03第三章 范畴理论及其应用
范畴论完整讲义
范畴论是数学中的一个重要概念，它涉及到对象和关系的抽象化。
范畴是数学中的一个重要结构，它提供了在数学对象之间进行操作的方式。
在范畴论中，对象被视为元素集合，而关系则被视为这些元素之间的映射。
以下是一个简要的讲义，涵盖了范畴论的基本概念和主要内容：1. 范畴的定义和基本结构范畴是对象和态度的集合，其中对象是数学对象的一般化，而态度则表示对象之间的关系。
在范畴中，对象之间的映射被称为态射。
态射的集合是态度的集合，而态度的集合是对象的集合。
基本结构包括对象之间的态射以及态射之间的复合。
态射之间的复合定义了态度的传递性质。
2. 函子函子是一种特殊类型的范畴对象，它表示从一个范畴到另一个范畴的映射。
函子可以用于将不同的数学结构进行比较和转换。
3. 自然变换自然变换是在两个函子之间定义的一种关系，它表示两个函子之间的相似性。
自然变换可以用于描述两个数学结构之间的相似性或差异。
4. 逆象和余象逆象和余象是范畴中的重要概念，它们表示态射的反向映射。
逆象和余象可以用于描述对象之间的关系和操作。
5. 限制和投射模限制和投射模是范畴论中的另一个重要概念，它们表示对态射的限制和投射操作。
这些操作可以用于对对象进行分类和分解。
6. 上下同态与上下同构上下同态和上下同构是范畴论中的重要概念，它们表示两个范畴之间的等价关系。
这些关系可以用于对数学结构进行分类和组织。
以上是范畴论的基本概念和主要内容。
范畴论在数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们更好地理解数学对象之间的关系和操作，以及不同数学结构之间的相似性和差异。
请注意，以上内容仅是一个简要的讲义，范畴论是一个非常深奥和复杂的领域，需要进一步的学习和实践才能完全掌握。
范畴理论
黑 / 白 ＜ 红 ＜ 黄 /绿 ＜ 蓝 ＜ 棕 ＜ 紫 /橙 /灰 / 粉
汉语基本颜色词的研究
中国学者参照Berlin﹠Kay提出 的判断基本颜色词的标准，对汉 语颜色词进行了一些研究。从他 们的结论来看，汉语基本颜色词 与Berlin﹠Kay确认的人类语言 普遍存在的基本颜色词及其蕴涵 层级是一致的。
经典范畴的基本假设
经典范畴的评述Leabharlann 经典范畴理论的评述优势
• 一方面，经典范畴理论对20世纪的语 言学，如音位学、句法学和语义学的 形式主义的研究产生了深刻的影响。 • 另一方面，经典范畴理论在说明数学、 逻辑或严格的科学意义上的类别，是 可行的。为实现确定性的目标而人为 地划定明确边界的范畴也是必需的， 如法律概念等。
范畴边界的模糊性
范畴边界模糊性的产生有主客观两方面的原因:
• 客观世界包罗万象,客体与客体之间通常具有连续 性,边界不明确,反映到人脑中势必导致范畴的模糊 性。可以说客观世界的模糊性是范畴边界模糊性的 根源。 • 人的认识能力是有限的,认识主体在其认识过程中 表现出认识模糊特征,这也是模糊性产生的原因之 一。 • 语言符号是有限的、非连续的,以有限的非连续的 语言符号来承载无限的、连续的外部世界,必然导 致范畴边缘的模糊性。
经 典 范 畴 理 论
经典范畴的哲学基础
经典范畴的基本假设
经典范畴的评述
范畴是由充分、必要特征合取定义 特征是二分的 同一范畴的所有成员地位相同 范畴之间的界限是固定的
经 典 范 畴 理 论 的 基 本 假 设
企鹅
充要特征
生蛋 双翼 双腿 羽毛 会飞
麻雀 燕子
鸟
鸵鸟
经 典 范 畴 理 论
经典范畴的哲学基础
范畴论在计算机科学中的应用
范畴论在计算机科学中的应用范畴论是数学中的一个分支，它探究的是数学对象之间的关系以及这些对象之间的变换。
这些数学对象可以是任何东西，从数字、向量到其他更为复杂的对象。
在计算机科学领域，范畴论也被广泛地应用。
一、类型论类型论是范畴论在计算机科学中的一大应用。
