第一章：(专升本)函数、极限与连续
2 2
（ （ （ （ （
） ） ） ） ）
x
x
x
9. lim
x
sin x 1； x 1 x 10. lim(1 ) e . x x 3x 1 ； x 1 x 2 1 x2 1 ； x 1 2 x 2 x 1
4 第一章 函数、极限与连续
专插本数学复习题（兰 星）
当 b _____ 时， lim f ( x) 1 。
x 0
9.设 y
1 ，当 x ____ 时， y 是无穷小量，当 x ____ 时， y 是无穷大量； x 1
； ；
10.设 ( x) 是无穷小量， E ( x) 是有界变量，则 ( x) E ( x) 为 11. lim f ( x) A 的充分必要条件是当 x x 0 时， f ( x) A 为
x
2
arctan x)
四、设 f ( x )
x2 ，回答下列问题：1.函数 f ( x) 在 x 0 处的左、右极限是否存在？2.函 x
星 6 第一章 函数、极限与连续
制题人： 兰
专插本数学复习题（兰 星）
数 f ( x) 在 x 0 处是否有极限？为什么？3.函数 f ( x) 在 x 1 处是否有极限？为什么？
④、 1,2, , n,
则其中发散的数列为（ ） A、① B、①④ C、①③④
D、②④
1 n为奇数 , ，则必有（ 3. x n n 7 n为偶数 10 ,
A、 lim x n 0
n
）
B、 lim x n 10
n
7
C、 lim x n
n
D、 ln( x 1) ）
7.下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是（ A、
x2 x3 1
( x )
B、 ln x ( x )
C、 ln x( x 0 )
x x0 x x0
D、
1 nx cos ( x ) x 2
）
8.若 lim f ( x) ， lim g ( x) ，则下列极限成立的是（ A、 lim [ f ( x ) g ( x)]
制题人： 兰
星
5
第一章
函数、极限与连续
专插本数学复习题（兰 星）
5.设 f ( x) A、0 A、 x 1
3
x 1, x 0 ，则 lim f ( x) 的值为（ x 0 x 0 2 ,
B、1 C、2 D、不存在 ）
x
）
6. 当 x 1 时，下列变量中是无穷小的是（ B、 sin x C、 e
x 1 x 0 x
1 ______________ ； 1 x2
7. lim cos x ___________ ， lim cos x ___________ ；
8.设 f ( x )
制题人： 兰
ex ,
星
x0
ax b, x 0
，则 f (0 ) _________, f (0 ) _________ ，
x x0
B、 lim [ f ( x ) g ( x )] 0
x x0
C、 lim
x x0
1 f ( x) g ( x)
D、 lim f ( x ) g ( x)
x x0
9.以下命题正确的是（ ） A、无界变量一定是无穷大 B、无穷大一定是无界变量 C、趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增 D、不趋于无穷大的变量必有界 10. lim e （
制题人： 兰
星
3
第一章
函数、极限与连续
专插本数学复习题（兰 星）
第二讲：极限概念
一、是非题 1.在数列 a n 中任意去掉或增加有限项，不影响 a n 的极限； 2.若数列 a n bn 的极限存在，则 a n 的极限必存在； 3.若数列 x n 和 y n 都发散，则数列 x n y n 也发散； 4.若 lim(u n v n ) 0 ，则必有 lim u n 0 或 lim v n 0 。
3
(2) y tan( x 5 )
3 2
(3) y 2
1 x 2
(4) y lg(3 x)
6.设 ( x )
x , x 1, 1 1 求 ( ) ， ( ) ， (2) ，并作出函数 y ( x) 的图形。 0 , x 1 . 5 2
B、周期函数
C、奇函数
D、偶函数
3 x arcsin
3 2x 5
2.求下列函数的定义域 (1) y
x 2 4x 3
(2) y
4 x2
1 x 1
(3) y lg( x 2) 1
(4) y lg sin x
3.设 f ( x) x ， g ( x) e ，求 f [ g ( x)], g[ f ( x)], f [ f ( x)], g[ g ( x)] ；
0, n为奇数 －7 10 ，n为偶数
）
D、 lim x n 不存在
n
4.从 lim f ( x) 1 不能推出（
x x0
A、 lim f ( x) 1 －
x x0
B、 f ( x0 )＝ 1 D、 lim 【f ( x)－1 】 0
x x0
C、 f ( x 0 )＝ 1
D、①②③
则其中收敛的数列为（ ） A、① B、①② C、①④ 2.已知下列四数列： ①、 1,1,1,1, , ( 1) ③、
n 1
,
②、 0,
1 3 1 4 1 n2 , , , ,, , , 2 2 3 3 n 1 n 1
1 1 1 1 ,0, 2 ,0, 3 , ,0, n , 2 2 2 2
专插本数学复习题（兰 星）
第一章Βιβλιοθήκη 函数、极限与连续第一讲：函数
一、是非题 1． y
x 2 与 y x 相同；
x x
（ （ （ （ （ （ （ （
） ） ） ） ） ） ） ）
2. y ( 2 2
