点。
3. 利用导数的符号确定这些临界点是极大值还是极小值。
4. 在临界点以及函数定义域的端点处进行比较，找到函数的极值。
举个例子来说明。
考虑函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1在定义域[-3, 4]上的极值问题：1. 首先求解导数f'(x) = 6x^2 - 18x + 12。
2. 将导数置为零并解方程，得到6x^2 - 18x + 12 = 0，化简后得到x = 1。
3. 利用导数的符号，可以得出当x < 1时，导数为负，即函数单调递减；当x > 1时，导数为正，即函数单调递增。
所以x = 1是函数的极小值点。
4. 比较临界点x = 1以及函数定义域的端点x = -3和x = 4处的函数值，找到函数的极小值为f(1) = 6。
二、最值的概念及求解方法最值是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。
与极值不同的是，最值不要求在一定的区间内取得，而是考虑了整个定义域。
要找到一个函数在定义域内的最值，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 首先找到函数的定义域，即函数取值的范围。
2. 在定义域内比较函数取值，找到最大值与最小值。
继续以函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1为例：1. 函数f(x)的定义域为整个实数集，因此我们需要在全局范围内找到最值。
2. 比较函数在定义域内的取值，可以通过求导并求解导函数为零的点，或者观察函数的图像来找到最大值与最小值。
函数的极值与最值点的求解
函数的极值与最值点的求解函数的极值与最值点是数学中的重要概念，对于函数的分析与应用具有重要的指导意义。
本文将介绍如何求解函数的极值与最值点。
一、极值与最值点的定义对于函数$f(x)$而言，如果存在$x=a$，使得在$a$点的某个去心邻域内，对于任意的$x$值，都满足$f(x)\leq f(a)$或$f(x)\geq f(a)$，则称$f(a)$为函数$f(x)$在$x=a$处的极值。
特别地，当$x=a$处存在极值点，且$f(x)$在其余区间内没有极值点时，称$a$为函数$f(x)$的最值点。
二、求解极值要求解函数的极值，一般可以通过以下步骤进行：1. 求解导数为零的点极值点处的导数为零。
因此，首先可以通过求解函数的导数，找出导数为零的点。
这些点有可能是极值点，但不一定是最值点。
2. 判断导数为零的点对于导数为零的点$x=a$，可以通过二阶导数的符号判断其性质。
如果二阶导数大于零，即$f''(a)>0$，则点$a$为函数的极小值点；如果二阶导数小于零，即$f''(a)<0$，则点$a$为函数的极大值点；如果二阶导数等于零，无法判断，需要进一步分析。
3. 分析边界情况除了导数为零的点外，函数的极值还可能出现在区间的边界上，即$x$的取值范围的两个端点。
需要将这些点与导数为零的点进行比较，找出函数的真正的极值点。
4. 综合判断将前面得到的导数为零的点和边界点综合起来，即可得到函数的所有极值点。
进一步比较这些点的函数值，即可找出函数的极小值和极大值。
三、求解最值点要求解函数的最值点，一般可以通过以下步骤进行：1. 求解函数在定义域内的全局极值根据前面提到的求解极值的方法，先求解函数在定义域内的极大值和极小值，并找出这些极值点。
2. 判断函数在定义域外的趋势对于定义域外的点$x=a$，可以通过观察函数在$a$点附近的趋势，判断$a$是否为最值点。
如果函数在$a$点附近逐渐趋向于正无穷或负无穷，即$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$或$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$，则$a$为函数的最大值或最小值点。
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
函数的极值与最值的求解
函数的极值与最值的求解在数学中，我们经常需要找出一个函数的极值和最值。
极值和最值是指在一个给定的区间内，函数所能达到的最大和最小值。
求解函数的极值和最值是优化问题中的一个重要部分。
本文将详细介绍几种常用的方法来求解函数的极值和最值。
（正文开始）一、函数的极值求解函数的极值指的是在某个区间内，函数的斜率等于零的点。
求解函数的极值可以通过以下步骤进行：1. 求函数的导数首先，我们需要求解函数的导数。
导数可以告诉我们函数在某个点上的斜率。
记函数为f(x)，则其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
2. 求导数的根接下来，我们需要找出导数的根。
导数的根即为函数的极值点，因为在这些点上，函数的斜率等于零。
3. 检验导数的根对于导数的根，我们需要检验它们是否确实对应函数的极值点。
可以通过计算二阶导数来确定。
如果二阶导数大于零，则说明导数的根对应函数的极小值；如果二阶导数小于零，则说明导数的根对应函数的极大值。
二、函数的最值求解函数的最值指的是在一个给定的区间内，函数所能达到的最大和最小值。
求解函数的最值可以通过以下步骤进行：1. 确定求解区间首先，我们需要确定在哪个区间内求解函数的最值。
这需要根据具体的问题来确定。
2. 将求解区间分成若干小区间将求解区间按照一定的步长进行划分，可以得到若干小区间。
步长的选择需要根据函数的变化情况来确定。
3. 在每个小区间内求解对于每个小区间，分别求解函数的极值。
可以使用之前介绍的函数的极值求解方法。
4. 比较每个小区间的最值将每个小区间的最值进行比较，找出最大值和最小值。
这些最值即为函数的最值。
总结：函数的极值和最值的求解是数学中的重要问题。
通过求解函数的导数和二阶导数，我们可以找到函数的极值点和确定其对应的极值类型。
而求解函数的最值则可以通过将求解区间分成若干小区间，并在每个小区间内求解函数的极值来实现。
这些方法可以帮助我们更好地理解和应用函数的极值和最值。
（正文结束）以上是关于函数的极值与最值的求解的文章，希望对您有所帮助。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。
极值是指函数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
