备战2021年高考理数 6年高考真题分项版精解精析专题05 三角函数(解析版)
备战2021年高考数学之三角函数与解三角形(解析版)
十年高考真题（2011-2020）与模拟题（北京卷）专题05三角函数与解三角形本专题考查的知识点为：三角函数与解三角形，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三角函数的性质，正余弦定理解三角形，正余弦定理的实际应用，三角函数的实际应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以三角函数的性质，正余弦定理解三角形的方法为重点较佳.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．3n(sin30°n +tan30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n +tan60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A 【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故选：A.2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：由题意d=√12+m2=|√m2+1sin(θ+α)−2|√m2+1，tan α=1m =yx ，∴当sin （θ+α）＝﹣1时， d max ＝1√m 2+1≤3．∴d 的最大值为3． 故选：C ．3．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6 B ．t =√32，s 的最小值为π6 C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π3【答案】解：将x =π4代入得：t ＝sin π6=12，将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P 向左平移s 个单位，得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）＝cos2s =12， 则2s =±π3+2k π，k ∈Z ， 则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π6， 故选：A ．4．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2. 故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ．【答案】解：∵f （x ）＝sin 2（2x ）， ∴f （x ）=−12cos(4x)+12， ∴f （x ）的周期T =π2，故答案为：π2．6．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．【答案】解：函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω＞0 则ω的最小值为：23． 故答案为：23．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．【答案】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sin α=13，当α在第一象限时，cos α=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79：∵sin α=13，当α在第二象限时，cos α=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=2√23，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79，故答案为：−798．【2015年北京理科12】在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2AsinC = ． 【答案】解：∵△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴cos C =16+25−362×4×5=18，cos A =25+36−162×5×6=34∴sin C =3√78，sin A =√74， ∴sin2AsinC =2×√74×343√78=1．故答案为：1．9．【2014年北京理科14】设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f （2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ． 【答案】解：由f （π2）＝f （2π3），可知函数f （x ）的一条对称轴为x =π2+2π32=7π12，则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性， 则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T4⇒T ＝π． 故答案为：π．10．【2012年北京理科11】在△ABC 中，若a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，则b ＝ ．【答案】解：由题意，∵a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，∴b 2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14) ∴b ＝4 故答案为：411．【2011年北京理科09】在△ABC 中．若b ＝5，∠B =π4，tan A ＝2，则sin A ＝ ；a ＝ ． 【答案】解：由tan A ＝2，得到cos 2A =11+tan 2A =15，由A ∈（0，π），得到sin A =√1−15=2√55， 根据正弦定理得：asinA =bsinB ，得到a =bsinA sinB=5×2√55√22=2√10．故答案为：2√55；2√10 12．【2020年北京卷17】在△ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sinC 和△ABC 的面积． 条件①：c =7,cosA =−17； 条件②：cosA =18,cosB =916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =√32,S =6√3；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC =√74,S =15√74. 【解析】选择条件①（Ⅰ）∵c =7,cosA =−17，a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =4√37由正弦定理得：a sinA =c sinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74.13．【2019年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)，∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：c sinC =b sinB，∴sinC =csinB b=5×√327=5√314， ∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C=√32×1114−(−12)×5√314=4√37． 14．【2018年北京理科15】在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角， ∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得asinA =bsinB 得sin A =asinB b=7×4√378=√32， 则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0，得（c ﹣3）（c +5）＝0， 得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 15．【2017年北京理科15】在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积． 【答案】解：（1）∠A ＝60°，c =37a ，由正弦定理可得sin C =37sin A =37×√32=3√314， （2）a ＝7，则c ＝3， ∴C ＜A ，∵sin 2C +cos 2C ＝1，又由（1）可得cos C =1314， ∴sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C =√32×1314+12×3√314=4√37， ∴S △ABC =12ac sin B =12×7×3×4√37=6√3．16．【2016年北京理科15】在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． （Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）求√2cos A +cos C 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． ∴a 2+c 2﹣b 2=√2ac ． ∴cos B =a 2+c 2−b 22ac=√2ac2ac=√22， ∴B =π4（Ⅱ）由（I ）得：C =3π4−A ，∴√2cos A +cos C =√2cos A +cos （3π4−A ）=√2cos A −√22cos A +√22sin A =√22cos A +√22sin A ＝sin （A +π4）．∵A ∈（0，3π4），∴A +π4∈（π4，π），故当A +π4=π2时，sin （A +π4）取最大值1， 即√2cos A +cos C 的最大值为1．17．【2015年北京理科15】已知函数f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2=√22sin x −√22（1﹣cos x ） ＝sin x cos π4+cos x sin π4−√22＝sin （x +π4）−√22， 则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 −3π4≤x +π4≤π4，即有﹣1≤sin(x +π4)≤√22， 则当x =−3π4时，sin （x +π4）取得最小值﹣1， 则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1−√22． 18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC 中，∠B =π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC =17． （1）求sin ∠BAD ； （2）求BD ，AC 的长．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC =17，∴sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(17)2=√4849=4√37， 则sin ∠BAD ＝sin （∠ADC ﹣∠B ）＝sin ∠ADC •cos B ﹣cos ∠ADC •sin B =4√37×12−17×√32=3√314． （2）在△ABD 中，由正弦定理得BD =AB⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3√3144√37=3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos B ＝82+52﹣2×8×5×12=49， 即AC ＝7．19．【2014年北京理科18】已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2] （1）求证：f （x ）≤0； （2）若a ＜sinx x＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．【答案】解：（1）由f （x ）＝x cos x ﹣sin x 得 f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ， 此在区间∈（0，π2）上f ′（x ）＝﹣x sin x ＜0， 所以f （x ）在区间∈[0，π2]上单调递减， 从而f （x ）≤f （0）＝0． （2）当x ＞0时，“sinx x＞a ”等价于“sin x ﹣ax ＞0”，“sinx x＜b ”等价于“sin x ﹣bx ＜0”令g （x ）＝sin x ﹣cx ，则g ′（x ）＝cos x ﹣c ， 当c ≤0时，g （x ）＞0对x ∈（0，π2）上恒成立，当c ≥1时，因为对任意x ∈（0，π2），g ′（x ）＝cos x ﹣c ＜0， 所以g （x ）在区间[0，π2]上单调递减，从而，g （x ）＜g （0）＝0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈（0，π2）使得g ′（x 0）＝cos x 0﹣c ＝0，g （x ）与g ′（x ）在区间（0，π2）上的情况如下： x（0，x 0）x 0（x 0，π2）g′（x）+﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）＝0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当g(π2)=1−π2c≥0即0＜c≤2π综上所述当且仅当c≤2π时，g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，π2）恒成立，所以若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为120．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．【答案】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a＝3，b=2√6，∠B＝2∠A，利用正弦定理可得asinA =bsinB，即3sinA=2√6sin2A=2√62sinAcosA．解得cos A=√63．（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即9=(2√6)2+c2﹣2×2√6×c×√63，即c2﹣8c+15＝0．解方程求得c＝5，或c＝3．当c＝3时，此时a＝c＝3，根据∠B＝2∠A，可得B＝90°，A＝C＝45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2＝b2，故舍去．当c＝5时，求得cos B=a 2+c2−b22ac=13，cos A=b2+c2−a22bc=√63，∴cos2A＝2cos2A﹣1=13=cos B，∴B＝2A，满足条件．综上，c＝5．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．【答案】解：f(x)=(sinx−cosx)sin2xsinx =(sinx−cosx)2sinxcosxsinx=2(sinx−cosx)cosx＝sin2x﹣1﹣cos2x=√2sin（2x−π4）﹣1k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．（2）由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，原函数的单调递增区间为[kπ−π8，kπ)，k∈Z，(kπ，kπ+3π8]，k∈Z22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵f(x)=4cosxsin(x+π6)−1，＝4cos x（√32sinx+12cosx）﹣1=√3sin2x+2cos2x﹣1=√3sin2x+cos2x＝2sin（2x+π6），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵−π6≤x≤π4，∴−π6≤2x+π6≤2π3，∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f（x）取最大值2，当2x+π6=−π6时，即x=−π6时，f（x）取得最小值﹣1．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√32【答案】C【解析】sin75o cos30o−cos75o sin30o2．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√3【答案】D【解析】∵a＝7，c＝3，∠A＝60°，∴由正弦定理可得：sin C=c•sin Aa=3×√327=3√314，∵a＞c，C为锐角，∴cos C=√1−sin2C=1314，∴可得：s inB=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C＝=√32×1314+12×3√314=4√37，∴SΔABC=12ac sin B=12×7×3×4√37=6√3．故选D．3．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【答案】B【解析】由题可知：y=2cos2x−1=cos2x所以最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π故选：B4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x【答案】C【解析】A.y=x+2，值域为R，非奇非偶函数，排除；B.y=sinx，值域为[−1,1]，奇函数，排除；C.y=x−x3，值域为R，奇函数，满足；D.y=2x，值域为(0,+∞)，非奇非偶函数，排除；故选：C.5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx【答案】D【解析】由函数y=12sinx的最小正周期为2π，故排除A；由函数y=sin12x的最小正周期为2π12=4π，故排除B；由函数y=cos(x+π4)的最小正周期为2π，故排除C；由正切函数的最小正周期的公式，可得函数y=12tanx的最小正周期为π，故D满足条件，故选：D.6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R【答案】D 【解析】由题意将函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度可得到函数y=sin(x+π6)(x∈R)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(12x+π6),x∈R的图象.故选：D.7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π4【答案】D 【解析】由正弦定理得ABsinC =ACsinB∴1sinπ6=√2sinB,sinB=√22∴B=π4或B=3π4，选D.8．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x 【答案】C【解析】由题意g(x)=sin[2(x+π3)−π6]=sin(2x+π2)=cos2x.故选：C.9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度【答案】D 【解析】sin(2x−π4)=sin2(x−π8)，据此可知，为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移π8个单位长度.本题选择D选项.10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则“sinA=cosB”是“△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若sinA=cosB，则A+B=π2或A=B+π2，不能推出△ABC是直角三角形；若A=π2，则sinA≠cosB，所以△ABC是直角三角形不能推出sinA=cosB;所以“sinA=cosB”是“△ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D.11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√3【答案】A 【解析】由已知S=12acsinB=12acsin30°=14ac=32，ac=6，所以b2=a2+c2−2accos30°=(a+c)2−2ac−√3ac=4b2−6(2+√3)，解得b=√3+1．故选：A．12．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位【答案】D【解析】因为，所以为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象向右平移π6个单位；故选D．13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π4【答案】D【解析】 ∵b =a (cosC +√33sinC)， ∴由正弦定理可得：sinB =sinAcosC +√33sinCsinA ，又∵sinB =sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC ， ∴可得：√33sinA =cosA ，可得：tanA =√3，∵A ∈(0,π)，∴A =π3，可得：sinA =√32， 又∵a =2，c =2√63， ∴由正弦定理可得：sinC =c ⋅sinA a=2√63×√322=√22，∵c <a ，C 为锐角，∴C =π4．故选：D ．14．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x −π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向左平移π3个单位【答案】B 【解析】由已知中函数f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象， 可得：A =1,T =4(7π12−π3)=π，即ω=2 即f (x )=sin(2x +φ)，将(7π12,−1)点代入得：7π6+φ=3π2+2kπ,k ∈Z 又由|φ|<π2∴φ=π3∴f(x)=sin(2x +π3)，即f(x)=sin(2x +π3)=sin2(x +π6)g(x)=sin(2x −π3)=sin2(x −π6)所以将函数f (x )的图象向右平移π6−(−π6)=π3个单位得到函数g(x)=sin(2x −π3)的图象， 故选：B15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC 中，若a =7，b =8，cosB =−17，则∠A 的大小为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C 【解析】cosB =−17，B ∈(π2,π)，故sinB =√1−cos 2B =4√37，根据正弦定理：a sinA =bsinB ，故sinA =7×4√378=√32，A ∈(0,π2)，故A =π3.故选：C.16．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)．若关于x 的方程f(x)=1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令t =ωx +π6，∵x ∈[0 ， π]，∴π6≤ωx +π6≤ωπ+π6， ∵y =sint 的图象如图所示，∵关于x的方程f(x)=1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，∴y=sint=1在[π6,ωπ+π6]上有且仅有两个不相等的实根，∴5π2≤ωπ+π6≤17π4⇒52≤ω≤4912，∴ω的最大整数值为4，故选：B.17．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位【答案】A 【解析】根据函数平移变换,由y=sin2x变换为y=sin(2x−π3)=sin2(x−π6),只需将y=sin2x的图象向右平移π6个单位，即可得到y=sin(2x−π3)的图像，故选A.18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√63【答案】D【解析】由内角和定理知C=180°−(60°+75°)=45°，所以ABsinC =BCsinA，即AB=BCsinCsinA =10×sin45°sin60°=10√63，故选D.19．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)【答案】D【解析】函数y=2sin(2x+π6)的周期为π，将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y=2sin[2(x−π4)+π6)]=2sin(2x−π3)，故选D.20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．32【答案】C 【解析】f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12=√32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6),令f(x)=0,ωx+π6=kπ(k∈Z),x=kπω−π6ω(k∈Z)，函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，{kπω−π6ω≤π(k+1)πω−π6ω≥2π解得k−16≤ω≤k+12−112(k∈Z)，ω>0,∴k=0,0<ω≤512，k=1,56<ω≤1112ω的最大值是1112.故选:C.21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.【答案】(Ⅰ)ω=2.(Ⅱ)−32.【解析】（Ⅰ）因为f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，所以f(x)=√32sinωx−12cosωx−cosωx=√32sinωx−32cosωx=√3(12sinωx−√32cosωx)=√3(sinωx−π3)由题设知f(π6)=0，所以ωπ6−π3=kπ，k∈Z.故ω=6k+2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=√3sin(2x−π3)所以g(x)=√3sin(x+π4−π3)=√3sin(x−π12).因为x∈[−π4,3π4]，所以x−π12∈[−π3,2π3]，当x−π12=−π3，即x=−π4时，g(x)取得最小值−32.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋√3asinC－b－c＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积． 【答案】（1）A ＝60°；（2）10√3【解析】(1)acosC ＋√3asinC －b －c ＝0，由正弦定理得sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sinB ＋sinC ，即sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sin(A ＋C)＋sinC ，又sinC≠0，所以化简得√3sinA －cosA ＝1，所以sin(A －30°)＝12.在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°.(2)在△ABC 中，因为cosB ＝17，所以sinB ＝4√37. 所以sinC ＝sin(A ＋B)＝√32×17＋12×4√37＝5√314. 由正弦定理得，a c =sinA sin C =75. 设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcosB，即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝12acsinB ＝10√3.23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13．（1）求sinC 的值；（2）求ΔABC 的面积．【答案】（1）√63；（2）√2 【解析】（1）在ΔABC 中，cosB =−13，∴sinB =√1−cos 2B =√1−(13)2=2√23， ∵b =2√3，c =3，由正弦定理bsinB =csinC得√32√23=3sinC，∴sinC=√63．（2）由余弦定理b2=a2+c2−2accosB得12=a2+9−2×3a×(−13)，∴a2+2a−3=0，解得a=1或a=−3（舍）∴SΔABC=12acsinB=12×1×3×2√23=√2．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=90°，已知AD=√3，BD=√6.（1）求sin∠ABD的值；（2）若CD=2，且CD>BC，求BC的长.【答案】（1）√64（2）BC=1【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理，得ADsin∠ABD =BDsin∠A，因为∠A=60°，AD=√3，BD=√6，所以sin∠ABD=ADBD ×sin∠A=2×√32=√64；（2）由（1）可知，sin∠ABD=√64，因为∠ABC=90°，所以cos∠CBD=cos(90°−∠ABD)=sin∠ABD=√64，在△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcos∠CBD，因为CD=2，BD=√6，所以4=BC2+6−2BC×√6×√64，即BC2−3BC+2=0，解得BC=1或BC=2，又CD >BC ，则BC =1.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cosA =13． (1)求sin 2B+C 2+cos2A 的值；(2)若a =√3，求△ABC 面积的最大值．【答案】（1）−19；（2）3√24 【解析】(1)sin 2B +C 2+cos 2A =sin 2π−A 2+2cos 2A −1 =cos 2A +2cos 2A −1=1+cos A +2cos 2A −1 =1+132+2×19−1=−19； (2)由cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23， 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bc cos A =b 2+c 2−23bc ≥2bc −23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b =c =32，取得等号．则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24． 即有b =c =32时，△ABC 的面积取得最大值3√24． 26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值． 