2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习05 函数的概念及正比例函数(考点讲解)(学生版)
2019-2020学年上海八年级数学上册期末专题复习专题05 正比例函数与反比例函数(考点讲解)(教师版)
专题05 正比例函数与反比例函数【考点剖析】 1.函数定义：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，在变量x 的允许取值范围内，变量y 随x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫x 的函数. 函数记号：()y f x =，()f a 表示x ＝a 时的函数值. 设()f x 为整式，则函数()y f x =的定义域：一切实数；函数1()y f x =的定义域：满足()0f x ≠的实数；函数y ()0f x ≥的实数.2.正比例函数与反比例函数3.函数的表示法：解析法；列表法；图像法等. 【典例分析】 【考点1】函数的概念例1 （松江2018期末2）函数y =的定义域是【答案】32x ≤; 【解析】由320x -≥可得32x ≤. 例2 （浦东四署2018期末21）已知y 与2x －3成正比例，且当x ＝4时，y ＝10，求y 与x 的函数解析式. 【答案】46y x =-【解析】设函数解析式为(23)(0)y k x k =-≠，把x ＝4，y ＝10代入得10(83)k =-，解得k ＝2，所以函数解析式为46y x =-.例3 （长宁2018期末3）已知函数()f x =，则(3)f ＝ .1【解析】1)(3)12f ===.【考点2】正、反比例函数的性质例4 （松江2018期末9）已知反比例函数12ky x-=，当0x >时，y 的值随着 x 的增大而减小，则实数k 的取值范围 . 【答案】12k <. 【解析】因为y 的值随着 x 的增大而减小，所以1120,2k k ->∴<例5 （松江2018期末25）已知：如图，点A （1，m ）是正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x=的图像在第一象限 的交点，AB x ⊥轴，垂足为点B ，ABO ∆和面积为2. （1）求m 的值以及这两个函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且AOP ∆是以OA 为腰的等腰三角形，求点P 的坐标.【答案】（1）4y x=，4y x =；（2）P （2，0）、(P 或 【解析】（1）因为242,4,;ABO S k y x∆=∴=∴=又点A （1，m ）在反比例函数图像上，所以m=4,又点A在正比例函数图像上，所以1k ＝4，所以4y x =. （2）若AOP ∆为等腰三角形，则①AO ＝OP ，得OP ＝2）B ＝2，所以P （2，0）； ②OA ＝OP ，OA(P 或，综上所述，点P 的坐标为 P （2，0）、(P 或【真题训练】 一、选择题1.（崇明2018期中5）函数3y x =与函数2y x=-在同一坐标系中的大致图像是（ ）(D )(C )(B )(A )【答案】B【解析】函数3y x =的图像在第一、三象限，函数2y x=-的图像在第二、四象限，故选B. 2.（普陀2018期末3）已知正比例函数2y x =-的图像上有两点1122(,)(,)A x y B x y 、，如果12x x <，那么12y y 与的大小关系是（ ）A.12y y >；B. 12y y <；C. 12=y y ；D. 不能确定【答案】A【解析】因为正比例函数2y x =-中y 随x 的增大而减小，如果12x x <，那么12y y >. 3.（崇明2018期中6）如果点123(2,),(1,),(1,)A y B y C y --在反比例例函数1y x=的图像上，那么下列结论正确的是（ ）A.123y y y >>；B. 321y y y >>；C. 312y y y >>；D. 132y y y >> 【答案】C【解析】画反比例函数1y x=的图像，由图像可知(1)(2)(1)f f f >->-，即312y y y >> 4.（嘉定2017期中2）函数 13y x =图像一定不经过点（ ）A. (3,1)B. (3,1)--C. 1(1,)3-- D. (1,3)【答案】D【解析】把点的坐标代入函数解析式，如果左右两边相等的，点在函数图像上，否则不在图像上。
2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习08正反比例函数综合(考点讲解)(学生版)
专题08 正、反比例函数综合【考点剖析】1.正比例、反比例1）.正比例：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例.用数学式子表示两个变量x,y 成正比,就是y k x=或者y kx =,其中0k ≠。
2) 反比例：如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例.用数学式子表示两个变量x,y 成反比,就是xy k =或者k y x =,其中0k ≠。
2）.正比例函数、反比例函数：正比例函数反比例函数 定义形如(0)y kx k =≠的常数的函数，其中k 是比例系数形如k y x=（k 为常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数。
称y 是x 的反比例函数。
定义域 一切实数x 的取值范围是0x ≠ y 的取值范围是0y ≠ 图像经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线；两条双曲线 性质当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；y 的值随x 的值增大而增大；当0k <时，正比例函数的图像经过第二、四象限；y 的值随x 的值增大而减小。
当k>0时，图像（除圆点外）在一、三象限；当x 增大时，y 的值逐渐减小；y 随x 的增大而减小。
当k<0时，图像（除圆点外）在二、四象限；当x 增大时，y 的值反而增大；y 随x 的增大而增大。
k>0k<0【典例分析】【考点1】函数的概念1．正比例函数y ＝2x 与反比例函数y ＝－1x 的图象的交点的情况为( ) A ．只有一个交点B ．有两个交点C ．没有交点D ．不能确定2．如果k ＜0，那么函数y ＝（1﹣k ）x 与k y x=在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．3．若y 与z 成反比例关系，z 与x 成正比例关系，则y 与x 成______关系.4．已知y ＝y 1+y 2，其中y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，并且当x ＝12时，y ＝5，当x ＝1时，y ＝﹣1，求y 与x 之间的函数关系式．【考点2】正、反比例函数综合1、已知正比例函数1(1)y k x =+与反比例函数21m y x-=交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是1，点B 的纵坐标是2，求这两个函数的解析式．2．如图，设函数()0y kx k =>与1y x=的图像相交于点A 、C ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，则ABC 的面积是______.3．如图，点A 、C 在反比例函数()30y x x=<的图像上，点B 、D 在x 轴上，OAB 、BCD △均为正三角形，则点C 坐标是______.4．如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点()2,1M --，且()1,2P --为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B.（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式.（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得OBQ △与OAP △的面积相等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.5．如图，已知长方形OABC 的顶点(),2B m 在正比例函数12y x =的图像上，点A 在x 轴上，点C 在y 后上，反比例函数的图像过BC 边上点M ，与AB 边交于点N ，且3BM CM =. 求此反比例函数的解析式及点N 的坐标.6．如图，A (3，m )是反比例函数y ＝k x在第一象限图象上一点，连接OA ，过A 作AB ∥x 轴，连接OB ，交反比例函数y ＝k x的图象于点P (26，6)． (1)求m 的值和点B 的坐标；(2)连接AP ，求△OAP 的面积．