它是一种数学理论，用于研究类型以及它们之间的关系。
在类型论中，类型是一种奠定基础的数学概念，它描述了对象的性质和规则。
通过使用类型，我们可以确保程序的正确性、安全性和可读性。
类型论的一个重要应用是编程语言的类型系统。
类型系统可以帮助开发人员避免在编写程序时出现类型错误。
例如，它可以帮助开发人员避免对整数和字符串进行相加的错误操作。
类型系统还可以确保在程序运行期间不会出现空指针错误。
二、范畴论中的计算机科学范畴论也可以被用于研究计算机科学中的各种问题。
在这种情况下，范畴是计算机科学对象之间的关系，而映射就是计算机科学中的变换。
范畴论可以用于研究各种计算机科学问题，包括计算机语言的语法、软件工程、计算机体系结构、计算机网络以及人工智能等。
例如，在人工智能领域中，范畴论可以被用于研究神经网络和深度学习。
神经网络被广泛地应用于图像识别、语音识别、自然语言处理和机器翻译等领域。
通过使用范畴论，我们可以将神经网络视为对象，把它们之间的关系和变换视为范畴，这样可以更好地理解神经网络中的各种问题。
三、类别论类别论是范畴论的一个分支，它探究的是对象与对象之间，以及对象之间和它们的映射之间的关系。
类别论在计算机科学中的应用很广泛，例如数据库、程序设计和程序验证等领域。
在数据库领域中，类别论可以被用于研究数据的组织方式。
类别论提供了一个概念框架，可以帮助开发人员更好地理解数据库中的各种问题。
例如，在关系型数据库中，表格、属性和记录可以被视为对象，而它们之间的关系可以被视为范畴。
四、范畴和高级抽象范畴论还可以被用于研究各种高级抽象理论，例如模型论、概率论和复杂性理论等。
范畴理论的发展及其对认知语言学的贡献
范畴理论的发展及其对认知语言学的贡献范畴理论的发展及其对认知语言学的贡献范畴理论是一种用来描述和分析语言结构和认知过程的理论框架。
它的发展对于认知语言学的研究有着重要的贡献。
本文将介绍范畴理论的发展历程，并探讨它对认知语言学的影响。
范畴理论最早是由美国语言学家诺姆·乔姆斯基（Noam Chomsky）提出的。
他认为语言的结构是由一系列的范畴组成的，这些范畴分别代表不同的语言单位和语法规则。
乔姆斯基的范畴理论最初主要应用在生成语法的研究中，但其理论框架对于认知语言学的发展起到了重要的推动作用。
随着时间的推移，范畴理论逐渐发展成为一种描述人类认知过程的理论框架。
它认为人类的思维和语言能力是密切相关的，通过研究语言结构可以揭示人类思维的基本模式。
范畴理论将语言视为人类思维的表达方式，通过研究和分析语言结构可以深入理解人类思维的本质。
范畴理论在认知语言学的研究中有着重要的应用。
首先，它为研究者提供了一种系统的方法来描述和分析语言结构。
通过将不同的语言单位和语法规则归类为不同的范畴，研究者可以更清晰地理解语言的组成和结构。
这种系统的方法为研究者提供了一个统一的框架，使得语言结构可以被更深入地研究和分析。
其次，范畴理论揭示了语言和思维之间的密切联系。
它认为语言是人类思维的表达方式，不仅仅是一种交流工具。
通过研究语言结构，可以深入理解人类思维的基本模式和认知过程。
范畴理论将注意力集中在语言的语法规则和结构上，通过分析语言的组成和结构，可以更好地理解人类思维的规律和机制。
此外，范畴理论也为认知语言学的研究提供了一种分析工具。
通过研究和分析语言的范畴组成和结构，研究者可以深入探究人类思维的各个方面，如知觉、记忆、判断等。
范畴理论提供了一种系统的方式来解释和分析这些认知过程，为研究者提供了一个有力的分析工具。
最后，范畴理论还对认知语言学的教学和实践产生了积极的影响。
通过研究和分析范畴理论，教师可以更好地理解学生的语言学习过程和思维方式，从而更好地指导他们的语言学习。
理论的范式与范畴
理论的范式与范畴导语理论的范式和范畴是研究某一领域中的基本概念和方法的重要工具。
在学术研究和学科发展中，不同领域的学者使用不同的范式和范畴来解释和描述现象，推动学科的进步和创新。