正确地求解函数的极值与最值对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。
本文将介绍一些常见的函数极值与最值的求解方法。
一、导数法求函数极值导数法是求解函数极值的常用方法之一。
对于一元函数，我们可以通过求取其导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求取函数的导数。
根据函数的表达式，求取其一阶导数。
对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。
2. 解方程求取导数为零的点。
导数为零的点对应着函数的极值点。
将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。
3. 判断极值类型。
在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判断该点处的极值类型。
若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数小于零，则为极大值。
二、边界法求函数最值边界法是求解函数最值的一种有效方法。
当函数在闭区间上连续且有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。
具体步骤如下：1. 确定函数定义域的闭区间。
根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。
2. 计算函数在端点处的取值。
将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。
3. 比较函数取值找到最值。
对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数取值最小的端点。
三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求解函数的极值。
该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤如下：1. 设置拉格朗日函数。
将原函数与约束条件构建为一个拉格朗日函数，其中拉格朗日乘子为未知数。
2. 求取拉格朗日函数的偏导数。
对拉格朗日函数进行偏导数运算，得到一组方程。
3. 解方程求取极值点。
将得到的偏导数方程组求解，找到满足约束条件的极值点。
4. 判断极值类型。
§4[1].3.2函数的极值及其求法
![§4[1].3.2函数的极值及其求法](https://img.taocdn.com/s3/m/4df853777fd5360cba1adb65.png)
的极大(小)点。(证明从略)
[ 注： （1）若 f ( x ) 在a,b]
[a 上连续，则f ( x ) 在 ,b]
上必
有最大值和最小值。
（2） f ( x ) 在(a,b) 内某点取得“最值” x 是 f ( x ) ，则 的极值点，从而 x 一定是 f ( x ) 的驻点或导数不 存在的点。
2 x2 1 而 f (1) ， lim f ( x ) lim x 2e x lim 2 0, x x x e x e
1 ∴最大值是 f (1) 。 e
例 4．设某银行中的总存款量与银行付给存户年利率的平 方成正比。若银行以 20%的年利率把总存款的 90%贷出， 问银行给存户的年利率定为多少，它才能获得最大利润？
解：设银行付给存户的年利率为 x ，
T 总存款量为Q( x ) ，总利润为 ( x ) ，则
Q( x ) kx 2 （ k 为 常数） ，
T ( x )900 0200 0Q( x ) xQ( x ) ，即
T ( x ) 0.18kx 2 kx 3 ( 0 x 1) ，
T ( x ) 0.36 kx 3kx 2 3kx (0.12 x ) ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极大值；
（2）若当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极小值； （3）若 f ( x ) 在点 x 的左、右邻域内保持同号，
x 0 是 f ( x ) x 3 的驻点，但 x 0 不是极值点。 例如：
（3） 称为可能极值点 。 导数不存在的点 驻点
函数的极值与最值的求解(导数法)
函数的极值与最值的求解（导数法）函数的极值与最值是数学中重要的概念，它们在数学建模、优化问题等方面具有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍如何使用导数法求解函数的极值与最值问题。
一、函数的极值与最值在介绍如何求解函数的极值与最值之前，我们首先需要明确这两个概念的定义。
对于函数f(x)，如果存在一个区间I，对于区间内的任意x，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），那么f(x0)就是函数在区间I内的极小值（或极大值）。
而函数f(x)在整个定义域内的最小值和最大值则被称为函数的最小值和最大值。
二、导数法求解极值与最值导数法是求解函数极值与最值常用的方法之一。
通过求解函数的导数和判断导数的正负，可以找到函数的极值点及其对应的极值。
1. 求解函数的极值点首先，我们需要求解函数f(x)的导数，并令导数等于零，即f'(x)=0。
解这个方程可以得到函数的临界点（即导函数为零的点），也就是可能的极值点。
2. 判断极值类型在求得了函数的临界点之后，我们需要判断每个临界点对应的极值类型，即是极小值还是极大值。
我们可以通过求解导数的二阶导数来判断，即求解f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。
若f''(x) > 0，则说明该临界点对应的极小值；若f''(x) < 0，则说明该临界点对应的极大值；若f''(x) = 0，则需要进行其他方法进一步判断。
3. 比较端点值除了求解临界点之外，我们还需要比较函数在区间的端点值，并找出其中的最大值和最小值。
三、实例分析为了更好地理解导数法求解极值与最值的过程，我们举一个实例来进行说明。
假设我们要求解函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1, 3]的极值和最值。
1. 求解导数和临界点首先，求解函数f(x)的导数，得到f'(x)=3x^2-6x+2。
高等数学第三章 第5节 函数的极值与最值
极小值 f ( 3) 22.