) ln( x 1 x 2 ) 是奇函数；
3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； 4. y x ( x 0) 是偶函数；
2
5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； 7.复合函数 f [ g ( x)] 的定义域即 g ( x) 的定义域； 8. y f ( x) 在 ( a, b) 内处处有定义， 则 f ( x) 在 ( a, b) 内一定有界。 二、填空题 1.函数 y f ( x) 与其反函数 y ( x) 的图形关于 2.若 f ( x) 的定义域是 [0,1] ，则 f ( x 1) 的定义域是
3
D、 x x
3
2.设 f ( x) 4 x bx 5 ，若 f ( x 1) f ( x ) 8 x 3 ，则 b 应为（ A、1 B、－1
2
）
C、2 ）
D、－2
3. f ( x ) sin( x x) 是（ A、有界函数 四、计算下列各题 1.求定义域 y
n n n
（ （ （ （ （ （ （ ） （ （ （ （ （ （
） ） ） ） ） ）
5.若 lim f ( x ) A ，则 f ( x0 ) A ；
x x0
6.已知 f ( x0 ) 不存在，但 lim f ( x ) 有可能存在；
x x0
7.若 f ( x0 ) 与 f ( x0 ) 都存在，则 lim f ( x ) 必存在；
x 0 1 x
） D、不存在 ） ；
C、等于 1 A、等于 0 B、等于 11.下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是（
x 2 sin
A、 lim
x 0
1 x
sin x x sin x C、 lim x x sin x
B、 lim
x 1
1 x 1 sin x
D、 lim x(
x x0 x x0
（ （ （ （
） ） ） ）
x x0
f ( x) 必不存在； g ( x)
（
）
1 2 3 n 1 2 n lim 2 lim 2 lim 2 0 ； 2 n n n n n n n n 1 1 7. lim x sin lim x lim sin 0 ； x 0 x x 0 x 0 x
1 高阶的无穷小？ x
1.
1 ， 2x
2.
1 ， x2
3.
1 x
制题人： 兰
星
7
第一章
函数、极限与连续
专插本数学复习题（兰 星）
第三讲：极限的求法
一、是非题 1.在某过程中，若 f ( x) 有极限， g ( x) 无极限，则 f ( x) g ( x) 无极限； 2.在某过程中，若 f ( x) ， g ( x) 均无极限，则 f ( x) g ( x) 无极限； 3.在某过程中，若 f ( x) 有极限， g ( x) 无极限，则 f ( x) g ( x) 无极限； 4.在某过程中，若 f ( x) ， g ( x) 均无极限，则 f ( x) g ( x) 无极限； 则 lim 5.若 lim f ( x) A ， lim g ( x) 0 ，
五、下列各题中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大？ 1.
河南专升本高等数学考试考点大纲
河南专升本高等数学考试考点大纲第一章、函数、极限和连续考点一：求函数的定义域考点二：判断函数是否为同一函数考点三：求复合函数的函数值或复合函数的外层函数考点四：确定函数的奇偶性、有界性等性质的问题考点五：有关反函数的问题考点六：有关极限概念及性质、法则的题目考点七：简单函数求极限或极限的反问题考点八：无穷小量问题考点九：分段函数求待定常数或讨论分段函数的连续性考点十：指出函数间断点的类型考点十一：利用零点定理确定方程根的存在性或证明含有的等式考点十二：求复杂函数的极限第二章、导数与微分考点一：利用导数定义求导数或极限考点二：简单函数求导数考点三：参数方程确定函数的导数考点四：隐函数求导数考点五：复杂函数求导数考点六：求函数的高阶导数考点七：求曲线的切线或法线方程或斜率问题考点八：求各种函数的微分第三章、导数的应用考点一：指出函数在给定区间上是否满足罗尔定理、拉格朗日定理或满足定理求定理中的值考点二：利用罗尔定理证明方程根的存在性或含有的等式考点三：利用拉格朗日定理证明连体不等式考点四：洛必达法则求极限考点五：求函数的极值或极值点考点六：利用函数单调性证明单体不等式考点七：利用函数单调性证明方程根的唯一性考点八：求曲线的凹向区间考点九：求曲线的拐点坐标考点十：求曲线某种形式的渐近线考点十一：一元函数最值得实际应用问题第四章、不定积分考点一：涉及原函数与不定积分的关系，不定积分性质的题目考点二：求不定积分的方法考点三：求三种特殊函数的不定积分第五章、定积分考点一：定积分概念、性质和几何意义等题目考点二：涉及变上限函数的题目考点三：求定积分的方考点四：求几种特殊函数的定积分考点五：积分等式的证明考点六：判断广义积分收敛或发散第六章、定积分的应用考点：直角坐标系下已知平面图形，求面积及这个平面图形绕坐标走旋转一周得到的旋转体的体积第七章、向量代数与空间解析几何考点一：有关向量之间的运算问题考点二：求空间平面或直线方程考点三：确定直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系; 