【课后练习】1．函数y ＝k 1x 和2k y x=（k 1＜0且k 1k 2＜0）的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知y ＝y 1+y 2，且y 1与1x -成正比例，y 2与x +2成反比例．又当x ＝1、x ＝2时，y 的值都为1．求y 与x 的函数解析式．3、已知反比例函数11k y x=和正比例函数22y k x =的图像交于点（2，3）， （1）求这两个函数解析式；（2）判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上；（3）求两个函数图像的另一个交点．4、在同一平面直角坐标系中，已知正比例函数12y x =-和正反比例函数26y x=-的图像相交于P 、Q 两点，点A 在x 轴的负半轴上，且与原点的距离是4，(1)求P 、Q 两点的坐标；(2)求△APQ 的面积．5．如图，正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数k y x=的图象上，已知正方形OAPB 的面积为9． （1）求k 的值和直线OP 的解析式；（2）求正方形ADFE 的边长．6．已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5． 求：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝2时，y 的值．7．如图，点A 在曲线y ＝3x (x ＞0)上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，OA 的垂直平分线交OB 、OA 于点C 、D ，当AB ＝1时，△ABC 的周长为_____．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y=kx 和双曲线m y x=交于点A(－3，2)． （1）填空：k= ，m= ；（2）已知点B(0，6)，若点P 在直线l 上，且S △ABP =2S △ABO ，请求出此时点P 的坐标；（3）在双曲线上找出点M ，使得∠AOM=45°，求出此时点M 的坐标．9．已知，在平面直角坐标系中，点()2,0A ，()1,2C -是平行四边形OABC 的两个顶点，反比例函数()0m y m x=≠的图象经过点B ． （1）求出反比例函数的表达式；（2）将OABC 沿着x 轴翻折，点C 落在点D 处，判断点D 是否在反比例函数m y x =的图象上，并说明理由； （3）在x 轴上是否存在一点P ，使OCP △为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．阅读理解：有这样一个问题：探究函数13x y x -=-的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数13x y x -=-的图象与性质进行了探究、下面是小明探究的过程，请补充完整： (1)函数13x y x -=-的自变量x 的取值范围是：___________ (2)下表是y 与x 的几组对应值：则m 的值为：___________x …2- 1- 0 1 2 4 5 6 7 8 … y … 35 12 m 0 1-3 2 53 32 75… (3)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；(4)观察图象，写出该函数的一条性质：___________(5)若函数13xyx-=-的图象上有三个点112233(,),(,),(,),A x yB x yC x y且1233x x x<<<，则123、、y y y间的大小关系为：___________ ．（用“<”连接）。
沪教版初中数学八年级第一学期 正比例函数 课件课件PPT
y2x 4
y2x
3
2 (1，2) 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2
(1，-2)
-3
-4
-5
正比例函数的图象
（1）一般地，正比例函数y = k x (k≠0)的图象是 一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.
（2）正比例函数图象的简便画法：两点法，
即过原点（0，0）和点（1，k）画直线.
3
小结
1.正比例函数y=kx的图象是经过（0，0）（1，k） 的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图象叫做 直线y=kx；
2.正比例函数y=kx的图象的画法；
描点法（列表、描点、连线） 两点法（0，0）（1，k）
11、世间的事情都是如此：当你刻意地追求时，它就像蝴蝶一样振翅飞远；当你专心致志之时，意外的收获已悄悄来到你的身边！ 4. 让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧! 17、真正的成功者能令一个家庭、一所母校、一家公司、一个城市、一个国家乃至整个人类以他为荣。但，他靠的往往不是后者给他的荣耀 和给他提供的优越条件，而是靠个人奋斗！
16. 坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久、够大声，终会把人唤醒的。 23. 花儿是春天的诺言，潮汛是大海的诺言，远方是道路的诺言。世界因为信守诺言，肃穆而深情。 5. 用爱生活，你会使自己幸福!防辐射眼镜有用吗用爱工作，你会使很多人幸福! 15、我们唯一不会改正的缺点是软弱。 27、可以失败，不可以失志。可以失望，不可以绝望。只要眷恋奇迹，才会得到奇迹的眷恋。 15、我们唯一不会改正的缺点是软弱。 19、任何的限度，都是从自己的心坎开端的。每一奋发尽力的背地，必有加倍的弥补。 17. 人之所以能，是相信能。 43、冲刺拼搏，在前进中寻找乐趣。 17. 不要让小小的争端损毁了一段伟大的友谊。
沪教版八年级上册-函数的概念、正比例函数讲义
【知识精要】1. 函数(1) 变量和常量变量：可以取不同数值的量；常量：保持数值不变的量。
区别：表示量的数值变还是不变。
(2)函数的定义：在某个变化过程中变化有两个变量，设为X和Y，如果在X的允许取值范围内，变量Y 随着X的变化而变化，他们之间存在着确定的依赖关系(对应法则)，那么变量Y叫做变量X 的函数，X叫做自变量。
注意：(1) 函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系；(2) 自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域；(3) 函数三要素：自变量、因变量、对应法则。
(3) 函数解析式：两个变量之间依赖关系的数学式子；(4)函数的定义域和函数值定义域：如果y是x的函数，自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域。
函数值：如果y是x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。
符号“y=f(x)”表示y是x的函数，f表示y随x变化而变化的规律(对应法则)。
值域：函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域。
2. 正比例函数(1) 概念：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么就说这两个变量成正比例；用数学符号语言记为ykx=或y=kx(0k≠).解析式形如y=kx(0k≠)的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数。
正比例函数解析式右边是常数与自变量的乘积的形式，且这个常数不为0；自变量的指数为1。
(可用来判断一个函数是不是正比例函数)(2) 定义域：一切实数。
(3) 图像一般地，正比例函数y=kx(k是常数，且k0≠)的图像是经过原点O(0，0)和点M(1，k)的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.(4) 正比例函数的性质①当k>0时，函数图像经过第一.三象限；当k<0时，函数图像经过第二.四象限。
②当k>0时，自变量x逐渐增大时，函数值y也在逐渐增大；当k<0时，自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期本章小结正比例和反比例函数复习课件
C为垂足。
求：
y
（1） a 的值；
A
（2）反比例函数的解析式；
（3）梯形ABCD的面积；
（4）△AOB的面积。
B
OD
C
x
（4）实际问题中的函数的定义域，除了使函数解析式有 意义外，还必须使实际问题有意义.