从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（1）a =√7；（2）选①，sin∠ADB =√217；选②，sin∠ADB =2√77． 【解析】（1）由于c =1，A =2π3，S ΔABC =12bcsinA ， 所以b =2，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，解得a =√7．（2）①当AD =1时，在ΔABC 中，由正弦定理b sinB =BC sin∠BAC ，即2sinB =√7√32，所以sinB =√217． 因为AD =AB =1，所以∠ADB =∠B ．所以sin∠ADB =sinB ，即sin∠ADB =√217． ②当∠CAD =30°时，在ΔABC 中，由余弦定理知，cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =2√7×1=2√77． 因为A =120°，所以∠DAB =90°，所以∠B +∠ADB =π2，所以sin∠ADB =cosB ， 即sin∠ADB =2√77． 27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】详见解析【解析】选择①（1）在△ABC 中，因为a =√2，c =√10，b ＝4，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =√2)22√10)22×2×4=√22， 因为C ∈（0，π），所以sinC =√1−cos 2C =√22， 所以S =12absinC =12×√2×4×√22=2. （2）在△ABC 中，A +B ＝π﹣C.所以sin(A +B)=sinC =√22.选择②（1）因为cosB =−√55，B ∈（0，π），所以sinB =√1−cos 2B =2√55，因为a =√2，c =√10，所以S =12acsinB =12×√2×√10×2√55=2.（2）因为a =√2，c =√10，cosB =−√55， 由b 2＝a 2+c 2﹣2accosB ，得b 2=(√2)2+(√10)2−2×√2×√10×(−√55)=16， 解得b ＝4，由b sinB =c sinC ，解得sinC =√22， 在△ABC 中，A +B ＝π﹣C ，sin(A +B)=sinC =√22. 选择③依题意，A 为锐角，由sinA =√1010，得cosA =√1−sin 2A =3√1010， 在△ABC 中，因为a =√2，c =√10，cosA =3√1010， 由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，得(√2)2=b 2+(√10)2−2×√10×3√1010b ， 解得b ＝2或b ＝4，（1）当b ＝2时，S =12bcsinA =12×2×√10×√1010=1.当b ＝4时，S =12bcsinA =12×4×√10×√1010=2. （2）由a =√2，c =√10，sinA =√1010，a sinA =c sinC ，得sinC =√22， 在△ABC 中，A +B ＝π﹣C ，sin(A +B)=sinC =√22. 28．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x .(I)求f (0)的值；(II)从①ω1=1,ω2=2；②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.【答案】(I)0；(II)①ω1=1,ω2=2时f(x)min =−√2+1，T =π；②ω1=1,ω2=1时f(x)min =−1，T =2π.【解析】(I)f(0)=2cos 20+sin0=2；(II)①ω1=1,ω2=2，由题意得f(x)=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=√2sin(2x+π4)+1，∴T=π，∵x∈[−π2,π6]，∴2x+π4∈[−3π4,7π12]，故−√22≤sin(2x+π4)≤1，所以当x=−π2时，f(x)取最小值−1.②ω1=1,ω2=1，f(x)=2cos2x+sinx=−2sin2x+sinx+2，∵x∈[−π2,π6]，令sinx=t，∴t∈[−1,12],f(t)=−2t2+t+2，∴当t=−1时，函数取得最小值为f(−1)=−1.∵f(x)=2cos2x+sinx，∴f(x+2π)=2cos2(x+2π)+sin(x+2π)=2cos2x+sinx，∴T=2π29．【北京市第十三中学2020届高三下学期开学测试】已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A=π3；②cosB=−23；③a=7；④b=3．（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）△ABC同时满足①，③，④．理由见解析；（Ⅱ）6√3．【解析】（Ⅰ）△ABC同时满足①，③，④．理由如下：若△ABC同时满足①，②．因为cosB=−23<−12，且B∈(0,π)，所以B>23π．所以A+B>π，矛盾．所以△ABC只能同时满足③，④．所以a>b，所以A>B，故△ABC不满足②．故△ABC满足①，③，④．（Ⅱ）因为a2=b2+c2−2bccosA，所以72=32+c2−2×3×c×12．解得c=8，或c=−5（舍）．所以△ABC的面积S=12bcsinA=6√3．30．【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：①A=π3②a=13③c=15④sinC=13（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求△ABC的面积.【答案】（1）△ABC同时满足①，②，③，理由见解析.（2）30√3【解析】（1）△ABC同时满足①，②，③.理由如下：若△ABC同时满足①，④，则在锐角△ABC中，sinC=13<12，所以0<C<π6又因为A=π3，所以π3<A+C<π2所以B>π2，这与△ABC是锐角三角形矛盾，所以△ABC不能同时满足①，④，所以△ABC同时满足②，③.因为c>a所以C>A若满足④.则A<C<π6，则B>π2，这与△ABC是锐角三角形矛盾.故△ABC不满足④.故△ABC满足①，②，③.（2）因为a2=b2+c2−2bccosA，所以132=b2+152−2×b×15×12.解得b=8或b=7.当b=7时，cosC=72+132−1522×7×13<0所以C为钝角，与题意不符合，所以b=8.所以△ABC的面积S=12bcsinA=30√3.。
2021年高考数学的三角函数与解三角形多选题及解析
2021年高考数学的三角函数与解三角形多选题及解析一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ） A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍 B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABC外接圆半径为7D ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，sin 8C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin 7c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.3．在ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.4．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos fθθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 2sin [1,2]4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当6πθ=即1sin 2θ=，3cos 2θ=时，函数取得极大值31333222t =⨯+⨯⨯=， 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=， 所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值33，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.5．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的是（ ）A ．3B π=B ．ABC 是等边三角形C ．若A B CD 、、、四点共圆，则13AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质和三角形内角和可得3B π=，根据等比中项和余弦定理可得a c =，即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得23D π=，再利用余弦定理可求AC =211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2222cos AC AD CD AD CD D 可得3sin cos 3sin()22232S D D D π=-+=-+，从而求出最大面积. 【详解】由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=， 则3B π=，故A 正确；由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，两式相减整理得，2()0a c -=，即a c =，又3B π=，所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23D π=， ADC 中，根据余弦定理，2222cos AC AD CD AD CD D ，解得AC =C 正确； 四边形ABCD 面积为：211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+23sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，所以，3sin 3sin()22232S D D D π=-+=-+， 因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13D π-=，此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.6．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ）A ．22sin 2sin 1y x =+B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.7．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（ ）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为MC ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】 由题可知2T ππω==，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0x =时，()0sin 20sin 662Mf M M ππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，故选项A 错误；因为()sin 26f x M x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以最大值为M ，故选项B 正确； 由解析式可知()f x 在3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 即2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上单调递减，当0k =时，选项C 正确； 由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26x k ππ+=，即212k x ππ=- 当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.8．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①.2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.9．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤， 此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．10．已知函数()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f xC ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称 【答案】BD 【分析】首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项.【详解】由题意，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 错误；函数()f x B 正确；函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误； 由7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知D 正确， 故选：BD .【点睛】思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，并且知道函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.。
2021届新高考地区优质数学试卷分项解析5 三角函数与解三角形【原卷版】
2021届新高考地区优质数学试卷分项解析专题5 三角函数与解三角形一、单选题1．（2021·江苏盐城市·高三二模）计算2cos10sin 20cos 20︒-︒︒所得的结果为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．22．（2021·浙江高一期末）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第x 天时太阳直射点的纬度值为,y 该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y 与x 近似满足23.43929110.01720279y sin x =.则每400年中，要使这400年与400个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为(精确到1)（ ） 参考数据182.62110.01720279π≈A ．95B ．96C ．97D ．983．（2021·山东高三专题练习）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ） A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-4．（2021·江苏常州市·高三一模）函数()()2sin ln1f x x x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2021·河南高三月考（文））函数2()23sin cos 2sin 1f x x x x =-+的图象向右平移24π个单位长度后得到函数()g x 的图象，对于函数()g x ，下列说法不正确的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 的图象关于直线524x π=对称 C ．()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 6．（2021·河南高三月考（文））函数()cos 1xf x x =-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2021·全国高三专题练习（文））已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin 2cos 2ααα--=（ ） A ．513B ．113C ．513-D ．1138．（2021·山东德州市·高三一模）已知π1sin sin 33αα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）． A ．13B ．13-C ．233D ．233-9．（2021·山东日照市·高三一模）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期为πC ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称10．（2021·全国高三专题练习（文））明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则sin 2α约为（ ）A ．1235B ．1237C ．16D ．1311．（2021·山东青岛市·高三一模）已知角θ终边上有一点417tanπ,2sin π36P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos θ的值为（ ） A ．12B ．12-C ．3D 312．（2021·湖南高二月考）将函数f (x )=sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )的最小正周期为6π，则（ ） A ．ω=13B ．ω=6C ．ω=16D ．ω=313．（2021·广东广州市·高三一模）函数3()sin f x x x =-在[1,1]-上的图像大致为（ ）A ．B ．C．D ．14．（2021·山东菏泽市·高三一模）函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2021·广东肇庆市·高三二模）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边与以O 为圆心的单位圆相交于A 点.若A 6）A．sin 6α=B ．2cos 23α=-C．sin 23α=-D．tan 22α=-16．（2021·山东淄博市·高三一模）已知()()cos cos f x x x x =+在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是32，则实数m 的最小值是（ ） A ．12πB ．3πC ．12π-D ．6π17．（2021·辽宁高三二模）若1tan 23=α，则()5πsin 12sin 3παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-（ ） A ．13-B ．3-C ．13D ．318．（2021·湖南衡阳市·高三一模）已知函数()cos f x x ω=（0>ω），将()f x 的图像向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图像，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图像的连续相邻三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围为（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭D．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭19．（2021·全国高三专题练习（文））已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α的值是（ ）A．BC．-D．20．（2021·山东滨州市·高三一模）将函数()222cos 1f x x x =+-的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对于满足()()124f x g x -=的1x ，2x ，有12min6x x π-=，则ϕ=（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．512π 二、多选题21．（2021·河北唐山市·高三二模）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为曲线E ，则（ ）A ．将曲线sin 2y x =向右平移3π个单位长度，与曲线E 重合 B ．将曲线sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合 C ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线E 的一个对称中心D ．若12x x ≠，且()()120f x f x ==，则12x x -的最小值为2π 22．（2021·辽宁高三二模）以下有关三角函数()sin cos2f x x x =⋅的说法正确的为（ ） A ．x ∀∈R ，()()0f x f x --= B ．0T ∃≠，使得f x Tf xC ．()f x 在定义域内有偶数个零点D ．x ∀∈R ，()()π0f x f x --=23．（2021·全国高三专题练习）已知函数()()()sin 00f x x ωϕωϕπ=+><<，，将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 B ．()f x 在5012π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 C ．()g x ≥12的解为()6232k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， D ．方程()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上有2个解 24．（2021·山东高三专题练习）已知()442sin,cos 22x x a f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若a 与b 共线，则下列说法正确的是（ ）A ．将()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数1π3cos 2434y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．直线3π2x =是()f x 的一条对称轴 D ．函数()f x 在ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 25．（2021·广东广州市·高三一模）已知函数2()sin 22cos f x x x =+，则（ ）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的图像关于直线8x π=对称C ．()f x 的图像关于点,18π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 26．（2021·广东肇庆市·高三二模）函数()()sin A f x x ωϕ+（0A >）的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A ．22sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．52sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．2cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．72cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭27．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数()cos22sin cos 22f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线8x π=对称D ．()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 28．（2021·山东菏泽市·高三一模）已知函数()()(0)20,2f x sin x πωϕωϕ=+><<.2x π=为函数的一条对称轴，且318f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.若()f x 在3,84ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值可以是（ ） A ．43 B ．83C ．163D ．32329．（2021·全国高三专题练习）已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+=⎨<⎩，，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．312f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()f x 是增函数D ．()f x 的值域为[1,)-+∞30．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1B ．()f x 的最小正周期是2π C ．直线()2k x k Z π=∈是()f x 图象的对称轴 D ．直线2y x π=与()f x 的图象恰有2个公共点31．（2021·山东高三专题练习）已知函数()f x = ）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的图象必有对称轴C ．()f x 的增区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x的值域为⎡⎣ 32．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =-C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 33．（2021·山东烟台市·高三一模）已知函数()2sin cos 1f x x x +=-，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．直线2x π=是()f x 图象的一条对称轴C ．方程()1f x =在[]0,π上有三个实根D ．()f x 的最小值为1-34．（2021·江苏常州市·高三一模）函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数35．（2021·山东德州市·高三一模）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）．A ．()g x 的最小正周期为2π3B ．()g x 在区间ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 的图像关于直线4π9x =对称 D ．()g x 的图像关于点π,09⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 36．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）已知函数()22sin cos 23cos 3f x x x x =+，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的图象是由y= 2sin2x 的图象向左移3π个单位得到的 B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()()g x f x =[]0,10内共有8个零点 37．（2021·山东济宁市·高三一模）将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦38．（2021·山东高三专题练习）函数()2cos 2sin 1f x x x x =-+，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．将()f x 的图象向左平移512π个单位后与2sin 2y x =-的图象重合 D ．若12,x x π-=则()()12f x f x =39．（2021·广东汕头市·高三一模）知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ） A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 三、填空题40．（2021·山东烟台市·高三一模）已知2()0,a π∈，若1sin 223πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值为___________. 41．（2021·全国高三专题练习（文））若1cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 42．（2021·山东高三专题练习）已知2sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 43．（2021·全国高三专题练习）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知ABC 内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '.若30ACB ∠=︒，则A B C '''的面积最大值为_______.44．（2021·江苏高三专题练习）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，60,PBA QAB AQ QP PB ∠=∠===，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP 最长时，该奖杯比较美观，此时AOB ∠=_______________________．四、双空题45．（2021·河北张家口市·高三一模）已知函数()sin cos f x x a x ππ=+图象的一条对称轴为16x =，则a =___________，函数()f x 在区间11,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为___________．。
高考数学 三角函数名题含解析 试题
C．可以获得最大值MD．可以获得最小值－M
11．假设f(x)sinx是周期为π的奇函数，那么f(x．cos2x
A．最大值是1，最小值是－1
C．最大值是2，最小值是－2
D．最大值是2，最小值是－1
16．函数y=cos2x－3cosx＋2的最小值为
11．B
12．B
13．A
14．D
15．D
16．B
17．B
18．B
19．A
20．D
提示：10．解法1：因为f(x)在区间[a，b]上单调递增，且x=a取
11．f(x)与sinx的积是奇函数，而sinx是奇函数，所以f(x)必是偶函
二、填空题
三、解答题
四季寄语情感寄语
在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.