或已知位置关系求待定系数考点四：由方程识别空间曲面或曲线的类型考点五：写出旋转曲面方程和投影柱面方程第八章、多元函数的微分及应用考点一：求二元函数定义域考点二：求二元函数的复合函数或求复合函数的外层函数考点三：求多元函数的极限考点四：求简单函数的偏导数或某点导数考点五：求简单函数全微分或高阶偏导数考点六：复杂函数 ( 特别是含符号 f) 的求偏导数或全微分或高阶导数考点七：隐函数的求偏导数或全微分考点八：求空间曲面的切平面或法线方程 ; 求空间曲线的切线和法线方程考点九：求函数的方向倒数和梯度考点十：求二元函数的极值或极值点、驻点考点十一：多元函数有关概念的问题考点十二：二元函数最值的实际应用问题第九章、二重积分考点一：利用二重积分性质和几何意义等基本问题考点二：直角坐标系下计算二重积分考点三：直角坐标系下两种累次积分次序互换考点四：在极坐标系下计算二重积分第十章、曲线积分考点一：计算对弧长的曲线积分考点二：计算对坐标的曲线积分第十一章、无穷级数考点一：有关级数收敛定义和性质的题目考点二：指出数项级数的收敛、发散、条件收敛、绝对收敛考点三：确定幂级数在某点处是否收敛或发散考点四：求幂级数的收敛域或收敛区间考点五：利用公式把简单函数展开成幂级数考点六：求数项级数的和或幂级数的和函数第十二章、常微分方程考点一：涉及微分方程有关概念的基本问题考点二：求可分离变量的微分方程的通解和特解考点三：涉及可变量微分方程的实际应用问题考点四：求齐次微分方程的通解或特解考点五：求一阶线性微分方程通解考点六：求通解或特解考点七：求通解或特解考点八：设出通解或特解考点九：求通解或特解高数的复习知识点比较多，逻辑性比较强，大家在复习的时候一定要按照以上老师总结的考点重点的加以复习备考。
第一章函数、极限、连续(专升本专用PPT)-文档资料
六个常见函数的有界性: | sin x | 1; | cos x | 1; ( , ) | | arcsinx | | arctanx |
2
; | arccosx | ;[1,1] ; | arc cot x | ; ( , )
2
x 例2.判断函数f ( x) 的有界性 2 1 x x | x| | x| 1 解: 因为| f ( x) || | 2 2 1 x 1 x 2| x| 2 (1 x 2 2 | x |).所以函数f ( x)有界 .
y u是中间变量，y是因变量．
u , u 1 x 2
4 y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数
( 2)反函数 : 设函数y f ( x )的值域为Z f , 如果对Z f 中 任一y值从关系式y f ( x )中可确定惟一的一个 x值, 则称变量x为变量y的函数, 记为 : x ( y ), 其中 ( y )称为y f ( x )的反函数,习惯上y f ( x )的反 函数记为: y f 1 ( x )
f n ( x), y lim f (t , x) （1）极限形式的函数：y lim n tx
（2）积分形式的函数： y
5.非初等函数
x
0
f (t )dt ( f (t )连续 )
6.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 f ( x )在区间x上有定义，如果对x X 恒有 f ( x ) f ( x ) (或f ( x ) f ( x )) 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点.
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
专升本高数第一章极限与连续
金融领域
连续复利在金融领域中有着广泛 的应用，如债券、股票、基金等 投资产品的价值计算。
100%
保险领域
在保险领域中，连续复利可以用 于计算保险产品的未来价值，帮 助客户了解保险合同未来的收益 情况。
80%
养老金领域
在养老金领域中，连续复利可以 用于计算个人养老金账户的未来 价值，帮助个人了解自己退休后 的养老金收益情况。
极值的计算
对于可导的函数，其一阶导数为0的点可能是极值点。然后通过判断二阶导数的正负来判断是极大值还是极小值。 如果二阶导数大于0，则为极小值；如果二阶导数小于0，则为极大值。
极值的应用
最大最小值问题
在生产、生活中经常遇到求最大最小值的问题，极值的概念可以用来解决这类问题。例如，在经济学中求成本最低、 利润最大的方案等。
02
(1) lim(x->0) (sin x / x)
03
(2) lim(x->0) ((1 + x)^(1/x))
04
(3) lim(x->∞) ((1 + 1/x)^x)
连续复利部分的习题
(2) A = P(1 + r/n)^nt / (1 + r/n)^n
(1) A = P(1 + r/n)^nt
单调性
如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该区间 内导数大于等于0或小于等于0。
极值点
如果函数在某一点的导数为0，且该点两侧的 导数符号相反，则该点为极值点。
04
函数的单调性与极值
单调性的判断方法
01
02
03
定义法
导数法
图像法
通过比较函数在某区间内任意两点x1和 x2的函数值f(x1)和f(x2)，判断单调性。 如果f(x1)<f(x2)，则函数在此区间内单 调递增；反之，则单调递减。
专升本内容极限与连续
0
○ 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处
3
○ 函数的定义, 则可使其变为连续点.
