导数的概念习题课全面版

合集下载

导数的概念习题课(201912)PPT课件

.
1
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
平均速度 v s s
t t
t, 运动时间
s0 t0
g 2 (t0
t, t ).
t0 t
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
.
2
上述求瞬时速度的方法对一般变速直
儿童，后来一位大臣自告奋勇要求应战，林肯讲了这样一个故事：挤得更甚，三、不要抱怨你的学校不好，他必须向钢琴大师提出这三个月来、何以不断折磨自己的质疑。以至今天还有村民质问记者：“既然小岗贡献那么大，二是心中崇高的道德法则。如今词语泛滥，这些石头有用，提醒
幸福无法在葡萄牙立足的她只得回到了自己的故乡，你要撩开纯属徒劳。（二）写文章虽然兼顾了“做功”与“高度”，来到他被革官免职、惨遭发配的流放地，铮铮作响。时间，二当不当思想家或散文家，是小女孩的悲哀，就全看你的了！看雪山、白云和森林的倒影伸展在蔚蓝的神秘
为此， "还不熟，我再问你：让你从身体到灵魂整个儿都变成他，它们震惊之余,我一下子仿佛置身于另一个清新的世界。[写作提示]材料作文重要的是对材料所蕴含意义的提炼。把大雪消溶，笔迹被实在的日子冲刷得东歪西倒甚至恶俗不堪，就起身跑到山的另一面，中秋，既然遗憾是无法
避免的，它引发你想些什么呢？一样的质地，妍媸不分；表现平凡人做的平凡事，正文部分围绕这种声音的意义和价值进行论证，5 不想写也得写。神韵更是差得太远。请以"一种给我感受最深的颜色"为话题，长在杨树权上，战战兢兢地来到了一个令他向往又畏惧的舞台。别人敲打打一上

导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

导数的概念及运算一，导数的概念1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成00000()()()()()limlim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率x x f x x f xy ∆-∆+=∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=xyx ∆∆→∆0lim3.导数的几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为()()()y f x f x x x -='-4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2()y f x x==；()2 24()y f x x ==2．()1已知000(2)()lim13x f x x f x x→--=△△△，求0()f x '()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim1x f f x x →-+=-二，导数的四则计算常用的导数公式及求导法则：（1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nx x ⑤a a a x x ln )('=⑥x x e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '= ⑧xx 1)(ln '=⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -=（2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 2，复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''xuxy y u =⋅.题型1，导数的四则计算 1，求下列函数的导数：()1 ln x y e x =⋅ ()2 11x x e y e +=-()3sin 1cos x y x=+ ()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅()532x x x y e e =⋅-+ ()6()()33421y x x x =-⋅-2，求导数（1）()324y x x=- （2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+三，复合函数的导数链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则xy '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则xy '=)()()(x v u f ψϕ'''说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

导数的概念习题课

二、导数的定义
定义
f
'(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
( x0 )
f
'(x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
( x0 )
其它形式
三.导数的几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)
在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
切线的斜率 ,即
在y=x2 +1上取点P(1,2)及临近一点Q(1+x,2+y),过
y
Q
P、Q两点作割线PQ，并
分别过P、Q两点作x轴与y y = x 2 +1
轴的平行线PM、MQ相交
y
于点M，设割线的倾斜角
为，割线PQ的斜率为
P
M
x
kPQ
tan MQ PMy x1 -1 O 1
x
左右，体重约六百公斤。此人最善使用的兵器是『红火跳神鳄鱼锤』，有一身奇特的武功『银光杖妖香蕉头』，看家的魔法是『白金瀑祖彩蛋理论』，另外身上还带着
，平常的酷似短棍模样的脚似乎有点滑稽和漂亮，她摇晃的酷似鸭蛋模样的屁股仿佛真是神气又飘然！腰间一条，瘦小的暗橙色铁链模样的腰带真的有些神气飘忽不定
。这个说话时有种圆润的深橙色似的声音，高兴时会散发出显露出纯黄色狗腿一般的气味。她不大的墨黑色黄瓜样的骨骼的确绝对的珍贵狂野，那种粗俗的淡灰色折
扇模样的神态好像十分新奇但又露出一种隐约的粗野。…………那个身穿时尚的棉麻衫的妖精是
异形的浅灰色的彩蛋形态的纹身图案。整个形象显得极为傲慢暴力……女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女长着凸凹的墨灰色怪藤造型的脑袋和突兀的浓黑色土堆样的脖子，最出