2021年高考三角函数名题选萃
一、选择题
1．sinα＞sinβ，那么以下命题成立的是
A．假设α、β是第一象限角，那么cosα＞cosβ
B．假设α、β是第二象限角，那么tanα＞tanβ
C．假设α、β是第三象限角，那么cosα＞cosβ
D．假设α、β是第四象限角，那么tanα＞tanβ
2．函数y＝－xcosx的局部图象是
4．集合E＝{θ|cosθ＜sinθ，0≤θ＜2π}，F＝{θ|tanθ＜sinθ}，那么E∩F＝
5．设θ∈Ⅱ，那么必有
A．y＝sin2x＋cos4xB．y=sin2xcos4x
C．y＝sin2x＋cos2xD．y=sin2xcos2x
9．点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，那么在〔0，2π〕内α的取值范围是
落红不是无情物,化作春泥更护花.
愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.
2021年高考数学专题复习专题11.1 三角函数(考点讲析)解析版
专题11.1三角函数（考点讲析）提纲挈领点点突破热门考点01 象限角及终边相同的角（1）任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．【典例1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果α=−21∘，那么与α终边相同的角可以表示为()A．{β|β=k⋅360∘+21∘,k∈Z} B．{β|β=k⋅360∘−21∘,k∈Z}C．{β|β=k⋅180∘+21∘,k∈Z} D．{β|β=k⋅180∘−21∘,k∈Z}【答案】B【解析】由题意得，与α=−21∘终边相同的角可以表示为{β|β=k⋅360∘−21∘,k∈Z}．故选B．【典例2】若是第三象限的角, 则是（）A. 第一或第二象限的角B. 第一或第三象限的角C. 第二或第三象限的角D. 第二或第四象限的角【答案】B【解析】是第三象限角， ，， ，故当为偶数时，是第一象限角；故当为奇数时， 是第三象限角，故选B.【方法技巧】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．热门考点02 弧度制、扇形的弧长及面积公式（1）弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．（2）弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．（3）弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．扇形面积公式12lr =12αr 2，扇形中弦长公式2rsin α2，扇形弧长公式l =αr.在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．【典例3】（2018·湖北高考模拟（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3，弦长为40√3m 的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中π≈3，√3≈1.73） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18 【答案】B【解析】因为圆心角为2π3，弦长为40√3m ，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(40√3×20+20×20)=400√3+200，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12×2π3×402−12×20×40√3=1600π3−400√3，因此两者之差为1600π3−400√3−(400√3+200)≈16，选B.【典例4】已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）A. B. C. 或 D. 或 【答案】C【解析】设扇形的半径为，弧长为 ，则∴解得 或故选C ． 【总结提升】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．热门考点03 三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 【典例5】（2008·全国高考真题（文））若sinα<0，且tanα>0，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【答案】C【解析】sinα<0，则α的终边在三、四象限；tanα>0则α的终边在三、一象限， sinα<0，tanα>0，同时满足，则α的终边在三象限.【典例6】已知角α的终边在射线y =−3x (x ≥0)上，则sinαcosα等于（ ） A. −310 B. √1010 C. 310 D. −√1010【答案】A【解析】由题得α在第四象限,且tanα=−3， 所以sinα=√10cosα=√10∴sinαcosα=√10⋅√10=−310.故答案为：A.【典例7】（江西高考真题（文））已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且sin θ=y=_______. 【答案】-8【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.=【典例8】已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵αα≤>00cos ，sin ，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴⎧-≤⎨+>⎩39020a a ∴23－a <≤.故选A.【总结提升】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．热门考点04 单位圆、三角函数线的应用3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线【典例9】（2018年文北京卷）在平面坐标系中，⌒AB ⌒CD ⌒EF ⌒GH 是圆上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角以O x 为始边，OP 为终边，若，则P 所在的圆弧是（ ）A. ⌒ABB. ⌒CDC. ⌒EFD. ⌒GH 【答案】C【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A 选项：当点在⌒AB上时，，，故A 选项错误；B 选项：当点在⌒CD 上时，，，，故B 选项错误；C 选项：当点在⌒EF上时，，，，故C 选项正确；D 选项：点在⌒GH 上且⌒GH在第三象限，，故D 选项错误.综上，故选C.【总结提升】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置． (2)根据不等式(组)定出角的范围． (3)求交集，找单位圆中公共的部分． (4)写出角的表达式．热门考点05 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .【典例10】（2019·北京高考模拟（文））已知3(,)22ππα∈，且tan α=，那么sin α=（ ）A ．33-B ．36-C ．36 D 【答案】B【解析】因为3(,)22ππα∈，sin tan cos ααα==>0，故3(,)2παπ∈即sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 解得：sin α=36- 故选 ：B 【规律方法】同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．热门考点06 sin α±cos α与sin αcos α的关系及应用三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcosα;形如asinx+bcosxcsinx+dcosx ,22asin x bsinxcosx ccos x ++等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法: ()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等.(3)和积转换法:利用()()222()12,2sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ±=±++-=的关系进行变形、转化.【典例11】（2018·河北高考模拟（理））已知−π2<α<0，sinα+cosα=15，则1cos 2α−sin 2α的值为( )A ．75B ．257C ．725D ．2425 【答案】B【解析】∵sinα+cosα=15，∴1+2sinαcosα=125⇒2sinαcosα=−2425，∴(cosα−sinα)2=1+2425，又∵−π2<α<0，∴cosα>0>sinα，∴cosα−sinα=75，∴1cos 2α−sin 2α=1(cosα−sinα)(cosα+sinα)=115×75=257，故选B.【典例12】（2019·天津高考模拟）已知sinαcosα=18,0<α<π2，则sinα+cosα的值是（ ） A ．14 B ．−√32 C ．√32 D ．√52【答案】D【解析】sinαcosα=18,0<α<π2，sin α+cos α>0, 则2sin αcos α=14,∴1+2sin αcos α=54, 即(sin α+cos α)2=54,∍sin α+cos α=√52. 故选D.【典例13】（2019·山东高三期末（理））已知sinα+cosα=15，α∈(0,π)，则tanα=（ ）A ．−34B ．−43C ．−34或−43D ．34或43 【答案】B【解析】由题意知， sinα+cosα=15,α∈(0,π)，①∴(sinα+cosα)2=125，即1+2sinα⋅cosα=125， ∴2sinα⋅cosα=−2425<0，∴α为钝角，， ∴sinα>0,cosα<0，∴sinα−cosα>0 ∴(sinα−cosα)2=1−2sinα⋅cosα=4925，∴sinα−cosα=75，②由①②解得sinα=45,cosα=−35， ∴tanα=45−35=−43，故选B.【总结提升】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.热门考点07 诱导公式及其应用六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”【典例14】求值：sin(－1 200°)cos1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝ . 【答案】1【解析】原式1200?129010201050sin cos cos sin ︒︒︒︒＝－－ (3360120)(3360210)(2360300)(2360330)120210300330(18060)(18030)(36060)(36030)6030603011122sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin ⨯︒︒⨯︒︒⨯︒︒⨯︒︒︒︒︒︒︒︒⋅︒-︒︒︒⋅︒︒︒︒︒︒⨯＝－＋＋－＋＋＝－－＝－----＝＋＝【典例15】（2016·全国高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）= . 【答案】−43【解析】∵θ是第四象限角，∴−π2+2kπ＜θ＜2kπ，则−π4+2kπ＜θ+π4＜π4+2kπ，k∈Z，又sin（θ+π4）=35，∴cos（θ+π4）=√1−sin2(θ+π4)=√1−(35)2=45．∴cos（π4−θ）＝sin（θ+π4）=35，sin（π4−θ）＝cos（θ+π4）=45．则tan（θ−π4）＝﹣tan（π4−θ）=−sin(π4−θ)cos(π4−θ)=−4535=−43．故答案为：−43．【总结提升】1.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.2. 利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.热门考点08 同角公式、诱导公式的综合应用【典例16】（2018·山东高三期中（文））若θ是∆ABC的一个内角，且sinθcosθ=−18，则sin(2π+θ)−sin(π2−θ)的值为（）A．−√32B．√32C．−√52D．√52【答案】D【解析】已知θ是∆ABC的一个内角，则0＜θ＜π，结合sinθcosθ=−18，可知sinθ＞0，cosθ＜0，sin(2π+θ)−sin(π2−θ)=sinθ-cosθ，∵sin2θ+cos2θ=1∴(sinθ-cosθ)2=sin2θ+cos2θ-2sinθ⋅cosθ=1+14=54，∴sinθ-cosθ=√52或-√52（舍去）.故选D.【典例17】（2019·河北高考模拟（文））已知1sin()3απ+=，且α为第三象限角，则cosα=（）AB ．CD． 【答案】B【解析】∵()sin sin απα+=-，∴1sin 3α=-. ∵22sin cos 1αα+=， ∴21cos 19α+=，即28cos 9α=， 又∵α为第三象限角，∴cos α=. 故选B. 【总结提升】三角形中的三角函数关系式()()()()()()(2222(.2222sin A B sin C sinC cos A B cos C cosC tan A B tan C tanC A B C C sin sin cos A B C C cos cos sin πππππ++++＋＝－＝；＋＝－＝－；＋＝－＝－；＝)＝；＝)＝热门考点09 “五点法”做函数的图象“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.【典例18】（2018届浙江省杭州市第二中月热身）已知函数f(x)=Asin(ωx +ϕ)(A >0,ω>0,|ϕ|<π2,x ∈R)的部分图象如图.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式.（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,5π12]上的最值，并求出相应的x值.【答案】(1)f(x)=2sin(2x−π6).(2) x=π3时，f(x)max=f(π3)=2，x=0时，f(x)min=f(0)=−1.【解析】（1）由图象可知|A|=2，又A>0，故A=2.周期T=43×(1312π−π3)=43×3π4=π，又T=2πω=π，∴ω=2.∴f(x)=2sin(2x+ϕ),f(π3)=2sin(2π3+ϕ)=2,|ϕ|<π2,ϕ=−π6.f(x)=2sin(2x−π6).（2）x∈[0,5π12],2x−π6∈[−π6,2π3]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1],2sin(2x−π6)∈[−1,2].当2x−π6=π2时，x=π3，f(x)max=f(π3)=2.当2x−π6=−π6时，x=0，f(x)min=f(0)=−1.所以f(x)max=f(π3)=2，f(x)min=f(0)=−1.【总结提升】用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．热门考点10 三角函数的图象和性质正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质当时，；当时，．当时，；当时，．,奇函数偶函数奇函数在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.【典例19】（2018年全国卷Ⅲ文）函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为（）A. π4 B. π2C. πD. 2π【答案】C【解析】由已知得f(x)=tanx1+tan2x =sinxcosx1+(sinxcosx)2=sinxcosx=12sin2xf(x)的最小正周期T=2π2=π故选C.【典例20】（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（）A．2 B．C．1 D．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A．【典例21】（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f(x)=在的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．【典例22】（2017新课标2）函数f(x)=sin2x+√3cosx−34（x∈[0,π2]）的最大值是__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1−cos 2x +√3cosx −34=−cos 2x +√3cosx +14=−(cosx −√32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cosx ∈[0,1]，当cosx =√32时，函数f(x)取得最大值1．【典例23】（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】【解析】由题意可得，所以，因为，所以【典例24】（2018年理北京卷】设函数f （x ）=cos(ωx −π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________， 【答案】23【解析】因为f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，所以f(π4)取最大值，所以π4ω−π6=2k π(k ∈Z)，∴ω=8k +23(k ∈Z)，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23. 