x ) ) f (( x 0 ) ) f ( x l i m x 0( x ) ) u l i m u 0 f ( u )
介值定理：设函数f(x)在a,b上连续，且在区
间端点取不同的函数值f(a)A 及f(b)B,
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
求极限的常用方法
极限的性质
li[1m(x)]e.(其li中m(x)0) xlxi01m(1x)(x)e.(其xlxi0中m(x))
1
(x)
limsin(x)1.(lim(x)0) xx0 (x) xx0
xx0
xx0
极限性质：有界性、唯一性、保号性. *
（3）如果lim1,则称与是等价的无穷小，
对任意x∈D1≡ D2 ,都有
2). D1≡ D2,f(D1)=g(D2)不能推出f(x)≡g(x)
3).规则幂相函同数,值,指域数相函同数不,对能数推函出数有,三f(x角)≡函g数(x和) 反 三角函数统称为基本初等函数.
• 求y=f-1(x)的方法:
y=f(x) (解出x)→x=f-1 (y) (x、y互换)→ y=f-1 (x);
3 WORKHARVEST 函数的连续性
一、函数的概念
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数 反函数 隐函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
函数的两要素: 定义域与对应法则.
设y=f(x),x∈D1;y=g(x), x∈D2,则
1).f(x)≡g(x) f(x)=g(x)
专升本第一章 函数、极限与连续
x 0
lim f ( x) lim(1 cos x) 0
x 0
因为 lim f ( x) lim f ( x) 0 所以 lim f ( x) 0 x 0
x 0 x 0
定理 : lim f ( x ) A f ( x 0 0) f ( x 0 0) A.
4.三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
5.反三角函数
反正弦函数
y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数
y arccos x
y arccos x
反正切函数
y arctan x
y arctan x
反余切函数
y arc cot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
7、复合函数
设 函 数 y f (u) 的 定 义 域 D 的 值 域 为 Z, 若 D
例：求下列函数的定义域
(2 ) y x 1 ［Ａ］ (1 ) y x 1 ( x 1 )( x 4 ) ． 解:(1)要使函数有意义，必须有分母 ( x 1)( x 4) 0
x 1 0 即x 4 0
1
1
x 1 x 4
( n ).
" N "定义
0 , N 0 , 使 n N 时 , 恒有 x n a .
专升本-高数
性质保号性：flim( xf)
(x) A 0 f (x) 0 0且limf (x) limf
(
x)
0
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限 3.四则运算
注意：(1）有限次运算 （2） 若limf (x) A, limg (x)不存在,
则lim[f (x) g(x)]不存在
又若A 0,则lim[f (x)g(x)]不存在， lim[g (x) / f (x)]不存在
若limf (x),limg(x)都不存在, 则lim[f (x) g(x)]，lim[f (x)g(x)], lim[f (x) / g(x)]不确定
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
初等函数
函数
性质
复合函数
反函数
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
无穷小 无穷大
性质
极限
重要极限
四则运算
存在准则
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
闭区间 连续函数
性质
连续性
运算性质
间断点 及分类
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限
21.极.极限限的的性概质概念念函数数列极极限限：：nlillxxmiimmaxffn((xx))
A,
收敛数列，发散数列
A lim f (x) A lim f (x)
x
浙江专升本高等数学第一章函数、极限与连续
第一章 函数 极限 连续微积分研究的对象是函数，函数这部分的重点是：复合函数、反函数和分段函数及函数记号的运算.极限是微积分的理论基础，微积分中的重要概念，如连续、导数、定积分等实质上是各种类型的极限，既要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，又要能准确地求出各种极限，求极限的方法主要有： ①利用极限的四则运算幂指数运算法则;⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩定义（特点）性质(周期性,有界性,奇偶性)函数基本初等函数(定义,性质,图形)反函数复合函数(复合函数的分解)0()lim ()lim ()()x x x N f x f x εεδ→→±∞⎧-⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪-⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩数列极限定义定义函数极限定义左、右极限极限存在充要条件单调性性质夹逼定理⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩零点定理介值定理闭区间上连续函数的性质有界性定理最大值最小值定理一致连续性定理⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪二、典型错误分析例1．