本文将从理论的范式和范畴的定义、理论范式的发展、范畴论在不同学科中的应用等方面进行探讨，希望能对读者对这一主题有更深入的了解。
一、理论的范式和范畴的定义1.1 理论的范式的概念理论的范式指的是在某一学科或领域中被广泛接受和使用的理论模式或框架。
它是学者们在研究某一现象或问题时所采用的基本理论观点和解释方法的总称。
理论的范式可以包括理论的核心概念、基本命题、研究方法等，它们在一定程度上决定了学术研究的方向和研究成果的可靠性。
1.2 范畴的概念与分类范畴是研究对象或学术领域中被广泛接受和使用的基本类别或概念体系。
范畴可以是一个学科的基础概念，也可以是一个学科内部细分的概念。
根据研究领域和目的的不同，范畴可以分为抽象范畴和具体范畴。
抽象范畴如时间、空间、力量等，具体范畴如科学、哲学、社会学等。
1.3 理论的范式与范畴的关系理论的范式和范畴密切相关，它们相互作用、相互依存。
理论的范式提供了解释和解决问题的理论框架，而范畴则提供了研究对象的基本类别和分析方法。
理论的范式通常通过范畴的运用来构建，范畴则在理论的范式中被具体化和应用。
二、理论范式的发展2.1 传统理论范式的特点和变革传统的理论范式通常是由一系列基本概念和假设构成的，它们在一定程度上被广泛应用于特定学科或研究领域中。
然而，随着科学技术和社会变革的发展，传统的理论范式逐渐暴露出一些不足之处，无法解释和预测新的现象和问题。
因此，学者们开始寻求更加全面和综合的理论视角和范式。
2.2 新兴理论范式的兴起和发展随着学科的不断发展和交叉融合，一些新兴理论范式逐渐兴起。
例如，系统论、网络理论、复杂性科学等，它们强调整体性、动态性和综合性，在解释复杂现象和问题方面具有一定的优势。
这些新兴理论范式为学科的进步和创新提供了新的思路和方法。
范畴论在数学中的应用
范畴论在数学中的应用数学是人类智慧的结晶，是用语言和符号来描述和研究自然界和人类社会现象的一门学科。
在数学的发展中，范畴论是一种相对较新的数学分支，但却广泛应用于各个数学领域中，并成为了数学中一种非常有用的工具。
范畴论是研究数学对象和它们之间的关系的学科，可以看作是将各个数学分支中的共性进行抽象总结的一种方式。
它是由Samuel Eilenberg 和 Saunders MacLane 在20世纪40年代提出的，旨在研究数学对象之间的映射关系，并将这些对象及其关系统一地描述为“范畴”。
范畴论提供了一种通用且抽象的方法来描述数学结构。
在具体的应用中，范畴论被用于研究拓扑学、代数学、几何学、逻辑学、数理逻辑等领域。
以拓扑学为例，范畴论提供了一种基础性的语言和工具来研究拓扑空间和连续映射之间的关系。
例如，拓扑空间之间的同胚关系可以用范畴论中的同构关系来描述。
同构是指两个范畴之间的一个映射，该映射在保持范畴中的结构和关系方面是一一对应的。
通过范畴论的同构概念，可以研究拓扑空间之间的相似性以及它们之间的关系。
同样地，范畴论在代数学中也有着广泛的应用。
例如，代数结构中的群、环、域等对象可以看作是范畴，而它们之间的同态可以看作是范畴之间的映射。
利用范畴论的基本概念和工具，可以进行更深入和系统化的代数研究，尤其是研究代数结构之间的同构和同态关系。
另外，范畴论在几何学中也有着非常重要的应用。
例如，范畴论可以用于探究拓扑学中的流形以及流形之间的映射关系。
此外，在流形，拓扑空间或代数结构中任何无穷维的情形下，范畴论都是至关重要的工具。
除了上述的几个数学分支，范畴论还可以应用于其他数学分支中，例如逻辑学、数理逻辑、公理集合论等方面。
由于其极其广泛的应用，范畴论成为了数学领域中非常重要的理论和工具。
在实际的数学研究中，范畴论往往被用于对某个数学对象进行更全面和深入的描述和研究。
例如，在代数学中，范畴论可以用于研究代数结构之间的相似性，寻找它们之间的同构关系，并通过同构关系划归为不同的范畴。