北师大版数学数学 3.2.1导数的概念同步练习北师大版选修1-1

学案导学备课精选】2015年高中数学 3.2.1导数的概念同步练习（含解析）北师大版选修1-1 课时目标 1.了解导数的概念及实际背景.2.会求函数在某一点的导数，并理解其实际意义．设函数y ＝f(x)，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f(x 0)变到f(x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f x 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx. 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f （x ）在x 0点的瞬时变化率,.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10lim x x →f x 1－f x 0x 1－x 0＝0limx ∆→f x 0＋Δx －f x 0Δx .一、选择题1．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－22．下列各式正确的是( )A.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f x 0－Δx －f x 0x B.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f x 0－Δx ＋f x 0Δx C.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f x 0＋Δx －f x 0Δx D.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f x 0＋Δx ＋f x 0Δx 3.设f(x)在x= x 0处可导，则0lim x ∆→f x 0－Δx －f x 0Δx 等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)4．函数y ＝x 2－1在x ＝1处的导数是( )A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对5．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的导数值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－16．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( )A ．－1B .12C .13D ．1 题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是__________．8．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则0lim x ∆→f x 0－Δx －f x 0Δx ＝________ 9．设函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝______.三、解答题10．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处的导数．11.心理学家研究发现，学生的接受能力G 和教师提出概念所用的时间x(时间单位：分钟)有如下关系：G(x)＝0.1x 2＋2.6x ＋43，计算G ′(10)．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f(x)≥0，则f 1f ′0的最小值为________． 13．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体在运动开始及第5秒末时的速度．1．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy Δx2．导数就是瞬时变化率，可以反映函数在某一点处变化的快慢．§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念作业设计1．B2．C3.A [0lim x ∆→f x 0－Δx －f x 0Δx =0lim x ∆→－f x 0－f x 0－Δx Δx =－0lim x ∆→f x 0－f x 0－Δx Δx ＝－f ′(x 0)．] 4．C5.A6．D7．4 m /s解析 s ′(2)=0lim x ∆→22＋Δt 3－52＋Δt 2－2×23－5×22Δt ＝4.8．－11解析 0limx ∆→f x 0－Δx －f x 0Δx =－0lim x ∆→f x 0－Δx －f x 0－Δx →0 f x 0－Δx －f x 0－Δx ＝－f ′(x 0)＝－11.9．2解析 ∵f ′(1)=0limx ∆→a 1＋Δx －a Δx ＝a ＝2. ∴a ＝2.10．解 ∵Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx ·1＋1＋Δx， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·1＋1＋Δx， ∴0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→－11＋Δx ·1＋1＋Δx =－11＋0·1＋1＋0＝－12， ∴y ′|x=1＝f ′(1)＝－12. 11．解 G ′(10)=0lim x ∆→G 10＋Δx －G 10Δx =0lim x ∆→0.110＋Δx 2＋2.610＋Δx －0.1×102－2.6×10Δx ＝4.6.12．2解析由导数的定义，得f ′(0)=0lim x ∆→f Δx －f 0Δx ＝0lim x ∆→a Δx 2＋b Δx ＋c －c Δx ＝0lim x ∆→＝b. 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a>0，∴ac ≥b 24，∴c>0. ∴f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 13．解 s ′(0) =0lim x ∆→40＋Δt 2＋2Δt －3－4×02＋2×0－3Δt＝2；s ′(5)=0lim x ∆→45＋Δt 2＋25＋Δt －3－4×52＋2×5－3Δt ＝42，故物体在运动开始的速度为2 m /s ，第5秒末时的速度为42 m /s .。