【总结提升】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 3.求形如或(其中A ≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 ()，()的单调区间对应的不等式方向相同(反)． 4.当时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.5．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.6.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值，两个公式不要弄混.(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.7.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.8. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.9. 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有； (2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.10.函数的对称性问题，往往先将函数化成的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 11.函数y =Acos(ωx +φ)+B(A >0,ω>0)的性质 (1)y max =A +B ，y min =A −B .(2)周期T =2πω.(3)由 ωx +φ=k π(k ∈Z)求对称轴，最大值对应自变量满足ωx +φ=2k π(k ∈Z)，最小值对应自变量满足ωx +φ=π+2k π(k ∈Z)， (4)由−π2+2k π≤ωx +φ≤π2+2k π(k ∈Z)求增区间; 由π2+2k π≤ωx +φ≤3π2+2k π(k ∈Z)求减区间.巩固提升1．（浙江普通高校招生学业水平考试）若点在角的终边上，则（ ）A.B.C.D.【答案】A.【解析】由任意角的三角函数的定义可知，，故选A.2.（2018届河北省唐山市三模）已知函数f (x )=sin (ωx +π3)−2ω(ω>0)的图象与x 轴相切，则f (π)=（ ）A. −32 B. −12 C. √32−1 D. −√32−1【答案】B【解析】∵ω>0，且f (x )的图象与x 轴相切， 所以最大值1−2ω=0， ∴2ω=1，即ω=12， ∴f (x )=sin (12x +π3)−1， ∴f (π)=sin5π6−1=−12，故选B.3. 已知角α的终边过点P (−3,−8m ),且sinα=−45，则m 的值为( )A. −12B. 12C. −√32 D. √32【答案】B【解析】由题意可知，OP =√(−8m )2+(−3)2=√9+64m 2， ∵cosα=−45,P (−8m,−3)，∴α是第三象限角， 可得−8m9+64m 2=−45，即100m 2=9+64m 2，解得m =12，故选B.4．（2019·辽宁鞍山一中高考模拟（理））设θ∈R，则“θ=π6”是“sinθ=12”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当α=π6,可以得到sinα=12,反过来若sinα=12，至少有α=π6或5π6， 所以α=π6为充分不必要条件，故选A.5.（2019·陕西高考模拟（文））已知sin(α−3π10)=35，则cos(α+π5)=（ ） A ．−45 B ．45C ．−35 D ．35【答案】C 【解析】α+π5=π2+(α−3π10)，由诱导公式即可求解.因为sin(α−3π10)=35，则cos(α+π5)=cos[π2+(α−3π10)]=−sin(α−3π10)=−35．故应选C ．6．（浙江省七彩联盟2019届高三上期中）已函数y =f(x)+cosx 是奇函数，且f(π3)=1，则f(−π3)=（ ）A ．−2B ．−1C ．1D ．2 【答案】A【解析】根据题意，函数y =f(x)+cosx 是奇函数，则[f(π3)+cos π3]+[f(−π3)+cos(−π3)]=0，解可得：f(−π3)=−2， 故选：A ．7.（浙北四校2019届高三12月模拟）若函数f (x )=cos (π2+2x)，x ∈R ，则f (x )是（ ） A ． 最小正周期为π为奇函数 B ． 最小正周期为π为偶函数 C ． 最小正周期为π2为奇函数 D ． 最小正周期为π2为偶函数 【答案】A【解析】∵cos (π2+2x)=-sin2x ， ∴f（x ）=-sin2x ，可得f （x ）是奇函数，最小正周期T=2π2=π 故选：A ．8．（2019·四川高三月考（文））已知3sin α5=，π3πα22<<，则5πsin α(2⎛⎫-=⎪⎝⎭) A ．45-B ．45 C ．35-D ．35【答案】A 【解析】3sin α5=，π3πα22<<，παπ2∴<<，则5ππ4sin αsin αcos α225⎛⎫⎛⎫-=-===-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A ．9.（2019·四川重庆南开中学高考模拟（文））在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 的非负半轴重合，终边过点2(1,P ），则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A B C ．D ． 【答案】A【解析】角α的终边过点()1,2P ，则cosx r α===则sin cos 2παα⎛⎫+==⎪⎝⎭， 故选：A10．（2018·贵州凯里一中高考模拟（理））若sinθ−cosθ=43，且θ∈(34π,π)，则sin(π−θ)−cos(π−θ)=（ ） A ．−√23 B ．√23 C ．−43 D ．43【答案】A【解析】由题：sinθ−cosθ=43⇒1−2sinθcosθ=169，于是2sinθcosθ=−79<0 由于θ∈(34π,π)，sin (π−θ)−cos (π−θ)=sinθ+cosθ=−√(sinθ+cosθ)2 =−√1+2sinθcosθ= −√23. 故选：A11．（2019·四川石室中学高考模拟（理））已知α为第二象限角，且1sin cos 5αα+=，则cos sin αα-=（ ）A ．75B ．75-C ．75±D ．2525【答案】B【解析】∵1sin cos 5αα+=，平方得11+2sin cos 25αα=， ∴2cos αsin α＝﹣2425∴22449cos sin 1-2sin cos 12525αααα-==+=（）， ∵α为第二象限角， ∴7cos sin -5αα-= 故选：B ．12.（2018·广东高考模拟（文））已知sin(π)2cos(3π)0θθ-++-=，则sin cos sin cos θθθθ+=-（ ）．A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】D【解析】∵()()sin π2cos 3π0θθ-++-=， ∴sin 2cos θθ=-，sin cos 2cos cos 1sin cos 2cos cos 3θθθθθθ+-+==---．13.（2018届福建省厦门市第二次质量检查）函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的周期为π，f (π)=12，f (x )在(0,π3)上单调递减，则φ的一个可能值为（ ） A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6【答案】D【解析】由函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的周期为π， 得2πω=π,ω=2，f (x )=sin (2x +φ)， f (π)=sin (2π+φ)=sinφ=12， φ=2kπ+π6或x =2kπ+56π，令k =0，φ=π6或φ=56π，φ=π6,2x +π6∈(π6,23π)，f (x )在(0,π3)不是单调函数，∴φ=π6不合题意， 故φ=56π，故选D.14.（2017课标3，理6）设函数f (x )=cos (x +)，则下列结论错误的是（ ）A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图象关于直线x=对称C ．f(x+π)的一个零点为x=D ．f(x)在(,π)单调递减【答案】D 【解析】1 15.（2019·甘肃高考模拟（文））已知sinα+cosα=75，sinα＞cosα，则tanα=______． 【答案】43 【解析】∵749sin cos ,12sin cos 525αααα+=∴+=，即2sinαcosα=2425．又cos 2α+sin 2α=1，且sinα＞cosα，∴sinα=45，cosα=35，tanα=43． 故答案为：43．16．（2019·山东高三期中（文））圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【答案】916【解析】设该扇形的半径为r ，根据题意，有l =αr +2r ，∴3=2r +2r ，∴r =34，∴S 扇形=12αr 2=12×2×916=916．故答案为：916．。
2021年高考数学(理)试题分项版解析：专题05 解析几何 (1)
1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线Cy 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【考点】抛物线的简单性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||cos p AB α=，则2222||sin cos ()2p pDE παα==-，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+= 2.【2017课标II ，理9】若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A．2 B．3C．2D．23 3【答案】A【解析】【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法①求出a，c，代入公式cea =；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。
3.【2017浙江，2】椭圆22194x y+=的离心率是A．133B．53C．23D．59【答案】B【解析】 试题分析94533e -==，选B ． 【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于c b a ,,的方程或不等式，再根据c b a ,,的关系消掉b 得到c a ,的关系式，建立关于c b a ,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．4.【2017课标3，理10】已知椭圆C 22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A 【解析】【考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法①求出a ，c ，代入公式e ＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).5.【2017天津，理5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为2.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，（2）与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.6.【2017北京，理9】若双曲线221y x m-=3m =_________.【答案】2 【解析】试题分析221,a b m == ，所以13c m a +==，解得2m = . 【考点】双曲线的方程和几何性质【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，根据离心率的公式计算.7.【2017课标1，理】已知双曲线C 22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.【答案】233【解析】试题分析【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab c. 8.【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。
2021年高考数学高考数学压轴题 三角函数与解三角形多选题分类精编含解析
2021年高考数学高考数学压轴题 三角函数与解三角形多选题分类精编含解析一、三角函数与解三角形多选题1．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ）A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确； 对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-， 解得3cos 5A ≥，故C 错误； 对于D，2222213cos 44c c BAD c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2BAD π∠∈，又cos BAD ∠≥BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.2．函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数 【答案】BCD 【分析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断； 对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断； 对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断； 【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确. 故选：BCD. 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．3．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．1()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确； 求出213263x πππ--得到函数在[],ππ-上不是增函数，得选项B 错误；求出图象变换后的解析式得到选项C 正确； 求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：1732422T πππ=-=， 6T π∴=，∴2163πωπ==，(2)2f π=，∴2(2)2sin()23f ππϕ=+=，即2sin()13πϕ+=， ∴22()32k k Z ππϕπ+=+∈，∴2()6k k Z πϕπ=-∈，||ϕπ<，∴6πϕ=-，∴1()2sin()36f x x π=-，故选项A 正确；B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π=-，[x π∈-，]π，∴213263x πππ--，∴12sin()26y x π=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；C, 把()y f x =的图象向左平移2π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223xy x ππ=-+=，是奇函数，故选项C 正确； D, 设1,,32,362x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.4．已知函数()22sin cos f x x x x =+，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的图象是由y= 2sin2x 的图象向左移3π个单位得到的 B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()()g x f x =[]0,10内共有8个零点 【答案】BCD 【分析】A.化简得()2sin(2)3f x x π=+，利用函数的图象变换得该选项错误；B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；C. 由2,3x k k Z ππ+=∈得该选项正确；D.解方程sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得该选项正确. 【详解】()2π2sin cos sin 222sin 22sin 236f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位，得到()f x ，所以选项A 不正确; 设23t x π=+，则t 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增， ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,,33t ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦又sin y t =在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以选项B 正确;由2,3x k k Z ππ+=∈得对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以选项C 正确；由sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2233x k πππ+=+或222,33x k k Z πππ+=+∈ 解得x k π=或,6x k k Z ππ=+∈，又[]0,10,x ∈0,1,2,3k ∴=时，713190,,,,2,,3,6666x πππππππ=，共8个零点，所以选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：函数的零点问题的研究，常用的方法有：（1）方程法（解方程即得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 得()()g x h x =，再分析函数(),()g x h x 的图象得解）. 