例题1
已知正比例函数 y
kx
与双曲线
y
4
相交于
x
点P (4, m) 及点Q.
求：（1）正比例函数的解析式 （2）点Q的坐标
例题2
过反比例函数 y k (k 0) 的图像上的一 x
点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围 成的矩形面积是2，求这个函数解析式.
经过第一 、第三 象限
y随x的增大 而增大
经过第二、 y随x的增大
第四
而减小
象限
经过第一 、第三 象限
在每个象限内， y随x的增大 而减小
经过第二、在每个象限内，
第四
y随x的增大而
象限
增大
3.(1)已知 y与 x 成反比例，并且当 x 2 时，
y 1，那么函数解析式是
y2 x
(2)正比例函数 y k3x的图像过点（6，2），
那么函数解析式是
y1x 3
(3)如图所示，反比例函数的解析式
为
y
4 x
，a
的值为
4 3
．
y 6 5 4 3
(-2,2) 2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 x
-2
(3, a)
-3
-4ห้องสมุดไป่ตู้
-5
-6
4.求下列函数的定义域
沪教版八年级 正比例函数图像与性质,带答案
主 题正比例函数图像与性质教学内容1.理解函数的概念，会求函数的解析式和函数值和函数定义域；2.理解正比例函数的概念，会用待定系数法、数形结合法求正比例函数解析式；3.熟练掌握正比例函数的图像和性质，会解相关题目.（以提问的形式回顾）1. 请填写下表：正比例函数的定义、图像和性质：定义 形如(0)y kx k =≠的函数叫正比例函数图像经过定点 （0，0） 和 （1，k ） 的一条 直 线 性质k >0图形经过第 一、三 象限 y 随x 的增大而 增大 k <0图形经过第 二、四 象限 y 随x 的增大而 减小2.填空：（1）函数21y x =-自变量的取值范围是 . （2）函数3121x y x -=-自变量的取值范围是 . （3）函数21y x =-自变量的取值范围是 .（4）函数3121x y x -=-自变量的取值范围是 .答案：（1）全体实数；（2）12x ≠；（3）12x ≥；（4）13x ≥且12x ≠（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1：已知函数2()21f x x x =--.求：（1）(0)f ；（2）(1)f -；（3）(2)f ；（4）()f a -.答案：（1）-1；（2）2；（3）221-+；（4）221a a +-例2：下列函数中，是正比例函数的是（ ） A A ．12y x = B ．4y x= C ．53y x =- D ．2621y x x =--试一试： （1）若325m y x-=是正比例函数，则m = .（2）若函数(4)y m x =-是关于x 的正比例函数，则m 的取值范围是 . （3）若函数23(2)ay a x -=+是正比例函数，则a 的值是 .（4）若函数2(2)4y a x a =++-是正比例函数，则a 的值是 . 答案： 1； 4m ≠； 2； 2例3：已知正比例函数的比例系数是-5，则解析式为 .答案：5y x =-试一试：已知y 是x 的正比例函数，且当2x =时，12y =，求这个正比例函数的解析式. 答案：6y x =例4：一个函数的图像是经过原点的直线，并且这条直线经过点(1,3)，则这个函数的解析式为 . 答案：y =3x试一试：（1）已知正比例函数图像上有一个点A 到x 轴的距离为4，这个点A 的横坐标是-2，则这个正比例函数的解析式为 .（2）已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 . （3）已知点A （4，-2）、B （a ，32）都在同一个正比例函数的图像上，则a 的值为 .答案： y =2x 或y =—2x ； y =12x 或y =12-x ； -3例5：（1）正比例函数(1)y m x =-，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 . （2）若正比例函数2-3(-1)m y m x =的图像经过第二、四象限，则m 的值是 .答案：1m >；-2试一试：1. 已知函数22(4)(1)y k x k x =-++是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则k = . 答案：-22. 已知正比例函数(21)y m x =-的图像上有两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，当12x x <时，有12y y >，那么m 的取值范围是（ ）A . 2m <B . 2m >C . 12m <D . 12m > 答案：C3. 如图,三个正比例函数的图像分别对应的解析式是 ①y a x =；② y b x =；③ y c x =，则a 、b 、c 的大小关系是( )A . a >b >cB . c >b >aC . b >a >cD . b >c >a答案：C例6. 若点A 纵坐标为4，且A 在直线y kx =上，过点A 坐AD 垂直y 轴于点D .若△ADO 的面积为4，求点A 坐标和直线y kx =的解析式. 答案：解：设点A 纵坐标为x ，则1442x ⨯⨯=，解得 2x =± 所以点A 的坐标是（2，4）或（-2，4）. 将点A 的坐标代入y kx =，得 2k =±， 所以直线的解析式为2y x =或2y x =-.（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1.下列函数中，是正比例函数的有（ ）①31y x =+；②4y x =；③15s t -=+；④22m x +=-. A .①② B . ②③ C .②④ D .③④ 2.如果1(3)n y m x -=+是正比例函数，那么m ，n = .3. 若1(2)n y n x-=-是正比例函数，则n = .4. 一根蜡烛长20厘米，点燃后平均每小时燃烧5厘米，燃烧后剩下的蜡烛高度y 厘米与燃烧时间x 小时之间的函数关系用图像可表示为( )xy xy xy xy 2042020420(B)(C)(D)(A)44OOOO5. 已知正比例函数的图像经过点P （2，3）． （1）求此函数解析式；（2）若在x 轴上有点Q ，且△POQ 的面积等于6，求点Q 的坐标.6. 已知12y y y =+，其中1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当12x =时5y =，当1x =时1y =-，求y 与x 之间的函数关系式。
2022-2023学年沪教版上海八年级数学上学期同步考点精讲精练18-1 函数的概念带讲解
18.1 函数的概念1、函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y,如果在变量x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，那么变量y 叫做变量x 的函数 ，x 叫做自变量 。
要点：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. 2、函数的定义域与函数值①定义域：函数的自变量的允许取值的范围（简称自变量的取值范围）。
常见函数的定义域：（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数；（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数；（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数 （4）在实际生活中有意义。
②函数记号与函数值：函数记号：y 是x 的函数用记号y=f （x ）表示；函数值：在函数记号y=f （x ）表示时，f （a ）表示当x=a 时的函数值。