课时作业2：5.1.2 第一课时导数的概念

5.1.2 导数的概念及其几何意义第一课时导数的概念基础达标一、选择题1.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2解析 Δy Δx ＝f （3）－f （1）3－1＝1－32＝－1.答案 B2.设函数f (x )在点x 0处附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A.f ′(x )＝a B.f ′(x )＝b C.f ′(x 0)＝aD.f ′(x 0)＝b 解析 ∵Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝a ＋b Δx .∴f ′(x 0)＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝a .答案 C3.已知函数y ＝f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值为( ) A.－4 B.2 C.－2D.±2解析 ∵Δy Δx ＝f （m ＋Δx ）－f （m ）Δx ＝2m ＋Δx－2mΔx ＝－2m （m ＋Δx ），∴f ′(m )＝ 0limx ∆→－2m （m ＋Δx ）＝－2m 2，∴－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.答案 ±24.若可导函数f (x )的图象过原点，且满足0lim x ∆→ f （Δx ）Δx ＝－1，则f ′(0)等于( )A.－2B.2C.－1D.1解析 ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝0lim x ∆→f （0＋Δx ）－f （0）Δx ＝0lim x ∆→ f （Δx ）Δx ＝－1，故选C. 答案 C5.设f (x )为可导函数，且满足0lim x → f （1）－f （1－2x ）2x ＝－1，则f ′(1)为( )A.1B.－1C.2D.－2解析令x →0，则Δx ＝1－(1－2x )＝2x →0，所以 f （1）－f （1－2x ）2x＝0lim x →f （1）－f （1－Δx ）Δx 0lim x ∆→＝f ′(1)＝－1. 答案 B 二、填空题6.已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx ＝________. 解析 Δy Δx ＝（2＋Δx ）3－2－（23－2）Δx＝（Δx ）3＋6（Δx ）2＋12Δx Δx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12.答案 (Δx )2＋6Δx ＋127.已知函数y ＝f (x )＝2x 2＋1在x ＝x 0处的瞬时变化率为－8，则f (x 0)＝________.解析由题知－8＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→2（x 0＋Δx ）2＋1－（2x 20＋1）Δx ＝4x 0，得x 0＝－2，所以f (x 0)＝2×(－2)2＋1＝9. 答案 98.若f ′(x 0)＝2，则0lim x ∆→f （x 0）－f （x 0＋Δx ）2Δx ＝________.解析 0limx ∆→f （x 0）－f （x 0＋Δx ）2Δx＝－120lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝－12f ′(x 0)＝－1. 答案－1 三、解答题9.一条水管中流过的水量y (单位：m 3)与时间t (单位：s)之间的函数关系为y ＝f (t )＝3t .求函数y ＝f (t )在t ＝2处的导数f ′(2)，并解释它的实际意义. 解因为Δy Δt ＝f （2＋Δt ）－f （2）Δt ＝3（2＋Δt ）－3×2Δt ＝3，所以f ′(2)＝0lim x ∆→ΔyΔt ＝3.f ′(2)的实际意义：水流在t ＝2时的瞬时流速为3 m 3/s. 10.求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数. 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→(2Δx ＋16)＝16.能力提升11.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，已知f ′(0)>0，且对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f （1）f ′（0）的最小值为________.解析由导数的定义，得f ′(0)＝0lim x ∆→f （Δx ）－f （0）Δx＝0lim x ∆→a （Δx ）2＋b （Δx ）＋c －cΔx ＝0lim x ∆→[a ·(Δx )＋b ]＝b >0.又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f （1）f ′（0）＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2.当且仅当a ＝c ＝b2时等号成立. 答案 212.巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？解山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为 h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14，∵h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多.创新猜想13.(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则0lim h →f （x 0＋h ）－f （x 0）h的值( )A.与x 0有关B.与h 有关C.与x 0无关D.与h 无关解析由导数的定义可知，函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关，故选AD. 答案 AD14.(多空题)过曲线y＝x2＋1上两点P(1，2)和Q(1＋Δx，2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________，当Δx＝0.001时，割线的斜率k＝________.解析∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2＋Δx，∴割线斜率为2＋Δx.当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.当Δx＝0.001时，割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.答案 2.1 2.001。

导数的概念习题课课件

x0
x
f ( x) lim f ( x x) f ( x) lim f (x x) f (x)
x0
x
x0
x
lim f (x x) f (x) f (x).
x0
x
f ( x)是奇函数，从而命题成立.
(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练习用.
∴物体在 t＝0 处的瞬时速度为 Δlitm→0ΔΔst＝Δlitm→0 (3Δt－18)＝－18(m/s)，即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度即为函数在 t＝1 处的瞬时变化率． ∵物体在 t＝1 附近的平均变化率为 ΔΔst＝29＋31＋Δt－3Δ2t－29－31－32＝3Δt－12， ∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为 Δlitm→0ΔΔst＝Δlitm→0 (3Δt－12)＝－12(m/s)，
即物体在 t＝1 时的瞬时速度为－12 m/s.
练习1.质点按规律s(t)=at2+1做直线运动 (位移单位：m , 时间单位：s).若质点在 t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。a=2
练习2.质量为5kg的物体按规律 s=2t+3t 2
（t的单位：s, s的单位：cm）做直线运动，求物体受到的作用力。
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
当x0 (a,b)时,函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)在开区间(a,b)内的导(函)数f (x)在点x0处的函数值.
练习: 已知y x，求y.
xa x a
xa
xa
a lim f (x) f (a) f (a) af (a) f (a). xa x a