要根据已知条件灵活选择方程求解.5．下列结论正确的是（ ）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确； 在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.6．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【分析】利用图象，把(代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin ϕ=sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.7．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.8．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()10αβ+=-，则（ ）A ．cos α=B ．sin cos 5αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos 5αβ=-【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α； 根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 55αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=， 由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos 5αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()010αβ+=-<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()αβ+=所以34cos()cos[()2]1051052βααβα⎛⎫⎛⎫-=+-=--+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-， 所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()0αβ+=<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.9．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（ ） A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭ D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确； 对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确； 对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确； 对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确. 故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.10．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 【答案】ABC【分析】首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可.【详解】 解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2))cos 22423F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ；对于A ，tan tan 63πϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC .【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.。
2021新高考高三优质数学试题分项汇编《专题5 三角函数与解三角形》(解析版)
3 ⎪专题 5 三角函数与解三角形1. 近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等 变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2. 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理， 以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测 2021 年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020 届山东省高考模拟）若sin (75︒ +α)=2 ，则cos (30︒- 2α)= （ ）4A ．9 【答案】DB ．- 4C ． 5 99 D ． - 59【解析】令75︒ +α=θ，则α=θ- 75︒ 由sin (75︒ +α)=2 ，可得sin θ=233cos (30︒ - 2α) = cos ⎡⎣30︒ - 2 (θ- 75︒)⎤⎦ = cos (180︒ - 2θ) = - cos 2θ= -(1- 2 s in 2 θ)⎡ ⎛ 2 ⎫2⎤ 5 = - ⎢1- 2 ⨯ ⎥= - 故选 D ． 3 9 ⎣⎢⎝ ⎭ ⎥⎦ π πtan α= 1+ sin β2．（2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设α∈(0,),β∈(0, ), 且 2 2cos β , 则（ ） A ．3α- β= π2B ．3α+ β= π2C ．2α- β= π2D ．2α+ β= π2【答案】C【解析】由已知得， tan α=sin α = 1 + sin β，去分母得， sin αcos β= cos α+ cos αsin β，所以 cos α cos βsin αcos β- cos αsin β= cos α, sin(α- β) = cos α=π sin( -α) ，又因为 2 π π- < α- β< ，2 2π π ππ< -α< ，所以α- β= -α，即 2α- β=，选C2 2 2 2 3．（2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）直线l : 2x - y + e = 0 的倾斜角为α，则sin (π -α)sin ⎛ π +α⎫的值为（ ）2 ⎪A ．- 25【答案】D⎝ ⎭ B ．- 1 C ．1D ． 255 5【解析】由已知得tan α= 2 ，则sin (π -α)sin ⎛ π +α⎫= sin αcos α= sin αcos α = tan α = 2= 2.故选：D.2 ⎪ sin 2α+ cos 2 α tan 2 α+1 22 +1 5⎝ ⎭4．（2020·2020 届山东省烟台市高三模拟）刘徽(约公元 225 年-295 年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周 合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2 的近似值为（ ）A.π90【答案】AB. π 180C.270 D.360【解析】由割圆术可知当 n 变得很大时,这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为 r ,每个等腰三角形的顶角为360︒,所以每个等腰三角形的面积为 1 r 2sin360︒,n 2 n所以圆的面积为πr 2 = n ⋅ 1 r 2sin 360︒ ,即sin360︒ = 2π, 2 n n n 所以当n = 180 时,可得sin 360︒ = sin 2︒ = 2π = π,故选:A180 180 905．（2020·山东高三模拟）设函数 f (x ) = sin ⎛ωx + π⎫(ω> 0) ，若 f (x ) 在[0, 2π] 上有且仅有 5 个零点，⎝⎭⎢⎣ 5 10 ⎪5 10 ⎥⎦5 10 ⎪ ⎢⎥ 则ω的取值范围为（）A ． ⎡12 , 29 ⎫⎭ B ． ⎛ 12 , 29 ⎤⎝C ． ⎛ 12 , 29 ⎫⎝⎭ D ． ⎡12 , 29 ⎤⎣ 5 10 ⎦【答案】A【解析】当x Î [0, 2π] 时，ωx + π∈ ⎡π, 2πω+ π⎤，∵ f ( x ) 在[0, 2π]上有且仅有 5 个零点，5 ⎢⎣ 5 5 ⎥⎦ ∴ 5π≤ 2π 6π，∴ 12 ≤ ω< 29.故选:A.ωπ+ <55 10 6．（2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积 多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以 4 .在此问题中，扇 形的圆心角的弧度数是（ ） 415 A ．B ．158【答案】CC ．154D ．120【解析】由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4 ，再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角α= lr = 30 = 15（弧度），故选 C.8 47．（2020·山东高三下学期开学）函数 f ( x ) = cos 2 ⎛ x + π⎫ 的最小正周期为（ ）3 ⎪ ⎝ ⎭A ． πB ． 2πC ． πD ．π 4【答案】D2cos ⎛ 2x + 2π⎫ + 1【解析】因为 2 ⎛π⎫ 3 ⎪ 1 ⎛ 2π⎫ 1 ，所以最小正周期为π. f (x ) = cos x + ⎪ = ⎝ ⎭ =cos 2x + ⎪ + ⎝ 3 ⎭ 2 2 ⎝ 3 ⎭ 2故选：D8．（2020·山东滕州市第一中学高三 3 月模拟）已知角α的终边经过点 P( sin 470 , cos 470 )，则 sin(α-130 )= A ．1 B ．322C. - 12D. - 32【答案】A【解析】由题意可得三角函数的定义可知：cos 47 sin 47 2 sin α= = cos 47 sin 2 47 + cos 2 47， cos α= = sin 47 sin 2 47 + cos 2 47，则： sin (α-13) = sin αcos13- cos αsin13= cos 47 cos13 - sin 47 sin13= cos (47 +13 ) = cos 60 = 1.本题选择 A 选项.9．（2020·山东滕州市第一中学高三 3 月模拟）函数 f (x ) = 4 sin ⎛ωx +π⎫(ω> 0) 的最小正周期是3π，则 3 ⎪π 其图象向左平移 6 ⎝⎭个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）A. x =π4【答案】DB. x =π3 C. x =5π6D ．x = 19π12【解析】函数 f (x ) = 4 sin ⎛ωx + π⎫(ω> 0) 的最小正周期是3π，则函数 f (x ) = 4 sin ⎛ 2x + π⎫，经过平 3⎪ 3 3⎪⎝⎭ ⎝⎭移后得到函数解析式为 y = 4sin ⎡ 2 ⎛ x + π⎫ + π⎤ = 4sin ⎛ 2 x + 4π⎫ ，由 2 x + 4π = k π+ π(k ∈ Z ) ， ⎢ 3 6 ⎪ 3 ⎥ 3 9 ⎪3 9 2 ⎣ ⎝⎭ ⎦ ⎝ ⎭ 得 x = 3 k π+ π (k ∈ Z ) ，当 k = 1时， x = 19π.故选 D.2 12 1210．（2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得“泉标”顶端的仰角为 45︒ ，沿点 A 向北偏东30︒ 前进 100 m 到达点 B ，在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒ ，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A【解析】如图, CD 为“泉标”高度,设高为h 米，由题意, CD ⊥ 平面 ABD , AB = 100 米, ∠BAD = 60︒ ，∠CAD = 45 ,∠CBD = 30︒2 ⎨)．在 CBD 中, BD =3h ,在 CAD 中, AD= h ,在△ABD 中, BD = 3h , AD = h ，, AB = 100 ， ∠BAD = 60︒ ,由余弦定理可得3h 2 = 10000 + h 2 - 2 ⨯100h cos 60 ︒∴(h - 50)(h +100) = 0 ，解得 h = 50 或 h = -100 (舍去),故选：B.二、多选题⎧ ⎪sin x ,x ≤ π 11．（2020 届山东省高考模拟）已知函数 f (x ) = ⎪ ⎪cos x , ⎩4 ，则下列结论正确的是（ ）x > π4A ． f (x ) 不是周期函数B ． f (x ) 奇函数C ． f (x ) 的图象关于直线 x = π对称D ． f (x ) 在x = 5π处取得最大值42【答案】AC【解析】作出函数 f (x ) 的图象如图：则由图象知函数 f (x ) 不是周期函数，故 A 正确； 不是奇函数，故 B 错误，若 x > 0 ， π f ( + x ) = π cos( + x ) = π cos cos x π - sin sin x =2 (cos x - sin x ) ， 4 4 4 4 2π f ( - x ) = π sin( - x ) = πsin cos x π - cos sin x = 2(cos x - sin x ) ， 4 4 4 4 2π π x 0π π π π 2此时 f ( + x ) = f ( - x ) ，若 ， f ( + x ) = sin( + x ) = sin cos x + cos sin x = (cos x + sin x ) ，4 4π π π π4 4 4 4 2 π π f ( - x ) = cos( - x ) = cos cos x + sin sin x = (cos x + sin x ) ，此时 f ( + x ) = f ( - x ) ， 4 4 4 4 2 4 4π π π综上恒有 f ( + x ) = f ( - x ) ，即图象关于直线 x = 对称，故C 正确，444f (x ) 在 x =5π处 f (x ) = f (5π= cos 5π= 0 不是最大值，故 D 错误，故选：A C ． 22 255 =12．（2020 届山东省烟台市高三模拟）在 ABC 中，D 在线段 AB 上，且 AD = 5, BD = 3 若 CB = 2CD , c os ∠CDB =- 5 ，则（ ）5A. sin ∠CDB = 310B. ABC 的面积为 8C. ABC 的周长为8 + 4 D ． ABC 为钝角三角形【答案】BCD【解析】因为cos ∠CDB = -5,所以sin ∠CDB = 5=2 5 ,故 A 错误；5设CD = a ,则 BC = 2a ,在 BCD 中, BC 2 = CD 2 + BD 2 - 2BC ⋅ C D ⋅ cos ∠CDB ,解得 a = ,所以S= 1 BD ⋅ C D ⋅sin ∠CDB = 1 ⨯ 3⨯ 5 ⨯ 2 5 = 3 ,所以 S = 3 + 5 S = 8 ,故 B 正确； DBC 2 2 5ABC 3 D BC因为∠ADC = π- ∠CDB ,所以cos ∠ADC = cos (π- ∠CDB ) = - cos ∠CDB = 5 ,5在 ADC 中, AC 2 = AD 2 + CD 2 - 2 AD ⋅ DC ⋅ cos ∠ADC ,解得 AC = 2 5 , 所以C ABC = AB + AC + BC = (3+ 5)+ 2 5 + 2 5 = 8+ 4 BC 2 + AC 2 - AB 23因为 AB 8 为最大边,所以cos C = = - <,故 C 正确；0 ,即∠C 为钝角,所以 ABC 为钝角三角形,2BC ⋅ AC5故 D 正确.故选:BCD13．（2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）已知函数 f (x ) = 2sin (2x +ϕ)(0 <ϕ<π) ，若将函数 f ( x ) 的 图象向右平移 π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( )6 A ．ϕ=5π B ． ⎛ π , 0 ⎫是 f ( x ) 图象的一个对称中心 612 ⎪⎝ ⎭1- cos 2 ∠CDB 53 3C ． f (ϕ) = -2 【答案】ABDD ． x = -π是 f ( x ) 图象的一条对称轴6【解析】由题意， f ( x ) = 2sin (2x +ϕ) 向右平移 π，得 y =⎡ ⎛ - π⎫ ⎤ 2 s in ⎛ 2x +ϕ- π⎫ 62 s in ⎢2 x 6 ⎪ +ϕ⎥ =3 ⎪ ⎣ ⎝⎭ ⎦ ⎝ ⎭y = 2 sin ⎛ 2x +ϕ- π⎫ 的图象关于 y 轴对称，所以ϕ- π = k π+ π， k ∈ Z 3 ⎪ 3 2⎝ ⎭ ∴ϕ= k π+ 5π k ∈ Z ，又0 < ϕ< π,∴ k = 0，ϕ= 5π，6 6即 f (x ) = 2 s in ⎛ 2x + 5π⎫ ,∴ f ⎛ π ⎫ = 0，f ⎛ -π⎫ = 2，f ⎛ 5π⎫= 2 6 ⎪ 12 ⎪ 6 ⎪ 6 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭则⎛ π , 0 ⎫是 f ( x ) 图象的一个对称中心， x = -π 是 f ( x ) 图象的一条对称轴12 ⎪ 6 ⎝ ⎭ 而 f (ϕ) = 2 ，则 C 错，A,B,D 正确,故选：ABD14．