题型1：变量与常量1．刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（ ）．A ．金额B ．单价C ．数量D ．金额和数量D【分析】根据常量与变量的定义即可判断． 解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：D ．【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．2．下列关于圆的周长C 与半径r 之间的关系式2C r π=中，说法正确的是（ ）A ．C 、r 是变量，π是常量B ．r 、π是变量，2是常量C ．C 、r 是变量，2是常量D ．C 、r 是变量，2π是常量D【分析】根据变量和常量的定义判断即可．解：关于圆的周长C 与半径r 之间的关系式2C r π=中，C 、r 是变量，2π是常量． 故选：D ．【点睛】本题考查了变量和常量的定义，解题关键是明确变量和常量的定义，注意：π是常量．3．假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是( )①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个C解：变量有：②行驶时间、③行驶路程、④汽车油箱中的剩余油量．共3个． 故选C ．【点睛】本题考查变量的概念，变量是指变化的量．题型2：函数的定义（从1.变量之间的关系；2.函数解析式；3.函数图像判断）4．下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A ．长方形的宽一定，其长与面积 B ．正方形的周长与面积C ．等腰三角形的底边与面积D ．速度一定时，行驶的路程与时间C【分析】在一个变化过程中，存在两个变量,,x y 对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一的值与之对应，我们就说：y 是x 的函数，根据函数的定义逐一判断即可得到答案. 解：长方形的宽一定，其长与面积，符合函数定义，故A 不符合题意； 正方形的周长与面积，符合函数定义，故B 不符合题意；等腰三角形的底边与面积，在这个变化过程中，还有底边上的高是变量，所以不符合函数定义，故C 符合题意；速度一定时，行驶的路程与时间，符合函数定义，故D 不符合题意； 故选：.C【点睛】本题考查的是函数的定义，掌握“函数的定义判断变量之间是不是函数关系”是解题的关键. 5．给出下列式子：①35y x =-；②1y x=；③y =x+z ；④2y x =；⑤2y x ．其中y 是x 的函数的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B【分析】根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应． ①35y x =-，y 是x 的函数； ②1y x=，y 是x 的函数；③中有x ，y ，z 三个变量，因此不能说y 是x 的函数；④中当x 取任一正数值时，有两个y 值与之对应，故y 不是x 的函数． ⑤2yx ，y 是x 的函数.故选B ．【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 6．下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有（ ）A ．1个B ．2个 C ．3个 D ．4个B【分析】根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量，据此判断即可． 解：属于函数的有故y 是x 的函数的个数有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了函数的定义，熟记定义是本题的关键．题型3：函数的解析式7．半径2的扇形，设圆心角为n ，则面积S 关于圆心角n 的函数解析式是 ___________________．8．某种货物的进价是每件5元，售出时的标价是每件5.8元，那么获得的利润y （元）与售出的数量x （件）之间的函数关系式是__________．0.8y x =【分析】根据获得的利润等于与每件的获得的利润乘以售出的数量，即可求解．解：获得的利润y （元）与售出的数量x （件）之间的函数关系式是()5.850.8y x x =-= ． 故答案为：0.8y x =．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．9．在登山过程中，海拔每升高 1 千米气温下降 6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是 9℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高 x 千米时，所在位置的气温是 y ，那么y 关于x 的函数解析式是_______．69y x =-+【分析】根据登山队大本营所在地的气温是 9℃，海拔每升高 1 千米气温下降 6℃，可求出y 与x 的关系式．解：由题意得y 与x 之间的函数关系式为：69y x =-+； 故答案为：69y x =-+．【点睛】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的低温=底面气温－降低的气温．题型4：函数的定义域10．函数()f x _________.【点睛】本题考查了函数的定义域问题、二次根式的被开方数大于或等于0的性质，掌握二次根式的被开方数大于或等于0是解答本题的关键． 11．函数y =的定义域是________． 5x >【分析】根据分母是二次根式，则要求被开方数为正数，即可求得函数的定义域．解：由题意知：50x -> ∴5x > 故答案为：5x >【点睛】本题考查了求函数的自变量的取值范围即函数的定义域，一般考虑两个方面：一是分母不为零；二是二次根式非负．12．下列函数的定义域为2x ≤的是（ ）A ．32y x =+ B ．5x y x =-C ．y =D ．y =13．函数y _____________1x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件，可列出关于x 的不等式组，解出x 即可．解不等式②可用整体010+≥①②，10610x ++≥变形为9610x +++≥中，14．已知函数26y x =-，当3x =时，y =_______；当19y =时，x =_______． 3 5±【分析】分别将3x =和19y =代入解析式，即可求解．解：当3x =时，2363=-=y ； 当19y =时，2196x =- ，解得：5x =± ． 故答案为：3；5± ．【点睛】本题主要考查了求函数的自变量和函数值，解题的关键是理解并掌握当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． 15．已知函数1my x =+，当2x =时，函数值为3，则m 的值是_________． 已知函数故答案为：9．【点睛】本题考查了函数的表达式，代入求值是解题的关键． 16．x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．17．已知函数()f x =()3f =_______． 函数【点睛】本题考查了函数值的求法，熟练掌握知识点是解题的关键．18．已知()221f x x =-，则(f =______．19．已知3()21f x x =-，且f （a ）＝15，那么a 的值是________． 2【分析】将函数值代入解析式求出a 即可． 解：由题意得：3()2115f a a =-=，故答案为：2．【点睛】本题考查了已知函数值求自变量，是基础题，直接代入计算即可．题型7：函数的有关概念综合题20．下表是某报纸公布的世界人口数据情况：表中的变量（ ）A ．仅有一个，是时间（年份）B ．仅有一个，是人口数C ．有两个，一个是人口数，另一个是时间（年份）D ．一个也没有C【分析】根据变量的定义直接判断即可． 解；观察表格，时间在变，人口在变，故C 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了变量的定义，解题关键是明确变量的定义，能够正确判断．21．弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度()y cm 最长为20cm ，与所挂物体重量()x kg 间有下面的关系．下列说法不正确的是（ ）A ．