设分段函数2sin ,0()ln ,0x x f x x x x ≤⎧=⎨+>⎩ ,求(1),(1).f x f x --[错解]2sin(1),0(1)(1)ln(1),0x x f x x x x -≤⎧-=⎨-+->⎩sin(1),0(1)x x f x -≤⎧-= [点[ 例[故取⎥⎦⎢⎣+=)1ln(εN ,则当N n >时,恒有 εε+<<-11n n , 即.1lim =+∞→n n n[分析] 由)2(2ln )1ln(ln )1ln(1≥+≤+<n n n εε,推出n n<+≤+)1ln(ln )1ln(2ln εε是正确的.而错在由)1ln(2ln ε+>n 而取⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=)1ln(2ln εN 这一步上. 事实上,这样得到的N ,当N n >时并不能保证n n<+)1ln(ln ε一定成立.例如,取692ln ⎤⎢⎡,按以上解法,只要,70≥n 因为1cos lim ++∞→x x 与x x cos lim +∞→均不存在,故原式极限不存在.[错因分析]极限的运算法则是在参与运算的两个函数极限都存在的条件下适用的,本题错在误解了极限的运算法则. [正确解]由于21sin 21sin2cos 1cos xx x x x x -+⋅++-=-+,当+∞→x 时, 121sin ≤++xx , 而)1(21121sin 21sin0x x x x x x ++≤++=-+≤,故 021s i nlim =-++∞→xx x ,于是原式等于零. 例[[[ 例 [则原式=h h x f h x f h 2)()(lim-'-+'→=)(2)()(lim0x f h x f h x f h ''=-''++''→. [错因分析]在推导出结果时使用了二阶导数连续的条件,本题并无这样的假设. [正确解] 2)(2)()(limh x f h x f h x f h --++→=hh x f h x f h 2)()(lim-'-+'→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--'+'-+'→h x f h x f h x f h x f h )()()()(lim 210 =[])()()(21x f x f x f ''=''+''. 例6. 求)11(lim 22x x x x x +--++∞→. [错解] 原式=22112limxx x x xx +-+++∞→[[ 例[ 当21≤<x 时, x x x x x n nn n n −−→−≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++<∞→3212x x f =⇒)(; 当2>x 时, 2232122222x x x x x n nn n n −−→−≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤∞→2)(2x x f =⇒.综上所述,故有n nn x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→21lim 2=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤≤≤2,221,10,12x x x x x . [错因分析] 当2>x 时,误认为n nx x >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,而由nn nx x x ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222可知,[x →例.[取f [[ 2)(ε<-A x f .对于X x x >21,,同时有2)(1ε<-A x f ,2)(2ε<-A x f ,于是εεε=+<-+-≤+--=-22)()()()()()(212121A x f A x f A x f A x f x f x f .例9. 设)(x f 在),(+∞-∞内连续,且A x f x =-∞→)(lim ,A x f x =+∞→)(lim 存在,证明:)(x f 在),(+∞-∞上一致连续.[错解] ,0>∀ε由A x f x =+∞→)(lim , 01>∃X ,当1X x >时,有2)(ε<-A x f ;于是,当121,X x x >时,有εεε=+<-+-≤-22)()()()(2121A x f A x f x f x f可知)(x f 在),[+∞X 上一致连续.[[f ε<-)()(21x f x f 即)(x f 在),(+∞-∞上一致连续. 例10. 求xxx f tan )(=的间断点并判别类型. [错解]当0tan =x ,即),1,0( ±==k k x π时,函数无定义,又因∞=→xxk x tan limπ,故),1,0( ±==k k x π为)(x f 的第二类间断点. [错因分析] 有两个问题:①遗漏了使x tan 无定义的点),1,0(2±=+=k k x ππ,这些点也是)(x f 的间断点.②由于1tan lim=→xxx ,故0=x 不是第二类间断点. [正确解] x tan 的定义点和零点分别为:k x 故而例[[{x [)x 无界. 因此选(B)[分析二] 用排除法, ()f x 不是周期函数, 也有函数值相同的点, 可以证明当sin 0x ≠时,()f x 不是偶函数.[解二] 由(0)()0f f π==,知()f x 不是单调函数.由于()f x -=sin()sin ()tan()tan (),(sin 0)x x x x e x xe f x x ----=≠≠,()f x 不是偶函数.又()f x 也不是周期函数,因此选(B).例12． 设()f x 和()x ϕ在(,)-∞+∞内有定义，()f x 为连续函数，且()0f x ≠，()x ϕ有间断点，则（ ）（A ）[()]f x ϕ必有间断点 （B ）2[()]x ϕ必有间断点 （C ）[()]f x ϕ必有间断点 （D ）()()x f x ϕ必有间断点 [答案] （D ） [因f 无.例[0,,||1,n x →∞⎪<⎩当||1x >时, ()f x =122122lim 1n n n n x ax bx x ----→∞+++=1x ;当||1x <时, ()f x =22lim1n ax bxax bx →∞+=+.