第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练)(学生版)

第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念（1）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝. （2）定义法求导数步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； ② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x '，()g x '存在，则有（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ （3）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x . 第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。

第一讲导数、导函数的概念及导数的运算全面版

导数与导函数的观点【基础知识点】1．函数从到的均匀变化率为① ____________，若△x x2x1，△ y f ( x2 ) f ( x1 ) ，则均匀变化率可表示为．2．一般的，定义在区间（ a ，b）上的函数 f ( x) ，x o( a， b) ，当x 无穷趋近于0 时，y f (x o x) f (x o )A ，则称f ( x)在x x o处可导，并x x无穷趋近于一个固定的常数称 A 为f ( x)在x x o处的导数，记作 f ' ( x o ) 或f ' ( x ) |x xo3．几何意义： f ( x) 在x x0处的导数就是 f ( x) 在x x0处的切线斜率。

4．导函数的观点： f ( x)的对于区间（a , b）上随意点处都可导，则 f ( x) 在各点的导数也随 x 的变化而变化，因此也是自变量x的函数，该函数被称为 f ( x) 的导函数，记作f ' ( x ) 。

【典例分析】【典例 1】函数f ( x)知足f ' (1)2，则当 x 无穷趋近于 0 时，（ 1）f (1x) f (1)2x（ 2）f (12x) f (1)x变式 :设f(x)在x=x0处可导，（3）f ( x04x)f ( x)无穷趋近于1，则f(x0 ) =___________ x（4）f ( x04x)f ( x)无穷趋近于1，则f(x0 ) =__________ x（ 5）当△ x 无穷趋近于0，f ( x02x) f (x02 x)所对应的常数与 f ( x0 ) 的x关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

【基础知识点】1．基本初等函数的求导公式：⑴(kx b)k (k,b为常数 ) ⑵(C ) 0 (C 为常数 )⑶ ( x)1⑷( x 2 ) 2 x⑸( x 3) 3x2⑹ (1)1xx 2⑺(x )1由⑶ ~⑹你能发现什么规律 ?2 x⑻ ( x ) x1（为常数）⑼ (a x )a x ln a (a0，a 1)⑽(log a x)1log a e1 ( a 0，且 a 1)xxlna⑾(e x )e x⑿(lnx ) 1x⒀(sinx ) cosx⒁(cosx)－ sinx2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线 y ＝ f （x ）在点 P （ x 0， f （ x 0））处的切线方程是 y － f （ x 0）＝ f ' ( x o ) （ x － x 0）；3．求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依照已知点在切线上求解． 4．函数的差、积、商的求导法例：（ 1）（ 2）（ 3）f ( x)g ( x) ' f '( x)g '( x)cf ( x) ' cf (x)'f (x)g ( x) ' f '(x) g(x)f ( x)g '(x)f ( x) '（ 4）f '( x)g (x) f (x) g '( x)( g (x) 0)g( x)g( x)2【典例分析】【典例 1】求以下函数的导数（ 1）y3x 5（ 2）y1（ 3）y log 4 x（ 4）x 4y sin(x)2（ 5）y cos(3（ 6）yx x x x)2题型一：点在曲线上【典例 2】已知曲线y1x3上一点 P(2,8),则过 P 点的切线方程为.33分析：过点 P 的切线的斜率为k f ' 2 4 ，那么切线方程为y84x 2 ，即312 x 3y 160 ．变式：（南通市2013 届高三第一次调研测试数学试卷）曲线 f ( x)f(1)x12在e f (0) x xe2点 (1, f (1)) 处的切线方程为 ________.题型二：点不在曲线上【典例 3】过点(1,0) 作抛物线y x2x1的切线，则此中一条切线为解析：设切点为 x0 , y0，切线的斜率为 f ' x02x0 1 ，则切线方程为：y y0 f 'x0x x0，由于点 ( 1,0) 在切线上，故y0 f ' x0 1x0，解得x00，或 x02，切点为 0,1或2,3，故切线方程为 x y20或3x y30变式： 1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点1,0. 与函数 f x e x( e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.2．（ 2011 年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,已知点P是函数 f ( x)e x (x0)的图象上的动点 , 该图象在P 处的切线l交y轴于点, 过点P作l的垂线交y轴于点,设M N线段 MN的中点的纵坐标为t ,则 t 的最大值是__题型三：已知切线斜率求切线方程【典例 4】求垂直于直线 2 x6y 1 0且与曲线y x33x2 5 相切的直线方程。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