9
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
10
例2. 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
2 3
2 3
2 x 5 5 2 f ( x ) x ( x 1 ) x 解: 1) 求导数 3 3 3 x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 x2 0 导数不存在的点
所以 ( x0 , f ( x0 ))是y f ( x)的一个拐点。
18
因为当 x x0时， 有f ( x) f ( x0 ) 0,
当x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
所以f ( x0 )是f ( x )的极小值，
即
f ( x) f ( x0 ) 0 所以f ( x)单增，
y y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
7
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2) 求函数的驻点及导数不 存在的点 ; (3) 由定理判断极值点 ; (4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
x0不是f ( x)的极小值点。
19
二、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存 在.
y
y
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函数中的极值与最值计算
函数中的极值与最值计算是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们找到函数在一定范围内的最大值和最小值。
本文将介绍函数中的极值与最值计算的方法和应用。
一、定义与判断
在数学中，对于一个函数f(x)，如果存在某个数a，使得f(a)比其周围的点都大或都小，则称函数f(x)在点a处有极值。
极大值与极小值统称为极值。
要判断一个函数中是否存在极值，可以通过以下步骤进行：
1.找到函数的所有驻点，即f'(x)=0的解，其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
2.对驻点进行二阶导数测试，即计算f''(x)。
如果f''(x)>0，则表示该驻点为极小值；如果f''(x)<0，则表示该驻点为极大值；如果f''(x)=0，则需要进行更进一步的判断。
3.对于f''(x)=0的情况，可以采用其他方法进行判断，如利用一阶导数的符号变化和函数图像的特性。
二、计算方法
在计算函数中的极值时，常用的方法包括导数法和区间法。
1.导数法
导数法是通过求函数的导数，并解方程f'(x)=0来求解极值。
步骤如下：
（1）求出函数f(x)的导数f'(x)。
（2）解方程f'(x)=0，求出所有的驻点。
（3）对于所有的驻点，进行二阶导数测试，判断是否为极值点。
（4）对于极值点，还可以进行更进一步的判断，如利用一阶导数
的符号变化和函数图像的特性。
2.区间法
区间法是通过将函数在给定区间内的每个点的函数值进行比较，求
出最大值和最小值的方法。
步骤如下：
（1）给定一个区间[a, b]。
（2）在区间内选择一些点，如区间的端点、中点以及其他关键点。
（3）计算每个点的函数值，并找出其中的最大值和最小值。
（4）最大值即为函数的最大值，最小值即为函数的最小值。
三、应用与注意事项
函数中的极值与最值计算在实际应用中有着广泛的用途，如在经济学、物理学、工程学等领域。
在应用过程中，需要注意以下几点：
1.函数必须是在给定区间连续的。
2.函数必须是在给定区间可导的。
3.由于计算复杂度的原因，对于复杂的函数，可以利用计算机软件
进行求解。
4.在选择区间的时候，需要根据函数的特点来进行选择，以避免出
现无解或解不准确的情况。
5.对于高维空间中的函数，需要使用多元函数极值的求解方法进行
计算。
总之，函数中的极值与最值计算是一个重要的数学概念，它可以帮
助我们找到函数的最大值和最小值。
通过合适的计算方法和应用，可
以应用于各个领域，解决实际问题。
在实际应用中，需要注意函数的
连续性和可导性，并选择合适的求解方法和区间，以获得准确的结果。