x 与y 都是变量，x 是自变量，y 是因变量B ．所挂物体为6kg ，弹簧长度为11cmC ．物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cmD ．挂30kg 物体时一定比原长增加15cm D【分析】弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，由表格数据可知物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cm ，可以计算当所挂物体为6kg 或30kg 时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为20cm ．解：A ．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以x 是自变量，y 是因变量．故本选项正确； B ．当所挂物体为6kg 时，弹簧的长度为80.5611cm +⨯=．故本选项正确；C ．从表格数据中分析可知，物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cm ．故本选项正确；D ．当所挂物体为30kg 时，弹簧长度为80.5302320cm cm +⨯=>．故本选项不正确．故选：D【点睛】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效信息是解题的关键．题型8：从图像判断信息22．如图表示的是某种摩托车的油箱中剩余量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）之间的关系．由图象可知，摩托车最多装__升油，可供摩托车行驶___千米，每行驶100千米耗油___升．10 500 2【分析】根据图象可知，当x=0时，对应y的数值就是摩托车最多装多少升油，当y=0时，x的值就是摩托车行驶的千米数；根据摩托车油箱可储油10升，可以行驶500km即可得出每行驶100千米消耗汽油升数．解：由图象可知，摩托车最多装10升油，可供摩托车行驶500千米，每行驶100千米耗油2升．故答案为：10，500，2．【点睛】此题主要考查了利用函数图象解决问题，从图象上获取正确的信息是解题关键．23．如图，甲，乙两人在一次赛跑中的路程（m）与时间（s）的关系图象，则：①甲，乙两人中先到达终点的是______；②乙在这次赛跑中的速度为______m/s．甲8【分析】①根据函数点的横纵坐标的含义可得答案；②由乙在这次赛跑中100米用时12.5秒可得答案．解：①根据图象可得甲跑完全程用12s，乙用12.5s，所以先到终点的是甲，故答案为：甲；②100÷12.5=8（m/s），故答案为：8．【点睛】本题考查了函数图象，正确理解坐标系的横纵坐标的意义是解决本题的关键．24．王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间t（分）和离家距离S（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是______米/分．100【分析】根据题意，分别求出每一段路程的速度，然后进行判断，即可得到答案．解：根据题意，0~15分的速度：160800153÷=；25分~35分的速度：(800500)1030-÷=；45分~50分的速度：5005100÷=；∵160301003<<，∴王阿姨在整个过程中走得最快的速度是100米/分；故答案为：100．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决相应的问题．25．在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器内水面高度h与时间t的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是（）A．B．C．D．C【分析】根据图象得到高度随时间的增大，高度增加的速度，即可判断．根据图象可以得到：杯中水的高度h随注水时间t的增大而增大，而增加的速度越来越小．则杯子应该是越向上开口越大．故杯子的形状可能是C．故选：C．【点睛】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．题型9：分段函数26．已知函数2,0122,1x xyx x⎧≤<=⎨-≥⎩，若2y=，则x=_________．2【分析】根据y值可确定x的取值范围，根据x的取值范围结合函数关系式列方程求出x的值即可得答案．∵0≤x＜1时，0≤x2＜1，2,0122,1x xyx x⎧≤<=⎨-≥⎩，∴y=2时，x≥1，∴2x-2=2，解得：x=2，故答案为：2【点睛】本题考查函数值，根据y值结合各函数关系式得出对应的x的取值范围是解题关键．题型10：拓展-函数映射思想27．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（）A．B．C．D．D解：A、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；B、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；C、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；D、当3x=时，有两个y的值与其对应，所以y不是x的函数，此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数）是解题关键．一、单选题1．设路程为s（km），速度为v（km/h），时间为t（h）．当50s=时50,tv=在这个函数关系式中（）A．路程是常量，t是s的函数B．路程是常量，t是v的函数C．时间是常量，v是t的函数D．速度是常量，t是v的函数B【分析】函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数，结合选项即可作出判断．在50,tv=中，速度和时间是变量，路程s是常量，t是v的函数故选：B．【点睛】本题考查了函数解析式的定义，掌握函数解析式的定义是解题的关键．2．以等腰三角形底角的度数x（单位：度）为自变量，顶角的度数y为因变量的函数关系式为（）A．y=180﹣2x（0＜x＜90）B．y=180﹣2x（0＜x≤90）C．y=180﹣2x（0≤x＜90）D．y=180﹣2x（0≤x≤90）A【分析】根据三角形内角和定理得2x+y=180，然后变形就可以求出y与x的函数解析式．解：y=180﹣2x，∵21800xx-+>⎧⎨>⎩，∵x为底角度数，∴0＜x＜90．故选A．【点睛】本题考查函数关系式，解决本题的关键是利用三角形内角和定理求一次函数的解析式．3．下列图像中表示y是x的函数的有几个（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x ，y ，当给定一个x 的值时，y 由唯一的值与之对应，则称y 是x 的函数，x 是自变量，注意“y 有唯一性”是判断函数的关键．解：根据函数的定义，每给定自变量x 一个值都有唯一的函数值y 与之相对应，故第2个图符合题意，其它均不符合，故选：A ．【点睛】本题考查函数图象的识别，判断方法：做垂直x 轴的直线在左右平移的过程中，与函数图象只会有一个交点．4．某商贩卖某种水果，出售时在进价的基础上加上一定的利润，其销售数量x 与售价y 的关系如下表，王阿姨想买这种水果6千克，她应付款（ ） 销售数量x （千克）1 2 3 4 5 … 售价y （元）40.5+ 8 1.0+ 12 1.5+ 16 2.0+ 20 2.5+ …A ．27元B ．24元C ．7元D ．26.5元A【分析】根据表格，推导出y 与x 的关系式，然后将x=6代入关系式即可求出结论．解：∵40.5+=1410.5⨯+⨯8 1.0+=2420.5⨯+⨯12 1.5+=3430.5⨯+⨯16 2.0+=4440.5⨯+⨯ 20 2.5+=5450.5⨯+⨯∴y=40.5 4.5x x x +=将x=6代入，得y=4.5627⨯=故选A ．【点睛】此题考查的是函数的应用，根据表格数据，求出函数关系式是解题关键．5．甲、乙二人沿相同的路线由A 到B 匀速行进，A ，B 两地间的路程为20km ．