完整版)三角形知识点总结

完整版)三角形知识点总结
三角形知识点总结
三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，有三条边，三个内角和三个顶点。

组成三角形的线段称为三角形的边，相邻两边所组成的角称为三角形的内角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形用符号表示为△ABC，其中三个顶点用大写字母A、B、C表示，XXX可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。

需要注意的是，三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接。

单独的△没有意义。

根据边和角的不同，三角形可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形，以及锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

三角形的主要线段包括中线、角平分线、高和中垂线。

三角形的中线是连结一个顶点和它对边中点的线段，三角形的三
条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（重心），中线把三角形分成两个面积相等的三角形。

角平分线是一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段，三角形的角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（内心），角平分线上的点到角的两边距离相等。

三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。

三角形的三条高所在直线交于一点（垂心）。

三角形的中垂线是过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段，三角形的三条中垂线交于一点（外心）。

总之，三角形的基础知识包括定义、表示和分类，而主要线段包括中线、角平分线、高和中垂线。

理解和掌握这些知识点对于学好三角形及其相关知识非常重要。

的概念和性质
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

性质：等边三角形的三个内角均为60度，也是等腰三角形。

5、三角形的不等式定理
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

注意：这个定理是判断一个三角形是否存在的基本条件，也是判断三条线段能否组成三角形的依据。

6、三角形角的关系
三角形三个内角的和等于180度，一个外角等于不相邻两个内角的和，一个外角大于不相邻任何一个内角。

直角三角形的两个锐角互余。

7、多边形的概念和性质
多边形是由一些线段首尾相接组成的图形，对角线是连接不相邻顶点的线段。

正多边形的各边和各角均相等。

多边形的内角和为（n-2）*180度，外角和为360度。

8、等腰三角形的概念和性质
等腰三角形有两边相等，顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相集合。

一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等，即等角对等边。

9、等边三角形的概念和性质
等边三角形的三个内角均为60度，也是等腰三角形。

10、三角形的稳定性
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性。

等边三角形是三边都相等的三角形，它也是等腰三角形的特殊情况，其中底边等于腰。

等边三角形的三条边都相等，每个角都等于60度。

可以判定各边或角都相等的三角形是等边
三角形，或者有一个角等于60度的等腰三角形也是等边三角形。

另外，等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点。

其面积等于边长a的平方根的三分之一乘以a的平方。

直角三角形是有一个角为90度的三角形，其中直角相邻
的两条边叫做直角边，而直角所对的边称为斜边或弦。

如果两条直角边长度不同，那么短的那条边叫做勾，长的那条边叫做股。

直角三角形可以分为普通的和等腰的两种情况。

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，包括稳定性、两直角边相等、直角夹着锐角45度、斜边上中线角平
分线垂线三线合一等。

斜边上的高等于外接圆的半径R。

直角三角形有一些特殊的性质。

其中最著名的是勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

另外，两个
锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

还有射影定理和直角三角形斜边中线定理等。

如果有一个锐角等于30度，那么它
所对的直角边等于斜边的一半。

反之，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度。

首先，取AB中点D，连接CD。

根据直角三角形斜边中
线定理可知CD=BD，因此△BCD是等边三角形。

因为有一个
角是60°的等腰三角形是等边三角形，所以XXX。

接下来，
证明定理的后半部分。

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
BC=AB/2，那么∠A=30°。

取AB中点D，连接CD。

那么
CD=BD=AB/2，又因为BC=AB/2，所以BC=CD=BD，因此
∠B=60°，进而得出∠A=30°。

其次，根据勾股定理，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a +b =c，即直角三角形两直角边长的平方
和等于斜边长的平方。

如果三角形的三条边a，b，c满足a +b =c，那么这个三角形是直角三角形，称勾股定理的逆定理。

最后，全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。

全等三角形的性质包括对应角相等、对应
边相等、对应顶点能够完全重合、对应边上的高对应相等、对应角的角平分线相等、对应边上的中线相等以及面积和周长相等。

全等三角形的对应角的三角函数值相等。

全等三角形的判定有五种方法：
1.SSS（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。

2.SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全
等三角形。

3.ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形是全
等三角形。

4.AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角
形是全等三角形。

5.HL（斜边、直角边）：在一对直角三角形中，斜边及
另一条直角边相等。

不能验证为全等三角形的方法有AAA
（角角角）和SSA（边边角）。

相似三角形指的是三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形。

相似三角形的判定有六种方法：
1.平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得
的三角形与原三角形相似。

2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（AA）。

3.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似（SAS）。

4.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似（SSS）。

5.两个三角形三边对应平行，则两个三角形相似。

6.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（HL）。

全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1.
任意两个等腰三角形，如果其中的一个顶角或底角相等，那么这两个三角形相似。

同样地，两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，因此它们也相似。

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形，由于斜边的高形成两个直角，再加上一个公共的角，所以它们相似。

相似三角形的对应角相等，对应边成正比例。

一切对应线段（如对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

相似三角形周长的比等于相似比。

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。

若a/b=b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例
中项。

a/b=c/d等同于ad=bc。

这些性质定理适用于不必在同一平面内的三角形。

推论一：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论二：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论三：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

例如：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜
边BC上的高，则有射影定理如下：(1)(AD)^2=BD·DC，
(2)(AB)^2=BD·BC，(3)(AC)^2=CD·BC。

等积式(4)ABXAC=BCXAD（可用面积来证明）。