category theory数学
category theory数学什么是范畴论（Category Theory），以及它在数学中的应用？范畴论是数学中的一门分支，研究对象之间的关系以及这些关系之间的性质。
它的核心概念是“范畴”（Category），描述了一组对象和它们之间的关系，以及这些关系之间的组合方式。
范畴论提供了一种抽象的语言和工具，用于研究各种数学结构以及它们之间的映射关系。
让我们从最基本的概念开始，了解范畴及其组成部分。
1. 对象（Objects）：范畴中的对象是数学结构的实例，可以是任何事物或概念。
例如，在集合范畴中，对象可以是具体的集合；在向量空间范畴中，对象可以是向量空间。
2. 映射（Morphisms）：范畴中的映射描述了对象之间的关系。
它们也被称为态射（Morphisms）或箭头（Arrows）。
映射可以是从一个对象到另一个对象的结构保持映射或转换。
例如，在集合范畴中，映射可以是函数；在向量空间范畴中，映射可以是线性变换。
3. 组合（Composition）：范畴中的映射之间可以进行组合。
即，如果有两个映射，一个从对象A到对象B，另一个从对象B到对象C，则可以通过对它们进行组合得到一个从A到C的映射。
这种组合必须满足关联性。
换句话说，对于给定的三个对象A、B和C，如果有两个映射从A 到B和从B到C，那么通过先应用从A到B的映射，然后再应用从B到C的映射，得到的结果应与直接应用从A到C的组合映射的结果相同。
4. 单位元（Identity）：范畴中的每个对象都有一个称为单位映射的特殊映射，它对该对象没有任何影响。
即，如果A是范畴中的一个对象，则存在一个从A到A的单位映射。
对于给定的任何映射f：A->B，在组合时用单位映射作为恒等元素，不会改变映射的结果。
通过使用这些基本概念，范畴论提供了一种统一的框架，可以尝试在广泛的数学领域中研究结构之间的共性和相似性。
范畴论还提供了一些重要的概念和定理，可以解决数学问题，推广并证明不同数学领域中的结论。
不动点理论和范畴论的应用
不动点理论和范畴论的应用不动点理论和范畴论是现代数学中的两个重要分支。
它们在不同领域的应用取得了重要的成果。
本文将介绍不动点理论和范畴论的基本概念及它们在计算机科学、物理学和数学中的应用。
一、不动点理论不动点理论是数学中的一个重要分支，它研究在一个函数空间中是否存在不动点。
不动点是指函数空间中一个函数对自身的映射结果等于该函数本身的点。
以函数 f(x) = x² - 1 为例，它在 x=1 和 x=-1 处有两个不动点。
因为当 x=1 时，f(x) = 1² - 1 = 0，而 1 本身也是一个不动点，此时f(1) = 1，所以 1 是一个不动点；同样地，当 x=-1 时，f(x) = (-1)² -1 = 0，-1 本身也是一个不动点，此时 f(-1) = -1，所以 -1 也是一个不动点。
不动点理论广泛应用于计算机科学中的编程语言，其实现了一些高级抽象概念。
Lambda 演算是一种用于函数计算的数学理论品种，它实现了函数式编程中的求值和参数传递。
在 Lambda 演算中，函数是一等公民，即可以被赋值、传递和返回。
Lambda 演算通过不动点理论得出，其实可以将任何一个合理的程序视为一个函数，并通过不动点运算得到程序的输出结果。
不动点理论还广泛应用于物理学中的量子力学研究中。
量子力学中的不动点是指线性算符在一个量子态上的作用达到平衡状态的点。
它们在物理学中的应用是如此广泛，以至于不动点成为了描述物理定律的基本手段之一。
二、范畴论范畴论是一种研究数学结构和概念之间关系的分支，它研究抽象的数学结构及其之间的关系。
范畴论提供了一种更加一般化的数学语言，使得数学家们可以更好地理解各种结构之间的相似性和差异性。
在范畴论中，对象和箭头是两个基本概念。
对象是范畴中的元素，而箭头则是指对象之间的关系。
箭头可以表示函数、映射或其他一些抽象的关系。