（2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知向量 m = (sin x ，- f (x ) = 2m ⋅ n + +1，下列命题，说法正确的选项是（ ） A ．f ⎛ π - x ⎫= 2 - f (x )3 ), n = (cos x , cos 2 x )，函数6 ⎪ ⎝ ⎭ B ． f ⎛π - x ⎫的图像关于 x = π对称6 ⎪ 4⎝ ⎭ C ．若0 < x < x < π，则 f (x ) < f (x )1 22 1 2D ．若 x , x , x ∈ ⎡π , π⎤ ，则 f (x ) + f (x ) > f (x )1 2 3 ⎢⎣ 3 2 ⎥⎦1 2 3【答案】BD【解析】函数 f ( x ) = 2sin ⎛2x -π⎫+1 ，3 ⎪ ⎝⎭A ：当 x = 0 时， f⎛π- x ⎫ = f ⎛ π⎫= 1 ， 2 - f ( x ) = 2 - f (0 ) = 1+ ，故 A 错；6 ⎪ 6 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭3 ⎝ ⎭ 3 2 ⎝ ⎭3 2 B ： f⎛ π- x ⎫= 2sin (-2x ) +1，当 x = π时，对应的函数值取得最小值为-1，所以 B 正确； 6 ⎪ 4⎝ ⎭C ：x ∈⎛ 0,π⎫ 时，2x - π ∈⎛ - π, 2π⎫ ，所以函数 f ( x ) = 2sin ⎛ 2x - π⎫ +1 在⎛ 0,π⎫ 不单调，故 C 错； 2 ⎪ 3 3 3 ⎪3 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭D ：因为x ∈ ⎡π,π⎤，所以2x - π ∈ ⎡π, 2π⎤，∴ f ( x )∈ ⎡+1, 3⎤ ， ⎢⎣ 3 2 ⎥⎦3 ⎢⎣ 3 3 ⎥⎦⎣ ⎦又2( +1) > 3 ，即 2 f ( x )> f ( x ) x , x , x ∈ ⎡π,π⎤，f ( x ) + f ( x ) > f ( x ) 恒成立，故 D 对；min max 1 2 3⎢⎣ 3 2 ⎥⎦1 23故选：BD.15．（2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考）要得到 y = cos 2x 的图象C ,只要将y = sin ⎛2x + π⎫图象C1 3 ⎪2⎝⎭怎样变化得到()y = ⎛π⎫ πA. 将 sin 2x + 3 ⎪ 的图象C 2 沿 x 轴方向向左平移12 个单位y = ⎛ π⎫11πB. 将 sin 2x + ⎪ 的图象C 沿x 轴方向向右平移 ⎝ ⎭12 个单位 C. 先作C 关于 x 轴对称图象C ,再将图象C 沿 x 轴方向向右平移 5π个单位23 3 12 D.先作C 关于 x 轴对称图象C ,再将图象C 沿 x 轴方向向左平移 π个单位2【答案】ABC3 312y = ⎛π⎫ π【解析】对于 A ，将 sin 2x + 3 ⎪ 图象C 2 沿 x 轴方向向左平移12 个单位，可得y = sin ⎡2⎛ x + π ⎫ + π⎤ = sin ⎛2x + π⎫ = cos 2x 的图象C ，故选项 A 正确；⎢ 12 ⎪ 3 ⎥ 2 ⎪1 ⎣ ⎝ ⎭ ⎦ ⎝ ⎭y = ⎛ π⎫11π对于 B ，将 sin 2x + ⎪ 的图象C 沿x 轴方向向右平移 ⎝⎭ 12 个单位也可得到，y = ⎡ ⎛11π⎫ π⎤⎛ 3π⎫ sin ⎢2 x - 12 ⎪ + 3 ⎥ = sin 2x - 2 ⎪ = cos 2x 的图象C 1 ，故选项 B 正确； ⎣ ⎝ ⎭ ⎦ ⎝ ⎭3⎢⎥ 对于 C ，先作C 关于 x 轴对称，得到 y = -sin ⎛2x + π⎫ 的图象C ，再将图象C 沿 x 轴方向向右平移 5π个2 3 ⎪ 3 3 12⎝ ⎭y = - ⎡ ⎛5π⎫ π⎤ ⎛ π⎫单位，得到 sin ⎢2 x - 12 ⎪ + 3 ⎥ = -sin 2x - 2 ⎪ = cos 2x 的图象C 1 ，故选项 C 正确；⎣ ⎝ ⎭ ⎦⎝ ⎭对于 D ，先作C 关于 x 轴对称，得到 y = -sin ⎛ 2x + π⎫ 的图象C ，再将图象C 沿 x 轴方向向左平移 π个 2 3 ⎪ 3 3 12 ⎝ ⎭y = - ⎡ ⎛π ⎫ π⎤ ⎛ π⎫单位，得到的 sin ⎢2 x + 12 ⎪ + 3 ⎥ = -sin 2x + 2 ⎪ = - cos 2x 图象，故选项 D 不正确．故选：ABC ．⎣ ⎝ ⎭ ⎦⎝ ⎭16（．2020 届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数 f ( x ) = sin (3x +ϕ)⎛ -π < ϕ< π⎫ 的图象关于直线 x = π 2 2⎪ 4⎝⎭对称，则（）A. 函数 f ⎛x +π ⎫为奇函数12 ⎪ ⎝⎭B. 函数 f( x ) 在⎡ π ,π⎤上单调递增⎣12 3 ⎦C. 若 f( x ) - f ( x ) = 2 ，则 x - xπ 的最小值为 12123D. 函数 f( x ) 的图象向右平移π个单位长度得到函数 y = -cos 3x 的图象4【答案】AC【解析】因为直线 x = π是 f ( x ) = sin (3x +ϕ)⎛ -π< ϕ< π⎫的对称轴, 4 2 2 ⎪ ⎝ ⎭3 π ππ所以⨯ +ϕ= + k π(k ∈ Z ) ,则ϕ= -+ k π(k ∈ Z ) ,424 当k = 0 时,ϕ= - π,则 f ( x ) = sin ⎛3x - π⎫ ,44 ⎪ ⎝ ⎭对于选项 A, f ⎛ x +π ⎫ = sin ⎡3⎛ x + π ⎫ - π⎤ = sin 3x ,因为sin (-3x ) = -sin 3x ,所以 f ⎛x + π ⎫ 为奇函 12 ⎪ ⎢ 12 ⎪ 4 ⎥12 ⎪ ⎝ ⎭ ⎣ ⎝ ⎭ ⎦⎝ ⎭数,故 A 正确；π π ππ2k12k对于选项 B, - + 2k π< 3x -< + 2k π(k ∈ Z ) ,即- + π< x < π+ π(k ∈ Z ) ,当 k = 024 2 12 3 4 3时, f ( x ) 在⎡- π ,π⎤当单调递增,故 B 错误；⎢⎣ 12 4 ⎥⎦对于选项 C,若 f ( x ) - f ( x ) = 2 ,则 x - x 最小为半个周期,即2π⨯ 1 = π,故 C 正确；1 2 1 23 2 3f x π ⎡ ⎛ π⎫ π⎤ 对于选项D,函数 ( ) 的图象向右平移 4 个单位长度,即sin ⎢3 x - 4 ⎪ - 4 ⎥ = sin (3x - π) = -sin 3x ,故D ⎣ ⎝ ⎭ ⎦错误故选：AC17．（2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数 f （x ）＝|sinx ||cosx |，则下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）的图象关于直线 x = π对称 2πB ．f （x ）的周期为2C ．（π，0）是 f （x ）的一个对称中心⎡π π⎤D ．f （x ）在区间⎢ ， ⎥ 上单调递增⎣ 4 2 ⎦【答案】AB【解析】因为函数 f （x ）＝|sinx ||cosx |＝|sinxcosx | = 1|sin 2x |，画出函数图象，如图所示；2由图可知，f （x ）的对称轴是 x =k π，k ∈Z ；所以 x = π是 f （x ）图象的一条对称轴， A 正确；42πf （x ）的最小正周期是1，所以 B 正确；f （x ）是偶函数，没有对称中心，C 错误；2⎡ π π ⎤ 由图可知，f （x ） = 2|sin 2x |在区间⎢ ， ⎥ 上是单调减函数，D 错误.故选：AB. ⎣ 4 2 ⎦18．（2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数 f (x ) =3 cos ⎛ 2x + π⎫ -1的图象向左平移π3 ⎪ 3 ⎝ ⎭个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 g ( x ) 的图象，则下列关于函数 g ( x ) 的说法正确的是（）3A. 最大值为 ，图象关于直线 x = π对称12B. 图象关于 y 轴对称C. 最小正周期为πD.图象关于点⎛π, 0 ⎫对称4 ⎪ ⎝ ⎭【答案】BCD【解析】将函数 f ( x ) =3 cos ⎛ 2x + π⎫ -1的图象向左平移π个单位长度， 3 ⎪3y = ⎡ ⎛⎝ ⎭π⎫ π⎤得到3 cos ⎢2 x + 3 ⎪ + 3 ⎥ -1 = 3 cos (2x + π)-1 = - 3 cos 2x -1 的图象；⎣ ⎝ ⎭⎦再向上平移 1 个单位长度，得到函数 g ( x ) = - 3 cos 2x 的图象，对于函数 g ( x ) ，它的最大值为 ，由 于当 x = π时， g ( x ) = - 3，不是最值，故 g (x ) 的图象不关于直线 x = π对称，故 A 错误； 12212由于该函数为偶函数，故它的图象关于 y 轴对称，故 B 正确； 它的最小正周期为2π= π，故 C 正确；2当 x = π时， g ( x ) = 0 ，故函数 g ( x ) 的图象关于点⎛ π, 0 ⎫对称，故 D 正确.故选：BCD44 ⎪⎝ ⎭19．（2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数 f (x ) = sin 2x - 2sin 2 x + 1 ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）.A ．函数 f (x ) 的最小正周期是2πf (x ) ⎡π 5π⎤ B. 函数 在区间⎢ , ⎥ 上是减函数⎣ 8 8 ⎦C. 函数 f (x ) 的图象关于直线 x = π对称:8D. 函数 f (x ) 的图象可由函数 y =【答案】BCπ2 sin 2x 的图象向左平移 4个单位得到【解析】 f (x ) = sin 2x - 2 s in 2x +1 = sin 2x + cos 2x = 2 sin ⎛ 2x +π⎫4 ⎪ ⎝⎭38 ⎪ ⎝ ⎭ 3 2 3 2 A 选项，因为ω= 2 ，则 f ( x ) 的最小正周期T =π，结论错误； B 选项，当 x ∈⎡π, 5π⎤ 时， 2x + π∈ ⎡π, 3π⎤ ，则 f ( x ) 在区间⎡π, 5π⎤上是减函数，结论正确； ⎢⎣ 8 8 ⎥⎦4 ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 8 8 ⎥⎦C 选项，因为 f⎛ π⎫= ⎝ ⎭为 f ( x )的最大值，则 f ( x ) 的图象关于直线 x = π对称，结论正确； 8D 选项，设 g (x ) = 2sin 2x ，则g ⎛ x + π⎫= 2sin 2 ⎛ x + π⎫=2sin ⎛2x + π⎫ =2cos 2x ≠ f ( x )，结论错误． 4 ⎪ 4 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭故选：BC ．20．（2020 届山东省青岛市高三上期末）要得到 y = cos 2x 的图象C ,只要将y = sin ⎛2x + π⎫图象C 怎样 1 3 ⎪2⎝⎭变化得到()y = ⎛π⎫ πA. 将 sin 2x + 3 ⎪ 的图象C 2 沿 x 轴方向向左平移12 个单位y = ⎛ π⎫11πB. 将 sin 2x + ⎪ 的图象C 沿x 轴方向向右平移 ⎝ ⎭12 个单位 C. 先作C 关于 x 轴对称图象C ,再将图象C 沿 x 轴方向向右平移 5π个单位23 3 12 D.先作C 关于 x 轴对称图象C ,再将图象C 沿 x 轴方向向左平移 π个单位2 3 312【答案】ABC【解析】对于 A ，将 y = sin ⎛ 2x + π⎫ 图象C 沿 x 轴方向向左平移 π个单位，可得 3 ⎪ 212y = ⎡ ⎛π ⎫ π⎤ ⎝⎭⎛ π⎫ sin ⎢2 x + 12 ⎪ + 3 ⎥ = sin 2x + 2 ⎪ = cos 2x 的图象C 1 ，故选项 A 正确；⎣ ⎝ ⎭ ⎦y = ⎛ ⎝ ⎭ π⎫ C11π对于 B ，将 sin 2x + ⎪ 的图象 沿 x 轴方向向右平移⎝ ⎭12 个单位也可得到，y = ⎡ ⎛11π⎫ π⎤⎛ 3π⎫ sin ⎢2 x - 12 ⎪ + 3 ⎥ = sin 2x - 2 ⎪ = cos 2x 的图象C 1 ，故选项 B 正确；⎣ ⎝ ⎭ ⎦ ⎝ ⎭26 对于 C ，先作C 关于 x 轴对称，得到 y = -sin ⎛2x + π⎫ 的图象C ，再将图象C 沿 x 轴方向向右平移 5π个2 3 ⎪ 3 3 12⎝ ⎭y = - ⎡ ⎛5π⎫ π⎤ ⎛ π⎫单位，得到 sin ⎢2 x - 12 ⎪ + 3 ⎥ = -sin 2x - 2 ⎪ = cos 2x 的图象C 1 ，故选项 C 正确；⎣ ⎝ ⎭ ⎦⎝ ⎭对于 D ，先作C 关于 x 轴对称，得到 y = -sin ⎛ 2x + π⎫ 的图象C ，再将图象C 沿 x 轴方向向左平移 π个 2 3 ⎪ 3 3 12 ⎝ ⎭y = - ⎡ ⎛π ⎫ π⎤ ⎛ π⎫单位，得到的 sin ⎢2 x + 12 ⎪ + 3 ⎥ = -sin 2x + 2 ⎪ = - cos 2x 图象，故选项 D 不正确．故选： ABC ．⎣ ⎝ ⎭ ⎦⎝ ⎭ 21．（2020·山东曲阜一中高三 3 月月考）已知函数 f ( x ) = 2sin (2x +ϕ)(0 <ϕ<π) ，若将函数 f ( x ) 的图象向右平移 π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( )6 A ．ϕ=5π B ． ⎛ π , 0 ⎫是 f (x ) 图象的一个对称中心 612 ⎪C ． f (ϕ) = -2 【答案】ABD⎝ ⎭D ． x = -π是 f ( x ) 图象的一条对称轴6πy =⎡ ⎛ π⎫ ⎤ ⎛ π⎫ 【解析】由题意， f ( x ) = 2sin (2x +ϕ) 向右平移 6 ，得2 s in ⎢2 x - 6 ⎪ +ϕ⎥ = 2 s in 2x +ϕ-3 ⎪ ⎣ ⎝ ⎭ ⎦⎝ ⎭y = 2 sin ⎛ 2x +ϕ- π⎫ 的图象关于 y 轴对称，所以ϕ- π = k π+ π， k ∈ Z 3 ⎪ 3 2⎝ ⎭∴ϕ= k π+ 5π k ∈ Z ，又0 < ϕ< π∴ k = 0，ϕ= 5π ,即 f ( x ) = 2 s in ⎛2x + 5π⎫ ，⎪ 6 6 ⎝⎭ ∴ f ⎛ π ⎫ = 0，f ⎛ -π⎫ = 2，f ⎛ 5π⎫= 2 12 ⎪6 ⎪ 6 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭则⎛ π , 0 ⎫ 是 f ( x ) 图象的一个对称中心， x = -π是 f ( x ) 图象的一条对称轴12 ⎪ 6⎝ ⎭而 f (ϕ) = 2 ，则 C 错，A,B,D 正确,故选：ABD22．（2020 届山东省泰安市肥城市一模）设函数 f (x ) = sin ⎛2x +π⎫+ cos ⎛2x + π⎫ ，则 f (x ) ( )4 ⎪ 4 ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭2 A ．是偶函数B ．在⎛ 0,π⎫ 单调递减2 ⎪ ⎝ ⎭C ．最大值为 2D ．其图像关于直线x = π对称 2【答案】ABD【解析】 f (x ) = sin ⎛2x +π⎫+ cos ⎛2x + π⎫ =2 sin ⎛2x + π+ π⎫ =2 cos 2x .4 ⎪ 4 ⎪ 4 4 ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭选项 A ： f (-x ) = 2 cos(-2x ) = 2 cos(2x ) = f (x ) ，它是偶函数，本说法正确；选项 B ： x ∈⎛ 0,π⎫，所以2x ∈(0,π)，因此 f (x ) 是单调递减，本说法正确；2 ⎪ ⎝ ⎭选项 C ： f (x ) = 2 cos 2x 的最大值为 ，本说法不正确； 选项 D ：当x = π时，f (x ) =2 cos 2 π⨯ = - ，因此当 x = π时，函数有最小值，因此函数图象关于 x = π222 2 对称，本说法正确.故选：ABD23．（2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）关于函数 f (x ) = 3sin ⎛2x - π⎫+1(x ∈ R ) ，下列命题正3 ⎪ ⎝⎭确的是（）A. 由 f( x 1 ) = f ( x 2 ) = 1 可得 x 1 - x 2 是π的整数倍B.y = f (x ) 的表达式可改写成 f (x ) = 3cos ⎛2x -5π⎫ +16 ⎪ C. y = ⎝ ⎭f (x ) 的图象关于点⎛ 3π,1⎫对称4 ⎪D.y =⎝ ⎭f (x ) 的图象关于直线 x = - π对称 12【答案】BD【解析】函数 f (x ) = 3sin ⎛ 2x -π⎫+1(x ∈ R ) ，周期T =2π=π， 3 ⎪ 2⎝⎭对于 A ：当 x = π ， x =2π时，满足 f (x ) = f ( x ) = 1 ，但是不满足 x - x是π的整数倍，故 A 错误；16231212对于 B ：由诱导公式， 3sin ⎛ 2 x - π⎫ +1 = 3cos ⎡π-⎛ 2 x - π⎫⎤ +1 = 3cos ⎛2 x - 5π⎫ +1 ，故 B 正确；3 ⎪ ⎢ 2 3 ⎪ ⎥ 6⎪ ⎝ ⎭ ⎣ ⎝⎭⎦ ⎝ ⎭ 22 对于 C ：令 x = 3π，可得 f ⎛ 3π⎫ = 3sin ⎛ 2 ⨯ 3π- π⎫ +1 = 3⨯⎛ - 1 ⎫ -1 = - 5 ，故 C 错误； 4 4 ⎪ 43 ⎪ 2⎪ 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭对于 D ：当 x = - π时，可得 f ⎛ - π ⎫ = 3sin ⎛ - π- π⎫+1 = -1⨯ 3 +1 = -2 ， f ( x )的图象关于直线12 12 ⎪ 6 3 ⎪x = - π对称；故选：BD .12三、填空题⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 24．