他们行进的路程(km)s 与甲出发后的时间t （h ）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确．．．的是（ ）A ．甲的速度是5km/h ；B ．乙的速度是10km/hC ．乙比甲晚出发1hD ．从A 到B ，甲比乙多用了1h D 【分析】由图可得，该图象是路程与时间的关系，乙比甲晚出发一小时且乙的速度比甲的速度快． 解：从图象可知甲乙两人均行驶了20千米，用时分别为4小时和2小时，从而得到甲、乙的速度分别为5km/h 和10km/h ，故A 、B 正确，D 错误；从图象可知乙比甲晚出发1小时，故C 正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了函数的图象，重点考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．6．设函数()()1f x x x =-，以下结论正确的是（ ）.A ．()()0f a f a +-=B ．若()f a a =，则0a =C ．()()1f a f a -=D ．()()1f a f a =- D【分析】()f x 中x 即自变量，把自变量的值代入解析式计算，然后进行判断即可．f (a )+f (−a )=a (a −1)−a (−a −1)=2a 2，A 不正确；f (a )=a ,即a (a −1)=a ，即a (a −2)=0，则a =0或2，B 不正确；f (a )f (-a )=a (a −1)×[−a (−a −1)]= a4- a2，C 不正确；f (a )= a (a −1),f (1−a )=(1-a )(1-a -1)=(1-a )(-a )= a (a −1)，D 正确，故选D.【点睛】本题考查求函数值，在本题中代入自变量时需注意当自变量为-a或1-a时需将-a或1-a看成一个整体，去替换关系式中的x.还需注意化简时的符号问题.7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是6和2，输出的y值相等，则b等于（）A．5B．10C．7D．10-D【分析】把x=6与x=2代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值．当x6=时，y=-x6=-，当x2=时，y=2x+b22b4b=⨯+=+，由题意得：4b6+=-，解得：b10=-．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．8．若函数23(2)3(2)x xyx x⎧-≤=⎨>⎩，则当函数值9y=时，自变量的值是（）A．23±B．3 C．3± 3 D．23- 3D【分析】将y=9代入函数解析式中，求出x值，此题得解．解：当y=x2-3=9，解得：x=-23或x=23（舍去）；当y=3x=9，解得：x=3．故选D．【点睛】本题考查了函数值，将y=9代入函数中求出x值是解题的关键．9．如图，一只蚂蚁从О点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与О点的距离为,s 则s 关于t 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ． B【分析】根据蚂蚁在半径OA 、AB 和半径OB 上运动时，判断随着时间的变化s 的变化情况，即可得出结论．解：一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA 这一段，蚂蚁到O 点的距离随运动时间t 的增大而增大；到AB 这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，图象是与x 轴平行的线段；走另一条半径OB 时，S 随t 的增大而减小；故选：B ．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，根据随着时间的变化，到AB 这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，得到图象的特点是解决本题的关键．10．函数[]y x =叫做高斯函数，其中x 为任意实数，[]x 表示不超过x 的最大整数．定义{}[]x x x =-，则下列说法正确的个数为( )①[ 4.1]4-=-；②{3.5}0.5=；③高斯函数[]y x =中，当3y =-时，x 的取值范围是32x -≤<-；④函数{}y x =中，当2.5 3.5x <≤时，01y ≤<．A ．0B ．1C ．2D ．3D【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大整数，即可解答．解：①[ 4.1]5-=-，故原说法错误；②{3.5} 3.5[3.5] 3.530.5=-=-=，正确，符合题意；③高斯函数[]y x =中，当3y =-时，x 的取值范围是32x -≤<-，正确，符合题意；④函数{}y x =中，当2.5 3.5x <≤时，01y ≤<，正确，符合题意；所以，正确的结论有3个．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确[]x 表示不超过x 的最大整数．二、填空题11．当圆的半径r 由小变大时，它的面积S 也越来越大，它们之间的变化关系为2πS r =，在这个变化过程中，自变量为______，因变量为______，常量为______.r S π【分析】根据常量、变量的概念，通过对圆的面积公式中的各个量进行分析，即可确定答案. ∵圆的半径r 由小变大时，它的面积S 也越来越大，∴自变量是圆的半径r ，因变量是圆的面积S ，常量是π.故答案为r ，S ，π. 【点睛】本题考查变量与常量. 常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量. 自变量就是本身发生变化的量,因变量就是由于自变量发生变化而引起变化的量.12．在面积为120m²的长方形中，它的长y （m ）与宽x （m ）的函数解析式是______.120xy ，进而变形即可得120xy， 120x=. 【点睛】本题考查用关系式法表示变量之间的关系. 能利用矩形的面积公式中的等量关系列出关系式是解决此题的关键.13．已知2()1x f x x -=- ，则f =_________．【点睛】本题主要考查求函数值的知识，关键是根据题意把自变量代入函数表达式求解即可．14．已知函数()f x =()3f =_______． 函数【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得10,10x x ①②再解不等式组即可得到答案10,10x x ①②由由②得：1,x ≠所以函数1y =【点睛】本题考查的是二次函数的自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握“分式与二次根式有意义的条件”是解本题的关键.16．油箱中有油60升，油从管道中匀速流出，一小时流完，则油箱中剩余油量Q （升）与流出时间t （分钟）之间的函数关系为________________________ ， 定义域为_____________ ，当Q=10升时， t=___________60Q t =- 060t ≤≤ 50【分析】根据“剩余油量=总油量－用去的油量”建立函数关系式，再代入求值即可．由题意可得，油从管道中流出的流速是每分钟1升，∴60Q t =-，∵一小时流完，∴定义域为060t ≤≤，将Q=10代入60Q t =-得，10=60－t ，解得：t =50．故答案为：60Q t =-；060t ≤≤；50．【点睛】本题考查了函数关系式，掌握实际问题中关系式的求法是解题的关键．17．将231a b -=写成用a 的代数式表示b 的形式为______，那么______是______的函数，______是自变量. 2133b a =-b a a 【分析】根据等式的性质将等式表示成左边为b 右边为含a 的代数式的形式即可，根据函数的定义填写后面三个空.解：∵231a b -=移项可得：321b a -=-+将b 的系数化为1得：2133b a =-. 根据函数的定义b 是a 的函数，a 是自变量，b 是因变量故四个空依次填：2133b a =-，b ，a ，a. 