于是得()f x =21,1,1(1),1,21(1),1,2, 1.x xa b x a b x ax bxx ⎧>⎪⎪⎪++=⎪⎨⎪--=-⎪⎪⎪+<⎩其次,由初等函数的连续性,当x >1,x <1时()f x 分别与初等函数相等,故连续.x →x f f 例若af [af 式.[解一] 由题设条件知0)0()1()]0()2()([lim 0=-+=-+→f b a f h bf h af h .由于0)0(≠f ,故必有01=-+b a . 又由洛必达法则,有).0()2(1)2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→因0)0(≠'f ,故02=+b a .由⎩⎨⎧=+=-+0201b a b a 可得⎩⎨⎧-==12b a .[解二] 由条件可知),()0()0()(h h f f h f ο+'+=f 例,[[上故由介值定理知,存在],[b a ∈ξ,使⎰⎰≤=b ab adx x g dxx g x f f )()()()(ξ,即⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ.[证二] 设⎰⎰-=bab adt t g x f dt t g t f x F )()()()()(,由于)(),(x g x f 在],[b a 上连续,0)(>x g ,故)(x F 在],[b a 上连续,且)(x f 有最大值)(1x f M =,最小值)(2x f m =,其中],[,21b a x x ∈,)()()(12x f x f x f ≤≤.所以,0)()]()([)()()()()(111≤-=-=⎰⎰⎰bab ab adt t g x f t f dt t g x f dt t g t f x F.0)()]()([)()()()()(222≥-=-=⎰⎰⎰bab ab adt t g x f t f dt t g x f dt t g t f x F故由零值定理可知,存在],[21x x ∈ξ(或],[12x x )使0)(=ξF . 即故例[式 [→x 故[9ln 9ln lim lim )93ln(lim ==⎭⎝⎭⎝=++∞→+∞→+∞→xx x x x x xx x . 所以xxx x 1)93(lim ++∞→=)93ln(1lim c x xx e++∞→=x x x x e)93ln(lim++∞→=99ln =e . [解三] x x x x 1)93(lim ++∞→=)93ln(1lim c x xx e++∞→=x x x x e)93ln(lim++∞→,x x x x x x x x x 939ln 93ln 3lim )93ln(lim ++=++∞→+∞→x xx x x x x x ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅+=+∞→+∞→311312lim 3ln 939233ln lim =9ln 3ln 2=,所以xx xx 1)93(lim ++∞→=)93ln(1lim c x xx e++∞→=x x x x e)93ln(lim++∞→=99ln =e .例17． 确定下列各题中指定常数的值.[[x 2而 故[)1()1(21-+-→x b x a x 0用洛必塔法则.[解二] 1)2(lim 1=→xx x ,而10]2ln 1[2)1(2]2ln 1[)2(lim )1()1(2)2(lim 121=⋅++=-++=-+--→→b a x b a x x x b x a x x x x x ,所以)2ln 1(2+=a ,显然b 为任意实常数.(17.2)已知2)13(lim 2=++-+∞→bx ax x x ,求b a ,的值.[分析]像这种类型)(∞-∞的极限,已知此未定式的极限存在且等于2,要确定极限式中的参数b a ,.一般有两种方法: 方法 1 直接将所给无理式有理化定出极限式中所含参数之值; 方法 2 先提出∞因子,将∞-∞型化为0⋅∞型, 然后由极限式存在的条件定出极限式中所含参数之值.[解一] 原式可改写成2)13(lim )13(lim 22=++-=++-+∞→+∞→xx b a x bx ax x x x .将x → 故[x →→x a b 4-=,而9=a , 故有9=a ,12-=b .[解三]131)9(lim )13(lim 222+++---=++-+∞→+∞→bx ax x bx x a bx ax x x x =2131)9(lim2=+++---+∞→x x b a x b x a x .因此有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-2309ab a ,故⎩⎨⎧-==129b a .(17.3)设存在极限b x x x I m x =-++=+∞→])27[(lim 45，求常数m 与b .[分析与求解]0≤m 时∞=I ,极限不存在.m I =当 例[只异号[证明]令xx x f 1cos )(-= ,,2πn a n = π)12(+=n b n , 则11++<<<n n n n b a b a ),3,2,1( =n)5432(2211 <=<=<=<=ππππb a b a 由0211)(>-=πn a f n , 0)12(11)(<+--=πn b f n , ,,3,2,1),)12(,2(),( =+=∈∃⇒n n n b a x n n n ππ使得)(n x f =n x cos nx 1-=0, 且.21 <<<<n x x x [几何意义]令xx x f 1cos )(-=, 0)(=x f 有无穷多个正根的几何意义是: 曲线)(x f y =与x 轴的正半轴有无穷多个交点.若将方程改写为xx 1cos =, 它有无穷多个正根的另一几何意义是:例[ 又 .0112)(1=---=⇒+nn n n n n x x x x g因n x 单调下降, 00lim lim 10101=⋅=⋅=⇒<≤⇒<<+∞→++∞→a x x x a x n nn x n nx n . 在上式中令+∞→n , 得,0112=--aa.21=⇒a 因此 .21l i m =+∞→n n x例20．设数列{}n a 满足1001=a ，n n a a +=+51，求它的极限.[分析] 由n n a a +=+51这是一个递归数列, 如何求其极限呢?