国开电大《高等数学基础》形考任务三国家开放大学试题答案

高等数学基础第三次作业
第4章 导数的应用
（一）单项选择题
⒈若函数)(x f 满足条件（ ），则存在),(b a ∈ξ，使得a
b a f b f f --=)
()()(ξ．
A. 在),(b a 内连续
B. 在),(b a 内可导
C. 在),(b a 内连续且可导
D. 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导
⒉函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（ ）． A. )2,(-∞ B. )1,1(- C. ),2(∞+ D. ),2(∞+- ⒊函数542
-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（ ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的（ ）．
A. 间断点
B. 极值点
C. 驻点
D. 拐点
⒌设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（ ），则)(x f 在
0x 取到极小值．
A. 0)(,0)(00=''>'x f x f
B. 0)(,0)(00=''<'x f x f
C. 0)(,0)(00>''='x f x f
D. 0)(,0)(00<''='x f x f
⒍设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间内
是（ ）．
A. 单调减少且是凸的
B. 单调减少且是凹的
C. 单调增加且是凸的
D. 单调增加且是凹的
（二）填空题
⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时
0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的 点．
⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f ． ⒊函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是 ．
⒋函数2
e )(x x
f =的单调增加区间是 ．
⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是 ． ⒍函数3
352)(x x x f -+=的拐点是 ．
（三）计算题
⒈求函数2)5)(1(-+=x x y 的单调区间和极值．
⒉求函数322
+-=x x y 在区间]3,0[内的极值点，并求最大值和最小值． ⒊求曲线x y 22
=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最短．
⒋圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
⒌一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
⒍欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
（四）证明题
⒈当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>．
⒉当0>x 时，证明不等式1e +>x x
．
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参考答案
单项选择题 题1答案：D 题2答案：D 题3答案：A 题4答案：C 题5答案：C 题6答案：A
填空题
题1答案：极小值 题2答案：0
题3答案：)0,(-∞ 题4答案：),0(+∞ 题5答案：)(a f 题6答案：x=0
计算题
题1答案：
令)2)(5(2)5(2)1(2
--=++='x x x x y
5,2==⇒x x 驻点
列表：
极大值：27)2(=f 极小值：0)5(=f
题2答案：
令：）x x y 驻点(10
22=⇒=-='
6)3(=⇒f 最大值 2)1(=⇒f 最小值
题3答案：
解：上的点是设x y y x p 2),(2
=，d 为p 到A 点的距离，则：
x x y x d 2)2()2(222+-=+-=
102)2(12)2(22)2(22
2
=⇒=+--=
+-+-=
'x x
x x x
x x d 令。

A x y 的距离最短到点上点)0,2()2,1(22=∴
2
)1(6
)3(3)0(===f f f
题4答案：
设园柱体半径为R ，高为h ，则体积
h h L h R V )(222-==ππ
L h h
L h L h L h h V ：3
330
]3[])2([2222=
=⇒=-=-+-='ππ令。

L R h L R 时其体积最大当3
2,333
2==
∴=
题5答案：
22222
22R R
V
R Rh S h
R V ππππ+=+==表面积 33222042π
ππV R R V R VR S ：=⇒=⇒
=+-='-令 3
4π
V
h =
答：当3
2πV R = 34π
V
h =时表面积最大。

题6答案：
解：设底连长为x ，高为h 。

则：
225
.625.62x
h h
x =
⇒= 侧面积为：x
x xh x S 250
42
2+
=+= 令51250250
232=⇒=⇒=-
='x x x
x S
答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。

证明题
题1答案：
证：由中值定理得：
)0(111
1)1(1ln )1ln()1ln(><+=-+-+=+ξξ x x x x
）x x x x
x 时当0()
1ln(1)
1ln(>+>⇒<+⇒
题2答案：
)1()(+-=x e x f x 设 0)0()(00(01)(=>⇒>>-='f x f x ）x e x f x 单调上升且时当时当
证毕即)1(,0)(+>>∴x e x f x。