（2020·2020 届山东省淄博市高三二模）在∆ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c .若 b sin A = a sin C ， c = 1，则b = ， ∆ABC 面积的最大值为 .1【答案】12【解析】因为b sin A = a sin C ，所以由正弦定理可得ba = ac ，所以b = c = 1;所以S∆ABC= 1 bcsinA = 1 sinA ≤ 1 ，当 sinA = 1，即 A = 90︒ 时，三角形面积最大. 2 2 21故答案为(1). 1 (2).225．（2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）已知函数 f (x ) =2 sin ωx , g (x ) = 2 cos ωx ，其中ω> 0 ，A ,B ,C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当ω= 1 时，∆ABC 面积的最小值为 ；②若存在∆ABC 是等腰直角三角形，则ω的最小值为.π【答案】 2π2【解析】函数 f (x ) = 2 sin ωx , g (x ) = 2 cos ωx ，其中ω> 0 ， A , B , C 是这两个函数图象的交点，当ω= 1 时， f (x ) = 2 sin ωx , g (x ) = 2 cos ωx ．所以函数的交点间的距离为一个周期 2π，高为2 ⋅2 +2 ⋅ = 2 ．22所以：S ＝1⋅ 2π⋅ (1+1)＝2π． 如图所示： ∆ABC2ω⎪ ①当ω= 1 时， ∆ABC 面积的最小值为2π；②若存在∆ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，2π⎛ 2 2 ⎫ ωπ π 则 ＝2 ⋅ ⎝ 2 ⋅ + 2 2 ⋅ ， 解得 2 ⎭ 的最小值为 ． 故答案为： 2π， ． 2 2 26．（2020 届山东省潍坊市高三模拟二）定义在 R 上的偶函数 f （x ）满足 f （e +x ）＝f （e ﹣x ），且 f （0）＝0，当 x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx 已知方程 （f x ）= 1 sin πx 在区间[﹣e ，3e ]上所有的实数根之和为 3ea ， 2 2e将函数g （x ）= 3sin 2πx +1的图象向右平移 a 个单位长度，得到函数 h （x ）的图象，，则 h （7）＝.4【答案】3 3 +10 4【解析】因为 f （e +x ）＝f （e ﹣x ），所以 f （x ）关于 x ＝e 对称，又因为偶函数 f （x ），所以 f （x ）的周期为 2e .当 x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx ，于是可作出函数 f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象如图所示， 方程 f (x ) = 1 sin π x 的实数根是函数 y ＝f （x ）与函数 y = 1 sin πx 的交点的横坐标，2 2e2 2e由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e ，3e ]上有 4 个交点，且 4 个交点的横坐标之和为 4e ，所以 4e ＝3ea ，故 a = 4，因为 g (x ) = 3sin2πx +1 = - 3 cos π x + 5，3 4 2 2 2h (x ) = - 3 π4 5 3π 2π 5 3 2π 5 3 3 +10 所以cos (x - ) + = - cos ( x - 2 2 3 2 2 2 3 ) + 2 ，故 h (7) = 2 sin 3 + 2 = 4 .故答案为：3 3 +10 .4四、解答题27．（2020·山东高三模拟）在 ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知c = 4， sin C = 2 5 .2 5219 19 ê a + c - b （1） 若 a = 1 ，求sin A ； （2） 求 ABC 的面积 S 的最大值.【答案】（1） sin A =2 ；（2）410【解析】（1）∵ cos C = 1 - 2sin2C= - 3，∴ sin C = 4 ，由正弦定理a sin A= c sin C 2 55 得sin A = a sin C = 2 .c 10（2）由（1）知cos C = - 3 ， c 2 = b 2 + a 2 - 2b ⋅ a ⋅ cos C = b 2 + a 2 + 6 ba ≥ 2ab + 6 ba = 16 ba ， 5 5 5 5所以32 ≥ 16 ba ，10 ≥ ba ， S = 1 ba sin C ≤ 1 ⨯10 ⨯ 4= 4 ，5 2 2 5当且仅当 a = b 时， ABC 的面积 S 有最大值 4.28．（2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数 f (x ) =（1） 求 f (x ) 的单调递增区间；cos 2x - sin 2x +1 , x Î (0,p ) ．2（2） 设 ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 a =，角B 所对边b = 5 ，若 f ( A ) = 0 ，求 ABC 的面积．轹p【答案】（1） ê ë2 ,p ；（2） ø 4【解析】（1）依题意 f (x ) = cos 2x - sin 2x + 1 = cos 2x +1(x Î (0, π))，由 2k π - π ≤ 2x ≤ 2k π 得22k π - π ≤ x ≤ k π ，令 k = 1得 π≤ x ≤ π .所以 f (x ) 的单调递增区间 轹p ,p .2 2 êë2 ø（2）由于 a < b ，所以 A 为锐角，即0 < A < π , 0 < 2 A < π .由 f ( A ) = 0 ，得cos 2 A + 1 = 0, cos 2 A = - 1，2 2 2所以 2 A = 2π , A = π.3 3由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc ⋅ cos A ， c 2 - 5c + 6 = 0 ，解得c = 2 或c = 3.2 22当c = 2 时， cos B == - < 0 ，则B 为钝角，与已知三角形 ABC 为锐角三角形矛盾.所以c = 3.2ac3815 3c 2 + a 2 -16S 3 142 +102 - 16⨯ 42 32 3 ( 所以三角形 ABC 的面积为 1 bc sin A = 1⨯ 5⨯ 3⨯ 3 = 15 3 .222429．（2020 届山东省高考模拟） 在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，设 ABC 的面积为 S ， 3c 2 =16S + 3(b 2 -a 2 ). （1）求tan B 的值；（2）若 S = 42 ， a = 10 ，求b 的值．3【答案】（1） 4；（2） b = 6 2【解析】（1）在 ABC 中，由三角形面积公式得， S = 1ac sin B ，2由余弦定理得， cos B =c 2 + a 2 - b 2 2ac， 3c 2 = 16S + 3(b 2 - a 2)， ∴3 2 2 2 3(c 2 + a 2 - b 2) 3 S = c + a 16 - b )，整理可得sin B = = 8ac cos B ，4又 B ∈(0,π) ，∴ sin B > 0 ，故cos B > 0 ，∴ tan B = sin B = 3.cos B 4（2）由（1）得tan B = 3 ， B ∈(0,π) ,∴ sin B = 3，4 5S = 42 ， a = 10 ，∴ S = 1 ac sin B = 1 ⨯10c ⋅ 3= 3c = 42 ，解得c = 14 ，2 2 53c 2 =16S + 3(b 2 -a 2 )，∴ b = = = 6 .30．（2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考）在① 3(b cos C - a ) = c sin B ；② 2a + c = 2b cos C ；③b sin A = 3a sin A + C 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 在∆ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且满足，b = 2 3, a + c = 4 ，求∆ABC的面积.【答案】横线处任填一个都可以，面积为 ．【解析】在横线上填写“ 3(b cos C - a ) = c sin B ”.解：由正弦定理，得 3(sin B cos C - sin A ) = sin C sin B .3 3 由sin A = sin(B + C ) = sin B cos C + cos B sin C ，得- 3 cos B sin C = sin C sin B .由0 < C < π，得sin C ≠ 0 .所以-3 cos B = sin B .又cos B ≠ 0 （若cos B = 0 ，则sin B = 0, sin 2 B + cos 2 B = 0 这与sin 2 B + cos 2 B = 1 矛盾），所以tan B = - .又0 < B <π，得B = 2π.由余弦定理及b = 2 3 ，3得(2 3)2= a 2+ c 2- 2ac cos2π，即12 = (a + c )2 - ac .将 a + c = 4 代入，解得 ac = 4 .3所以S = 1ac sin B = 1 ⨯ 4 ⨯ 3 = 3 .在横线上填写“ 2a + c = 2b cos C ”. △ABC 2 2 2解：由2a + c = 2b cos C 及正弦定理，得 2sin A + +sin C = 2sin B cos C . 又sin A = sin(B + C ) = sin B cos C + cos B sin C ，所以有 2 cos B sin C + sin C = 0 . 因为C ∈ (0,π) ，所以sin C ≠ 0 .从而有cos B = - 1.又 B ∈(0,π) ，2所以 B = 2π由余弦定理及b = 2 3 ，得(2 3)2 = a 2 + c 2- 2ac cos 2π3 3即12 = (a + c )2- ac .将 a + c = 4 代入，解得 ac = 4 .所以 S= 1 ac sin B = 1 ⨯ 4 ⨯ 3= .在横线上填写“ b sin A =3a sinA + C ”2ABC2 2 2解：由正弦定理，得sin B sin A = 3 sin A sinπ- B.由0 < A <π，得sin A ≠θ，2所以sin B = 3 cos B 由二倍角公式，得2 s in B cos B =3 cos B. 2 2 2 2由0 < B < π ，得cos B ≠ 0 ，所以sin B = 3.所以 B = π，即B = 2π . 2 2 2 2 22 3 3 由余弦定理及b = 2 3 ，得(2 3)2 = a 2 + c 2- 2ac cos 2π.3即12 = (a + c )2 - ac .将 a + c = 4 代入，解得 ac = 4 .所以 S= 1ac sin B = 1 ⨯ 4 ⨯ 3= 3 . △ABC 2 2 231．（2020·山东滕州市第一中学高三 3 月模拟）在①3c 2= 16S + 3(b 2 - a 2)；② 5b cos C + 4c = 5a ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设 ABC 的面积为 S ，已知 ．（1）求tan B 的值；1- cos 2 B 22（2）若 S = 42, a = 10 ，求 b 的值．3【答案】（1） 4；（2） 6 2 ；【解析】（1）选择条件①．3c 2= 16S + 3(b 2 - a 2)，所以3c2= 16 ⨯ 1ac sin B + 3(b 2 - a 2 ) ，整理得：8ac sin B = 3(a 2 + c 2 -b 2)．即 4sin B a 2 + c 2 - b 2= 3⋅ .整理可得3cos B = 4sin B ，2ac又sin B > 0 ．所以cos B > 0 ，所以tan B =sin B = 3.选择条件②．因为5b cos C + 4c = 5a ， cos B 4由正弦定理得， 5sin B cos C + 4sin C = 5sin A ， 5sin B cos C + 4 sin C = 5sin(B + C ) ，即sin C (4 - 5 cos B ) = 0 ，在 ABC 中， sin C ≠ 0 ，所以cos B = 4 ，sin B = = 3 ，所以tan B = 3. 5 5 4 （2）由tan B = 3 ，得sin B = 3，又 S = 42, a = 10 ，4 5则 S = 1 acsin B = 1 ⨯10c ⨯ 3= 42 ，解得c = 14 .2 2 5将 S = 42, a = 10, c = 14 代入6c 2= 16S + 3(62 + c 2 - a2) 中，得6 ⨯142 = 16 ⨯ 42 + 3(b 2 +142 -102)，解得b = 6 2 ．32．（2020 届山东省泰安市肥城市一模）已知函数 f (x ) = cos 4 x - 2 s in x cos x - sin 4 x（1） 求 f ( x ) 的单调递增区间； （2） 求 f( x ) 在⎡0,π⎤上的最小值及取最小值时的 x 的集合.⎣⎢ 2 ⎥⎦【答案】（1） ⎡- 5π+ k π, - π+ k π⎤ (k ∈ Z ) ；（2）最小值为 ，x 的集合为⎧3π⎫. ⎢ 8 8 ⎥ - ⎨ 8 ⎬ ⎣ ⎦⎩ ⎭【解析】（1 f ( x ) = cos 4x - 2 sin x cos x - sin 4x = (cos 2x - sin 2x)(cos2x + sin 2 x ) - 2 s in x cos x= cos 2x - sin 2x - 2 sin x cos x = cos 2x - sin 2x = -2 sin ⎛2x - π⎫ ，4 ⎪ ⎝ ⎭解不等式- 3π+ 2k π≤ 2x - π ≤ - π+ 2k π(k ∈ Z ) ，2 4 2222 2 2 1- 8 9 2 2 23 b + c - a得-5π+ k π≤ x ≤ - π+ k π(k ∈ Z ) ， 8 8因此，函数 y = f (x ) 的单调递增区间为⎡- 5π+ k π, - π+ k π⎤(k ∈ Z ) ；x ∈ ⎡0,π⎤⎢⎣ 8 8⎥⎦ π π 3π（2）⎣⎢ 2 ⎥⎦，∴- 4 ≤ 2x - 4 ≤ 4 ，当2x - π = π 时，即当 x = 3π时，函数 y = f ( x ) 取得最小值- .42 8因此，函数 y = f (x ) 的最小值为 ，对应的 x 的集合为⎧3π⎫. - ⎨ 8 ⎬ ⎩ ⎭33．（2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）在∆ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b 2 + 3c 2 - 4 2bc = 3a 2 .（1） 求sin A ；（2） 若3c sin A =2a sin B ， ∆ABC 的面积为，求∆ABC 的周长【答案】（1） sin A = 1 ；（2） 2 + 3 + 3【解析】（1）因为3b 2 + 3c 2 - 4 2bc = 3a 2 ，所以b 2 + c 2 - a 2 =bc ，222所以cos A = =，从而sin A = = = 1 . 2bc（2）因为3c sin A = 32a sin B ，所以3ac =32ab ，即b =3c.21 1 3c2 1因为∆ABC 的面积为解得c = 2 .，所以 bc sin A = ，即 2 ⨯⨯ = ，所以c 2 = 4 ， 2 334．（2020 届山东省淄博市高三二模）已知∆ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，满足3 sin A + cos A = 0 .有三个条件：① a = 1；② b = ；③ S ∆ABC =3 .其中三个条件中仅有两个正确，4请选出正确的条件完成下面两个问题：（1） 求c ；（2） 设 D 为 BC 边上一点，且 AD ⊥ AC ，求∆ABD 的面积.2 64 231- cos 2 A 23 3 3 3 【答案】（1）1；（2）3.12【解析】（1）因为 3 sin A + cos A = 0 ，所以5πtan A +1 = 0 ，得tan A = - 3 ，3 0 < A < π，∴ A = 6， A 为钝角，与 a = 1 < b = 矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.显然 S = 1 bc sin A = 3 ，得bc = .当①③正确时， ∆ABC2 4由a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，得b 2 + c 2 = -2 （无解）；当②③正确时，由于bc = ， b = ，得 c = 1； （2）如图，因为 A =5π ， ∠CAD = π ，则∠BAD = π，则 S ∆ABD = 61AB ⋅ AD ⋅sin ∠BAD 2 = 21 ，∴ S 3= 1 S= 1 ⨯ 3 = 3 . S ∆ACD 1 AC ⋅ AD ⋅sin ∠CAD 2 2∆ABD 3 ∆ABC 3 4 1235．（2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知∆ABC 中，角 A ，B ，C 所对边分别为 a ，b ，c ，sin A =1+ cos Asin B 2 - cos B（1） 求证： 2a = b + c ； （2） 若cos A =4，S = 6 ，求 a 的值．