范畴论中，将箭头组成的有向图称为范畴图。
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第三章范畴理论及其应用引言范畴化（categorization）是认知语言学中的一个重要研究课题。
用Lakoff（1989）的话来说，在很短的时间内，范畴化就从学术研究的后台走到了舞台的中央（Lakoff,1987）。
众多的学者（Labov 1973, Rosch 1973, Lakoff 1980,1987,1999, Langacker 1987, Taylor 1989, 2002）对此作了深入的研究和论述。
本章首先从范畴和范畴化的定义和重要性出发，分析经典范畴理论的主要观点及其局限，介绍近几十年来认知语言学家对范畴化进行解释的重要理论，包括原型理论、动态理论，最后谈谈相关的范畴理论在语言学研究中的应用。
第一节范畴化及其重要意义（一）何为范畴？《现代汉语词典》（2000年版）是这样定义范畴的：（1）人们的思维对客观事物的普遍本质的概括和反映。
各门学科都有自己的一些基本范畴，如化合、分解等，是化学的范畴；商品价值、抽象劳动、具体劳动等，是政治经济学的范畴；本质和现象、形式和内容、必然性和偶然性等，是唯物辩证法的范畴。
（2）类型；范围：汉字属于表意文字的范畴。
显然，认知语言学家们感兴趣的是“范畴”的第二种意义，即表达“类型”、“范围”的意义。
那么什么是范畴化呢？如果范畴是类型的意思，那么范畴化就是把不同的事物归为同一个类型的过程，或者说，是将不同事物看作同一类事物的过程。
例如，人有各种各样的人，但是我们把不同的人统称为“人”，这就是一种范畴化。
范畴化使得我们通过分类理解世界上的事物和所发生的事件，并对它们作出预测。
例如，知道了某事物属于“树”的类别，我们就可以利用对“树”的特点的了解，对该事物的特点作出预测。
再如，（1）鲸鱼是一种鱼。
（2）鲸鱼是一种哺乳动物。
以上两个句子分别代表了两种不同的范畴化过程。
这两种不同的范畴化过程对我们对“鲸鱼”的看法具有重要的影响。
如果把“鲸鱼”看作是“鱼”，我们就会把鱼的原型特征赋予它，并对其行为作出相应的判断；如果我们把“鲸鱼”看作是“哺乳动物”，我们就会对其特征和行为作出不同的预测和判断。
（二）范畴研究的重要意义范畴是我们理解和认识世界的基础，也是我们思维和交际的基础。
Croft & Cruse （2004）认为，概念范畴至少具有以下功能：1）学习。
如果我们不能把当下的经验与过去的经验结合起来，即把它纳入同样的概念范畴中，我们从过去的经验中学习的能力就要受到限制；2）计划。
制定并实现目标也需要将我们的知识从个体中分离开来，并将它们包装到表达实体范畴的概念中。
3）交际。
语言中只有一般的东西，即范畴。
任何一个语言词语，不管如何详细，最终只表示某一范畴的事物。
4）经济。
知识没有必要与个别事物发生联系：相当一部分可以与一组个体发生联系。
与一个或多个个体互动中获得的知识可以运用到该范畴的其他成员身上。
相反，根据有限的标准知道某一个体属于某一范畴，就可以获得有关该个体的更广泛的知识。
（Croft & Cruse，2004：75）认知语言学关注范畴如何展现人类心智这一基本问题。
“无论在方法论还是在内容上，语言学与范畴化密切相关。
对我们的思维、感知、行动和语言来说，没有什么比范畴化更为重要的了”。
（Taylor, 1989：1）在日常生活中，我们自动地对人、动物和物体（无论是自然的还是人造的）进行分类。
同样的事物可以根据不同标准划分为许多不同的种类。
如一个人可以同时是“男人”、“父亲”、“工程师”等等。
同样的事物也可以分成层次不同的类别：“狗”、“动物”、“事物”等。
从Wittgenstein 的“家族相似理论”（Family Resemblance Theory）到Rosch（1974）的有关范畴的实验，都对揭示人类认识事物的本质和特点提供了有益的启示。
