第七章 平面电磁波典型例题

第七章 平面电磁波7.1 将下面用复数形式表示的场矢量变换为瞬时值，或做相反的变换。

()1 0x E e E = ()2 0jkz x E e jE e -=()3()()00cos 2sin x y E e E t kz e E t kz ωω=-+-解：()1 ()()00,,,Re cos x j j tx x x E x y z t e E e e e E t ϕωωϕ⎡⎤=⋅=+⎣⎦ ()2 ()200,,,Re cos 2j kz j t x x E x y z t e E ee e E t kz πωπω⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=⋅=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()3 ()()200,,,Re 2j t kz j t kz x y E x y z t e E ee E e πωω⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()0,,,2jkz x y E x y z t e e j E e -=-7.2 将下列场矢量的复数形式写成瞬时值形式()1 ()()0sin sin z jk z z x y E e E k x k y e -=⋅⋅()2()sin 02sin cos cos z jk x x E e j E k e θθθ-=⋅⋅ 解：()1 由式()7.1.2，可得瞬时值形式为()()0Re sin sin z jk z j tz x y E e E k x k y e e ω-⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦()()()0sin sin cos z x y z e E k x k y t k z ω=⋅⋅-()2 瞬时值形式为()sin 20Re 2sin cos cos z j jk j t x x E e E k e e e πθωθθ-⎡⎤=⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦()02sin cos cos cos sin 2x x z e E k t k πθθωθ⎛⎫=⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭()()02sin cos cos sin sin x x z e E k t k θθωθ=-⋅⋅⋅-7.3 一根半径为a ，出长度为L 的实心金属材料，载有均匀分布沿z 方向流动的恒定电流I 。

试证明：流入金属导体的总功率为2I R ，这里的R 为金属导体的电阻。

解：恒定电流要产生恒定磁场。

对于静态电磁场，坡印廷矢量为SVS dS J EdV -⋅=⋅⎰⎰即经过闭合面S 流入体积V 内的功率损耗。

由题中所给的条件知2zI J e a π= 故 ()2221JI J E J a σσπ⋅=⋅=则 ()22221SVI S dS J EdV a L a πσπ-⋅=⋅=⎰⎰()22LI a σπ= 2I R =式中，()2LR a σπ=，是金属导体的电阻。

7.4 已知无界理想媒质()009,,0εεμμσ===中，正弦均匀平面电磁波的频率810f Hz =，电场强度为343/jkz jjkzx y E e ee eV m π-+-=+试求：()1均匀平面电磁波的相速度p v 、波长λ、相移常数k 和波阻抗η； ()2电场强度和磁场强度的瞬时表达式；()3与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。

解：()1 8810/p v m s====1p v m fλ==2/pk rad m v ωπ===12040ηηπ====Ω()2 3143/jkz j jkz y xjH E e e e e A m πωμη-+-⎛⎫=∇⨯=- ⎪⎝⎭电场强度和磁场强度的瞬时值为()Re j tE t Ee ω⎡⎤=⎣⎦()884cos 21023cos 2102/3x y e t z e t z V m πππππ⎛⎫=⨯-+⨯-+ ⎪⎝⎭()Re j tH t He ω⎡⎤=⎣⎦()8831cos 2102cos 2102/40310xy e t z e t z V m πππππππ⎛⎫=-⨯-++⨯- ⎪⎝⎭ ()3 复坡印廷矢量为33113143224010jkz j jkz j jkz jkz x y x yS E H e e e e e e e e ππππ-+-*-⎡⎤⎡⎤=⨯=+⨯-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦25/16ze W m π= 坡印廷矢量的时间平均值为25Re /16av zS S e W m π⎡⎤==⎣⎦ 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率为516av av S P S dS W π=⋅=⎰5.7已知真空中的均匀平面波电场强度瞬时值为()()()m V a z t z E x /106sin 220,8βπ-⨯=求：()1频率f 、波长λ、相速p v 及相位常数β；()2电场强度复数表达式，磁场强度复数及瞬时值表达式；()3能流密度矢量瞬时值及平均值。