5ABC【答案】（1）见解析；（2） a = 2 【解析】（1）∵sin A = 1+ cos A ，∴ 2sin A -sin A cos B = sin B + sin B cos A ，sin B 2 - cos B可得 2 s in A = sin B + sin A c os B + sin B cos A = sin B + sin( A + B ) = sin B + sin C ，所以由正弦定理可得： 2a = b + c . （2）∵ cos A = 4， A 为三角形内角，536∴ s in A== 3 ，又 S = 6 ，∴ 6 = 1bc sin A ，∴ bc = 20 ，由余弦定理可得 5ABC2 b 2 + c 2 - a 2 (b + c )2 - 2bc - a 2 4a 2 - 2bc - a 2 3a 2 - 2bc 3a 2 - 40 4cos A = = = = = = ．2bc 2bc 2bc 2bc 40 5整理得a 2 = 24 ，解得 a = 2 （负值舍去）．36．（2020 届山东省淄博市部分学校高三 3 月检测）已知分别在射线 （不含端点 ）上运动，，在中，角所对的边分别是.（Ⅰ）若 依次成等差数列，且公差为 2．求 的值；（Ⅱ）若， ，试用 表示 的周长，并求周长的最大值【答案】（1） 或.（2），【解析】（Ⅰ）∵a 、b 、c 成等差，且公差为 2，∴a=c-4、b=c-2．又因∠MCN= π， ,可得,恒等变形得 c 2-9c+14=0，解得 c=7，或c=2． 又∵c ＞4，∴c=7．（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理可得.∴△ABC 的周长 f （θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,又 , 当 ,即 时，f （θ）取得最大值 .37．（2020 届山东省烟台市高三模拟）已知函数 f ( x ) = 1- 2 3 sin x cos x - 2 cos 2 x + m 在 R 上的最大值为 3.1- cos 2 A 63（1） 求 m 的值及函数 f( x ) 的单调递增区间;（2） 若锐角∆ABC 中角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，且 f( A ) = 0 ，求b的取值范围. c⎡k π+ π2π⎤ 1 b 【答案】（1） m = 1,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ⎢⎣ ，k π+6 3 ⎥⎦，k ∈ Z ；（2） 2 < c < 2 .【解析】（1）f ( x ) = 1- 2 3 sin x cos x - 2 cos 2 x + m = -(3 sin 2x + cos 2x )+ m = -2 sin ⎛2x + π⎫ + m 6 ⎪由已知2 + m = 3，所以 m = 1 ⎝ ⎭ 因此 f ( x )= -2 sin ⎛ 2x + π⎫ +1 6 ⎪2k π π 3π⎝ ⎭ π 2π令 π+ ≤ 2x + ≤ 2k π+ 2 6 2 ，k ∈ Z ,得 k π+ ≤ x ≤ k π+ 6 3 ，k ∈ Z⎡k π+ π2π⎤ 因此函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ⎢⎣ ，k π+6 3 ⎥⎦，k ∈ Z（2）由已知-2 sin ⎛ 2 A + π⎫ +1 = 0 ，∴ sin ⎛2 A + π⎫ = 1 6 ⎪ 6 ⎪ 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭由0 < A < π 得π < 2 A + π < 7π，因此2 A + π = 5π,所以 A = π2 6 6 6 6 6 3sin ⎛ π+ C ⎫3 cos C + 1 sin Cb sin B 3 ⎪ 1= = ⎝ ⎭ = 2 =+c sin C sin Csin C⎧0 < C < π2 tan C 2⎪ 因为为锐角三角形∆ABC ，所以⎨ 2 2π π ，解得π < C < π 6 2⎪0 < B = - C <因此tan C >⎪⎩ 3 23，那么 1 < b< 23 2 c38．（2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）现给出两个条件：① 2c -3b = 2a cos B ，②(2b - 3c )cos A =3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：（选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分）在∆ABC 中， a , b , c 分别为内角 A , B , C 所对的边 ().（1） 求 A ；3 3（2） 若 a = -1，求∆ABC 面积的最大值.π 1 【答案】（1） 6 ；（2） 2.【解析】（1）选① 2c - 3b = 2a cos B ，由正弦定理可得： 2 s in C - 3 sin B = 2 s in A cos B ，即2 s in ( A + B ) - 3 sin B = 2 sin A cos B ，∴ 2 cos A sin B = 3 sin B ，∵ B ∈(0,π) ，∴ sin B ≠ 0 ，∴ 2 cos A =，即cos A =3 ，又 A ∈(0,π) ，∴A = π， 2选② (2b - 3c )cos A = 3a cos C ，由正弦定理可得： (2s in B - 3 sin C )cos A = 63 sin A cos C ，∴ 2 s in B cos A = 3 s in (A + C )= 3 sin B ，∵ B ∈(0,π) ，∴ sin B ≠ 0 ，∴ cos A = 3 ，2又 A ∈(0,π) ，∴ A = π；6（2）由余弦定理得： a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = b 2 + c 2 - 又b 2+ c 2≥ 2bc ，当且仅当“ b = c ”时取“=”，∴ a 2≥ (2 -3bc ，3 )bc ，即(-1)2≥ (2 -3 )bc ，∴ bc ≤ 2 ，∴ S = 1 bc sin A = 1 bc ≤ 1 ，∴ ∆ABC 的面积的最大值为 1.∆ABC2 4 2 239．（2020 届山东省潍坊市高三模拟一）在平面四边形 ABCD 中，∆ABD 中边 BD 所对的角为 A ，∆BCD 中边 BD 所对的角为 C ，已知 AB = BC = CD = 2 ， AD = 2 3 .（1） 试问 3 cos A - cos C 是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；（2） 记∆ABD 与∆BCD 的面积分别为 S 和 S ，求出 S 2 + S 2的最大值.12 1 2【答案】（1） 3 cos A - cos C 为定值 1.（2）143。
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【2022高考真题】1. 【2022高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π= C.3x π= D.6x π=2.【2022高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 . 3.【2022高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 .4.【2022辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 5.【2022全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．6.【2022全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 1【答案】B7. 【2022全国2高考理第14题】 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.8. 【2022山东高考理第12题】在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.9. 【2022四川高考理第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上全部的点（ ）A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A10. 【2022高考广东卷理第12题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b Bc C b 2cos cos =+，则=ba.11. 【2022全国1高考理第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）【答案】C【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象． 12. 【2022全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-=（B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=13. 【2022高考北卷理第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 . 14. 【2022高考安徽卷理第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.【答案】83π 15. 【2022高考福建卷第12题】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==,则ABC ∆的面积等于_________..16. 【2022江西高考理第4题】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积（ ） A.3 B.239 C.233 D.3317. 【2022四川高考理第13题】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈，3 1.73≈）18. 【2022浙江高考理第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位19. 【2022浙江高考理第17题】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了精确 瞄准目标点，需计算由点观看点的仰角的大小.若则的最大值 .【答案】53920．【2022重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足 C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式肯定成立的是( ) A.8)(>+c b bc B.()162ac a b +> C.126≤≤abc D.1224abc ≤≤21. 【2022陕西高考理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π22. 【2022天津高考理第12题】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b ca ，2sin 3sin B C ，则cos A 的值为_______．23. 【2022大纲高考理第3题】设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>24. 【2022大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．25. 【2022高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B ===（1）求a 的值； （2）求sin()4A π+的值.26. 【2022高考北京理第15题】如图，在ABC ∆中，,83B AB π∠==，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠； （2）求BD ，AC 的长.28. 【2022高考福建理第16题】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1)12 ;(2) π,3[,],88k k k Z ππππ-+∈29. 【2022高考广东理第16题】已知函数()sin 4f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，且53122f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）求A 的值； （2）若()()32f f θθ+-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.30. 【2022高考湖北理第17题】某试验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；)24,0[,12sin12cos310)(∈--=t t t t f ππ.（1）求试验室这一天的最大温差；（2）若要求试验室温度不高于11C ，则在哪段时间试验室需要降温？31. 【2022高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===(1)求cos CAD ∠的值; (2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.32. 【2022高考江苏第15题】已知5sin 25παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，，. （1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值.33. 【2022高考江西理第16题】已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈- （1）当2,4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.34. 【2022高考辽宁理第17题】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.35. 【2022高考山东卷第16题】已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(,3)12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.【考点定位】平面对量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质. 36. 【2022高考四川第16题】已知函数()sin(3)4f x x π=+.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是其次象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值.37.【2022高考浙江理第18题】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B =（I ）求角C 的大小； （II ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积.38.【2022高考重庆理科第17题】已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.【2021高考真题】 （2021·新课标I 理）15、设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______（2021·浙江理）6.已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan （ ） A.34 B. 43 C.43- D.34-（2021·天津理）6. 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = （ ） (A)1010(B)105(C)31010(D)55（2021·上海理）11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += （2021·上海理）4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）（2021·陕西理）7. 设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的外形为 （ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定【答案】B（2021·山东理）5.将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为A.43π B.4π C. 0 D. 4π- （2021·辽宁理）（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--=（2021·辽宁理）（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=,a b B >∠=且则A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π（2021·江西理） 11．函数y=sin2x+2sin 2x 的最小正周期T 为_______.（2021·新课标Ⅱ理）（15）设θ为其次象限角，若tan （θ+π4）=12，则sin θ+cos θ=_________. （2021·江西理）10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线ι1，ι2之间，ι//ι1，ι与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于E,D 两点。