【点睛】等式的性质和函数的定义.在用a 的代数式表示b 时可将a 看成已知数，b 看成未知数，解b 的方程即可，理解函数的定义也是解决本题的关键.18．用黑、白两种颜色的正六边形地板砖镶嵌成若干图案（如图），则第n 个图案中白色地板砖的总块数N （块）与n 之间的关系式是________，其中常量是________，变量是________． 42N n =+ 2，4 N ，n【分析】根据图形所呈现的规律得出白色地板砖的总块数N （块）与n 之间的关系式，再确定自变量、因变量．由图①可得：N =1×6－（1－1）×2＝6； 由图②可得：N =2╳6-（2-1）╳2=10；由图③可得：N =3╳6-（3-1）╳2=14；由上可得图形规律为：N =6n -2（n -1）=4n +2，常量为4，2；变量为白色地板砖的总块数N 与n ， 故答案为：N =4n +2；4，2；白色地板砖的总块数N 与n ．【点睛】考查常量与变量以及图形的变化类，解题关键是发现图形所呈现的规律．三、解答题19．下列式子中的y 是x 的函数吗？为什么？（1）35y x =-； （2）21x y x -=-； （3）y = 请再举出一些函数的例子．20．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式．（1）改变正方形的边长x ，正方形的面积S 随之改变．（2）每分向一水池注水30.1m ，注水量y （单位：3m ）随注水时间x （单位：min ）的变化而变化．（3）秀水村的耕地面积是6210m ，这个村人均占有耕地面积y （单位；2m ）随这个村人数n 的变化而变化．（4）水池中有水10L ，此后每小时漏水0.05L ，水池中的水量V （单位：L ）随时间t （单位：h ）的变化而变化．21．小明准备买a 本练习本，已知练习本的单价为3元.（1）写出小明所花的钱数y （元）与本数a （本）之间的表达式； （2）当6a =时，求y 的值. （1）3y a =；（2）18【分析】（1）根据每本练习本的价格及练习本的数量得出关系式即可； （2）再把a =6代入求出y 的值即可.(1)小明所花的钱数y (元)与本数a (本)之间的关系式y =3a ； (2)当a =6时，y=3×6=18.答：(1)小明所花的钱数y (元)与本数a (本)之间的关系式，y=3a ； (2)当a =6时，y 的值为18.【点睛】本题考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的应用是解题的关键.在本题中一定要清楚总价=单价×数量.22．在烧开水时，水温达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ （3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟时，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；（2）水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；（3）时间推移2分钟，水的温度增加14℃，到10分钟时恒定；（4）时间为23．已知x 与y 有如下关系：2x y =-. （1）把它改成()y f x =的形式；（2）求f的值.24．已知()()234,53f x x x g x x =+=-，求：（1）()()f x g x + （2）(1)(2)f g -+ （1）2483x x +-；（2）8【分析】（1）通过合并同类项，即可完成求解；（2）通过(1)f -和(2)g 分别计算后再相加，从而完成求解．（1）()22()3453483f x g x x x x x x +=++-=+-（2）2(1)3(1)4(1)341f -=⨯-+⨯-=-+= (2)5237g =⨯-=∴(1)(2)178f g -+=+=．【点睛】本题考查了求函数值、合并同类项的知识；求解的关键是函数值的方法和合并同类项的性质，从而完成求解．25．下图是某物体的抛射曲线图，其中s 表示物体与抛射点之间的水平距离，h 表示物体的高度．（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ （2）根据图象填表：/m s0 1 2 3 4 5 6 /m h（3）当距离s 取0~6m 之间的一个确定的值时，相应的高度h 确定吗？ （4）高度h 可以看成距离s 的函数吗？（1）反映了拋射距离s 与高度h 之间的关系；（2）2.0，2.5，2.65，2.5，2.0，1.2，0；（3）确定；（4）可以【分析】（1）根据变量的定义，即可求解； （2）根据图象填表即可；（3）根据这一范围内对于任一个距离s ，对应的函数值高度h 是唯一的，即可得到相应的高度h 是确定的； （4）根据函数的定义，即可求解．解：（1）根据题意得：这个图象反映了高度h与拋射水平距离s之间的关系；（2）根据图象填表如下：/ms0 1 2 3 4 5 6/mh 2.0 2.5 2.65 2.5 2.0 1.2 0（3）当距离s取0~6m之间的一个确定的值时，相应的高度h是确定的，理由如下：因为这一范围内对于任一个距离s，对应的函数值高度h是唯一的，所以相应的高度h是确定的；（4）∵高度h随距离s的变化而变化，并且对于任一个距离s，对应的函数值高度h是唯一的，∴高度h可以看成距离s的函数．【点睛】本题主要考查了函数与变量，熟练掌握设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量是解题的关键．26．如图是一辆慢车与一辆快车沿相同路线从A地到B地所行的路程与时间之间的函数图像. 请根据图像，回答下列问题：（1）慢车比快车早出发______h，快车追上慢车时行驶了______km，快车比慢车早______h到达B地；（2）求A、B两地的距离.（1）2、276、4；（2）A、B两地的距离为828km.【分析】(1)图像中横轴表示时间，纵轴表示路程，根据快、慢车的函数图象即可得出结果；(2)设快车与慢车相遇时，快车用了t小时，则慢车用了t+2小时，据此可用含t的代数式表示它们的速度，根据到达目的地时，快车的路程=慢车的路程列出方程，解方程可求出t，从而可求出快车的速度，进而求出A、B两地的距离.（1）慢车的图象是从原点开始的，快车的图象是从x=2开始的所以慢车比快车早出发2h；两图象相交时，y=276，故快车追上慢车时行驶了276km；当x=14时快车到达，当x=18时慢车到达，故快车比慢车早4h到达B地.所以填2、276、4.（2）设相遇时快车用了t h,速度为276tkm/h，则慢车用了()2t+h，速度为2762tkm/h，则。
秋沪教版(上海)八年级数学第一学期1正比例函数课件
复习
一、变量与常量
在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量.
二、函数
在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，
它们之间存在确定的依赖关系，那么x叫做自变量，变量y叫做变量x的函数.
➢ 自变量的允许取值范围，叫做函数的定义域.
例题 2.4、已知 y y1 y2 ，且 y1 与 x 成正比例， y 2 与 x 3 成正比例. 当 x 1 时， y 7 ；
x 1 时， y 7 .求 x 1 时，y 的值.
总结
一、正比例关系
如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例.
二、正比例函数
例题2 已知y是x的正比例函数，且当 = 时, = .
求y与x之间的比例系数，并写出函数解析式和函数的定义域.
解：因为y是x的正比例函数，可设函数解析式为 = ≠ .
把 = , = 代入解析式，得 = ，解得 =
所以y与x之间的比例系数为8，函数解析式是y=8x，函数的定义域为一切实数.
（6）变量y与x成正比例，则x与y.
练习2、下列函数（其中x是自变量）中，哪些是正比例函数？哪些不是？为什么？
1 = ;
5
1
2 = − ;
5
5
3 = ;
4 = 5 + 2
练习3、已知y是x的正比例函数，且当 = 2时， = 12.求y与x之间的比例系数，写出y关于x的函数解析式.
值.这样的方法称为“待定系数法”.