解：题设的均匀平面波是沿正z 轴方向传播的，根据已知条件可得：s rad /1068⨯=πω，有效值m V E x /20= ，因此()1()Hz f 81032⨯==πω()s m C v p /1031800⨯===εμ()m rad v p /210310688ππωβ=⨯⨯==()m 1222===ππβπλ ()2 取()()[]x t j x a e z E t z Eω2Im ,=，即以对时间t 正弦变化为基准，则按E 、H 、z a三者符合右手定则关系，有()()y z j y z j x z y a e a e z E a z H ππππη22061120201--==⨯= 和()()[]()()m A a z t e z H t z H y t j yy /2106sin 622Im ,8πππω-⨯== ()3 ()()()t z H t z E t z S ,,,⨯=()z a z tπππ2106sin 6222082-⨯= ()z a z t πππ2106sin 32082-⨯=()()z z T T av a dt a z t T dt t z S T S ππππ3102106sin 3201,18200=-⨯==⎰⎰或用 ()()[]z z z j z j y x av a a e e z H z E S ππππ3106120Re Re 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=-* 显然，后者比较简便。

6.7 根据以下电场表示式说明它们所表征的波的极化形式。

()1 ()jkzm y jkz m x ejE e e jE e z E += ()2 ()()()kz t E e kz t E e t z E m y m x -+-=ωωcos sin , ()3 ()jkz my jkz m x e jE e e E e z E ---= ()4 ()()()40cos sin ,+-+-=kz t E e kz t E e t z E m y m x ωω解：()1 x E 分量和y E 分量的初相位都是90，即x E 和y E 同相。

故()z E表征一个线极化波，传播方向为z -轴方向。

()2 x E 和y E 的振幅相等，相位差为90，故()t z E ,表征一个圆极化波。

因()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=2cos sin πωωkz t E kz t E E m m x ，可见x E 的相位滞后于y E 90，而波的传播方向为z +轴方向，故()t z E ,表征一个左旋圆极化波。

()3x E 和y E 的振幅相等，x E 的相位超前于y E 90，而波的传播方向为z +轴方向，故()t z E ,表征一个右旋圆极化波。

()4x E 和y E 的振幅相等，但x E 的初相位是 90-，y E 的初相位是 40，且传播方向为z +轴方向，故()t z E ,表征一个左旋椭圆极化波。

7.7 在某种无界导电媒质中传播的均匀平面波的电场表示式为 ()2/2.02.02.02.044πj z j z y z j z x e e e e e e e z E --+=试说明波的极化状态。

解：由给定的电场强度表示式看出，这是在良导体中沿z -轴方向传播的均匀平面波。

两个电场分量的振幅相等，即m V E E y x /400==；而x E 的初相位0=x ϕ，y E 的初相位2πϕ=y ，即x E 的相位滞后于y E 90。

由于波的传播方向是z -轴方向，故题给的()z E表征一个右旋圆极化波。

下面将此结果用图形表示出来，先写出电场瞬时表示式为()()[][]t j z j z t j x x e e e e z E t z E ωω2.02.04Re Re ,-==()z t e z 2.0cos 42.0+=-ω()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-t j j z j z t j y y e e e e e z E t z E ωπω22.02.04Re Re ,()2/2.0cos 42.0πω++=-z t e z在0=z 平面上，有()t t E x ωcos 4,0=()t t t E y ωπωsin 42cos 4,0-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=据此可知，合成电场矢量()()()t E e t E e t E y y x x ,0,0,0+=端点随时间以角频率ω顺时针旋转变化，如图1所示。

注意到波的传播方向是z -轴方向（垂直于纸面向里），因此失端旋转方向与波的传播方向两者正好构成右手螺旋关系，故()z E表征一个右旋圆极化波。

图1 沿z -方向传播的右旋圆极化波7.8 铜的电导率75.810/S m σ=⨯，其电容率0εε=，磁导率0μμ=。

分别计算频率61012350,10,10f Hz f Hz f Hz ===的情况下，电磁波在铜中的穿透深度。

解：由良导体的条件100σωε≥推知：铜作为良导体的频率范围是 16010200f Hz σπε≤≈可见对任何波段的无线电波，铜都是良导体。

三种频率下的穿透深度分别为()1当150f Hz =时：10.009359.35m mm δ=≈== 这表明在工频()50Hz 下，铜的趋肤效应尚不明显。

()2当6210f Hz =时：20.000066166.1m m δμ=≈== ()3当10310f Hz =时：30.0000006610.661m m δμ=≈== 这表明在cm 波段，铜的趋肤效应极为严重。

7.9 微波炉利用磁控管输出的2.45GHz 的微波炉加热食品。

在该频率上，牛排的等效复介电常数040,tan 0.3e εεδ'==()1求微波传入牛排的趋肤深度δ，在牛排内8mm 处的微波场强是表面处的百分之几；()2微波炉中盛牛排的盘子是用发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数和损耗角正切分别为401.03,tan 0.310e εεδ-'==⨯。