Lakoff（1987）指出，认知科学的一个中心目标就是发现理性是什么，也就是发现范畴是什么。
认知科学家们感兴趣的问题包括：范畴是建立在真实世界的基础上的还是仅仅依靠人类大脑构建起来的？它们的内部结构如何？范畴是如何习得的？人们是如何将事物归入某一范畴的？范畴之间存在着什么样的关系？我们为什么拥有的是目前的范畴而不是别的？我们的范畴化机制能够使得我们做一些什么样的别的机制做不到的事情？对社会集团的看法如何导致“定势思维”（stereotype）？语言在范畴化和概念形成过程中起到什么作用？人类的范畴化过程本质上与人类经验和想象有关，一方面与感知、大脑运动活动和文化有关，另一方面又与隐喻和转喻有关。
范畴和范畴化问题是形式类研究的核心。
第二节有关范畴化的经典理论及其局限（一）亚里士多德的范畴理论根据亚里士多德的范畴论，范畴是根据一组必要和充分条件来定义的。
这些条件被认为是界限分明的、独立的特征，某一事物要么具有、要么不具有这些特征。
以“鸟”这一范畴为例，只有某个生物具有“两扇翅膀”、“两条腿”、“有喙”、“会生蛋”等特征（必要条件），才可能被称为“鸟”。
另外，如果某一生物拥有所有这些基本特征，这也是把它看作一只鸟的充分条件。
因此，有关范畴的经典理论认为：（a）同一范畴的所有成员地位相等；（b）同一范畴的事物地位相等；（c）每一个范畴都有一组固定的必要和充分条件来对其成员进行定义；（d）所有用来定义某一范畴的必要和充分条件具有同等地位；（e）范畴之间的界限是固定的。
（Taylor,1989：79）根据经典范畴理论，所有具有某一特征或某一相同特征的事物形成一个范畴。
这样的特征形成定义这一范畴的必要和充分条件。
所有的范畴都属于这一类型。
2．经典范畴理论的缺点经典范畴理论近年来受到了众多认知语言学家的批评。
Lakoff（1987）指出，经典范畴理论至少有三大缺点。
第一，Wittegenstein曾经指出，像“游戏”（game）这样的范畴很难用充分必要条件来定义；因为game的种类很多，很难有一个统一的定义。
A游戏与B游戏有相同的特征，B 游戏与C游戏有相同的特征，但A游戏与C游戏之间就可能不具备完全相同的特征。
即使有些概念有明确的定义，但这些定义往往只限于某一特定的使用域，如英语中的bachelor，虽然可以定义为“unmarried adult”（未婚男人），但它不包括“离婚的男人”，也不包括“教皇”这样从未结过婚的男子。
Rosch和Mervis（1975）对furniture（家具）、vehicle（交通工具）、fruit（水果）等范畴进行了分析。
他们发现，这些范畴内部的成员之间很少存在经典理论所描述的共同特征。
例如，“家具”这一范畴的成员只是在比较抽象的层次上具有一些共同的特点，如“用于家庭生活”。
其主要成员，如床、柜、桌、椅之间无论在形状还是在用途上都没有共同的地方。
“交通工具”、“水果”等范畴也是类似的情况。
这证明了经典范畴理论关于所有范畴成员必须共有一些基本特征的观点至少是不准确的。
第二，中心度分级问题。
以“鸟”这一范畴为例，以下是我们通常认为“鸟”所具有的基本特征：a.生蛋；b.有喙；c.有两扇翅膀，两条腿；d.有羽毛；e.会飞；f.体积小，体重轻；g.鸣叫/唱；h.腿细/短；i.养在笼中；j.目的是为了取其肉，蛋和羽毛；k.脖子长；l.有装饰性羽毛；m.颜色奇异；……如果我们仔细观察这些特征就会发现，其中只有部分特征是所有的成员都具有的，而有些只是部分成员才拥有的, 其中，范畴成员共有的特征包括：a.生蛋；b.有喙；c.有两扇翅膀，两条腿；d.有羽毛。
部分家族相似特征包括：e.会飞f.体积小，体重轻g.鸣叫/唱h.腿细/短i养在笼中j.目的是为了取其肉，蛋和羽毛k.脖子长l.有装饰性羽毛m.颜色奇异因此，在某些范畴内，有些成员比另外一些成员被认为更能代表某一范畴。