先假定a a n n =∞→lim ,对n n a a +=+51两边取极限,得a a +=5,由此式若能唯一地解出a ,我们就求出了这个极限值. 此极限是在n a 收敛的前提下求得的, 因此用这种方法求递推数可[a 从前面已证出的)211(21+=≥a a n 可知, 052≤-+n n a a , 即.01≤-+n n a a故数列{}n a 单调下降,且有下界)211(21+,从而n n a ∞→lim 存在, 且n n a ∞→lim =)211(21+.四、考研试题分析例21．(1990年高数一)设a 是非零常数，则________lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x . [答案] a e 2.[分析] 本题主要考查∞1 型极限的求法.将所求极限“凑”成基本极限xx x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim[当[又[例,[答案]23-. [分析] 利用等价无穷小的概念和等价无穷小代换:当0→x 时,;~1)1(x x μμ-+221~cos 1x x -. [解] 由于0→x 时, 231231~1)1(ax ax -+,221~1cos x x --,则,1322131lim 1cos 1)1(lim 2203120=-=-=--+→→a x axx ax x x 即.23-=a例23．(1992年高数一)当1→x 时, 函数11211---x e x x 的极限(A)等于2. (B)等于0. (C)为∞. (D)不存在但不为∞. [[[而则例[[,[解一] xe d x x c x x e d x c x b x a x x x x )1()21ln(lim )1()21ln()cos 1(tan lim 220-→-→-+-=-+--+, 又,22lim )21ln(lim ,021lim cos 1lim ,1tan lim 002000-=-=-==-=→→→→→xx x x x xx x x x x x x x x .0l i m 1l i m 2002==-→-→x x xe x x x则.22020lim)1()21ln()cos 1(tan lim002=-=+-+=-+--+→-→cac a ed x c x b x a x x x从而c a 4-=.[解二] )21ln()1(1)21ln()cos 1()21ln(tan lim)1()21ln()cos 1(tan lim22x c e d x c x b x c x a ed x c x b x a x x x x --+--+-=-+--+-→-→讨论.1)1(,1==f x当10<<x 时, )(02+∞→→n x n , 211lim 2=++∞→nn x x;当1>x 时, )(2+∞→∞→n x n , 2011lim2≠=++∞→nn x x.⇒)(x f 在1=x 处间断. 故选(B).例26(1999年高数四)设函数)1,0()(≠>=a a a x f x , 则.______)]()2()1(ln[1lim2=∞→n f f f n n [答案].ln 21a .[解] ]ln[1lim )]()2()1(ln[1lim2122nn n a a a n n f f f n ∞→∞→=例[[→n →n 1时取 例[答案]2.[解一] ⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→x x x x x x x x 31ln 31ln 31ln sin lim 31ln sin lim.3ln 31ln lim 31ln lim 333==⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅∞→∞→e x x x x xx同理.1]11ln sin [lim -=⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→x x x⇒.213]11ln sin 31ln [sin lim =-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x[解二] ∞→x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 31ln sin ~31ln ~3 33lim 31ln sin lim =⋅=⎫⎛+→x x x . →x [ x →x x 例29(1996年高数一)设101=x , n n x x +=+61( ,3,2,1=n ),试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.[分析] 这种由递推关系定义的数列极限问题,一方面用单调有界准则证明极限存在,另一方面等式两边取极限求出极限. [证明一] 用数学归纳法证明数列{}n x 单调减. 由101=x , 416612==+=x x ,知21x x >.即1=n 时, 有1+>n n x x .设k n =时, 不等式1+>n n x x 成立. 由k k x x +=+61216++=+>k k x x 可知,1+=k n 时, 不等式1+>n n x x 也成立, 因而对一切的自然数时, 不等式1+>n n x x 总成立.又0>n x ( ,3,2,1=n )即{}n x 有下界, 由单调有界准则可知原数列有极限, 设a x =lim , 等式n x x +=6两边取极限得a a +=6, 即,3=a (2-与题意[，n x [n x ,|x <例30(2003年高数一)设{}{}{},,,n n n c b a 均为非负数列, 且∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim , 则必有(A)n n b a <对任意n 成立. (B)n n c b <对任意n 成立. (C) n n n c a ∞→lim 不存在. (D) n n n c b ∞→lim 不存在[答案](D)[分析] 本题考查应用数列极限的保序性, 应注意:“若b b a a n n n n ==∞→∞→lim ,lim 且b a >，则存在N ，当N n >时，有n n b a >”，而不是对于任意的n 有n n b a >.还应注意以下结论：“∞=≠=∞→∞→n n n n b a a lim ,0lim ,则∞=∞→n n n b a lim ”这是一个常用的结论.[解一] 由于01lim ≠=∞→n n b ,∞=∞→n n c lim , 则n n n c b ∞→lim 不存在.[1a 又→n。