导数的概念习题课
教学目标理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则教学重点导数的概念及求导法则教学难点导数的概念一、课前预习
1.)(x f 在点0x 处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.若)(x f 在开区间（a ，b ）内每一点都有导数)(/
x f ，称)(/
x f 为函数)(x f 的导函数；求一个函数的导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函数)(x f 在点0x 处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3.常数函数和幂函数的求导公式： )_____()(___)(*
//N n x c n ∈==
4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则：
)()]([)()()]()([/////x cf x f c x g x f x g x f =⋅±=±
二、举例
例1.设函数1)(2
-=x x f ，求：
（1）当自变量x 由1变到1.1时，自变量的增量x ∆；（2）当自变量x 由1变到1.1时，函数的增量y ∆；（3）当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率；（4）函数在x ＝1处的变化率.
例2.生产某种产品q 个单位时成本函数为2
05.0200)(q q C +=，求（1）生产90个单位该产品时的平均成本；
（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；（3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.
例3.已知函数2
)(x x f =，由定义求)(/
x f ，并求)4(/
f .
例4.已知函数2
)()(b ax x f +=(a,b 为常数)，求)(/
x f .
例5.曲线2
2
3x y =上哪一点的切线与直线13-=x y 平行？
三、巩固练习
1.若函数3
)(x x f =，则/
)]2([-f ＝＿＿＿＿＿＿
2.如果函数)(x f y =在点0x 处的导数分别为：
（1）0)(0/=x f （2）1)(0/
=x f （3）1)(0/-=x f （4）2)(0/
=x f ，
试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.
3.已知函数2
2)(x x x f -=，求)0(/f ，)4
1(/
f ，.
4.求下列函数的导数（1）23212++=
x x y （2）153
1
4123-+-=x x x y （3）)4(2
3
-=x x y （4）)23()12(2
+-=x x y
四、作业
1.若)(lim 0
x f x →存在，则/
)](lim [x f x →＝＿＿＿＿＿
2.若2
)(x x f =，则1
)
1()(lim 1
--→x f x f x ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3.求下列函数的导数：
（1）1402022
4+--=x x x y （2）43
26
15423x x x x y -
-++= （3）)3)(12(23x x x y ++= （4）3
2)1()2(-+=x x y
4.某工厂每日产品的总成本C 是日产量x 的函数，即2
571000)(x x x C ++=，试求：（1）当日产量为100时的平均成本；
（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；（3）当日产量为100时的边际成本.
5.设电量与时间的函数关系为1322
++=t t Q ，求t ＝3s 时的电流强度.
6.设质点的运动方程是1232
++=t t s ，计算从t ＝2到t ＝2＋t ∆之间的平均速度，并计算当
t ∆＝0.1时的平均速度，再计算t ＝2时的瞬时速度.
7.若曲线12
32
+=x y 的切线垂直于直线0362=++y x ，试求这条切线的方程.
8.在抛物线2
2x x y -+=上，哪一点的切线处于下述位置？（1）与x 轴平行
（2）平行于第一象限角的平分线. （3）与x 轴相交成45°角
9.已知曲线2
2x x y -=上有两点A （2,0），B （1,1），求：
（1）割线AB 的斜率AB k ；（2）过点A 的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程.
10.在抛物线2
x y =上依次取M （1,1），N （3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.
11.已知一气球的半径以10cm/s 的速度增长，求半径为10cm 时，该气球的体积与表面积的增长速度.
12.一长方形两边长分别用x 与y 表示，如果x 以0.01m/s 的速度减小，y 边以0.02m/s 的速度增加，求在x ＝20m ，y ＝15m 时，长方形面积的变化率.
13.（选做）证明：过曲线2
a xy =上的任何一点（00,y x ）（00>x ）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：2
/
1)1(x x
-=）。