在“鸟”这一范畴中，“燕子”就比“鸵鸟”更能代表鸟的特征，因为它比“鸵鸟”拥有更多、更原型的“鸟”的特征。
但是，在经典范畴理论中，范畴内所有的成员都是平等的。
第三，经典理论无法解释范畴边界为什么会模糊，而且会发生变化。
在现实世界中，“书籍”、“桌子”和“房子”都是界线分明的物体。
不同的是，像knee（膝盖），trunk（树干）, valley（峡谷）, mist（薄雾）等事物的界限就很不确定，或者说很模糊。
当然，尽管模糊，我们还是觉得这些界限事实上是存在的。
如，Kneecap不会是大腿的一部分，“山顶”也永远不可能是“峡谷”的一部分。
因此，对事物的分类好象是现实提供的界限所赋予我们的。
但是，世界上还有一些现象的情况就不是如此。
例如，我们如何在“冷水”、“温水”和“热水”之间划分界限？语言中模糊限制语（hedges）的存在表明我们划分事物的范畴并不像经典理论所描述的那样整齐划一，一成不变。
模糊限制语需要我们区别某一范畴的中心和边缘成员，还有某一范畴中非成员之间的不同程度（如“严格来说”）。
它们说明，范畴边界是灵活的，范畴可以通过对某一特征的选择或强调而得到定义。
另外，模糊限制语可以选出由经典原则定义的范畴（从技术上看），尽管这样做的同时也隐含了对非经典范畴化的对比。
Lakoff （1973）指出，真理是相对的，而且有程度区别。
例如，以下几个句子的真值就不相同：（3）A robin is a bird.（真）（4）A chicken is a bird.（真的程度低于（3））（5）A penguin is a bird. （真的程度低于（4））（6）A bat is a bird. （假，至少离真理很远）（7）A cow is a bird. （绝对为假）再比如，用了sort of（某种）这一模糊限制语后，句子的真值也不相同：（8）A robin is sort of a bird.（假，毫无疑问，robin就是一种bird）（9）A chicken is sort of a bird.（真，或非常接近真）（10）A penguin is sort of a bird. （真，或接近真）（11）A bat is sort of a bird. （仍然非常接近假）（12）A cow is sort of a bird. （假）在许多语言中都有大量的模糊限制语对事物的范畴进行说明。
如，英语中常见的限制语就包括：sort of （有点），kind of （有点），loosely speaking （从非严格意义上说），more or less（多多少少），roughly（大概），pretty（相当），relatively（相对而言），somewhat（有点），rather（相当），mostly（主要），technically（技术上而言），strictly speaking（严格说来），essentially （基本上），in essence（实质上），basically（基本上），principally（主要地），particularly（特别地），par excellence（超群），largely（大部分），for the most part（大部分），very（完全就是），especially（特别），exceptionally（绝对），quintessentially（完完全全），literally（基本上），often（经常），more of a --- than anything else （比任何事物更像），almost（几乎），typically（原型地），as it were（好象是），in a sense（在某种意义上），in one sense（在某一意义上），in a real sense（在真正意义上），in a way （在某种意义上），in a manner of speaking（在某种程度上）等等。