（完整版）高职专升本第一章函数极限与连续习题及答案
（完整版）高职专升本第一章函数极限与连续习题及答案高等数学习题集第一章函数极限与连续一.选择题1．若函数)(x f 的定义域为[0,1]，则函数)(ln x f 的定义域是（ B ）。
A [0,1]B [1,e]C [0,e]D (1,e)2．设xx f 11)(+=，则)]([x f f =（ A ）。
(2002-03电大试题) A.x x ++11 B.x x +1 C.x ++111 D.x+11。
3．设)(x f =e 2x ，则函数)()()(x f x f x F -+=是（ B ）。
A 奇函数；B 偶函数；C 既是奇函数又是偶函数；D 非奇非偶函数。
4．下列说法错误的是（ D ）。
A y=2x 与y=|x|表示同一函数；B x x f 3sin 21)(=是有界函数； C x x x f +=cos )(不是周期函数； D 12+=x y 在(－∞,＋∞)内是单调函数。
5．下列函数中非奇非偶的函数是（ D ）。
A ||lg )(x x f =；B 2)(xx e e x f --=； C x x x f sin )(+=； D ||)(x x x f -=。
6．下列函数中（ A ）是基本初等函数。
A x x f 2=)(；B x x f 2=)(；C 2)(+=x x f ；D x x x f +=2)(。
7．函数（ A ）是初等函数： A x x y arccos 12-=；B =≠--=.1,0,1,112x x x x y C xx y ln )ln(-=；D ΛΛ+++++=+12421n y 8．“数列{x n }的极限存在”是“数列{x n }有界”的（ A ）。
A 充分但非必要条件；B 必要但非充分条件；C 充分必要条件；D 既非充分亦非必要条件。
9．∞→x lim 5x 的值是（ D ）。
A +∞； B -∞； C 0； D 不存在。
10．+∞→x lim e -x 的值是（ A ）。
成考(专升本)-高等数学二(专升本)-第1章 函数、极限和连续
成考（专升本）-高等数学二（专升本）-第1章函数、极限和连续[单选题]1.当x→0时，x2是x-ln（1+x）的()。
A.较高阶的无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价的无穷小量D.较低阶的无穷小（江南博哥）量正确答案：C参考解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较。
由于可知当x→0时，x2与x-ln（1+x）为同阶但不等价无穷小，故应选C。
[单选题]3.()。
A.0B.1C.2D.不存在正确答案：D[单选题]4.()。
A.减少B.有增有减C.不增不减D.增加正确答案：B[单选题]5.设函数f（x）=，在x=2处连续，则a=()。
A.B.C.D.正确答案：B参考解析：[单选题]6.当x→1时，下列变量中不是无穷小量的是()。
A.x2-1B.sin（x2-1）C.lnxD.e x-1正确答案：D参考解析：[单选题]7.设z=f（x，y）在点（1，1）处有f x’（1，1）=f y’（1，1）=0，且f xx”（1，1）=2，fxy”（1，1）=0，fyy”（1，1）=1，则fy（1，1）=()。
A.是极大值B.是极小值C.不是极大值D.不是极小值正确答案：B参考解析：根据极值的充分条件：B2－AC＝－2，A＝2＞0所以f（1，1）为极小值，选B。
[单选题]8.当x→0时，若sin2x与x k是等价无穷小量，则k=()。
A.1/2B.1C.2D.3正确答案：C参考解析：当k=2时，有选C。
[单选题]9.()。
A.（1，1）B.（e，e）C.（1，e＋1）D.（e，e＋2）正确答案：A参考解析：本题将四个选项代入等式，只有选项A的坐标使等式成立。
[单选题]10.下列命题正确的是()。
A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量正确答案：C参考解析：根据无穷小量的定义可知选项C正确。
[单选题]11.()。
A.－3B.0C.1D.3正确答案：D参考解析：[单选题]12.()。
(完整版)专升本高数数学第一章_函数、极限与连续
例：求下列函数的定义域
［Ａ］(1) y
1
．
(x 1)(x 4)
(2) y x 1 1 x 1
解:(1)要使函数有意义，必须有分母 (x 1)(x 4) 0
x 1 0
即 x 4 0
x 1
x
4
所以定义域为(-∞,-4) ∪(-4,1)∪(1,+ ∞)
(2)要使函数有意义,必须有 x 1 0
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
y y x 2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
x
(3) 函数的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
1 2
4 2 2
f[f
(x)]
f[ x 3] x2
x3 3 x2 x3 2
2x 9 (x 3x 1
1) 3
x2
2、函数的性质
(1) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D,有
f ( x) f ( x) 称f ( x)为偶函数;
f (x) f (x)
y
称f ( x)为奇函数;
y
y x
y x3
o
x
偶函数
o
x
奇函数
(2) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上
任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有：
(1) f (x1) f (x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的；