二、正比例函数
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专题05 函数的概念及正比例函数
【考点剖析】 1.函数
定义：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，在变量x 的允许取值范围内，变量y 随x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫x 的函数. 函数记号：()y f x =，()f a 表示x ＝a 时的函数值. 设()f x 为整式，则
函数()y f x =的定义域：一切实数；
函数1
()
y f x =
的定义域：满足()0f x ≠的实数；
函数y ()0f x ≥的实数.
函数[]0
()f x 的定义域：满足()0f x ≠的实数 2.正比例函数
1）.正比例：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例.用数学式子表示两个变量x,y 成正比,就是y
k x
=或者y kx =,其中0k ≠。
2）.正比例函数：
k>0
k<0
3.注意点
(1)正比例函数y kx =中, 0k ≠,但定义域是一切实数,两者不能混淆.
(2)在实际问题中,正比例函数的图形往往是一条线段,一切要根据定义域来确定线段的所在范围。
(3)正比例函数与正比例是有区别的,正比例函数一定要满足y kx =,比如: 2(1)y x =+就不是正比例函数,是一次函数,但是y 与x+1成正比例。
【典例分析】 【考点1】函数的概念
1．下列各选项中分别有两个变量x 、y ，则y 不是x 的函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．y=-2x-1
D ．在国内投寄到外埠质量为100g 以内的普通信函应付邮资如下表： 信件质量/x y 020x <≤
2040x <≤ 4060x <≤ 6080x <≤ 80100x <≤
邮资y /元 1.20
2.40
3.60
4.80
6.00
2．函数y 1
1
-x 的自变量x 的取值范围是______
3．在函数y =中，自变量x 的取值范围是_________．
4．如果函数()1
1
f x x =-，那么f =_____．
【考点2】正比例函数的图像及性质 1．下列问题中两个变量成正比例的是（ ） A ．正方形面积和它的边长
B ．一条边确定的长方形，其周长与另一边长
C ．圆的面积与它的半径
D ．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数
2．已知函数2
23
y x k =+-是正比例函数，则常数k 的值为（ ） A ．2- B ．0 C ．2 D ．2±
3．下列函数中，正比例函数是（ ） A ．3
x y = B ．21y x - C ．22y x = D ．3y x
=
4．已知正比例函数3
4y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A ．()4,3-
B ．()4,3--
C ．()2,1-
D ．()3,4-
5．在32y x a =+-中，若y 是x 的正比例函数，则常数=a ___________．
6．若函数()2
269y m x m =++-是关于x 的正比例函数，则m 的值为_____________．
7．已知正比例函数m y mx =∣∣
，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m 的值为____．
8．已知y 是x 的正比例函数，当2x =-时，8y =．求y 关于x 的函数表达式，以及当3x =时的函数值．
9．已知3y 与21x -成正比例，且当1x =时，6y =． (1)求y 与x 之间的函数解析式．
(2)已知点(,)P m n 在该函数的图像上，且4m n -=，求点P 的坐标．
10．已知正比例函数过点(42)-，
A ，点P 在正比例函数图像上，又(04)
B ，且10ABP
S =，求点P 的坐标．
【课后练习】
1．下列各图象中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．函数()0
32x y x -=+-的自变量x 的取值范围是___________
3．已知函数1
()1f x x
=+，则3)f ＝ .
4．下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ） A ．圆的面积S （cm 2）与它的半径r （cm ）之间的关系
B ．某水池有水15m 3，现打开进水管进水，进水速度为5m 3/h ，xh 后这个水池有水y m 3
C ．三角形面积一定时，它的底边a （cm ）和底边上的高h （cm ）之间的关系
D ．汽车以60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程y 与行驶时间x 之间的关系
5．下列变化过程中，y 是x 的正比例函数是（ ）
A ．某村共有5210m 耕地，该村人均占有耕地y （单位：2m ）随该村人数x （单位：人）的变化而变化
B ．一天内，温岭市气温y （单位：℃）随时间x （单位：时）的变化而变化
C ．汽车油箱内的存油y （单位：升）随行驶时间x （单位：时）的变化而变化
D ．某人一年总收入y （单位：元）随年内平均月收入x （单位：元）的变化而变化
6．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ） A ．正方形的周长C 随着边长x 的变化而变化 B ．正方形的面积S 随着边长x 的变化而变化
C ．面积为20的三角形的一边a 随着这边上的高h 的变化而变化
D ．水箱以0.5L /min 的流量往外放水，水箱中的剩水量VL 随着放水时间t min 的变化而变化
7．若()2
24y m x m =-+-是y 关于x 的正比例函数，求该正比例函数的解析式．
8．正比例函数y=ax 中，y 随x 的增大而增大，则直线()1y a x =--经过（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限
9．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （3，m ）、B （n ，﹣2），那么一定有（ ） A ．m ＞0，n ＞0
B ．m ＞0，n ＜0
C ．m ＜0，n ＞0
D ．m ＜0，n ＜0
10．已知正比例函数y =kx 的图象经过点（2，﹣4），（1，1y ），（﹣1，2y ），那么1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．1y ＜2y B ．1y ＝2y C ．1y ＞2y
D ．无法确定
11．正比例函数(1)y k x =+图像经过点（1，-1），那么k =__________．
12．已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________．
13．若正比例函数()1y m x =-的图象从左到右逐渐上升，则m 的取值范围是___________________
14．已知正比例函数y=kx 图像经过点（2，-4），求： (1)这个函数的解析式；
(2)判断点A （2，-1）是否在这个函数图像上；
(3)图像上两点()11,B x y ，()22,C x y ，如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．
15．已知y 与x-1成正比例，且当x= 3时，y= 4． (1)求y 与x 之间的函数解析式； (2)当x= -1时，求y 的值．
16．如图，已知正比例函数y ＝kx 的图像经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，点A 的横坐标为4，且△AOH 的面积为8
(1)求正比例函数的解析式．
(2)在x 轴上能否找到一点P ，使△AOP 的面积为10？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
17．已知：如图，直线2y x =上有一点()2,P a ，直线()01y kx k =<<上有一点(),2Q b ．
(1)求点P 和点Q 的坐标（其中点Q 的坐标用含k 的代数式表示）．
(2)过点P 分别作PA y ⊥轴，PB x ⊥轴，过点Q 分别作QC x ⊥轴，如果OPQ △的面积等于BPQ 的面积的两倍，请求出k 的值．
(3)在（2）的条件下，在直线OQ 上是否存在点D ，使12OCD S =△如果存在，请求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．。